平方数となる和　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　自然数の１から ｎ までの和を考える。

　　　　　　　　　　　　１＝１²
　　　　　　　　　 １＋２＝３
　　　　　　　１＋２＋３＝６
　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
　　　 １＋２＋・・・＋７＝２８
　１＋２＋・・・＋７＋８＝３６＝６²

　上記の計算から分かるように、自然数の１から ｎ までの和には、平方数となる場合とそう
でない場合がある。

　平方数となる場合は、ｎ ＝ １、８、・・・ である。

そこで、問題である。和が平方数となるような ｎ を、１、８ 以外にもう ３ 個あげよ。



























（答）　自然数の １ から ｎ までの和は、ｎ（ｎ＋１）/２ で与えられる。

　　　ｎ＝２ｋ のとき、ｎ（ｎ＋１）/２＝ｋ（２ｋ＋１）

　　　ｎ＝２ｋ－１ のとき、ｎ（ｎ＋１）/２＝ｋ（２ｋ－１）

　　として、１≦ｋ≦１０００ の場合について、表計算ソフトＥｘｃｅｌ を活用し調べた。

　　その結果、次の場合に平方数になることが分かった。　　　　

ｋ≧１０００ の ｋ については調べていないが、まだまだありそうである。ｋ＝８４１の次にどの
値で平方数となるのであろうか？興味は尽きないが、読者の計算にまかせようと思う。

　この問題について、理論的な解法を試みようとしたが、まだ思案中である。理論的な解法
ができた方、メールでお知らせください。


（追記）　Ｗｅｂサイト「数理パズル入門」を運営されている未菜実さんからメールを頂戴した。

　『　自然数の １ から ａ_ｎ までの和が平方数になるとき、次のような関係式が成り立つ。

　　ａ_n+2 ＝ ６ａ_n+1－ａ_n＋２

　ａ₁＝１、ａ₂＝８　なので、

　1　、　8　、　49　、　288　、　1681　、　9800　、　57121　、　332928　、1940449　、

11309768　、　 65918161　、　384199200　、　2239277041、13051463048　、

76069501249　、　 443365544448　、　2584123765441、15061377048200　、

87784138523761　、　 511643454094368　、　・・・

という数列を得る。』とのことである。

　いままで、別な見方（偶奇の場合わけによる証明）をしていて、上記のような関係式には
気づかなかった。

　確かに、両隣の２数の和から２を引いたものは、真ん中の数の６倍に等しくなっている。

実際に、　　１＋　　４９－２＝　　４８＝６×　　８
　　 　　８＋　２８８－２＝　２９４＝６×　４９
　　　　４９＋１６８１－２＝１７２８＝６×２８８
　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

このことから、　　ａ_n+2＋ ａ_n － ２ ＝６ａ_n+1

という漸化式が成り立つことが推測される。

　ただ問題は、最初のいくつかの項で成り立つからといって、それを一般化してよいかどうか

である。その証明は、私自身まだ得ていない。今後の研究課題として残しておこうと思う。

　ここでは、未菜実さんの結果を用いて、一般項 ａ_ｎ （ｎ≧３）を求めてみた。

　

ただし、α＝３＋２、β＝３－２　とする。


（参考）　未菜実さんから、次のようなホームページがあることを教わりました。

　　オンライン整数列大事典・・・検索ページのみ日本語で、あとは全部英語です！

　このホームページで、「１，８，４９」　と入力して検索をかけると、上記の問題が出現する。
記述されていることから、上記の漸化式は常に成り立つことが分かる。

（いろいろなページを参照していて、まだ全貌を把握しきれていません。詳しいコメントは控
えたいと思います。有用なホームページを紹介して頂いた未菜実さんに感謝します。）


（追記）　広島工業大学の大川研究室より、上記の漸化式は、ペル方程式の解を利用して
　　　　求められること、そして、実際の求め方をご教授いただいた。

　　寄せられた解法を、私なりに咀嚼して、以下のようにまとめてみた。以下の解答は、全
　面的に大川研究室に依るところ大である。大川研究室に感謝したい。

　自然数の １ から ｍ までの和が平方数になるとき、ｍ を小さい順に並べて、数列 { ａ_ｎ ｝
を作る。和の公式から、

　ａ_ｎ（ａ_ｎ＋１）＝２・（平方数）

となる。明らかに、ａ_ｎ と ａ_ｎ＋１ は互いに素であるので、

　ａ_ｎ＝Ａ²、ａ_ｎ＋１＝２Ｂ²　　（Ａ、Ｂは互いに素な自然数）　（→　Ａ²－２Ｂ²＝－１）

または、

　ａ_ｎ＝２Ｂ²、ａ_ｎ＋１＝Ａ²　　（Ａ、Ｂは互いに素な自然数）　（→　Ａ²－２Ｂ²＝１）

とおける。

　このとき、（Ｘ，Ｙ）＝（Ａ，Ｂ）は、ペル方程式 Ｘ²－２Ｙ²＝±１　の解となる。

このペル方程式の最小の解は、（１，１）である。

解 （１，１） は、等式 Ｘ²－２Ｙ²＝－１　を満たす。また、ａ₁＝１²＝１　である。

また、ペル方程式の性質から、ペル方程式の全ての解は、(１＋)^ｎ により与えられる。

すなわち、　(１＋)^ｎ＝ｘ_ｎ＋ｙ_ｎ　とおくと、　Ａ＝ｘ_ｎ　、Ｂ＝ｙ_ｎ　である。

しかも、　ｘ_ｎ＋ｙ_ｎ＝(１＋)^ｎ　から、　ｘ_ｎ－ｙ_ｎ＝(１－)^ｎ　なので、

　　ｘ_ｎ²－２ｙ_ｎ²＝(－１)^ｎ　　が成り立つ。

ここで、

　(１＋)^ｎ＋1＝(１＋)^ｎ(１＋)＝(ｘ_ｎ＋ｙ_ｎ)(１＋)＝ｘ_ｎ＋２ｙ_ｎ＋(ｘ_ｎ＋ｙ_ｎ)

