２項係数 ｎＣｒ を計算していると、ｎ と ｒ が異なるのに、ｎＣｒ の値が同じになる場合がある。
例 3Ｃ1 ＝ 3Ｃ2 ・・・・・ これは、２項係数の対称性から自明かな？
4Ｃ2 ＝ 6Ｃ1 ・・・・・ このような式はいくらでも作れるかな？
今まで、上記のような自明な場合だけかと思ったら、意外にも、実は、そのような例で自明
でない場合も結構な数あるらしい。
例 10Ｃ4 ＝ 21Ｃ2 ＝２１０
104Ｃ39 ＝ 103Ｃ40 ≒６．１２１８２×１０28
第一式は、手計算により発見できるが、理論的背景なしに、第二式を見出すことはほとん
ど困難であろう。
第二式、即ち、ｎ＋1Ｃｒ ＝ ｎＣｒ＋1 が成り立つような ｎ と ｒ を求める問題は、実は、ペル方
程式を解く問題に還元される。
条件式を整理して、 (ｎ−ｒ＋１)(ｎ−ｒ)＝(ｒ＋１)(ｎ＋１)
すなわち、
ｎ 、ｒ の２元２次方程式 ｎ2−３ｒｎ＋ｒ2−２ｒ−１＝０ を得る。
この方程式は、図形的には双曲線となる。
ｎ の２次方程式とみて、解の公式を用いると、
ｎ が自然数なので、 ５ｒ2＋８ｒ＋４＝Ａ2 とおける。
よって、ｒ の２次方程式 ５ｒ2＋８ｒ＋４−Ａ2＝０ において、判別式を Ｄ とすると、
Ｄ/４＝１６−５(４−Ａ2)＝５Ａ2−４
ｒ が自然数なので、 ５Ａ2−４＝Ｂ2 とおける。
したがって、 Ｂ2−５Ａ2＝−４ というペル方程式に問題は帰着される。
この方程式を満たす最小の自然数は、(Ａ，Ｂ)＝(１，１) なので、ペル方程式の全ての解
は、
により与えられる。ただし、ｎ は奇数。
したがって、ｎ＝１ のとき、Ａ1＝１、Ｂ1＝１ なので、５ｒ2＋８ｒ＋３＝０
この式を満たす自然数 ｒ は存在しない。
ｎ＝３ のとき、Ａ3＝２、Ｂ3＝４ なので、５ｒ2＋８ｒ＝０
この式を満たす自然数 ｒ は存在しない。
ｎ＝５ のとき、Ａ5＝５、Ｂ5＝１１ なので、５ｒ2＋８ｒ−２１＝０
この式を満たす自然数 ｒ は存在しない。
ｎ＝７ のとき、Ａ7＝１３、Ｂ7＝２９ なので、５ｒ2＋８ｒ−１６５＝０
この式を満たす自然数 ｒ は、ｒ＝５ で、このとき、ｎ ＝ １４ （ｎ＝１は不適）
よって、 15Ｃ5 ＝ 14Ｃ6 が成り立つ。
ｎ＝９ のとき、Ａ9＝３４、Ｂ9＝７６ なので、５ｒ2＋８ｒ−１１５２＝０
この式を満たす自然数 ｒ は存在しない。
ｎ＝１１ のとき、Ａ11＝８９、Ｂ11＝１９９ なので、５ｒ2＋８ｒ−７９１７＝０
この式を満たす自然数 ｒ は、ｒ＝３９ で、このとき、ｎ ＝ １０３ （ｎ＝１４は不適）
よって、 104Ｃ39 ＝ 103Ｃ40 が成り立つ。
ｎ＝１３ のとき、Ａ13＝２３３、Ｂ13＝５２１ なので、５ｒ2＋８ｒ−５４２８５＝０
この式を満たす自然数 ｒ は存在しない。
ｎ＝１５ のとき、Ａ15＝６１０、Ｂ15＝１３６４ なので、５ｒ2＋８ｒ−３７２０９６＝０
この式を満たす自然数 ｒ は、ｒ＝２７２ で、このとき、ｎ ＝ ７１３ （ｎ＝１０３は不適）
よって、 714Ｃ272 ＝ 713Ｃ273 が成り立つ。
以下同様にして、ｎ＋1Ｃｒ ＝ ｎＣｒ＋1 を満たす ｎ と ｒ を求めることができる。
（参考文献：北村泰一 著 数論入門 （槙書店））
（追記） 上記の計算において、ｎ＋1Ｃｒ ＝ ｎＣｒ＋1 が成り立つような ｎ と ｒ は確かに存在し、
