ペル方程式 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　次の形の不定方程式は、数学のいろいろなところで現れる。

　　　　　　　　

　この方程式は、ペル方程式 といわれる。

　もっとも、ペル自身は、この方程式とは無関係らしいが、オイラーによって誤解された後、
そう呼ばれ続けているそうだ。

　フェルマー（1601〜1665）が出した次の問題（１６５７年）：

　　　Ｘ²−６１Ｙ²＝１　の自然数解を求めよ。

が、そもそもの発端である。　（ (1766319049，226153980) が解になる！）

　ペル方程式が必ず解を持つことは、ラグランジュ（１７６６年頃）により示されている。また、
解を能率よく計算する方法も、ブラウンカー、ウォリス（１６５７年）、オイラー（１７５３年）に
より、既に見出されている。（具体例はこちらを参照）

　ペル方程式に関連して、基本事項を整理しておこう。

（１）　 は無理数である。

（２）　集合 （）＝{ ｘ＋ｙ | ｘ∈ 、ｙ∈　、 は有理数全体の集合}
　　　は、四則演算（＋、−、×、÷）について閉じている。
　　　（詳しくは、実２次体となる。）

（３）　α ＝ ｘ＋ｙ　の共役を、α’ ＝ ｘ−ｙ　とするとき、

　　　　　（ ｘ ， ｙ ） が、ペル方程式の解　⇔　α・α’＝±１

（４）　（ ｘ₁ ， ｙ₁ ）、 （ ｘ₂ ， ｙ₂ ） を、ペル方程式の自明でない自然数解とする。

　　　このとき、次の関係が成り立つ。

　　　　ｘ₁ ＜ ｘ₂　⇔　ｙ₁ ＜ ｙ₂　⇔　ｘ₁＋ｙ₁＜ ｘ₂＋ｙ₂

　　　　　　実際に、ｘ₁²− Ｎｙ₁² ＝ ｘ₂²− Ｎｙ₂²　のとき、ｘ₁²− ｘ₂² ＝ Ｎ（ｙ₁²− ｙ₂²）

　　　　　　よって、　ｘ₁ ＜ ｘ₂　⇔　ｙ₁ ＜ ｙ₂　⇔　ｘ₁＋ｙ₁＜ ｘ₂＋ｙ₂　は明らか。

　　　　　　次に、ｘ₁²− Ｎｙ₁² ＝−１、 ｘ₂²− Ｎｙ₂² ＝１　のときを考える。

　　　　　　ｘ₁ ＜ ｘ₂　とする。このとき、

　　　　　　　　　Ｎｙ₁² ＝ ｘ₁²＋１＝（ｘ₁＋１)²−２ｘ₁＜（ｘ₁＋１)²−１≦ ｘ₂²−１＝ Ｎｙ₂²

　　　　　　　よって、　ｙ₁ ＜ ｙ₂　となる。逆に、　ｙ₁ ＜ ｙ₂　とする。このとき、

　　　　　　　　　ｘ₁²＝ Ｎｙ₁² −１＜Ｎｙ₁² ＋１＜Ｎ（ｙ₁＋１)² ＋１≦Ｎｙ₂² ＋１＝ｘ₂²

　　　　　　　よって、　ｘ₁ ＜ ｘ₂　となる。

　　　　　　したがって、　ｘ₁ ＜ ｘ₂　⇔　ｙ₁ ＜ ｙ₂　⇔　ｘ₁＋ｙ₁＜ ｘ₂＋ｙ₂

　　　　　　同様にして、ｘ₁²− Ｎｙ₁² ＝１、 ｘ₂²− Ｎｙ₂² ＝−１　のときも成り立つことが分
　　　　　　かる。

　　このことから、ペル方程式の最小の解を求めるには、ｘ (または y ) が最小の解を求め
　ればよい。

（５）　（ ｘ ， ｙ ） を、ペル方程式の自明でない解とする。　α ＝ ｘ＋ｙ に対して、

　　　αⁿ ＝ ｘ_ｎ＋ｙ_ｎ　で定まる （ ｘ_ｎ ， ｙ_ｎ ） もペル方程式の解となる。

　　　　　　実際に、ｘ_ｎ²− Ｎｙ_ｎ²＝αⁿ・(α’)ⁿ＝（α・α’）^ｎ＝（±１）^ｎ＝±１　より、明らか。


　　ペル方程式において、（ ±１ ， ０ ） は自明な解といわれる。　（５）から、ペル方程式は、
　１つでも自明でない解があれば、無限に解がある。

　さらに、次も成り立ち、ペル方程式の解の構造が明らかとなる。

（６） 　ペル方程式
　　　　　　　　　　　　　　　　

　　の解 （ Ｘ ， Ｙ ）　（ただし、Ｘ ＋ Ｙ ＞０　で、Ｘ、Ｙは整数）の集合を Ｐ とおく。

　　　（ ａ ，ｂ ）∈ Ｐ　を、α ＝ ａ ＋ ｂ ＞１　を満たす Ｐ の要素のうちで、最小な

　　ものとする。（格子点の理論を用いて、その存在は保証される。）

　　　このとき、ペル方程式の全ての解は、αⁿ （ｎ は整数）により与えられる。

　いま、整数 ｎ に対して、αⁿ ＝ ｘ_ｎ＋ｙ_ｎ　で定まる （ ｘ_ｎ ， ｙ_ｎ ）の集合を Ｑ とおく。

（５）より、　Ｑ ⊂ Ｐ　であるので、　Ｐ ⊂ Ｑ　であることを示せば十分である。