なので、　ｘ_ｎ＋1＝ｘ_ｎ＋２ｙ_ｎ　　、ｙ_ｎ＋1＝ｘ_ｎ＋ｙ_ｎ　が成り立つ。

　このとき、　ｘ_ｎ＋2＝ｘ_ｎ＋1＋２ｙ_ｎ＋1＝ｘ_ｎ＋２ｙ_ｎ＋２(ｘ_ｎ＋ｙ_ｎ)＝３ｘ_ｎ＋４ｙ_ｎ

　　　　　ｙ_ｎ＋2＝ｘ_ｎ＋1＋ｙ_ｎ＋1＝ｘ_ｎ＋２ｙ_ｎ＋ｘ_ｎ＋ｙ_ｎ＝２ｘ_ｎ＋３ｙ_ｎ

である。

　以上から、ｎ が偶数のとき、ｘ_ｎ²－２ｙ_ｎ²＝(－１)^ｎ＝１　なので、ａ_ｎ＝２Ｂ²＝２ｙ_ｎ²

　　ｎ が奇数のとき、ｘ_ｎ²－２ｙ_ｎ²＝(－１)^ｎ＝－１　なので、ａ_ｎ＝Ａ²＝ｘ_ｎ²

したがって、ｎ が偶数のとき、

ａ_n+2－６ａ_n+1＋ ａ_n

＝ ２ｙ_ｎ＋2²－６ｘ_ｎ＋1²＋２ｙ_ｎ²

＝ ２(２ｘ_ｎ＋３ｙ_ｎ)²－６(ｘ_ｎ＋２ｙ_ｎ)²＋２ｙ_ｎ²

＝ ２ｘ_ｎ²－４ｙ_ｎ²

＝ ２(ｘ_ｎ²－２ｙ_ｎ²)

＝ ２　　（←　ｘ_ｎ²－２ｙ_ｎ²＝１）

同様にして、 ｎ が奇数のとき、

ａ_n+2－６ａ_n+1＋ ａ_n

＝ ｘ_ｎ＋2²－６・２ｙ_ｎ＋1²＋ｘ_ｎ²

＝ (３ｘ_ｎ＋４ｙ_ｎ)²－１２(ｘ_ｎ＋ｙ_ｎ)²＋ｘ_ｎ²

＝ －２ｘ_ｎ²＋４ｙ_ｎ²

＝ －２(ｘ_ｎ²－２ｙ_ｎ²)

＝ ２　　（←　ｘ_ｎ²－２ｙ_ｎ²＝－１）

　以上から、何れにしても、漸化式　ａ_n+2－６ａ_n+1＋ ａ_n ＝２　が成り立つ。

（注意）　漸化式の形は、ｎ ＝ １，２，３ の場合から、成り立つことが予想され、上記の証明
　　　　　は、そのことを一般的に示したものである。

　なぜかしら、「ａ_n+2－６ａ_n+1＋ ａ_n」が天下り的に見えるが、これは、実験の結果であって、
決して天下り的ではないことに注意する。


（追記）　平成２０年１２月４日付け

　北里大学理学部・海洋生命科学部の２００８年度入試問題に、上記の話題が出題された。

　問題文が割と長文で、何が問題なのかと突っ込みたくなるような饒舌すぎる出題であるが、
そこを我慢して読み解くと、「ペル方程式」に関する問題で、理論的背景を知っていれば楽し
い話題の問題に仕上がっている。

　ただ、受験生にとっては意味不明な説明が続き、自分が何をどう計算すればよいのやら
結構まごつくような出題となっている。そう言う意味では、入試問題としてはちょっと専門的
すぎるのかなという印象である。

　一部文言等を修正して検討してみよう。

（１）　段を増やしながら、碁石を正三角形状に並べるとき必要な碁石の数を「三角数」とい

　　い、第 ｎ 番目のそれを Ｔ_ｎ で表す。このとき、一般の ｎ に対して、Ｔ_ｎ を求めよ。

　　（もちろん、Ｔ_ｎ＝ｎ（ｎ＋１）/２　が答え　）

（２）　同様にして、碁石を正方形状に並べるとき必要な碁石の数を「四角数」といい、第 ｎ

　　番目のそれを Ｓ_ｎ で表す。このとき、一般の ｎ に対して、Ｓ_ｎ を求めよ。

　　（もちろん、Ｓ_ｎ＝ｎ²　が答え　）

（３）　三角数でありかつ四角数である数を仮に「三角四角数」と呼ぶ。明らかに数「１」は、

　　三角四角数の最初のものである。一般の三角四角数を求める方法を考えよう。

　　　ある自然数 ｍ 、 ｎ の組によって、Ｓ_ｍ＝Ｔ_ｎ となっていたとする。

　　このとき、ある変数変換によって、等式 Ｓ_ｍ＝Ｔ_ｎ は、

　　　ｘ²－２ｙ²＝１　（ｘ、ｙ は自然数）

　と書き直される。

　　（もちろん、（２ｎ＋１）²－２（２ｍ）²＝１　から、　ｘ＝２ｎ＋１、ｙ＝２ｍ　と変数変換すればよい　）

　このとき、　（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＝１　と因数分解できるので、両辺を平方して、

