平方根２を求める数列　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　学生時代、数値解析の講義で、 を求める数列を学んだ。反復法により、コンピュー
タを利用して、 の近似値を求めた。それは、次のような漸化式で定まるものである。

　　　　　　　　　　　　　

この漸化式は、次のような ニュートン・ラフソン法 により、簡単に求められる。

ニュートン・ラフソン法 　　関数Ｆ(Ｘ) に対して、		（Ｆ’はＦの微分）

最近、 を求める方法として、連立型の漸化式を活用する方法があることを知った。

　次の漸化式
　　　　　　　　　　　Ｘｎ＋１＝Ｘｎ＋２Ｙｎ　，Ｙｎ＋１＝Ｘｎ＋Ｙｎ　
を考える。

　実際に、
　　　Ｘ_2(n+1)²−２Ｙ_2(n+1)²＝（Ｘ_2n+1＋２Ｙ_2n+1）²−２（Ｘ_2n+1＋Ｙ_2n+1）²
　　　　　　　　　　　　　　　 ＝（Ｘ_2n＋２Ｙ_2n＋２（Ｘ_2n＋Ｙ_2n））²−２（Ｘ_2n＋２Ｙ_2n＋Ｘ_2n＋Ｙ_2n）²
　　　　　　　　　　　　　　　 ＝（３Ｘ_2n＋４Ｙ_2n）²−２（２Ｘ_2n＋３Ｙ_2n）²
　　　　　　　　　　　　　　　 ＝Ｘ_2n²−２Ｙ_2n²＝１

　ペル方程式において、Ｘ と Ｙ が限りなく大きくなるとき、比 Ｘ/Ｙ の値は、限りなく に
近づく。

　最初にあげた漸化式では、その都度逆数計算が入るが、連立型の場合は、次の項を計
算するとき、単純な和の計算だけで済むところが優れている。

（参考文献：志賀浩二　著　おお、ピタゴラス（教育出版高校通信））


（追記）　東北大学名誉教授の土倉　保　先生が、数学セミナー（’０３年６月号）で同様な
　　　　話題（自然数の開平とペル方程式（京都大学数理解析研究所講究録））に触れら
　　　　れているので紹介したい。

　　このような問題は、江戸時代の和算家の興味を引いたらしい。

自然数 Ｎ の平方根を求める方法　　（ただし、Ｎ は平方数ではないものとする。）

　ペル方程式　Ｘ²−Ｎ・Ｙ²＝１　の解のうち、一つの解を、Ｘ＝ａ 、Ｙ＝ｂ （ａ≧ｂ≧１）とする。
（ペル方程式は必ず自明でない自然数解を持ち、しかも解は無限個存在することが知られ
ている。）

　いま、数列｛ａ_ｎ｝、｛ｂ_ｎ｝を、

　　　　ａ₁＝ａ　、　ｂ₁＝ｂ　、　ａ_ｎ+1＝２ａ_ｎ²−１　、　ｂ_ｎ+1＝２ａ_ｎｂ_ｎ

で定める。
（このような漸化式は、既に和算家の手により見出されていたという。）

このとき、ｎ を限りなく大きくすると、ａ_ｎ/ｂ_ｎ は限りなく、平方根 Ｎ に近づく。

　ここで、例えば、Ｎ＝２ とすれば、ａ＝３、ｂ＝２ である。実際に計算してみよう。

　上記の表では、ｎ＝４　の場合について、小数第４位までしか書かれていないが、実際は、

　　　　　１．４１４２ １３５６ ２３７・・・・

と、ほぼ小数第１１位までが正しく求められる。その収束の速さに驚かされる。


　私の数学の恩師の中村先生より、平方根２を求める計算を年賀状で頂いた。中村先生に
感謝します。（平成２５年１月３日付け）

　ペル方程式　Ｘ²−Ｎ・Ｙ²＝１　を意識して、

　　９９²＝９８０１、７０²＝４９００　から、　９９²−２・７０²＝１　が成り立つ。

　これより、　２・７０²/９９²＝１−１/９９²　なので、　＝（９９/７０）√（１−１/９９²）

　ｘ≒０　のとき、　１次近似式　√（１＋ｘ）≒１＋ｘ/２　が成り立つので、

　　　≒（９９/７０）（１−１/（２・９９²））＝９９/７０−１/（２・７０・９９）＝１９６０１/１３８６０

　　よって、　≒１．４１４２１３５６４２１３５６・・・・　（Excel により計算）

　ほぼ小数第８位までが正しく求められる。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２５年１月５日付け）

　上記の「99/70 → 99/70-1/(2・70・99)」 という計算は、

　　　　a/b → a/b-1/(2ab)=(2a²-1)/(2ab)

ですから、数列｛ａ_ｎ｝、｛ｂ_ｎ｝を、

　　　　ａ₁＝ａ　、　ｂ₁＝ｂ　、　ａ_ｎ+1＝２ａ_ｎ²−１　、　ｂ_ｎ+1＝２ａ_ｎｂ_ｎ

で定めたときの ａ_ｎ/ｂ_ｎ の計算と同じですね。


（コメント）　確かに同じになりますね！ただ、平方根の１次近似式から求められるという事
　　　　　　実に惹かれました。ご指摘いただき、ありがとうございます。