　　任意の （ Ｘ ， Ｙ ）∈ Ｐ　をとる。まず、　Ｘ＋Ｙ ＞１　の場合について考える。

　　このとき、適当な自然数 ｎ が存在して、

　　　　　　　　（ ａ ＋ ｂ ）^ｎ≦ Ｘ ＋ Ｙ ＜ （ ａ ＋ ｂ ）^ｎ＋１

　　が成り立つ。　よって、

　　　　　　　　１ ≦ （ Ｘ ＋ Ｙ）（ ａ ＋ ｂ ）^−ｎ ＜ ａ ＋ ｂ

　　ところで、（ ｘ ， ｙ ）、（ u ， v ）∈ Ｐ　に対して、

　　　　　　　　（ ｘ ＋ y）（ u ＋ v ）^ｍ ＝ ｗ ＋ ｚ　　　（ ｍ は、任意の整数）

　　とおくと、　（ ｗ ， ｚ ）∈ Ｐ　であることが、数学的帰納法により示すことができる。

　　このことから、
　　　　　　　　　　　　（ Ｘ ＋ Ｙ）（ ａ ＋ ｂ ）^−ｎ ＝ｃ ＋ ｄ　

　　となる　（ ｃ ， ｄ ）は Ｐ　の要素である。しかるに、ａ ＋ ｂ が最小の解であることか

　　ら、　ｃ ＋ ｄ ＝ １　でなければならない。

　　　よって、このとき、　 Ｘ ＋ Ｙ ＝ （ ａ ＋ ｂ ）^ｎ ＝ αⁿ となり、（ Ｘ ， Ｙ ）∈ Ｑ

　　すなわち、　Ｐ ⊂ Ｑ　である。

　　次に、　Ｘ＋Ｙ ＜１　の場合について考える。　このとき、（Ｘ＋Ｙ）^-1 ＞１　なの

　　で、上記の結果より、（Ｘ＋Ｙ）^-1＝ αⁿ と書ける。　よって、この場合も、

　　Ｘ＋Ｙ ＝ α⁻ⁿ 　となり、　（ Ｘ ， Ｙ ）∈ Ｑ　すなわち、　Ｐ ⊂ Ｑ　である。

　以上から、　Ｐ ＝ Ｑ 　であることが示された。


　（参考文献：ホームページ「青空学園数学科」 の中の　『ペル方程式の解の構造』　）


ペル方程式の応用例　 　（こんなにいろいろ応用例があるとは、正直驚きである！）

◎　平方根２を求める数列　・・・　ペル方程式　Ｘ²−２Ｙ²＝１　の解の比 Ｘ/Ｙ の考察

◎　平方数となる和　・・・・・・・・・　自然数の和が平方数となる場合の項数とペル方程
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　式の解との関係

◎　ある２項係数の関係　・・・・・　判別式が平方数になるとき、ペル方程式との接点が
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　生まれる

（参考文献：和田秀男　著　数の世界　整数論への道　（岩波書店）
　　　　　　　北村泰一　著　数論入門　（槙書店））

（追記）　ペル方程式において、Ｎの値が一桁の自然数ならば、最小の解を見出すことは、
　　　　　比較的易しい。しかし、Ｎの値がある程度大きくなると、最小の解を見出すために
　　　　　いくつかの値を代入して検算する方法では、甚だ困難であるといわねばならない。

　この問題に対して、最小の解は必ず存在すること（ラグランジュ）、最小の解を求めるアル
ゴリズム（オイラー等）については、先人たちによって既に解決済みである。

　ここでは、具体例を通して、最小の解の求め方を整理しておきたい。

例　ペル方程式　Ｘ²−２９Ｙ²＝±１ の最小の解を求めよ。

　最小の解を求めるために、次の漸化式が用いられる。

　　　ａ_ｎ+1 ＝ ａ_ｎ-1＋ｋ_ｎａ_ｎ　（ｎ＝０、１、２、・・・）　ただし、ａ_-1＝、ａ₀＝１

　　　ここで、ｋ_ｎ ＝ ［ｂ_ｎ］　（ｂ_ｎ を超えない最大の整数）で、ｂ_ｎ＝−ａ’_ｎ-1/ａ’_ｎ

　　　ただし、ａ ＝ ｘ＋ｙ に対して、ａ’は、ａ の共役で、ａ’＝ ｘ−ｙ

このとき、

　このような漸化式に対して、ｂ_ｎ の分母が １ になる ｎ の値が必ず存在する（ラグランジュ）。

そのときの ｎ に対して、ａ_ｎ が最小の解を与える（オイラー）。

ということが知られている。

　上の漸化式に従って、順次求めてもよいが、計算が煩雑になるので、通常次の式を用い
て、ｂ_ｎ は計算される。

・・・・・・・・・・（＊）

実際に、

ｂ_ｎ+1＝−ａ’_ｎ/ａ’_ｎ+1 ＝−ａ’_ｎ/(ａ’_ｎ-1＋ｋ_ｎａ’_ｎ)＝１/(−(ａ’_ｎ-1/ａ’_ｎ)−ｋ_ｎ)＝１/(ｂ_ｎ−ｋ_ｎ)