　　（ｘ＋ｙ）²（ｘ－ｙ）²＝１

　少し変形して、　Ｘ²－２Ｙ²＝１　を得る。このとき、Ｘ、Ｙ を ｘ 、 ｙ を用いて表せ。

　　（もちろん、（ｘ²＋２ｙ²）²－２（４ｘｙ）²＝１　から、　Ｘ＝ｘ²＋２ｙ²、Ｙ＝４ｘｙ　と変数変換すればよい　）

　この式から、自然数の組（Ｘ、Ｙ）は、方程式 ｘ²－２ｙ²＝１ の新しい解となることが分かる。

　よって、これから新しい三角四角数が得られることになる。

（４）　一般の三角四角数を与える（ ｘ_ｎ ，ｙ_ｎ ）は、以下のようにして得られることが知られ
　　ている。

　　　ｘ_ｎ＋ｙ_ｎ＝（ ｘ₁＋ｙ₁）^ｎ　　（ ｎ＝１、２、・・・ ）

　ここで、 ｘ₁、ｙ₁ は、三角四角数の最初のもの「１」を与える数の組である。ｘ₁、ｙ₁ を求めよ。

　　（もちろん、ｍ＝１、ｎ＝１　の場合なので、ｘ₁＝３、ｙ₁＝２　が答え　）

（５）　（４）の式は次のように漸化式の形にも書くことができる。

　　ｘ_ｎ+1＋ｙ_ｎ+1＝（ ３＋２）（ ｘ_ｎ＋ｙ_ｎ）

　ここで、 ｘ_ｎ、ｙ_ｎ、ｘ_ｎ+1、ｙ_ｎ+1 が自然数であることに注意すれば、この関係式は、

　　ｘ_ｎ+1、ｙ_ｎ+1 を ｘ_ｎ、ｙ_ｎ で表した式に書き直すことができる。その関係式を求めよ。

　　（もちろん、ｘ_ｎ+1＝３ｘ_ｎ＋４ｙ_ｎ、ｙ_ｎ+1＝２ｘ_ｎ＋３ｙ_ｎ　が答え　）

（６）　こうして得られる三角四角数は、初項を１として、次からを順に書け。

　　（６）の解答：　ｘ₁＝３、ｙ₁＝２　より、ｘ₂＝３ｘ₁＋４ｙ₁＝１７ 、 ｙ₂＝２ｘ₁＋３ｙ₁＝１２

　　なので、　１２＝２ｍ　より、　ｍ＝６　　よって、２番目の三角四角数は、　６²＝３６

　　同様にして、　ｘ₂＝１７ 、 ｙ₂＝１２　より、ｘ₃＝３ｘ₂＋４ｙ₂＝９９、　ｙ₃＝２ｘ₂＋３ｙ₂＝７０　なので、

　７０＝２ｍ　より、　ｍ＝３５　　よって、３番目の三角四角数は、　３５²＝１２２５

　　同様にして、　ｘ₃＝９９ 、 ｙ₃＝７０　より、ｘ₄＝３ｘ₃＋４ｙ₃＝５７７、　ｙ₄＝２ｘ₃＋３ｙ₃＝４０８　なので、

　４０８＝２ｍ　より、　ｍ＝２０４　　よって、４番目の三角四角数は、　２０４²＝４１６１６

　　以上から、　１ ， ３６ ， １２２５ ， ４１６１６ ， ・・・　　（終）

（コメント）　ペル方程式の問題としては、基本的ですね！


　この話題について、攻略法さんが考察された。（平成２２年１２月１５日付け）

問　題　　Nまでの自然数を一列に並べる。ある数字の「左側の数字の和」と「右側の

　　　　数字の和」が等しくなるようなNと「ある数字」はいくつか？

（例）　Ｎ＝８　の場合、並びは、「　１，２，３，４，５，６，７，８　」　である。

　　　１＋２＋３＋４＋５＝７＋８　なので、ある数は、「６」である。

（解１）　並びを、「　１，２，３，・・・，ｋ，・・・，Ｎ　」とする。

　左辺の並び　「　１，２，３，・・・，ｋ－１　」 の和は、　(ｋ－１)ｋ/２

　右辺の並び　「　ｋ＋１，ｋ＋２，ｋ＋３，・・・，Ｎ　」の和は、　Ｎ(Ｎ＋１)/２－ｋ(ｋ＋１)/２

　左辺＝右辺より、　(ｋ－１)ｋ/２＝Ｎ(Ｎ＋１)/２－ｋ(ｋ＋１)/２

　　∴　ｋ²＝Ｎ(Ｎ＋１)/２

　以下、Ｎ までの和が平方数になるものを見つければよい。

　　Ｎ＝１　のとき、　１・２/２＝１＝１²　より、　ｋ＝１

　　Ｎ＝８　のとき、　８・９/２＝３６＝６²　より、　ｋ＝６

　　Ｎ＝４９　のとき、　４９・５０/２＝１２２５＝３５²　より、　ｋ＝３５

　　Ｎ＝２８８　のとき、　２８８・２８９/２＝４１６１６＝２０４²　より、　ｋ＝２０４

　　　・・・・・・・・・　　（終）

（解２）（ラマヌジャンによる連分数での解答より）

　並びを、「　１，２，３，・・・，ｋ，・・・，Ｎ　」とする。

の連分数近似を ａ/ｂ とすると、 ｋ＝ａｂ　、Ｎ＝Ｍｉｎ(ａ²，２ｂ²)となる。

例　＝[1；2，2，2，・・・]　である。

　[1；2]　の場合　ａ/ｂ＝３/２　より、　ｋ＝３×２＝６　、Ｎ＝Ｍｉｎ(３²，２・２²)＝８

∴　並びは、「　１，２，３，４，５，（６），７，８　」

[1；2，2]　の場合　ａ/ｂ＝７/５　より、　ｋ＝７×５＝３５　、　Ｎ＝ＭＩＮ（７²，２・５²）＝４９

∴　並びは、「　１，２，・・・，３４，（３５），３６，・・・，４９　」

[1；2，2，2]　の場合　ａ/ｂ＝１７/１２　より、　ｋ＝１７×１２＝２０４　、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｎ＝Ｍｉｎ（１７²，２・１２²）＝２８８

