高次方程式の解の近似計算　　　　　　　　　　　　　　戻る

　代数学の基本定理によれば、ｎ次方程式は、ｎ個の解をもつ。特に、３次方程式は、３次
関数のグラフの特徴から、３つの解のうち、少なくとも１つは実数解である。

　その実数解の１つが有理数解であるとき、３次式は容易に因数分解され、２次方程式の
解の公式を用いて３次方程式の３つの解は完全に記述される。

　問題は、実数解が有理数解でないときである。この場合は、方程式の解を完全に記述す
るのは困難で、近似解を求めることになる。

　最近のグラフ描画ソフトを使えば、解の小数第１位ぐらいまでだったら正しく読み取ること
ができる。

　このページでは、その近似解を手計算で求める方法について紹介する。

例　３次方程式 Ｘ3＋２Ｘ−５＝０ の実数解を求めよ。

グラフ 　　　　Ｆ(Ｘ)＝Ｘ3＋２Ｘ−５ とおくと、

　　　Ｆ(Ｘ) は連続で、Ｆ(１)＝−２＜０、Ｆ(２)＝７＞０

　　　　よって、中間値の定理により、方程式 Ｆ(Ｘ)＝０ は、
　　　１ と ２ の間に実数解をもつ。


　　　　この実数解の近似値を求める方法として、古くから
　　　次のような Ｎｅｗｔｏｎ の方法が学校教育で教えられ
　　　ている。

　Ｎｅｗｔｏｎ の方法

　　第２次導関数 Ｆ”(Ｘ) が Ｆ(Ｘ１) と同符号のとき、
　　は、Ｘ１ より詳しい近似値を与える。
　　　この Ｘ と真の解 α との差は次のように評価される。

　　　　　　　　　