より成り立つことが分かる。

　それでは、計算を実行してみよう。

ｂ₀＝−ａ’_-1/ａ’₀ ＝−(−)/１＝　より、ｋ₀＝［］＝５

　よって、ａ₁＝ａ_-1＋ｋ₀ａ₀＝＋５

ｂ₁＝１/( ｂ₀−ｋ₀)＝１/(−５)＝(５＋)/４　より、ｋ₁＝［ ｂ₁］＝２

　よって、ａ₂＝ａ₀＋ｋ₁ａ₁＝１＋２(＋５)＝１１＋２

ｂ₂＝１/( ｂ₁−ｋ₁)＝４/(−３)＝(３＋)/５　より、ｋ₂＝［ ｂ₂］＝１

　よって、ａ₃＝ａ₁＋ｋ₂ａ₂＝＋５＋(１１＋２)＝１６＋３

ｂ₃＝１/( ｂ₂−ｋ₂)＝５/(−２)＝(２＋)/５　より、ｋ₃＝［ ｂ₃］＝１

　よって、ａ₄＝ａ₂＋ｋ₃ａ₃＝１１＋２＋(１６＋３)＝２７＋５

ｂ₄＝１/( ｂ₃−ｋ₃)＝５/(−３)＝(３＋)/４　より、ｋ₄＝［ ｂ₄］＝２

　よって、ａ₅＝ａ₃＋ｋ₄ａ₄＝１６＋３＋２(２７＋５)＝７０＋１３

ｂ₅＝１/( ｂ₄−ｋ₄)＝４/(−５)＝(５＋)/１

　したがって、ｂ₅ の分母が１になったので、ａ₅ が最小の解を与える。

実際に、７０²−２９・１３²＝４９００−４９０１＝−１　となっている。（念のため、確認！）

（このような解を発見するのは、コンピュータの得意分野だろう。しかし、手計算でも確実に
求められることに、数学本来の美しさを感じる。オイラー、ラグランジュに感謝したい！）

　また、Ｘ²−２９Ｙ²＝１　の最小の解を求めるには、

　　（７０＋１３）²＝９８０１＋１８２０　より、(Ｘ，Ｙ)＝(９８０１，１８２０)

実際に、９８０１²−２９・１８２０²＝９６０５９６０１−２９・３３１２４００
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝９６０５９６０１−９６０５９６００＝１
が成り立つ。

（追々記）　上記の計算は、多少整理されているとはいえ、まだまだ煩雑という感じは拭え
　　　　　　ない。

　次のような、アルゴリズムが確立している。

　オイラー（１７６５年）によれば、

ａｎａ’ｎ-1＝(−１)ｎ-1(＋ｇｎ)　となる整数 ｇｎ が存在して、ｈｎ＝| ａｎａ’ｎ| とおくとき、
	・・・・・・・・・・（＊＊）

が成り立つ。

この性質に着目すれば、

が成り立つ。

　実際に、
　　ｋ_ｎ ＝ ［ｂ_ｎ］ ＝ [(＋ｇ_ｎ)/ｈ_ｎ] ＝[([]＋ｇ_ｎ)/ｈ_ｎ]＝[(ｋ₀＋ｇ_ｎ)/ｈ_ｎ]　から明らか。

したがって、ｋ_ｎ を効率的に求めるためには、ｇ_ｎ、ｈ_ｎ を効率的に求めればよいことになる。

ところで、（＊）に（＊＊）を代入すると、

　ｂ_ｎ+1＝１/(ｂ_ｎ−ｋ_ｎ)＝(−ｇ_ｎ＋ｋ_ｎｈ_ｎ)/((Ｎ−(ｇ_ｎ−ｋ_ｎｈ_ｎ)²)/ｈ_ｎ)　なので、

　　　ｇ_ｎ+1＝−ｇ_ｎ＋ｋ_ｎｈ_ｎ　、　ｈ_ｎ+1＝(Ｎ−ｇ²_ｎ+1)/ｈ_ｎ

が成り立てばよい。このとき、

　　　ｈ_ｎ+1＝(Ｎ−ｇ²_ｎ+1)/ｈ_ｎ＝(Ｎ−ｇ²_ｎ＋２ｇ_ｎｋ_ｎｈ_ｎ−ｋ²_ｎｈ²_ｎ)/ｈ_ｎ

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(Ｎ−ｇ²_ｎ)/ｈ_ｎ＋ｋ_ｎ(２ｇ_ｎ−ｋ_ｎｈ_ｎ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｈ_ｎ-1＋ｋ_ｎ(ｇ_ｎ−ｇ_ｎ+1)