∴　並びは、「　１，２，・・・，２０３，（２０４），２０５，・・・，２８８　」

以下同様に続く。　　（終）

その他に

（解３）　(ｋ－１)ｋ/２＝ｎ(ｎ＋１)/２－ｋ(ｋ＋１)/２　より、ｎ についての２次方程式

　　　ｎ²＋n－２ｋ²＝０　（ｋ＝1,2,3,…）　に対して、０より大きい整数の解をもてばよい。

類　題　　Nまでの自然数を一列に並べて、左と右の２つに分ける。

　　　「左側の数字の和」と「右側の数字の和」が等しくなるようなNとその分割位置は？

　換言すれば、

　　　　１＋２＋３＋・・・＋ｋ＝（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋（ｋ＋３）＋・・・＋Ｎ

　　を満たす自然数ｋ，Ｎ を求めよ。

（解１）　左辺＝右辺より、 k(ｋ＋１)/２＝Ｎ(Ｎ＋１)/２－ｋ(ｋ＋１)/２

　　　よって、ｎ についての２次方程式　ｎ²＋n－２ｋ（ｋ＋１）＝０　（ｋ＝１，２，３，・・・）　に

　　対して、０より大きい整数の解をもてばよい。　　（終）

（解２）　「左辺が全体の和の半分に等しい」より、　ｋ(ｋ＋１)/２＝ｎ（ｎ＋１）/４

　　　　ｋは、SQR(ｎ（ｎ＋１）/2)の位置と推定される。

　　具体的に求めると、

　　　１＋２＝３ （＝３ ）

　　　１＋・・・＋１４＝１５＋・・・＋２０ （＝１０５）

　　　１＋・・・＋８４＝８５＋・・・＋１１９（＝３５７０）

　　　１＋・・・＋４９２＝４９３＋・・・＋６９６（＝１２１２７８）

　　　１＋・・・＋２８７０＝２８７１＋・・・＋４０５９（＝４１１９８８５）

　　　１＋・・・＋１６７３０＝１６７３１＋・・・＋２３６６０（＝１３９９５４８１５）

　など　　（終）


　次の問題も表現は違うが冒頭の問題と同趣旨の問題である。

問題　碁石がｎ個あり、これは、正三角形状にも正方形状にも並べることができる。このと
　　　き、ｎの値と正三角形の底辺の個数ａ、正方形の１辺の個数ｂを求めよ。

（解）　題意より、　ｎ＝ａ（ａ＋１）/２＝ｂ²　で、ａ²＋ａ－２ｂ²＝０

　　すなわち、　（２ａ＋１）²－２（２ｂ）²＝１　が成り立つようなａ、ｂの値を求めればよい。

　このペル方程式の一般解は、　２ａ＋１＋（２ｂ）＝（１＋）^ｍ　（ｍ：自然数）

　２ｂが偶数なので、ｍ＝２、４、６、・・・とすると、

ｍ＝２　のとき、　２ａ＋１＋（２ｂ）＝（１＋）²　即ち、２ａ＋１＋（２ｂ）＝３＋２　より、　

　　ａ＝１、ｂ＝１　　このとき、ｎ＝１

ｍ＝４　のとき、　２ａ＋１＋（２ｂ）＝（１＋）⁴　即ち、２ａ＋１＋（２ｂ）＝１７＋１２　より、　

　　ａ＝８、ｂ＝６　　このとき、ｎ＝３６

ｍ＝６　のとき、　２ａ＋１＋（２ｂ）＝（１＋）⁶　即ち、２ａ＋１＋（２ｂ）＝９９＋７０　より、　

　　ａ＝４９、ｂ＝３５　　このとき、ｎ＝１２２５

　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


　「不思議な繋がり」と題して、ＧＡＩさんからのコメントです。（平成２８年８月２１日付け）

cosx
cos2x=2cos²x-1
cos3x=4cos³x-3cosx
cos4x=8cos⁴x-8cos²x+1
cos5x=16cos⁵x-20cos³x+5cosx

から、

f₁(t)=t
f₂(t)=2t²-1
f₃(t)=4t³-3t
f₄(t)=8t⁴-8t²+1
f₅(t)=16t⁵-20t³+5t

とする。ここに、

a(1)=(f₁(3)-1)/2=(3-1)/2=1
a(2)=(f₂(3)-1)/2=(17-1)/2=8
a(3)=(f₃(3)-1)/2=(99-1)/2=49
a(4)=(f₄(3)-1)/2=(577-1)/2=288
a(5)=(f₅(3)-1)/2=(3363-1)/2=1681

　このとき、実際

1=1²
1+2+3+･･･+8=36=6²
1+2+3+･･･+49=1225=35²
1+2+3+･･･+288=41616=204²
1+2+3+･･･+1681=1413721=1189²　　（めでたし、めでたし）

さらに、(3+w)ⁿを展開し、w²=8で置き換えると(複素数で、i²=-1 をw²=8 にする感覚)