しかも ３ 個以上はあることが示された。しかしながら、解法の仕方から、不定方程式
ｎ2−３ｒｎ＋ｒ2−２ｒ−１＝０
の解が無限に存在することが自明でないような印象を受けるというご指摘を、広島工
業大学の大川研究室よりいただいた。以下では、大川研究室からいただいた証明の
指針をもとに、これらの不備を修正することができた。大川研究室に感謝したい。
ｎ 、ｒ の２元２次方程式 ｎ2−３ｒｎ＋ｒ2−２ｒ−１＝０ において、
ｎ の２次方程式とみて、解の公式を用いると、
である。よって、 (２ｎ−３ｒ)2＝５ｒ2＋８ｒ＋４ と書き直すことができる。
ところで、平方完成の公式より、 ５ｒ2＋８ｒ＋４＝５(ｒ＋4/5)2＋4/5 なので、
５(２ｎ−３ｒ)2＝５｛５(ｒ＋4/5)2＋4/5｝＝(５ｒ＋４)2＋４
即ち、 (５ｒ＋４)2−５(２ｎ−３ｒ)2＝−４ となる。ここで、 Ｘ＝５ｒ＋４ 、Ｙ＝２ｎ−３ｒ と
おけば、上記の方程式は、Ｘ2−５Ｙ2＝−４ というタイプのペル方程式である。
この方程式を満たす最小の自然数は、(Ｘ，Ｙ)＝(１，１) なので、ペル方程式の全ての解は、
α＝(１＋
)/２ に対して、αｎ （ただし、ｎ は奇数）により与えられる。即ち、αｎ＝(ｘｎ＋ｙｎ
)/２ とおくと、(Ｘ，Ｙ)＝(ｘｎ，ｙｎ) （ただし、ｎ は奇数）が解となる。ところで、 α＝(１＋
)/２ は、２次方程式 α2−α−１＝０ の解であるので、α2＝１＋α
が成り立つ。
いま、フィボナッチ数列 ｛ａｎ｝ を考える。： １、１、２、３、５、８、１３、２１、３４、５５、・・・
ａ1＝１、ａ2＝１、ａｎ+2＝ａｎ＋ａｎ+1 （ｎ≧１）なので、
上記の等式は、 α2＝１＋α＝ａ1＋ａ2α とみることができる。実は、一般に、
２以上の自然数 ｎ に対して、等式 αｎ＝ａｎ-1＋ａｎα が成り立つ。
（ ａ0＝０ とすれば、全ての自然数 ｎ に対して成り立つとしてよい。）
このことは、数学的帰納法により、簡単に示すことができる。
ｎ＝２ のとき、左辺＝α2＝１＋α 、右辺＝ａ1＋ａ2α＝１＋α より、左辺＝右辺 となり、
ｎ＝２ のとき成り立つ。次に、ｎ＝ｋ （ｋ≧２）のとき、成り立つと仮定する。即ち、
αｋ＝ａｋ-1＋ａｋα
よって、αｋ+1＝αｋ・α＝ａｋ-1α＋ａｋα2＝ａｋ-1α＋ａｋ(１＋α)＝ａｋ＋(ａｋ-1＋ａｋ)α＝ａｋ＋ａｋ+1α
から、ｎ＝ｋ＋１ のときも成り立つことが分かる。
したがって、 ２以上の自然数 ｎ に対して、等式 αｎ＝ａｎ-1＋ａｎα が成り立つ。
このことから、αｎ＝ａｎ-1＋ａｎα＝｛（２ａｎ-1＋ａｎ）＋ａｎ
｝/２ と書けるので、αｎ＝(ｘｎ＋ｙｎ
)/２ と係数比較して、ｘｎ ＝２ａｎ-1＋ａｎ＝ａｎ-1＋ａｎ-1＋ａｎ＝ａｎ-1＋ａｎ+1 、 ｙｎ ＝ａｎ
となる。（このように、ペル方程式の解が、フィボナッチ数を用いて書けるとは新鮮な驚きである！）
いま、ｎ＝７ のときを考えると、 ｘ7 ＝ａ6＋ａ8＝８＋２１＝２９ 、 ｙ7 ＝ａ7＝１３ なので、
５ｒ＋４＝２９ 、 ２ｎ−３ｒ＝１３
このとき、ｒ＝５ で、ｎ＝１４ となり、方程式 ｎ2−３ｒｎ＋ｒ2−２ｒ−１＝０ は解を持つ。
ところで、フィボナッチ数列の周期性により、ｍｏｄ ３ 周期 ８ を持つ。実際に、