となり、ｇ₀＝０、ｈ₀＝１　から、上記漸化式により、順次 ｇ_ｎ、ｈ_ｎ、ｋ_ｎ が求められる。

　このとき、ある ｎ に対して、ｈ_ｎ＝１ となることが知られている（ラグランジュ　１７６６年頃）。

ところで、次の定理（Ｍｏｉｒ　１８７４年）によれば、ｈ_ｎ は、ｈ_ｎ＝１ となるまで計算しなくてもよ
いことが分かる。（実は、ｈ_ｎ は対称性を有している！）

定理（Ｍｏｉｒ　１８７４年）

　ｎ＝１、２、・・・　に対して、初めて　ｈ_ｎ＝１　になるものとする。

初めて　ｇ_ｍ＝ｇ_ｍ+1　または　ｈ_ｍ＝ｈ_ｍ+1　となるとき、ｎ と ｍ には、次の関係式が

成り立つ。　　　　　　　ｇ_ｍ＝ｇ_ｍ+1　⇔　　　ｎ ＝ ２ｍ

　　　　　　　　　　　 　　ｈ_ｍ＝ｈ_ｍ+1　⇔　　　ｎ ＝ ２ｍ＋１

　次に、ａ_ｎ＝ ｘ_ｎ＋ｙ_ｎ として、ｘ_ｎ、ｙ_ｎ の漸化式を求めてみよう。

ａ_ｎ+1 ＝ ａ_ｎ-1＋ｋ_ｎａ_ｎ に代入して、 ａ_ｎ+1＝ｘ_ｎ-1＋ｙ_ｎ-1＋ｋ_ｎ(ｘ_ｎ＋ｙ_ｎ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｘ_ｎ-1＋ｋ_ｎｘ_ｎ＋(ｙ_ｎ-1＋ｋ_ｎｙ_ｎ)

　よって、　　ｘ_ｎ+1＝ｘ_ｎ-1＋ｋ_ｎｘ_ｎ　　、　　ｙ_ｎ+1＝ｙ_ｎ-1＋ｋ_ｎｙ_ｎ　　となる。

ところで、ｙ_ｎ が分かると、実は、ｘ_ｎ は、次式により、求められる。

　　　　　　　　ｘ_ｎ＝ｇ_ｎｙ_ｎ＋ｈ_ｎｙ_ｎ-1

実際に、(＋ｇ_ｎ)/ｈ_ｎ＝ｂ_ｎ＝−ａ’_ｎ-1/ａ’_ｎ＝−(ｘ_ｎ-1−ｙ_ｎ-1)/(ｘ_ｎ−ｙ_ｎ)　より

分母を払って、　　　ｈ_ｎ(−ｘ_ｎ-1＋ｙ_ｎ-1)＝(＋ｇ_ｎ)(ｘ_ｎ−ｙ_ｎ)

両辺のの係数を比較して、　ｈ_ｎｙ_ｎ-1＝ｘ_ｎ−ｇ_ｎｙ_ｎ　より成り立つ。

　上記で、ｈ_ｎ がそうであったように、ａ_ｎ もすべて計算する必要がないことが知られている。

定理　　　ｎ ＝ ２ｍ　ならば、ａ_ｎ＝ａ_ｍ²/ｈ_ｍ

　　　　　　ｎ ＝ ２ｍ＋１　ならば、ａ_ｎ＝ａ_ｍａ_ｍ+1/ｈ_ｍ

以上のアルゴリズムは、和田秀男　著　数の世界（岩波書店）を、参考にさせていただいた。
詳しい証明等は、上記書籍にあたられたい。

　それでは、上記の例について、再度計算を実行してみよう。

ｎ ０ １ ２ ３ ｇｎ ０ ５ ３ ２ ｈｎ １ ４ ５ ５ ｋｎ ５ ２ １ １	ｇ0＝０、ｈ0＝１
	ｂ0＝より、ｋ0＝[ｂ0]＝５
	ｇｎ+1＝−ｇｎ＋ｋｎｈｎ
	ｈｎ+1＝(Ｎ−ｇ2ｎ+1)/ｈｎ

　上記の計算から、ｈ₂＝ｈ₃ が成り立つので、Ｍｏｉｒの定理により、ｈ₅＝１ となる。

このとき、定理より、　ａ₅＝ａ₂ａ₃/ｈ₂ ＝ａ₂ａ₃/５　となる。

条件より、ａ_-1＝、ａ₀＝１　なので、ｙ_-1＝１、ｙ₀＝０　である。

ｙ_ｎ+1＝ｙ_ｎ-1＋ｋ_ｎｙ_ｎ　、ｘ_ｎ＝ｇ_ｎｙ_ｎ＋ｈ_ｎｙ_ｎ-1　なので、次の表を埋めることができる。

ｎ ０ １ ２ ３ ｇｎ ０ ５ ３ ２ ｈｎ １ ４ ５ ５ ｋｎ ５ ２ １ １ ｙｎ ０ １ ２ ３ ｘｎ １ ５ １１ １６

左の表により、　ａ2＝１１＋２　、ａ3＝１６＋３ 　よって、　ａ2ａ3＝(１１＋２)(１６＋３) 　　　　　　　　　　＝３５０＋６５ 　したがって、ａ5＝７０＋１３

　（これらの計算は、先の計算結果と一致する。）

（コメント）　あんなに煩雑だった計算が、ほぼ暗算で、全く機械的に表にまとめられること
　　　　　　に、感動しています！．．．!(^^)!