(3+w)¹=3+w
(3+w)²=9+6w+w²=9+6w+8=17+6w
(3+w)³=27+27w+9w²+w³=27+27w+9*8+8w=99+35w
(3+w)⁴=81+108w+54w²+12w³+w⁴=81+108w+54*8+12*8w+8²=577+204w
(3+w)⁵=243+405w+270w²+90w³+15w⁴+w⁵=3363+1189w

これから、

((3+w)¹-1)/2=(2+w)/2=1+w/2
((3+w)²-1)/2=(16+6w)/2=8+3w
((3+w)³-1)/2=(98+35w)/2=49+35w/2
((3+w)⁴-1)/2=(576+204w)/2=288+102w
((3+w)⁵-1)/2=(3362+1189w)/2=1681+1189w/2

　この結果のwの部分を外して(複素数での実数部に相当)

　1、8、49、288、1681　　（めでたし、めでたし）


（コメント）　本当に不思議な繋がりですね！驚きました。ＧＡＩさんに感謝します。


　冒頭の問題の関連で、ＧＡＩさんからのコメントです。（平成２８年８月２２日付け）

　1からの平方数の和が平方数になるのは、

　１²＝１²　、１²＋２²＋３²＋･･･＋２４²＝４９００＝７０²

だけしか見つけられないが、これ以上範囲を広げても存在しないことは証明できるのでしょう
か？


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年８月２２日付け）

　リュカのキャノンボール問題ですね。その２つしか解はないと証明されているそうですが、証
明は大変そう。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２８年８月２２日付け）

　１からの立方数の和が平方数、即ち、ｎ²（ｎ＋１）²/４＝ｍ²　となるのは、たくさんある。
（→　参考）

　例えば、　１³＝１²　、１³＋２³＝９＝３²　、１³＋２³＋３³＝３６＝６²　、
　　　　　　１³＋２³＋３³＋４³＝１００＝１０²　、１³＋２³＋３³＋４³＋５³＝２２５＝１５²
　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・


　ＧＡＩさんからのコメントです。（平成２８年８月２３日付け）

　たまたま、２つの平方和が立方数になるものを探していたら、「85、170、265」の数が特別
平方和と相性がよいことを見つけた。

85^3=51^2+782^2=170^2+765^2=210^2+755^2=285^2+730^2=323^2+714^2=413^2+666^2
　　=478^2+621^2=510^2+595^2

170^3=170^2+2210^2=286^2+2198^2=506^2+2158^2=782^2+2074^2=890^2+2030^2
　　=1090^2+1930^2=1190^2+1870^2=1462^2+1666^2

265^3=424^2+4293^2=795^2+4240^2=1160^2+4155^2=1565^2+4020^2=1908^2+3869^2
　　=2277^2+3664^2=2628^2+3421^2=2915^2+3180^2

と、断トツにパターンが多い。この３例はお互い関連し合っているのか？また、もっと範囲を
広げた場合、これを越えるパターン数を持つものがあるのだろうか？
（自分のプロブラムでは今のところこれに勝る数を見つけていないので）

　背景にある理屈は何なんだろうか？


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２８年８月２３日付け）

　かなりあります。（→　計算例）


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年８月２３日付け）

　65^3、130^3、145^3、185^3、221^3　等も多そうですが……。その先は、325^3とか。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２８年８月２３日付け）

8通り： 65, 85, 130, 145, 170, 185, 205, 221, 260, 265, 290, 305, …
14通り： 325, 425, 650, 725, 845, 850, 925, 1025, 1300, 1325, …
32通り： 1105, 1885, 2210, 2405, 2465, 2665, 3145, 3445, 3485, 3770, …
56通り： 5525, 9425, 11050, 12025, 12325, 13325, 14365, 15725, 17225, 17425, …
80通り： 27625, …
128通り： 32045, 40885, …

　上にある数を素因数分解すると、

　　(2^a)Π(p[k]^q[k])　（aは非負整数、p[k]は4n+1型の素数、q[k]は非負整数）

の形になっており、この指数との関係を調べてみると、

　　[{Π(3q[k]+1)}/2]通り　（[　]はガウス記号）

となっていることがわかります。

　例えば、　5525=5^2*13*17　のとき、指数は、「2,1,1,0,0,…」なので、

[(3*2+1)(3*1+1)(3*1+1)(3*0+1)(3*0+1)…/2]=[7*4*4/2]=56通り

また、試しに、5*13*17*29*37=1185665で何通りになるかを数えてみると、確かに512通りに
なっていました。


　ＧＡＩさんからのコメントです。（平成２８年８月２４日付け）

　私のプログラムの方法では、ここまでのデータを揃えるまでには永遠の時間がかかりそう
です。なんと何通りの表現が可能かが式に出来るんですね。

　元はと言えばガウスの平方剰余やフェルマーの二平方定理、ヤコビの二平方定理等の派
生としての現象なのだろう。これから無数の方法で２つの平方和が構成できる立方数が存在
できるんですね！


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年８月２５日付け）

　ヤコビの二平方定理そのものです。ヤコビの二平方定理をわかりやすく言えば、

　「自然数Nの正の約数のうち、4で割ると1余るものがa個、4で割ると3余るものがb個あると
すると、方程式 x²＋y²＝N の整数解は、4(a-b)個ある」

というもの。内容の簡素さの割りに証明は非常に難解です。

　例えば、85^3=5^3×17^3 なら、正約数は16個全て4で割ると1余るので、 x²＋y²＝85^3
の解は、4×16=64個。

　この中には、ｘの正負が異なるだけのもの、yの正負が異なるだけのもの、ｘとyが入れ替
わっただけのものがあるので、実質的なパターン数はその1/8で8個、というわけです。

