に用意して、
「(p，q)、(r，s) は、直線 ax + by + c = 0 上の異なる２点である」
が、任意の a、b、c の値に対して成り立つようにできるでしょうか？
と、これだけだと題意が分かりにくいと思うので補足を．．．。
例えば、p = -c/a、q = 0、r = 0、s = -c/b とすれば、一見条件を満たしそうに見えます。し
かし、実は、
・a = 0 の場合、(p，q) は点自体が消失するので、「直線上の点」を表さなくなる
・b = 0 の場合、(r，s) は点自体が消失するので、「直線上の点」を表さなくなる
・a ≠ 0、b ≠ 0 でも、c = 0 だと、２点が一致してしまい、「異なる２点」を表さなくなる
という問題があり、任意の a、b、c の値に対して成立するものではなくなっています。
このような点が消失したり、２点が一致したりする特殊な場合が一切存在しないような数式
を作れるのか、というのが意図になります。
らすかるさんからのコメントです。（令和５年３月２７日付け）
「原点を通り、ax+by+c=0 と垂直な直線」と、ax+by+c=0 との交点は、
(-ac/(a^2+b^2)，-bc/(a^2+b^2))
なので、例えば、
p=-ac/(a^2+b^2)+b
q=-bc/(a^2+b^2)-a
r=-ac/(a^2+b^2)-b
s=-bc/(a^2+b^2)+a
とすれば、条件を満たしますね。
（追記） (p，q)と(r，s)は、(-ac/(a^2+b^2)，-bc/(a^2+b^2))に関して、対称な点にしましたが、
どちらかが(-ac/(a^2+b^2)，-bc/(a^2+b^2))でも構いませんし、より一般には、
(-ac+(a^2+b^2)+bt，-bc/(a^2+b^2)-at)で、t の値を変えればよいだけなので、２点と
言わず何点でもとれます。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年３月２７日付け）
あ、なるほど、確かに方向ベクトルを使えば、２点目どころか好きなだけ取れますね。盲点
でした。参考になりました、ありがとうございます。
元々なぜこれが気になったかというと、以下のような疑問からでした。
点と直線の距離の公式は、高校数学IIの教科書に掲載されています。そして、おそらく全
ての教科書で、「直線が x 軸に平行な場合」「直線が y 軸に平行な場合」「それ以外の場
合」と場合分けされて示されていると思います。
しかし、元々の題材は平面上の点と直線であり、x 軸と y 軸を導入するまでは、そこには
特別な向きは存在しません。
だったら、特別な方向の場合分けが必要ない方法で証明する方が流れとして自然なのでは？
ということで、手始めに直線を方程式ではなく、通る２点で表現することから始めようと思った
まではいいものの、初っ端から思わぬ難渋となり、助け舟を求めてみた次第でした。
２点が取れたら、次は、内分や外分で直線上の任意の点を書けると考えていたのですが、
まさか一段階すっ飛ばして、いきなり任意の点を取る方が早かったとは。
で、実際に場合分けが不要な点と直線の距離の公式の証明を書いてみたのがこちら。
途中でブラーマグプタの二平方恒等式 (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2 - (ad-bc)^2 を用い
ていますが、その証明は両辺展開するだけなので省略しています。
--------
(a,b) ≠ (0,0) より、a^2+b^2 ≠ 0
よって、( -ac/(a^2+b^2) + tb , -bc/(a^2+b^2) - ta ) という座標で表される点は任意の実数 t
について、直線 ax + by + c = 0 上にあり、逆に、直線 ax + by + c = 0 上にある任意の点の
座標は、ある実数 t を用いて、( -ac/(a^2+b^2) + tb , -bc/(a^2+b^2) - ta ) と書ける。
したがって、点 (X,Y) と直線 ax + by + c = 0 との距離は、
点 (X,Y) と点 ( -ac/(a^2+b^2) + tb , -bc/(a^2+b^2) - ta ) の距離を t の関数と考えたとき
の最小値
として求められる。ここで、
-ac/(a^2+b^2) + tb - X
= { -ac + b(a^2+b^2)t - a^2*X - b^2*X + abY - abY } / (a^2+b^2)
= { b( (a^2+b^2)t - bX + aY ) - a( aX + bY + c ) } / (a^2+b^2)
-bc/(a^2+b^2) - ta - Y
= { -bc - a(a^2+b^2)t - a^2*Y - b^2*Y + abX - abX } / (a^2+b^2)
= { -a( (a^2+b^2)t - bX + aY ) - b( aX + bY + c ) } / (a^2+b^2)
となるので、ブラーマグプタの二平方恒等式を用いると、２点間の距離 L の２乗は
L^2 = ( -ac/(a^2+b^2) + tb - X )^2 + ( -bc/(a^2+b^2) - ta - Y )^2
= (a^2+b^2){ (a^2+b^2)t - bX + aY )^2 + ( aX + bY + c )^2 } / (a^2+b^2)^2
= { (a^2+b^2)t - bX + aY )^2 + ( aX + bY + c )^2 } / (a^2+b^2)
となる。これは、 t = ( bX - aY ) / (a^2+b^2) のときに最小値 ( aX + bY + c )^2 / (a^2+b^2)
をとる。したがって、点 (X,Y) と直線 ax + by + c = 0 との距離は、この L^2 の最小値の負
でない平方根、すなわち、
d = | aX + bY + c | / √(a^2+b^2)
である。
--------
場合分けが必要な特別な方向が存在しない、自然な流れの証明……という感じではない
なあ。
（コメント） 「点と直線の距離」が参考になるかな？
DD++ さんからのコメントです。（令和５年３月２８日付け）
いつもこのサイト内に情報がないか探すとき、
「数学感動秘話」 、「私の備忘録」 、「お茶の時間」→「パズル&クイズ」
のタイトル一覧をザッと確認するんですが、まさか
「私の備忘録」→「その他」→「裏技の記録」
にも記事の集まりがあったとは。記事のタイトル一覧みたいになっているページって、この
4 ヶ所で全部でしょうか？
肝心の点と直線の距離公式の話ですが、確かに法線ベクトルを使って垂線を引いてしま
えば、場合分け不要かつ簡素で良いですね。しかも、この証明はそのまま丸ごと空間内に
おける点と平面の距離の公式の証明に転用できるという点が素晴らしい。
高校数学だと数学Bの内容を数学IIで使うわけにはいかないという事情もあるんでしょうが、
この証明はもっと広まってほしいところです。
（コメント） いつも当ＨＰを閲覧いただいて、ありがとうございます。徒然なるままに作ってい
るＨＰなので、興味のおもむくまま枝分かれがあり、多分閲覧される方は大変だろ
うと推察されます。「検索」機能を設けてはというご意見をいただくことが多いので
すが、まだそこまで準備が整いません。
「記事のタイトル一覧みたいになっているページ」とのことなので、いくつか探索しました。
・「特別講義」
・「微分方程式概論」
・「大学入試探訪」
・「大学院入試問題集」
・「数学の重要例題」
・「いろいろな曲線」 など。
DD++ さんからのコメントです。（令和５年３月２９日付け）
情報ありがとうございます。記事の集合体、思った以上にいっぱいあったんですね……。
またじっくり読ませていただきたいと思います。
以下、工事中！