（追記）　平成２４年３月４日付け

　当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんが「情
報を求む」ということで、ペル方程式の問題を書き込まれた。

　ｘ²−９４ｙ²＝１　を満たす整数解の組（ｘ，ｙ)を５組ほど知りたいのですが・・・。


　らすかるさんが解を５組求められた。（平成２４年３月４日付け）

(ｘ，ｙ)=(1，0)、(2143295，221064)、(9187426914049，947610731760)、
　　　　(39382732335491159615，4062018686654877336)、
　　　　(168817626601983862467148801，17412208682026983028992480)


（コメント）　らすかるさんは、多分プログラムを書いて求められたのだろう。
　　　　　（掲示板に解を書き込もうとしたら、らすかるさんの方がより詳しい解を求められ先を越されてしまった。）

　ここでは、手計算で示したいと思う。

　漸化式　ａ_ｎ+1 ＝ ａ_ｎ-1＋ｋ_ｎａ_ｎ　（ｎ＝０、１、２、・・・）　ただし、ａ_-1＝√94、ａ₀＝１

　　　ここで、ｋ_ｎ ＝ ［ｂ_ｎ］　（ｂ_ｎ を超えない最大の整数）で、ｂ_ｎ＝−ａ’_ｎ-1/ａ’_ｎ
　　　ただし、ａ ＝ ｘ＋ｙ√94 に対して、ａ’は、ａ の共役で、ａ’＝ ｘ−ｙ√94

を考えるとき、ｂ_ｎ の分母が １ になる ｎ の値が必ず存在する（ラグランジュ）。そのときの
ｎ に対して、ａ_ｎ が最小の解を与える（オイラー）

ということが知られている。ただし、ｂ_ｎ は次式で計算される。

　　　　　　　　　　　

　ｂ_ｎ の分母が １ になるまで結構手数が伸びたので結果だけ明記します。

　ｂ₀＝√94　なので、ｋ₀＝９　このとき、　ａ₁＝９＋√94

　ｂ₁＝（９＋√94）/１３　なので、ｋ₁＝１　このとき、　ａ₂＝１０＋√94

　ｂ₂＝（４＋√94）/６　なので、ｋ₂＝２　このとき、　ａ₃＝２９＋３√94

　ｂ₃＝（８＋√94）/５　なので、ｋ₃＝３　このとき、　ａ₄＝９７＋１０√94

　ｂ₄＝（７＋√94）/９　なので、ｋ₄＝１　このとき、　ａ₅＝１２６＋１３√94

　ｂ₅＝（２＋√94）/１０　なので、ｋ₅＝１　このとき、　ａ₆＝２２３＋２３√94

　ｂ₆＝（８＋√94）/３　なので、ｋ₆＝５　このとき、　ａ₇＝１２４１＋１２８√94

　ｂ₇＝（７＋√94）/１５　なので、ｋ₇＝１　このとき、　ａ₈＝１４６４＋１５１√94

　ｂ₈＝（８＋√94）/２　なので、ｋ₈＝８　このとき、　ａ₉＝１２９５３＋１３３６√94

　ｂ₉＝（８＋√94）/１５　なので、ｋ₉＝１　このとき、　ａ₁₀＝１４４１７＋１４８７√94

　ｂ₁₀＝（７＋√94）/３　なので、ｋ₁₀＝５　このとき、　ａ₁₁＝８５０３８＋８７７１√94

　ｂ₁₁＝（８＋√94）/１０　なので、ｋ₁₁＝１　このとき、　ａ₁₂＝９９４５５＋１０２５８√94

　ｂ₁₂＝（２＋√94）/９　なので、ｋ₁₂＝１　このとき、　ａ₁₃＝１８４４９３＋１９０２９√94

　ｂ₁₃＝（７＋√94）/５　なので、ｋ₁₃＝３　このとき、　ａ₁₄＝６５２９３４＋６７３４５√94

　ｂ₁₄＝（８＋√94）/６　なので、ｋ₁₄＝２　このとき、　ａ₁₅＝１４９０３６１＋１５３７１９√94

　ｂ₁₅＝（４＋√94）/１３　なので、ｋ₁₅＝１　このとき、　ａ₁₆＝２１４３２９５＋２２１０６４√94

　ｂ₁₆＝（９＋√94）/１　なので、　ａ₁₆＝２１４３２９５＋２２１０６４√94　が最小の解を与える。

　らすかるさんの解を得るには、順次　ａ₁₆^ｎ （ｎ＝２、３、４、５、６、・・・）を計算すればよい。


　和田秀男　著　数の世界（岩波書店）にあるアルゴリズムに従って計算してみよう。

　ｇ₀＝０、ｈ₀＝１　で、ｂ₀＝√94　より、ｋ₀＝[ｂ₀]＝９

　　　ｇ_ｎ+1＝−ｇ_ｎ＋ｋ_ｎｈ_ｎ　、ｈ_ｎ+1＝(Ｎ−ｇ²_ｎ+1)/ｈ_ｎ　、

　　　　　なる漸化式を用いて、順次計算し、表を埋めると、

　上記の計算から、ｇ₈＝ｇ₉ が成り立つので、Ｍｏｉｒの定理により、ｈ₁₆＝１ となる。

このとき、定理より、　ａ₁₆＝ａ₈²/ｈ₈ ＝ａ₈²/２　となる。

条件より、ａ_-1＝√94、ａ₀＝１　なので、ｙ_-1＝１、ｙ₀＝０　である。

ｙ_ｎ+1＝ｙ_ｎ-1＋ｋ_ｎｙ_ｎ　、ｘ_ｎ＝ｇ_ｎｙ_ｎ＋ｈ_ｎｙ_ｎ-1　なので、次の表を埋めることができる。

　上の表により、　ａ₈＝１４６４＋１５１√94　なので、

　よって、　ａ₁₆＝ａ₈²/ｈ₈ ＝（１４６４＋１５１√94）²/２

　　　　　　　　　　＝２１４３２９５＋２２１０６４√94

　これらの計算は、先の計算結果と一致する。


（コメント）　決まり切ったアルゴリズムとはいえ、随分昔にやった計算なので、思い出すのに
　　　　　　時間がかかりました．．．ｆ(^^;)。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年３月４日付け）