　90^3=2^3×3^6×5^3 なら、正約数112個のうち、4で割ると1余るものが16個、3余るもの
が12個なので、 x²＋y²＝90^3 の解は、4(16-12)=16個。

　この中にはｘの正負が異なるだけのもの、yの正負が異なるだけのもの、ｘとyが入れ替
わっただけのものがあるので、実質的なパターン数はその1/8で2個、というわけです。

　50^3=2^3×5^6 のような少し特殊なケースもあり、解は4×7=28個となり、8の倍数になりま
せん。

　これは、 x²＋y²＝50^3 の解の中に、ｘ=y=250 といった特殊なものがあり、このパターンの
解だけｘとyを入れ替えたものとペアになっていないため。同様に、片方が0なので符号を変え
たものとペアになっていないケースもあります。


（追記）　「平方数の和」と題して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ｋｓ」さんから、ご投
　　　　稿いただきました。（令和３年６月２０日付け）

　平方数の和が、平方になるケースが、ただ一つ存在するそうです。

　　１＋4＋9＋…＋N^2＝X^2

ただ一つだけということの証明は、難しいですか？


（コメント）　上記において、平成２８年８月２２日付けで、ＧＡＩさんから、

　1からの平方数の和が平方数になるのは、

　１²＝１²　、１²＋２²＋３²＋･･･＋２４²＝４９００＝７０²

の２つがあることが示されています。また、同日付けで、DD++さんから、

　キャノンボール問題ですね。その２つしか解はないと証明されているそうですが、証
明は大変そう。

とのコメントをいただいています。


　ＧＡＩさんからのコメントです。（令和３年６月２０日付け）

　1875年、E.Lucas により、

　Nouvelles Anales de Mathematiques,ser.2,Vol.14 p336

で初めて示し、1952年、W.Ljunggern が、

　New solution of a problem proposed by E.Lucas, Tidsskrift,Vol.34 p65-72

で別証明を示し、1966年、A.Baker and H.Davenport が、

　 The Equitions 3x^2-2＝ｙ^2 and 8x^2-7=z^2,Quarterly J.of Math.,ser 2,Vol.20 p129-37

で超越数による別証明を示し、1990年、W.S.Aglin が、

　The Square Pyramid Puzzle,The American Math.Monthly,.Vol.97,No2

で初等的証明を示している。

　石井夕紀子さんの「平方ピラミッド問題と楕円曲線の整数点」という小論文での記述より、
なお初等的証明にあたる解説がここには記述されています。

（参考文献）　tsujimotterのノートブック：「リュカのキャノンボール問題」


　ｋｓさんからのコメントです。（令和３年６月２１日付け）

　皆さん、ありがとうございます。以前に出た内容のようで、すいません。ｎ＝１も含めると、
２通あるということでした。

　解なし、一個、複数解、無限個の解をもつ場合と連立方程式の解の場合にありますが、
一個と複数解は、同じ範疇になるような種数による定理があったような気がしますが。

　フェルマーの定理は、自然数解に限るので、０も含めると解があることになるので不思議
な気がします。

　ｘ＾２－２＝ｙ＾３　未定？
　ｘ＾２－１＝ｙ＾３　の解は、３＾２－１＝２＾３
　ｘ＾２＝y＾３の解は、８＾２＝４＾３
　ｘ＾２＋１＝ｙ＾３　未定　証明済み？
　ｘ＾２＋２＝ｙ＾３の解は、５＾２＋２＝３＾３

　簡単な式で、見つかりそうで見つからない式を教えてください。


　ＧＡＩさんからのコメントです。（令和３年６月２１日付け）

　y^2=x^3-63
　y^2=x^3+8
　y^2=x^3+9
　y^2=x^3+17
　y^2=x^3+24
　y^2=x^3+100
　y^2=x^3+225
　y^2=x^3+297
　y^2=x^3+873

あたりが面白いかも．．．。特にお薦めは、+225の場合で、26組の解を有します。最後の一
つが他のxの値に較べて桁違いに大きくずれて存在しています。(6桁の整数になります。）

　「A081119」、「A081120」あたりを参考に。また自然数解に限るなら、

　(a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)=55
　(a+b+c)/(1/a+1/b+1/c)=55

など。


　Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからのコメントです。（令和３年７月１日付け）

　(a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)=55　の自然数解は、[a:b:c]=[1 : 14 : 35]、[2 : 5 : 70]、・・・であり、
思ったよりも容易に発見できます。

　例として挙げるなら、

  (a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)=822

の方が難しいです。こちらの自然数解は、

[a:b:c]=[1487086426032164009808274831628854394782474029491835
　　　　　 : 74920683048331654905772370789777086647803246714657023
　　　　　　 : 1120629035907840001601419471339269223733493518500169090]、

　　　　　[4453650779574233037588357489784909361095516711792461
　　　　　　 : 66615655067704440956368979469355048142540341895622630
　　　　　　　 : 3356153544283999439264714047874144560837484817751118894]、・・・

です。（→　参考：「(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=n (n \in [501..1000])の有理点」）


（コメント）　Ｈ．Ｎａｋａｏさん、貴重な研究結果のご提供、ありがとうございます。


　Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからのコメントです。（令和３年７月４日付け）

　不定方程式　(a+b+c)/(1/a+1/b+1/c)=55　の整数解[a:b:c] (abc≠0)について、調べてみま
した。

　abc≠0　から、c=1の場合の有理数解[a,b]を求めれば、十分である。

　c=1として、C:  b*a^2 + (b^2 - 54*b - 55)*a - 55*b=0

　u=a+b, v=a-b (逆変換は、a=(u+v)/2、b=(u-v)/2) とおくと、

      (-u + 54)*v^2 + (u^3 - 54*u^2 - 220*u)=0

　w=(u-54)*v とおくと、　w^2=u^4 - 108*u^3 + 2696*u^2 + 11880*u

　両辺に 141134400/u^4 をかけて、X=11880/u, Y=11880*w/u^2　とおくと、
(逆変換は、u=11880/X, w=11880*Y/X^2)