　　ただし、Ｍ、Ｋ は、αの近くで、

　　　　　　　０＜Ｋ≦｜Ｆ’（Ｘ）｜　、｜Ｆ”（Ｘ）｜≦Ｍ

　　を満たす定数である。

　上記例において、

　　　　Ｆ”(Ｘ)＝３Ｘ2＋２＞０　、　Ｆ(２)＝７＞０ なので、　Ｘ１＝２ として、Ｘ を求めれば、

　　Ｘ＝１．５ である。（この値は、２より解に近い。）

　　今度は、　Ｘ１＝１．５ として、この計算を繰り返すと、　Ｘ≒１．３４２８・・・ となり、さ

　　らに真の値に近くなる。　（１．３・・・位までは、上図のグラフからも読み取れる。）

　　（因みに、この方程式の実数解の正しい値（近似値）は、１．３２８・・・ 。）


　このページのタイトルから外れるかも知れないが、方程式が多項式でない場合について
も、ここで考察しておこう。

例　方程式　ｅｘ ＝ ｘ2　を解け。（平成１８年１１月３日・ＨＮ「虫さされかゆみ・しっしんに」さんより出題）

　　　　グラフ描画ソフトを用いて、グラフを
　　　書かせてみた。

　　　　交点は１つで、その ｘ 座標は、だい
　　　たい−０．７０くらいであることが読み
　　　取れる。

　　　　このことを計算で確かめてみよう。

（解）　Ｆ(ｘ)＝ｅｘ − ｘ2 とおくと、　Ｆ(ｘ) は連続で微分可能ある。

　　　Ｆ’(ｘ)＝ｅｘ − ２ｘ で、さらに、　Ｆ”(ｘ)＝ｅｘ − ２　、Ｆ”’(ｘ)＝ｅｘ 　である。

　　　Ｆ”’(ｘ)＞０　より、　Ｆ”(ｘ) は単調に増加し、　Ｆ”(ｌｏｇ２)＝２ − ２＝０

　　　よって、　ｘ＜ｌｏｇ２　のとき、　Ｆ”(ｘ)＜０　より、Ｆ’(ｘ) は単調に減少する。

　　　　　　　　　ｘ＞ｌｏｇ２　のとき、　Ｆ”(ｘ)＞０　より、Ｆ’(ｘ) は単調に増加する。

　　　ここで、　Ｆ’(ｌｏｇ２)＝２−２ｌｏｇ２＝２ｌｏｇ（ｅ/２）＞０　なので、

　　　すべての ｘ に対して、　Ｆ’(ｘ)＞０　となり、Ｆ(ｘ) は単調に増加する。

　　　Ｆ(−１)＝ｅ-1 − １＜０　、Ｆ(０)＝１＞０　なので、中間値の定理により、

　　　方程式 Ｆ(Ｘ)＝０ は、　−１ と ０ の間にただひとつの実数解をもつ。

　　　−１＜ｘ＜０　において、　Ｆ”(ｘ)＜０　なので、Ｎｅｗｔｏｎ の方法における Ｘ１ として、

　　　Ｘ１＝−１ とおく。このとき、Ｎｅｗｔｏｎ の方法により、

　　　　Ｘ＝−１−Ｆ(−１)/Ｆ’(−１)＝−１＋（１−ｅ-1）/（ｅ-1＋２）＝−（２＋ｅ）/（１＋２ｅ）

　　　ここで、　ネイピアの数 ｅ ≒ ２．７１８２８１８２８４　として、　Ｘ の値を求めると、

　　　　Ｘ ＝　−０．７３３０４３６０５２４９７２１

　　　となる。 また、　−１≦ｘ≦０　において、

　　　　　　　　　Ｆ’(ｘ)≧Ｆ’(０)＝１　、　｜Ｆ”(ｘ)｜≦｜Ｆ”(−１)｜＝２−ｅ-1

　　　なので、　Ｋ＝１　、　Ｍ＝２−ｅ-1　として、誤差を計算すると、次の値より小さい。

　　　　　　

　　　まだ、誤差が大きいので、さらなる計算が必要である。

　　　上記と同様にして、今度は、　Ｘ１＝−０．７３３０４３６０５２４９７２１ とする。

　　　このとき、

　　　　Ｘ＝Ｘ１−Ｆ(Ｘ１)/Ｆ’(Ｘ１)＝Ｘ１−(ｅｘ1 − ｘ12)/(ｅｘ1 − ２ｘ1)

　　　に代入して、

　　　　　　　　Ｘ＝−０．７０３８０７７８６３２８２７６

　　　を得る。このときの誤差は、上記と同様に計算して、　０．００２　くらいの幅である。

　　　このようにして得られる Ｘ は、限りなく真の解に近づくことが知られているので、真の

　　解が、ほぼ「　−０．７０　」くらいであることは、ほぼ確実である。　（終）


（コメント）　上記の小数計算は、表計算ソフト Ｅｘｃｅｌ を利用した。当ＨＰがいつもお世話に
　　　　　　なっている、らすかるさんは、精度１２００桁の自作電卓で計算されたとのことで、
　　　　　　もっと詳しい値を出力された。

　　初期値を、−１　として、

　　　-1
　　　-0.7330436052454454101901278
　　　-0.7038077863241329872803886
　　　-0.7034674683317975063564335
　　　-0.7034674224983924833237669
　　　-0.7034674224983916520498186
　　　-0.7034674224983916520498186

　（　ｅ の ｘ 乗の計算は、テイラー展開の式を使って求めたそうです。）

　　らすかるさんの計算結果を見ると、真の解は、

　　　−０．７０３４６７４２２４９８３９１６５２０４９８１８６・・・

　のようですね！


（追記）　Ｓ（Ｈ）さんが、考察されました。（平成２６年１１月１日付け）

　　　（計算結果）　-0.7034674224983916520498186018599021303429284310342236080932
　　　　　　　　　　87692219921221440677421793664607664383138547538613397017723816
　　　　　　　　　　0717063399557728646718168154693644676114444089404

　　とのことです。


　このＮｅｗｔｏｎ の方法は、いくつか問題点がある。

　　　問題点１．　この計算を何回続ければよいのか？

　　　問題点２．　小数を含む計算なので、電卓なしでは大変である！

　理論的には優れてはいるものの、このような近似計算を電卓に頼らずに手計算で行うこ
とは、非常に厳しいものがある。

　そこで、次に述べる Ｈｏｒｎｅｒ の方法が手計算の場合有効となる。

いくつか予備知識を確認しよう。

組立除法（Synthetic division）・・・　これは、整式を１次式で割り算したときに、商と余り
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を簡単に求める方法である。

