日常生活で最も目にする図形、それは円柱ではないだろうか？このページでは、表面積
が一定な円柱の体積の最大値について調べようと思う。
左図のように、底面の半径 ｒ で高さ ｈ の直円柱を考える。
表面積 Ｓ は一定とする。すなわち、
Ｓ＝２πｒ2＋２πｒｈ （＝一定） とする。
このとき、円柱の体積 Ｖ は、 Ｖ＝πｒ2ｈ
で与えられる。
Ｓ の値が一定という条件で、体積 Ｖ の最大値を求めることは、日常生活においても重
要な関心事であると信じる。
通常、この問題は、高校２年で学習する「数学ＩＩ」の微分積分の格好の応用問題として、
教室で取り上げられることも多いことだろう。
（解） Ｓ＝２πｒ2＋２πｒｈ より、 ２πｒｈ＝−２πｒ2＋Ｓ なので、 ｙ＝２Ｖ とおくと、
ｙ＝ｒ（−２πｒ2＋Ｓ）＝−２πｒ3＋Ｓｒ となる。
よって、 ｙ’＝−６πｒ2＋Ｓ＝０ とおくと、 ｒ＞０ に注意して、ｙ は、
で極大、かつ最大となる。このとき、Ｖの最大値は、
となる。 （終）
ところで、表面積が一定のとき、体積が最大となる円柱とはいかなる形状をしているだろ
うか？体積の最大値そのものよりも、むしろこちらの方に実は興味がある。
２πｒｈ＝−２πｒ2＋Ｓ＝−２π｛Ｓ/（６π）｝＋Ｓ＝２Ｓ/３ なので、
このことから、円柱の体積が最大になるのは、上面、底面の円の中心を通る平面で円柱
を切断したとき、その切り口が正方形の場合であることが分かる。
（コメント） この結果は、直観的にも明らかかも．．．。
ここで、
とおく。（ → この置き換えは、かなり有用な置き換えらしい！）
このとき、 Ｓ＝２πｒ2＋２πｒｈ は、 ｒ2＋ｒｈ＝３ｋ2 と簡潔になる。
さらに、 Ｖ＝−π（ｒ3−３ｋ2ｒ） となり、これもまた見通しがよい式に変形できた！
上記の（解）では、体積 Ｖ の最大値を求めるために微分法を活用したが、微分を用いず
に、次のような計算をしても求められることに驚かされる。
Ｖ−２πｋ3＝−π（ｒ3−３ｋ2ｒ＋２ｋ3）＝−π（ｒ−ｋ）2（ｒ＋２ｋ）≦０
上記の不等式から、体積 Ｖ は、 ｒ＝ｋ のとき最大で、最大値 ２πｋ3 をとる。
このときの円柱の高さは、 ｒｈ＝３ｋ2−ｒ2＝３ｒ2−ｒ2＝２ｒ2 より、 ｈ＝２ｒ となる。
（コメント） ２πｋ3 との差を考えるところがポイントかな？何となくスッキリしたような、しない
ような．．．そんな気分ですね！
以下、工事中