楕円曲線 E： Y^2=X^3 + 2696*X^2 - 1283040*X + 141134400 に変換できる。

Eのねじれ点群は、位数4の巡回群 E(Q)_{tors}=Z/4Z={[0,±11880],[220,0],O} であり、

Eのanalytic rankは0であるので、Eの有理点群の rank は、0 である。

  E(Q)={[0,±11880],[220,0],O}

Eの有理点から、逆変換を使って、Cの有理点を求めると、ab≠0 を満たす有理点は存在し
ないことが分かる。

　つまり、不定方程式 (a+b+c)/(1/a+1/b+1/c)=55 は、整数解[a:b:c] (abc≠0)を持たない。

よって、自然数解[a:b:c]も持たない。

　もし、上記の議論に誤りがある(または具体的な自然数解がある)場合は、遠慮なく、ご指
摘ください。

　GAIさんが、このこと(右辺が55の場合に自然数解が無い)を知った上であえて例に挙げた
のか、何も考えずに右辺が55の場合を例に挙げたのか、どちらなのかは分かりません。
（→　参考）


　ＧＡＩさんからのコメントです。（令和３年７月４日付け）

　a=2、b=11、c=22でどうでしょう？
（→　この場合、(a+b+c)/(1/a+1/b+1/c)=35*（11/7)=55 で、確かに自然数解になっている！）

　また、(a+b+c)/(1/a+1/b+1/c)=N で、N=11、15、54、55、95 を較べて、比較的手軽に発見
できるものとして、55 を選んでいました。（(a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)=Nも含んで）


　Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからのコメントです。（令和３年７月４日付け）

　確かに、　(2+11+22)/(1/2+1/11+1/22)=55　となるので、[2,11,22]は自然数解になります。

　誤りに気づきました。

　(a+b+c)/(1/a=1/b+1/c)=55の場合は、分子・分母の次数が違うので、[a,b,c]が解であって
も、[ta,tb,tc](t!=0)が解にならないので、c=1とおいた式は成立しないのでした。

　もう少し注意深く考えるべきでした。考え直してみます。


　Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからのコメントです。（令和３年７月５日付け）

　不定方程式　(a+b+c)/(1/a+1/b+1/c)=55　・・・　(1)　の自然数解について再考したら、もっ
と簡単な方法で解けることが分かりました。

　(1)は、a、b、c について対称なので、必要なら a、b、c を入れ替えて、1≦a≦b≦c とします。

　　a+b+c≧2+c　、1/a+1/b+1/c≦2+1/c

から、　55=(a+b+c)/(1/a+1/b+1/c)≧(2+c)/(2+1/c)=c*(2+c)/(2*c+1)

　2*c+1＞0　より、　c^2-108*c-55≦0　なので、

  c≦54+√(2971)≒108.50688029964657590208731035563426478

　ここで、cは自然数なので、　c≦108　となる。

　よって、1≦a≦b≦c≦108　の範囲で、(1)を満たす(a,b,c)を求めると、以下のようになる。

     (a,b,c)=(2,11,22)、(4,4,22)

(1)の自然数解(a,b,c)は、a、b、c を入れ替えたものを同一視すると、以下に限る。

　　　(2,11,22)、(4,4,22)


【蛇足】　同様の方法で、自然数a、b、c (1≦a≦b≦c)の範囲をもう少し狭くすることもできる
　　　　　(手間が節約できる)。

　3*a≦a+b+c≦3*c　、3/a≧1/a+1/b+1/c≧3/c

から、　(3*a)/(3/a)≦(a+b+c)/(1/a+1/b+1/c)≦(3*c)/(3/c)　すなわち、　a^2≦55≦c^2

　ここで、a、c は自然数なので、　a≦7　、8≦c　となる。

　bについては、　a+b+c≧1+b+8=b+9　、1/a+1/b+1/c≦1+1/b+1/8=(9*b+8)/(8*b)

から、　55=(a+b+c)/(1/a+1/b+1/c)≧(b+9)*(8*b)/(9*b+8)

　9*b+8>0より、　8*b^2 - 423*b - 440≦0　なので、

　　b≦(423+sqrt(193009))/16≒53.895493485504362323304441170218140329

　ここで、b は自然数なので、　b≦53　となる。

よって、1≦a≦7、a≦b≦53、max{8,b}≦c≦108　の範囲で、(1)の自然数解を探せば良い。

＃　55をnに一般化した　(a+b+c)/(1/a+1/b+1/c)=n　・・・　(2)　の自然数解も同様の方法で、
　　簡単に解くことができる。これが(2)を論文や専門書で見かけたことがなかった理由なのか
　　と思う。


　らすかるさんからのコメントです。（令和３年６月２１日付け）

　私が知っている中では、

　　a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=4　(a、b、c は自然数)

が一番かも知れません。（→　参考文献）


　「キャノンボール変形バージョン」と題して、ＧＡＩさんからご投稿いただきました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（令和３年６月２２日付け）

　キャノンボールの式　1^2+2^2+3^2+･･･+n^2=M^2　即ち、　n*(n+1)*(2*n+1)/6=M^2　に対
し、　x=2*n　、y=2*M　の置きなおしをすると、

　　x*(x+1)*(x+2)/6=y^2

よって、　6*y^2=x*(x+1)*(x+2)　なる楕円曲線が現れるので、一般にmを自然数とし、

　　m*y^2=x*(x+1)*(x+2)