　　説明を簡単にするために、３次式 Ｆ(Ｘ)＝ａＸ3＋ｂＸ2＋ｃＸ＋ｄ の場合を考える。
　Ｆ(Ｘ) を、１次式 Ｘ−α で割った商を、ｐＸ2＋ｑＸ＋ｒ とし、余りを、Ｒ とする。
　　このとき、
　　　　　　　　　　　　　Ｆ(Ｘ)＝(Ｘ−α)(ｐＸ2＋ｑＸ＋ｒ)＋Ｒ

　と書ける。この式を展開して、

　　　　　　　　　　　　　Ｆ(Ｘ)＝ｐＸ3＋(ｑ-αｐ)Ｘ2＋(ｒ−αｑ)Ｘ−αｒ＋Ｒ

　なので、もとの式と係数比較して、

　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｐ、ｂ＝ｑ-αｐ、ｃ＝ｒ−αｑ、ｄ＝−αｒ＋Ｒ
　すなわち、
　　　　　　　　　　　　　ｐ＝ａ、ｑ＝ｂ＋αｐ、ｒ＝ｃ＋αｑ、Ｒ＝ｄ＋αｒ

　この関係を図式化すれば次のようになる。

　　　　　　　　　　　　

練習　次の割り算を計算し、商と余りを求めよ。（実際の求め方は、こちらを参照）
　（１）　（Ｘ3＋２Ｘ−５）÷（Ｘ−１）
　（２）　（２Ｘ3＋３Ｘ2＋４）÷（２Ｘ−１）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　（１）商は、Ｘ2＋Ｘ＋３、余りは、−２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）商は、Ｘ2＋２Ｘ＋１、余りは、５

方程式の変換・・・　これは、所要の条件を満たすように方程式を書き換える方法である。

定理（解より一定数を減ずる）

　　　Ｆ(Ｘ)＝０　の解を、α、β、γ とする。このとき、
　　　　α−ｐ、β−ｐ、γ−ｐ を解とする方程式は、Ｆ(Ｘ＋ｐ)＝０

（証）　Ｙ＝Ｆ(Ｘ) のグラフを、Ｘ軸方向に、−ｐ だけ平行移動すればよい。

　３次式 Ｆ(Ｘ)＝ａＸ3＋ｂＸ2＋ｃＸ＋ｄ に対して、Ｆ(Ｘ＋ｐ)＝ｓＸ3＋ｔＸ2＋ｕＸ＋ｖ は次のようにし
て求められる。
　Ｆ(Ｘ＋ｐ) の Ｘ に Ｘ−ｐ を代入して、Ｆ(Ｘ)＝ｓ(Ｘ−ｐ)3＋ｔ(Ｘ−ｐ)2＋ｕ(Ｘ−ｐ)＋ｖ となる。
この式により、ｓ、ｔ、ｕ、ｖ は、次のように定められる。
　　　ｖ　・・・　Ｆ(Ｘ) を Ｘ−ｐ で割った余り
　　　ｕ　・・・　上記の商を Ｘ−ｐ で割った余り
　　　ｔ　 ・・・　上記の商を Ｘ−ｐ で割った余り
　　　ｓ　・・・　上記の計算で、 Ｘ−ｐ で割った商

例　３次方程式 Ｘ3−６Ｘ2＋１１Ｘ−６＝０ の解から、２ を減じた解をもつ ３次方程式を作れ。

　３次方程式を解けば、Ｘ＝１、２、３　なので、それらから ２ を減じると、−１、０、１ となる。
よって、求める方程式は、Ｘ(Ｘ−１)(Ｘ＋１)＝Ｘ3−Ｘ より、Ｘ3−Ｘ＝０ となる。

　３つの解がわかれば、上記のように簡単に解かれる。しかし、３つの解が具体的にわから
ない場合、上記のような計算は無力となる。そこで、先の定理が日の目をみることになる。

　上記の例の問題は、一般的に次のように解かれる。

組立除法 　　　左図の組立除法の計算から、求める方程式は、

　　　　Ｘ3−Ｘ＝０

　　となる。

　　　この解法の優れている点は、計算が解に依存していない所で
　　ある。したがって、解が具体的にわからなくても、所要の方程式
　　を確実に求めることができる。

上記定理の応用として、次の事実はよく知られている。

３次方程式 ａＸ3＋ｂＸ2＋ｃＸ＋ｄ＝０ は、必ず、aＸ3＋ｐＸ＋ｑ＝０ の形に変換できる。

（証）　もとの方程式の解に、ｂ/３ａ を加えた解をもつ方程式を作ればよい。

　　　左図の組立除法の計算から、求める方程式は、

　　　　ａＸ3＋ｐＸ＋ｑ＝０

　　となる。

　　（→　参考：「チルンハウス変換」）

例　３次方程式 Ｘ3＋９Ｘ2＋３３Ｘ＋５２＝０　を解け。

　もとの方程式の解に、ｂ/３ａ＝３ を加えた解をもつ方程式は、Ｘ3＋６Ｘ＋７＝０
　この式は、(Ｘ＋１)(Ｘ2−Ｘ＋７）＝０ と因数分解されるから、直ちに解は求められる。