１、１、２、３、５、８、１３、２１、３４、５５、８９、１４４、２３３、３７７、６１０、９８７、１５９７、・・・
１、１、２、０、２、２、１、 ０、 １、 １、 ２、 ０、 ２、 ２、 １、 ０、 １、・・・
したがって、ｘ7+8ｍ ＝ａ(7+8ｍ)-1＋ａ(7+8ｍ)+1≡ａ6＋ａ8≡２ （ｍｏｄ ３）
ｙ7+8ｍ ＝ａ7+8ｍ≡ａ7≡１ （ｍｏｄ ３）
となる。（ただし、ｍは自然数）
このとき、連立方程式 ５ｒ＋４＝３ｇ＋２ 、 ２ｎ−３ｒ＝３ｈ＋１ が自然数の解
ｎ 、ｒ を持つように、自然数 ｇ、ｈ は必ず定まるであろうか？
実際に、５ｒ＋４＝３ｇ＋２ から、５ｒ−３ｇ＝−２ で、５・２−３・４＝−２ から、
５(ｒ−２)−３(ｇ−４）＝０ すなわち、５(ｒ−２)＝３(ｇ−４）
３ と ５ は互いに素なので、 ｒ−２＝３ｐ 、ｇ−４＝５ｐ すなわち、
ｒ＝３ｐ＋２ 、 ｇ＝５ｐ＋４ （ｐ は自然数）
同様にして、２ｎ−３ｒ＝３ｈ＋１ から、２ｎ−３(ｒ＋ｈ）＝１ で、２・２−３・１＝１ から、
２(ｎ−２)−３(ｒ＋ｈ−１)＝０ すなわち、２(ｎ−２)＝３(ｒ＋ｈ−１)
２ と ３ は互いに素なので、 ｎ−２＝３ｑ 、ｒ＋ｈ−１＝２ｑ すなわち、
ｎ＝３ｑ＋２ 、 ｈ＝２ｑ＋１−ｒ （ｑ は自然数）
したがって、ペル方程式 Ｘ2−５Ｙ2＝−４ の解 （ｘ7+8ｍ，ｙ7+8ｍ）は無限個あり、
連立方程式 ５ｒ＋４＝ｘ7+8ｍ 、 ２ｎ−３ｒ＝ｙ7+8ｍ は自然数解を持つので、
方程式 ｎ2−３ｒｎ＋ｒ2−２ｒ−１＝０ は無限個の自然数解を持つ。
（コメント） 最後の部分で、しっくりいかない点が若干ありますが、読者の方のご批判を
いただきたいと思います．．．。
（追々記） ２つの２項係数が等しい場合について調べているホームページとして、
Pigeonhole 短信 ００７：二項係数の重複値
があることを、広島工業大学の大川研究室よりご教示いただいた。
ペル方程式の解がフィボナッチ数を用いて書けるということを上記で確認したが、
さらに、詳しく、 ｎ 、 ｒ が、フィボナッチ数 ａｎ を用いて、
ｎ ＝ ａ2ｍ＋2ａ2ｍ＋3−１ 、 ｒ ＝ ａ2ｍａ2ｍ＋3
と書けるとき、
ｎ＋1Ｃｒ ＝ ｎＣｒ＋1
を満たすということを証明した方（Ｓｉｎｇｍａｓｔｅｒ (Fibonacci Quarterly,1975)）がいら
れるとのことである。
上記で計算した
15Ｃ5 ＝ 14Ｃ6 は、ｍ＝１ の場合（ａ2＝１、ａ4＝３、ａ5＝５）
104Ｃ39 ＝ 103Ｃ40 は、ｍ＝２ の場合（ａ4＝３、ａ6＝８、ａ7＝１３）
714Ｃ272 ＝ 713Ｃ273 は、ｍ＝３ の場合（ａ6＝８、ａ8＝２１、ａ9＝３４）
と、順次簡単に求められることに感動を覚える。
フィボナッチ数の性質を用いれば、もしかしたら、上記の証明でわずかに残っている
「しっくりいかない」感が払拭できるかもしれないという希望が湧いてきた。
（追記） 当ＨＰ読者のＫ．Ｋ．さんより、
ｎ＋1Ｃｒ ＝ ｎＣｒ＋1 が成り立つような ｎ と ｒ を求める問題
に関連する話題をメールで頂いた。
ｎ＋1Ｃｒ ＝ ｎＣｒ＋1 を満たす ｎ 、 ｒ を項とする数列 ｛ｎｋ｝、｛ｒｋ｝ を考える。
上記の計算をまとめると、