を満たす自然数解(x,y)の組を、各mに対し、100までについて調べてみると、

　5*12^2 = 8*9*10
　6*1^2 = 1*2*3
　6*2^2 = 2*3*4
　6*140^2 = 48*49*50
　14*6^2 = 7*8*9
　15*2^2 = 3*4*5
　20*6^2 = 8*9*10
　21*4^2 = 6*7*8
　22*210^2 = 98*99*100
　24*1^2 = 2*3*4
　24*70^2 = 48*49*50
　29*180180^2 = 9800*9801*9802
　30*2^2 = 4*5*6
　34*12^2 = 16*17*18
　39*20^2 = 24*25*26
　45*4^2 = 8*9*10
　56*3^2 = 7*8*9
　60*1^2 = 3*4*5
　78*15^2 = 25*26*27
　80*3^2 = 8*9*10
　84*2^2 = 6*7*8
　88*105^2 = 98*99*100
　96*35^2 = 48*49*50

などがありました。更に、1^2+2^2+･･･+n^2=s*x*(x+1)*(x+2)　(s,xは自然数）　の形をとれる
様子を、nを1000までで調査すると、次のｎに対し、多くの組が存在可能になりました。

第１位；n=864

 1^2+2^2+･･･+864^2
=35894040*(1*2*3)=8973510*(2*3*4)=3589404*(3*4*5)=1794702*(4*5*6)
=1025544*(5*6*7)=640965*(6*7*8)=427310*(7*8*9)=299117*(8*9*10)
=98610*(12*13*14)=78888*(13*14*15)=31486*(18*19*20)=26988*(19*20*21)
=3633*(38*39*40)

の13組

第2位;n=175

1^2+2^2+･･･+175^2
=300300*(1*2*3)=75075*(2*3*4)=30030*(3*4*5)=15015*(4*5*6)=8580*(5*6*7)
=3575*(7*8*9)=1820*(9*10*11)=1365*(10*11*12)=1050*(11*12*13)=825*(12*13*14)
=660*(13*14*15)=195*(20*21*22)

の12組

　以下、n=832 の10組、n=287 の8組などが続きます。


　DD++さんからのコメントです。（令和３年６月２３日付け）

　　m*y^2=x*(x+1)*(x+2)

を満たす自然数解(x,y)の組を、各mに対し、100までについて調べてみると、

　解が存在する m の値は合同数に限られそうですが、範囲を広げた場合に、逆は、すなわ
ち m が合同数なら解が存在するは成り立つのでしょうか？


　Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからのコメントです。（令和４年４月２７日付け）

　上記のDD++さんからの質問に対して、結論から述べると、

　自然数解が存在すれば、mは合同数である。しかし、逆は成立しない。

つまり、m が合同数であっても、　m*y^2=x*(x+1)*(x+2)　の自然数解(x,y)が存在しない
ことがある。


[定理1]　mを正整数とする。

　m*y^2=x*(x+1)*(x+2)　がy!=0である有理数解(x,y)を持つ。<==> mは合同数である。

[証明]　　m*y^2=x*(x+1)*(x+2)の両辺にm^3を掛けて、変形すると、

m^4*y^2=m^3*x*(x+1)*(x+2)=m^3*{(x+1)*(x^2+2*x)}=m^3*{(x+1)*((x+1)^2-1)}
       　　=m^3*((x+1)^3-(x+1)}={m*(x+1)}^3-m^2*m*(x+1)

となる。ここで、双有理変換 X=m*(x+1), Y=m^2*y [逆変換は x=(X/m)-1, y=Y/m^2]によって、

     Y^2=X^3-m^2*X

に変換される。よって、

   m*y^2=x*(x+1)*(x+2)　がy!=0である有理数解(x,y)を持つ。
<====>
　 Y^2=X^3-m^2*XがY!=0である有理数解(X,Y)を持つ。

(合同数の定義により)　<====>  mは合同数である。


　mが合同数であれば、m*y^2=x*(x+1)*(x+2)　がy!=0である有理数解(x,y)を持つことは言え
るが、必ずしも、y!=0である整数解(x,y)を持つとは限らない。

例えば、7は合同数である。 7*y^2=x*(x+1)*(x+2)　は、有理数解(7/9,20/27)を持つが、y!=0
である整数解(x.y)を持たない。


[定理2]　任意の自然数xに対して、x*(x+1)*(x+2)=m*d^2　となる自然数m,d  (ただし、mは
　　　　　square-free)を定めると、mは合同数になる。

[証明]　定理1より明らか。


　定理2により、自然数xに対して、対応する合同数mを計算することができる。

　m*y^2=x*(x+1)*(x+2)　を満たす[m,x,y]の表(1≦x≦1000) は、以下の通りである。Pari/GP
で計算した。

gp> g(x)=local(y,d,m,a,s,k);y=x*(x+1)*(x+2);a=factor(y);k=matsize(a)[1];m=prod(i=1,k,a[i,1]^(a[i,2]%2));
　d=prod(i=1,k,a[i,1]^((a[i,2]-a[i,2]%2)/2));[m,x,d]
%66 = (x)->local(y,d,m,a,s,k);y=x*(x+1)*(x+2);a=factor(y);k=matsize(a)[1];m=prod(i=1,k,a[i,1]^(a[i,2]%2));
　d=prod(i=1,k,a[i,1]^((a[i,2]-a[i,2]%2)/2));[m,x,d]
gp> for(i=1,1000,print(i,":",g(i)))

　　以下、工事中！