　らすかる様の助言から多数なので、11組。
11111111111111111111111111111111111111111組も叶う。（→　参考　、参考２）


　Ｓ（Ｈ）さんが考察されました。(平成２４年３月５日付け）

　先ず、真ん中の問題を眺めて下さい。

　たった2回 f・f では侘しく本質を失うので、大いに反復 fⁿ (n∈N) しました。

　(8ｘ + 21)/(3ｘ + 8)　、(127ｘ + 336)/(48ｘ + 127)　、(2024ｘ + 5355)/(765ｘ + 2024)

　(32257ｘ + 85344)/(12192ｘ + 32257)　、(514088ｘ + 1360149)/ (194307ｘ + 514088)

　(8193151ｘ + 21677040)/(3096720ｘ + 8193151)

　(130576328ｘ + 345472491)/(49353213ｘ + 130576328)

　(2081028097ｘ + 5505882816)/(786554688ｘ + 2081028097)

　(33165873224ｘ + 87748652565)/(12535521795ｘ + 33165873224)

そして、これから続々産まれる

　8² - 7・3²　、127² - 7・48²　、2024² - 7・765²　、・・・　は、全て、不定方程式　_______=1 の

解です。高校生に教えて學費を稼ぎ親の負担を軽減するように飯高先生に促された學生が
高校生に質問された。

(0)　上の広大の問題のf(ｘ)は、どのようにして誕生したのか？丁寧に教えてください。

(1)　√7 のとき、あの f(ｘ) なら、√94 のとき、丁寧に f(ｘ) を導出して下さい。

(2)　そして、下の各無理数について、f(ｘ) を丁寧に導出して下さい。

　{√7，√569，√1249，√2003，√2777，√3607，√4447，√5309，√6173，√7027，√7949，√8861，
　　　　　　　　　　　√9767，√10691，√11699，√12589，√13553，√14549，√15443，√16427，√17419}

　高校生に上問を質問された學生は、即答できず次回に説明するよとお暇した。そして、研
究室で此の問題について、喧々諤々していたら、飯高先生が入室され、瞬時に、その問題
の背景は____だっ!顔をされた。自分達で考えなさいと暗黙のうちにおっしゃたようなので、考
える価値が在ると自らに課す課題とした。

　こんどは、真ん中以外も観て下さい。殆ど全て、背景を激白したと同じですが、(0)(1)(2)を
高校生や大學生に是非丁寧に解説して下さい。


　空舟さんからのコメントです。（平成２４年３月５日付け）

　２次体の単数という見方もでき、Ｗｅｂサイト「２次体の単数と類数（その１）」がかなり詳し
く述べておられます。

　ペル方程式は√ｍの連分数展開を用いると非常に簡単に求められるのですが，最小解
がｍと較べて非常に大きい例としては、

ｍ　　 　　　　　ε　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ノルム
46 　　２４３３５＋３５８８√４６　　　　　　　　　　　　　　　　　＋１
94 　　２１４３２９５＋２２１０６４√９４　　　　　　　　　　　　　＋１
・・・

　９４は、大きい例の１つだったようですね。


　ＧＡＩ さんが、「ｘ²−Ｄｙ²＝１　の自然数解」について、探索されました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年３月６日付け）

　ほんの一週間前までは、数学計算ソフトには無縁であった私に、皆さんのおかげで、ペル
方程式の解をなんの苦も無く思う存分見つけ出す技を与えてくれました。その道に詳しい方
は下記の数字の羅列をなんとも思われないでしょうが、私にはうれしくてたまりません。こん
な力を誰にでも使えるように理論が整備されており、それを実行させるプログラムが開発さ
れており、疑問に思ったことに誠意を持って答えて頂く皆さんがおられて始めて私には自分
の意思で手にできる結果なのです。

　ネットで知れば知るほど、いろいろな方がそれぞれ得意分野を持っておられ、日常では決
して得られない情報を提示して頂いていることに気付かされます。私も、なにか人に喜んで
もらえる情報を提供できるよう精進していきたいです。