（参考：Cardano の解法　　３次方程式 Ｘ3＋３ｐＸ＋ｑ＝０ において、
　　　　　　　　　　　　　　　　ａｂ＝−ｐ、ａ3＋ｂ3＝−ｑ を満たす ａ、ｂ は、
　　　　　　　　　　　　　　　　２次方程式 Ｘ2＋qＸ−ｐ3＝０　の解の３乗根である。
　　　　　　　　　　　　　　　　この ａ、ｂ を用いて、３次方程式の解の一つ　ａ＋ｂ　が求めら
　　　　　　　　　　　　　　　　れる。　→　「方程式論」を参照）

　上の定理と同様にして、以下の定理が成り立つ。

定理（解に一定数を乗ずる）

　　　Ｆ(Ｘ)＝０　の解を、α、β、γ とする。このとき、
　　　　ｋα、ｋβ、ｋγ を解とする方程式は、Ｆ(Ｘ/ｋ)＝０

例　３次方程式 Ｘ3−６Ｘ2＋１１Ｘ−６＝０ の解を ２倍した解をもつ方程式を作れ。

　　　(Ｘ/２)3−６(Ｘ/２)2＋１１(Ｘ/２)−６＝０　より、Ｘ3−１２Ｘ2＋４４Ｘ−４８＝０

定理（解の逆数をとる）

　　　Ｆ(Ｘ)＝０　の解を、α、β、γ とする。このとき、
　　　　１/α、１/β、１/γ を解とする方程式は、Ｆ(１/Ｘ)＝０

例　３次方程式 Ｘ3−６Ｘ2＋１１Ｘ−６＝０ の解の逆数を解にもつ方程式を作れ。

　　　(１/Ｘ)3−６(１/Ｘ)2＋１１(１/Ｘ)−６＝０　より、６Ｘ3−１１Ｘ2＋６Ｘ−１＝０

定理　
　　実数係数の方程式において、虚数 α＋βｉ （β≠０）が解ならば、その共役 α−βｉ も解

　この定理により、虚数解は必ず偶数個あり、したがって、奇数次の方程式は必ず実数解
をもつことが分かる。

定理　方程式 Ｆ(Ｘ)＝０ において、
　　　　Ｆ(ａ)・Ｆ(ｂ)＞０ ならば、ａ＜Ｘ＜ｂ の範囲に、偶数個（０も含む）の実数解をもつ
　　　　Ｆ(ａ)・Ｆ(ｂ)＜０ ならば、ａ＜Ｘ＜ｂ の範囲に、奇数個の実数解をもつ

定理　十分大きい｜Ｘ｜に対して、ａＸ3＋ｂＸ2＋ｃＸ＋ｄ と ａＸ3 は同符号である。

　実数解が存在する区間を定めることを、実数解を分離するという。（→参考：「解の分離」）

例　３次方程式 ３Ｘ3−６Ｘ−１＝０ の実数解を分離せよ。

　Ｆ(Ｘ)＝３Ｘ3−６Ｘ−１とおくと、Ｆ(−∞)＜０、Ｆ(０)＜０、Ｆ(∞)＞０ だから、上記定理により、

負の解は、０ または ２個、正の解は、１ または ３個もつことが直ぐ分かる。

　さらに、Ｆ(Ｘ)＝３Ｘ(Ｘ2−２)−１ より、

　　Ｘ≦−２ のとき、Ｆ(Ｘ)＜０　、　Ｘ≧２ のとき、Ｆ(Ｘ)＞０

なので、−２ より小、２より大の実数解は存在しない。

　また、　Ｆ(−２)＜０、Ｆ(−１)＞０、Ｆ(０)＜０、Ｆ(１)＜０、Ｆ(２)＞０　なので、

したがって、３次方程式は、−２と−１の間、−１と ０ の間、１ と ２ の間に実数解をもつ。


　上記例からも分かるように、解の前後で必ず符号が変化する。これについて、次に述べる
Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ の符号法則が有名である。