D： 小さいほうから５組の解
2：{{3, 2}, {17, 12}, {99, 70}, {577, 408}, {3363, 2378}}
3：{{2, 1}, {7, 4}, {26, 15}, {97, 56}, {362, 209}}
5：{{9, 4}, {161, 72}, {2889, 1292}, {51841, 23184}, {930249, 416020}}
6：{{5, 2}, {49, 20}, {485, 198}, {4801, 1960}, {47525, 19402}}
7：{{8, 3}, {127, 48}, {2024, 765}, {32257, 12192}, {514088, 194307}}
8：{{3, 1}, {17, 6}, {99, 35}, {577, 204}, {3363, 1189}}
10：{{19, 6}, {721, 228}, {27379, 8658}, {1039681, 328776}, {39480499, 12484830}}
11：{{10, 3}, {199, 60}, {3970, 1197}, {79201, 23880}, {1580050, 476403}}
12：{{7, 2}, {97, 28}, {1351, 390}, {18817, 5432}, {262087, 75658}}
13：{{649, 180}, {842401, 233640}, {1093435849, 303264540}, {1419278889601, 393637139280},
　　{1842222905266249, 510940703520900}}
14：{{15, 4}, {449, 120}, {13455, 3596}, {403201, 107760}, {12082575, 3229204}}
15：{{4, 1}, {31, 8}, {244, 63}, {1921, 496}, {15124, 3905}}
17：{{33, 8}, {2177, 528}, {143649, 34840}, {9478657, 2298912}, {625447713, 151693352}}
18：{{17, 4}, {577, 136}, {19601, 4620}, {665857, 156944}, {22619537, 5331476}}
19：{{170, 39}, {57799, 13260}, {19651490, 4508361}, {6681448801, 1532829480}}
20：{{9, 2}, {161, 36}, {2889, 646}, {51841, 11592}, {930249, 208010}}
21：{{55, 12}, {6049, 1320}, {665335, 145188}, {73180801, 15969360}, {8049222775, 1756484412}}
22：{{197, 42}, {77617, 16548}, {30580901, 6519870}, {12048797377, 2568812232},
　　{4747195585637, 1012105499538}}
23：{{24, 5}, {1151, 240}, {55224, 11515}, {2649601, 552480}, {127125624, 26507525}}
24：{{5, 1}, {49, 10}, {485, 99}, {4801, 980}, {47525, 9701}}
26：{{51, 10}, {5201, 1020}, {530451, 104030}, {54100801, 10610040}, {5517751251, 1082120050}}
27：{{26, 5}, {1351, 260}, {70226, 13515}, {3650401, 702520}, {189750626, 36517525}}
28：{{127, 24}, {32257, 6096}, {8193151, 1548360}, {2081028097, 393277344}, {528572943487,
　　 99890897016}}
29：{{9801, 1820}, {192119201, 35675640}, {3765920568201, 699313893460}, {73819574785756801,
　　 13707950903927280}, {1447011301184484245001, 268703252919468649100}}
30：{{11, 2}, {241, 44}, {5291, 966}, {116161, 21208}, {2550251, 465610}}
31：{{1520, 273}, {4620799, 455910}, {10881980810, 1329864627}, {27795255169501,
　　3170260455180}, {69078702089829860, 8063643729550773}}
32：{{17, 3}, {577, 102}, {19601, 3465}, {665857, 117708}, {22619537, 3998607}}
33：{{23, 4}, {1057, 184}, {48599, 8460}, {2234497, 388976}, {102738263, 17884436}}
34：{{35, 6}, {2449, 420}, {171395, 29394}, {11995201, 2057160}, {839492675, 143971806}}
35：{{6, 1}, {71, 12}, {846, 143}, {10081, 1704}, {120126, 20305}}
37：{{73, 12}, {10657, 1752}, {1555849, 255780}, {227143297, 37342128}, {33161365513,
　　5451694908}}
38：{{37, 6}, {2737, 444}, {202501, 32850}, {14982337, 2430456}, {1108490437, 179820894}}
39：{{25, 4}, {1249, 200}, {62425, 9996}, {3120001, 499600}, {155937625, 24970004}}
40：{{19, 3}, {721, 114}, {27379, 4329}, {1039681, 164388}, {39480499, 6242415}}
41：{{2049, 320}, {8396801, 1311360}, {34410088449, 5373952960}, {141012534067201,
　　22022457918720}, {577869330197301249, 90248027176961600}}
42：{{13, 2}, {337, 52}, {8749, 1350}, {227137, 35048}, {5896813, 909898}}
43：{{3482, 531}, {24248647, 3697884}, {168867574226, 25752063645}, {1175993762661217,
　　179337367525896}, {8189620394305140962, 1248905401698276099}}
44：{{199, 30}, {79201, 11940}, {31521799, 4752090}, {12545596801, 1891319880},
　　{4993116004999, 752740560150}}
45：{{161, 24}, {51841, 7728}, {16692641, 2488392}, {5374978561, 801254496}, {1730726404001,
　　258001459320}}
46：{{24335, 3588}, {1184384449, 174627960}, {57643991108495, 8499142809612},
　　{2805533046066067201, 413653280369188080}, {136545293294391499564175,
　　20132505147069241043988}}
47：{{48, 7}, {4607, 672}, {442224, 64505}, {42448897, 6191808}, {4074651888, 594349063}}
48：{{7, 1}, {97, 14}, {1351, 195}, {18817, 2716}, {262087, 37829}}
50：{{99, 14}, {19601, 2772}, {3880899, 548842}, {768398401, 108667944}, {152139002499,
　　21515704070}}


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年３月７日付け）

　「２章　Pell方程式と連分数展開 」において、

連分数展開　√94＝9 [1, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 8, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 18]　から、Pell方程式の初期解

　ｘ＝2143295　、ｙ＝221064

となるまでしか在りません....。

　203586164707  のとき、√203586164707 の連分数展開を求め、Pell方程式の初期解を求
めてください。（→　参考：「ルートの整数部分，小数部分」）


　ＧＡＩ さんが、ペル方程式から、少し拡張した「変形ペル方程式」について考察された。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年４月４日付け）

　ｘ² - Dｙ² = L　を満たす自然数(ｘ，ｙ)の変化を調査してみました。

　当ＨＰ読者のＨＮ「ｋ．ｎｉｋａ」さんからの質問です。（平成２４年１０月１１日付け）

　ペル方程式　ｘ²−Ｄｙ²＝１　において、Ｄの値が１００桁であっても多項式時間内で答えを
出す事は可能でしょうか？また、ｘ²−Ｄｙ＝１　において、Ｄの値のみから ｘ、ｙ を求める事
は可能でしょうか？

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんからのコメントです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年１０月１２日付け）

　「国立情報学研究所ニュース 第19号」に、「特に、素因数分解、離散対数、ペルの方程式
については、古典の best-known のアルゴリズムはいずれも sub exponential time かかる
が、量子計算だと多項式時間で答えをだすことができる。」と書かれていますので、今のとこ
ろ無理っぽいです。

　また、ｘ²−Ｄｙ＝１　について、ｙ＝D＋２、ｘ＝D＋１ が解の一つですね。

　ｋ．ｎｉｋａ さんからのコメントです。（平成２４年１０月１２日付け）

　多項式時間内で可能であれば素因数分解に使えそうだったのですが、残念です。ありがと
うございした。


（追記）　令和３年４月２５日付け

　直角三角形の直角を挟む２辺の長さが１の場合を考える。

　このような性質を持つ場合で、斜辺の長さが最も短いのは、（３，４，５）の直角三角形であ
る。

　２番目に短いのは、　（２０，２１，２９）の直角三角形

　３番目に短いのは、　（１１９，１２０，１６９）の直角三角形

である。

　４番目に短いのは、どんな直角三角形のときであろうか？

　この問題の解決のために、ペル方程式の理論が活躍することを最近知ることが出来た。

　任意の自然数 α＞β に対して、ピタゴラス数は、次の３つの数の組で与えられる。

　　　　　　ｃ＝α²＋β²　、　ａ＝α²−β²　、　ｂ＝２αβ

　このとき、　ｃ²＝ａ²＋ｂ²　が成り立つ。（→　参考：「ヘロン数とピタゴラス数」）

　整数 ｘ、ｙ に対して、　α＝ｘ＋ｙ　、β＝ｙ　とおくと、

　　ａ＝ｘ²＋２ｘｙ　、ｂ＝２ｙ（ｘ＋ｙ）　、ｃ＝ｘ²＋２ｘｙ＋ｙ²

と書ける。この整数 ｘ、ｙ は、次のペル方程式の解となる。

　　ｘ²−２ｙ²＝±１

実際に、　ａ−ｂ＝ｘ²＋２ｘｙ−２ｙ（ｘ＋ｙ）＝ｘ²−２ｙ²＝±１　から明らかだろう。

　ピタゴラス数が、ペル方程式により機械的に求められることに感動を覚える。

　ペル方程式の理論によれば、方程式 ｘ²−２ｙ²＝±１ のｋ番目の正の整数解（ｘ_ｋ，ｙ_ｋ）は、

　　（１＋）^ｋ＝ｘ_ｋ＋ｙ_ｋ

により、求められる。

実際に、

　ｋ＝１ のとき、　１＋＝ｘ₁＋ｙ₁　より、　ｘ₁＝１、ｙ₁＝１

　　このとき、　α＝ｘ₁＋ｙ₁＝２　、β＝ｙ₁＝１　から、

　　　ｃ＝α²＋β²＝５　、　ａ＝α²−β²＝３　、　ｂ＝２αβ＝４

を得る。

　ｋ＝２ のとき、　（１＋）²＝３＋２＝ｘ₂＋ｙ₂　より、　ｘ₂＝３、ｙ₂＝２

　　このとき、　α＝ｘ₂＋ｙ₂＝５　、β＝ｙ₂＝２　から、

　　　ｃ＝α²＋β²＝２９　、　ａ＝α²−β²＝２１　、　ｂ＝２αβ＝２０

を得る。

　ｋ＝３ のとき、　（１＋）³＝７＋５＝ｘ₃＋ｙ₃　より、　ｘ₃＝７、ｙ₃＝５

　　このとき、　α＝ｘ₃＋ｙ₃＝１２、、β＝ｙ₃＝５　から、

　　　ｃ＝α²＋β²＝１６９　、　ａ＝α²−β²＝１１９　、　ｂ＝２αβ＝１２０

を得る。

　ｋ＝４ のとき、　（１＋）⁴＝１７＋１２＝ｘ₄＋ｙ₄　より、　ｘ₄＝１７、ｙ₄＝１２

　　このとき、　α＝ｘ₄＋ｙ₄＝２９、、β＝ｙ₄＝１２　から、

　　　ｃ＝α²＋β²＝９８５　、　ａ＝α²−β²＝６９７　、　ｂ＝２αβ＝６９６

を得る。



　　以下、工事中！