例えば、５次式 Ｘ5＋３Ｘ4−２Ｘ3＋４Ｘ2＋２Ｘ−３ の係数に着目して、

１ ３ −２ ４ ２ −３
＋ ＋ − ＋ ＋ −

　　　左の表で、符号の変化は、３箇所ある。このとき、

　　符号変化数は３である、という。

明らかに、係数の最初と最後の符号が

　　同じ場合、符号変化数は偶数　、　異符号の場合、符号変化数は奇数

である。

　以下において、Ｆ（Ｘ） は、実数係数の整式とする。このとき、次の法則が成り立つ。

デカルト（Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ）の符号法則

　　方程式 Ｆ(Ｘ)＝０ の正の解の個数は、符号変化数より、偶数個（０も含む）少ない
　（ただし、解の重複がある場合は、重複する回数で数えるものとする）

例　Ｘ3＋２Ｘ＋３＝０　の符号変化数は、０。よって、正の解はない。
　　 Ｘ4−３Ｘ＋２＝０　の符号変化数は、２。よって、正の解は２個または０個。


　デカルトの符号法則を証明するために、まず次の補題を示そう。

補　題　　α＞０　とする。このとき、

　　　　（Ｘ−α）Ｆ（Ｘ）の符号変化数は、Ｆ（Ｘ）の符号変化数より奇数個多い

例　２次式　Ｘ2＋２Ｘ−３　の符号変化数は、１ である。このとき、
　　（Ｘ−１）（Ｘ2＋２Ｘ−３）＝Ｘ3＋Ｘ2−５Ｘ＋３＝０　の符号変化数は、２。
　　よって、符号変化数が、１個（奇数個）だけ多い。

　（Ｘ−α）Ｆ（Ｘ）の展開式の係数の最初と最後の符号が、α＞０　という条件のもとで

　　Ｆ（Ｘ）の展開式の係数の最初と最後の符号が同符号ならば、異符号に
　　Ｆ（Ｘ）の展開式の係数の最初と最後の符号が異符号ならば、同符号に

なるので、符号変化数が奇数個増えることは、ほとんど明らかだろう。

　Ｆ（Ｘ）が３次式の場合について、上記補題が成り立つことを見ておこう。

（略証）　 Ｆ（Ｘ）＝ａＸ3＋ｂＸ2＋ｃＸ＋ｄ　に対して、

　　Ｇ（Ｘ）＝（Ｘ−α）Ｆ（Ｘ）　（α＞０）を考える。　すなわち、

　Ｇ（Ｘ）＝（Ｘ−α）（ａＸ3＋ｂＸ2＋ｃＸ＋ｄ）

　　　　＝ａＸ4＋（ｂ−ａα）Ｘ3＋（ｃ−ｂα）Ｘ2＋（ｄ−ｃα）Ｘ−ｄα

　　　　＝ＡＸ4＋ＢＸ3＋ＣＸ2＋ＤＸ＋Ｅ

　ここで、　Ａ＝ａ　、Ｂ＝ｂ−ａα　、Ｃ＝ｃ−ｂα　、Ｄ＝ｄ−ｃα　、Ｅ＝−ｄα　である。

　ａ ＞ ０　として、 ｂ 、 ｃ 、 ｄ　の符号のすべての場合について調べて下表を得る。

　 ａ ｂ ｃ ｄ 符号変化数 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ 符号変化数
１ ＋ ＋ ＋ ＋ ０ ＋ ？ ？ ？ − １ または ３
２ ＋ ＋ ＋ − １ ＋ ？ ？ − ＋ ２ または ４
３ ＋ ＋ − ＋ ２ ＋ ？ − ＋ − ３
４ ＋ ＋ − − １ ＋ ？ − ？ ＋ ２
５ ＋ − ＋ ＋ ２ ＋ − ＋ ？ − ３
６ ＋ − ＋ − ３ ＋ − ＋ − ＋ ４
７ ＋ − − ＋ ２ ＋ − ？ ＋ − ３
８ ＋ − − − １ ＋ − ？ ？ ＋ ２ または ４

　上記の表の「？」部分にどんな符号が入ろうとも符号変化数は上表の通りで、何れの場

合も奇数個増えていることが分かる。 ａ ＜０　の場合も同様である。　（証終）


（デカルトの符号法則の証明）

　　実数係数の ｎ 次の整式 Ｆ（Ｘ）＝ａＸｎ＋ｂＸｎ−1＋・・・＋ｃＸ＋ｄ　において、ａ＞０　とし
ても一般性を失わない。

　また、解 ０ は符号変化数に影響を与えないので、　ｄ≠０　としても一般性を失わない。

（イ）　方程式 Ｆ（Ｘ）＝０　に正の解がない場合

　　　　　ｄ＞０　なので、係数の最初と最後の符号が同符号となり、符号変化数は偶数

　　　　よって、命題は成り立つ。

（ロ）　方程式 Ｆ（Ｘ）＝０　が正の解　α、β、・・・、γ　を持つ場合

　　　　　Ｆ（Ｘ）＝（Ｘ−α）（Ｘ−β）・・・（Ｘ−γ）Ｇ（Ｘ）

　　　　と因数分解できる。このとき、方程式 Ｇ（Ｘ）＝０　は正の解を持たない。

　　　　　解と係数の関係から、正の解を持たない場合、符号変化数は、０

　　　　補題により、　正の解 α に対して、（Ｘ−α）Ｇ（Ｘ）の符号変化数は、Ｇ（Ｘ）より奇数個

　　　多い。

　　　　換言すれば、方程式 （Ｘ−α）Ｇ（Ｘ）＝０　の正の解の個数（１個！）は、（Ｘ−α）Ｇ（Ｘ）

　　　の符号変化数より、偶数個少ない。

　　　　同様にして、方程式 （Ｘ−α）（Ｘ−β）Ｇ（Ｘ）＝０　の正の解の個数（２個！）は、

　　　（Ｘ−α）（Ｘ−β）Ｇ（Ｘ）の符号変化数より、偶数個少ない。

　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　　　よって、方程式 （Ｘ−α）（Ｘ−β）・・・（Ｘ−γ）Ｇ（Ｘ）＝０　の正の解の個数は、

　　　（Ｘ−α）（Ｘ−β）・・・（Ｘ−γ）Ｇ（Ｘ）の符号変化数より、偶数個少ない。

　　以上から、命題は成り立つ。　（証終）


　　先の例（３次方程式 ３Ｘ3−６Ｘ−１＝０）において、符号変化数は、１ である。

　したがって、正の解をただ一つもつことが、係数だけの洞察により判断することができる。

　さらに、Ｘに−Ｘを代入して、３Ｘ3−６Ｘ＋１＝０　この方程式の符号変化数は、２ なので、

　もとの方程式の負の解は、２個または０個であることが分かる。


　さて、いよいよ Ｈｏｒｎｅｒ の方法（１８１９年）を説明する準備ができたようだ。

例　３次方程式 Ｘ3＋２Ｘ−５＝０ の実数解の近似値を求めよ。

　Ｆ(Ｘ)＝Ｘ3＋２Ｘ−５ とおく。符号変化数は １ なので、方程式 Ｆ(Ｘ)＝０ は正の解を １個もつ。

また、Ｆ(−Ｘ)＝−Ｘ3−２Ｘ−５ の符号変化数は ０ なので、もとの方程式は負の解をもたない。

（ここら辺の議論は、このページの冒頭にあるように、グラフを活用したほうが視覚的に分かるのだが、係数だけの
洞察から、これだけのことが言えることに感動を覚える。符号法則の偉大さがひしひしと伝わってくる！）

　Ｆ(１)＝−２＜０、Ｆ(２)＝７＞０ なので、方程式は、１ と ２ の間にただ一つの実数解をもつ。

したがって、求める実数解は、１＋α（０＜α＜１）の形の小数である。

方程式の解から １ 減じた解をもつ方程式は、先の定理により、

　　　　　　　Ｘ3＋３Ｘ2＋５Ｘ−２＝０　・・・(*)

この方程式の解の一つが、αである。

　次に、αの小数第１位を求めるために、方程式(*) の解を１０倍した解をもつ方程式を作
れば、先の定理により、

　　　　　　　　　Ｘ3＋３０Ｘ2＋５００Ｘ−２０００＝０　・・・(**)　
となる。

　いま、Ｇ(Ｘ)＝Ｘ3＋３０Ｘ2＋５００Ｘ−２０００≒５００Ｘ−２０００≒０　と考えて、Ｘ≒４

そこで、Ｇ(３)＝−２０３＜０、Ｇ(４)＝５４４＞０　であることを確認して、方程式(**) の解は、
３ と４ の間にあることが分かる。

　よって、αの小数第１位は、３ であることが示された。

方程式(**) の解から ３ 減じた解をもつ方程式は、先の定理により、

　　　　　　　Ｘ3＋３９Ｘ2＋７０７Ｘ−２０３＝０　・・・(***)

方程式(***) の解を１０倍した解をもつ方程式は、

　　　　　　　　　　 Ｘ3＋３９０Ｘ2＋７０７００Ｘ−２０３０００＝０　・・・(****)

７０７００Ｘ−２０３０００≒０ より、Ｘ≒３　なので、

　　　　　　Ｈ(Ｘ)＝Ｘ3＋３９０Ｘ2＋７０７００Ｘ−２０３０００

とおいて、Ｈ(２)＝−６００３２＜０、Ｈ(３)＝１２６３７＞０　がすぐ分かる。

　よって、方程式(****)の解は、２ と ３ の間にあることが分かる。

　ゆえに、αの小数第２位は、２ であることが示された。

このような計算を続けていけば、順次小数第３位以下も求めることができる。

　以上から、３次方程式 Ｘ3＋２Ｘ−５＝０ の実数解の近似値は、
　　　　　　　　　　　　　　　　　１．３２・・・　
である。

（注意）　上記のような計算方法が Ｈｏｒｎｅｒ の方法 といわれるものであるが、別な書籍
　　　　　によると、多項式の値の計算で、掛け算の回数を減らすような求め方（先の定理
　　　　　の ｓ、ｔ、ｕ、ｖ を用いた式変形）のことも、Ｈｏｒｎｅｒ の方法 というらしい。

　上記推論は、組立除法と同様に図式化される。次の練習問題を通して、その美しさを是
非、堪能して欲しいと思う。

練習問題　３次方程式 Ｘ3＋２Ｘ−１８＝０　の実数解の近似値を小数第２位まで正しく求
　　　　　　　めよ。

（解）　Ｈ(Ｘ)＝Ｘ3＋２Ｘ−１８　とおく。導関数 Ｈ’(Ｘ)＝３Ｘ2＋２＞０　なので、グラフは単調

に増加する。よって、実数解はただ一つある。

　さらに、Ｈ(２)＝−６＜０、Ｈ(３)＝１５＞０　なので、方程式は、２ と ３ の間に解をもつ。

よって、Ｈｏｒｎｅｒ の方法により、

　　　　　　　　　

したがって、３次方程式 Ｘ3＋２Ｘ−１８＝０ の実数解の近似値は、

　　　　　　　　　　　　　　　　　２．３６・・・　
である。　（終）

　読者のために、練習問題を一つ提示して、長かったこのページの筆をおくことにしよう。
（正直に告白すると、このページのアップロードまで、２週間を要した！）

練習　４の３乗根の値を、手計算で小数第２位まで正しく求めよ。
（Ｈｉｎｔ：　４の３乗根は、３次方程式 Ｘ3−４＝０ の解である。）　　　　　（答）１．５８・・・


　当HPがいつもお世話になっているＨＮ「攻略法」さんが、上記の問題を解かれた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２２年１０月１４日付け）

（解）　Ｈ(Ｘ)＝Ｘ3−４　とおく。導関数 Ｈ’(Ｘ)＝３Ｘ2≧０　なので、グラフは単調に増加する。

　　よって、実数解はただ一つある。

　さらに、Ｈ(１)＝−３＜０、Ｈ(２)＝４＞０　なので、方程式は、１ と ２ の間に解をもつ。

よって、Ｈｏｒｎｅｒ の方法により、

　　　　　　　　　

　　　　　（徐々に桁数も増加して計算が難しくなっていく．．．(T_T)。）

　したがって、４の３乗根の値を、小数第２位まで正しく求めると、１．５８　である。　（終）

（コメント）　攻略法さんに感謝します。


（参考文献：福井常孝　他著　線形代数学入門（内田老鶴圃新社））