組立除法の意外な使い道 　　　　　　　　　　　　　　　

　ｎ 次の整式を １次式で割り、その商と余りを求める場合、通常「組立除法」が用いられる。

例１．　（Ｘ³＋２Ｘ−５）÷（Ｘ−１） の商と余りを求めよ。

　　　　左の計算により、

　　　　商は、Ｘ²＋Ｘ＋３、余りは、−２




例２．　（２Ｘ³＋３Ｘ²＋４）÷（２Ｘ−１） の商と余りを求めよ。


　　　　左の計算により、

　　　　商は、Ｘ²＋２Ｘ＋１、余りは、５



　上記のような略記法で計算する場合、例１．と例２．の違いに注意を要する。

その違いは、次の等式により了解される。

例１．の場合は、　Ｘ³＋２Ｘ−５ ＝ （Ｘ−１）(Ｘ²＋Ｘ＋３)−２

例２．の場合は、

　２Ｘ³＋３Ｘ²＋４ ＝ (Ｘ−１/２）(２Ｘ²＋４Ｘ＋２)＋５＝ (２Ｘ−１）(Ｘ²＋２Ｘ＋１)＋５

　基本的に、組立除法は　Ｘ− α による割り算なので、ａＸ＋ｂ による割り算に用いる場合は、
商は、ａ で割るという操作が一回入る。

　このようなことは、Ｆ(Ｘ)÷Ｇ(Ｘ)　の計算で、商を　Ｑ(Ｘ)、余りを　Ｒ(Ｘ)　としたとき、

　　　　Ｆ(Ｘ)＝Ｇ(Ｘ)Ｑ(Ｘ)＋Ｒ(Ｘ)　　　（Ｒ(Ｘ)＝０　または　ｄｅｇＲ(Ｘ)＜ｄｅｇＧ(Ｘ) ）

と書いて初めて理解されることである。

　組立除法をこのような見方で見直すと、組立除法の意外な使い道が見えてくる。

平均変化率の計算

　整式 Ｆ(Ｘ) を １次式 Ｘ−ａ で割った商を Ｓ(Ｘ)、余りを Ｔ とし、商 Ｓ(Ｘ) を １次式 Ｘ−ｂ で
割った商を Ｑ(Ｘ)、余りを Ｒ とする。このとき、

　Ｆ(Ｘ)＝(Ｘ−ａ)Ｓ(Ｘ)＋Ｔ＝(Ｘ−ａ)((Ｘ−ｂ)Ｑ(Ｘ)＋Ｒ)＋Ｔ

なので、Ｆ(ａ)＝Ｔ、Ｆ(ｂ)＝(ｂ−ａ)Ｒ＋Ｔ　が成り立つ。よって、Ｆ(ｂ)−Ｆ(ａ)＝(ｂ−ａ)Ｒ　となる。

　したがって、次の公式を得る。

公式　整式 Ｆ(Ｘ) において、Ｘ の値が ａ から ｂ まで変化するときの平均変化率は、
　Ｆ(Ｘ) を Ｘ−ａ で割った商を、Ｘ−ｂ で割った余りに等しい。

例　Ｆ(Ｘ)＝２Ｘ³−３Ｘ²＋Ｘ−４　において、Ｘ の値が −１ から ２ まで変化するときの平均
　　変化率を求めてみよう。

　通常は、次のように計算される。

　Ｆ(−１)＝２(−１)³−３(−１)²＋(−１)−４＝−１０、Ｆ(２)＝２・２³−３・２²＋２−４＝２

よって、平均変化率は、(Ｆ(２)−Ｆ(−１))/(２−(−１))＝１２/３＝４

　上記の計算は、今の高校生にとって、とても苦手なようで、１００％全員が正解になること
はない。

　組立除法を用いた場合は、次のように計算される。

　

　以上から、求める平均変化率は、４ である。

記数法の計算

　二進法で、１１０１０１ という数は、十進法では、どのような数であろうか？

通常、このような計算は次のようになされる。

　１×２⁵＋１×２⁴＋０×２³＋１×２²＋０×２＋１＝５３

　組立除法を用いた場合は、次のように計算される。

　

　なぜ、このような計算で求められるのだろうか？

　その原理は、いたって単純である。

　二進法で表される数が、１１０１０１ とする。

整式 Ｆ(Ｘ)＝１・Ｘ⁵＋１・Ｘ⁴＋０・Ｘ³＋１・Ｘ²＋０・Ｘ＋１　に対して、

十進法で表される数は、１×２⁵＋１×２⁴＋０×２³＋１×２²＋０×２＋１　すなわち　 Ｆ(２)

に等しい。したがって、求める数は、割り算 Ｆ(Ｘ) ÷ (Ｘ−２) の余りである。

整式の割り算

　組立除法というと、整式の Ｘ− ａ による割り算を思い浮かべるが、実は、（Ｘ− ａ)(Ｘ−ｂ）
の割り算にも有効である。

例　(Ｘ³＋２Ｘ²−３Ｘ−４）÷(Ｘ−１)(Ｘ−２)　の商と余りを求めよ。

　通常は、次のように計算される。（実際に、割り算を実行してもよい。）

　整式 Ｆ(Ｘ) ＝ Ｘ³＋２Ｘ²−３Ｘ−４ ＝ Ｘ(Ｘ−１)(Ｘ−２)＋５Ｘ²−５Ｘ−４
　＝ Ｘ(Ｘ−１)(Ｘ−２)＋５(Ｘ−１)(Ｘ−２)＋１０Ｘ−１４＝(Ｘ−１)(Ｘ−２)(Ｘ＋５)＋１０Ｘ−１４

　したがって、商は、Ｘ＋５　、余りは、１０Ｘ−１４

　組立除法を用いて計算する場合、どのような手順でやるのだろうか？

　整式 Ｆ(Ｘ) を １次式 Ｘ−ａ で割った商を Ｓ(Ｘ)、余りを Ｔ とし、商 Ｓ(Ｘ) を １次式 Ｘ−ｂ
で割った商を Ｑ(Ｘ)、余りを Ｒ とする。このとき、

　Ｆ(Ｘ)＝(Ｘ−ａ)Ｓ(Ｘ)＋Ｔ＝(Ｘ−ａ)((Ｘ−ｂ)Ｑ(Ｘ)＋Ｒ)＋Ｔ

すなわち、Ｆ(Ｘ)＝(Ｘ−ａ)(Ｘ−ｂ)Ｑ(Ｘ)＋Ｒ(Ｘ−ａ)＋Ｔ

ここで、Ｔ＝Ｆ(ａ)　、(ｂ−ａ)Ｒ＝Ｆ(ｂ)−Ｆ(ａ)　である。

　したがって、次の公式を得る。

公式　整式 Ｆ(Ｘ) を １次式 Ｘ−ａ で割った商を Ｓ(Ｘ)、余りを Ｔ とし、商 Ｓ(Ｘ) を
　　１次式 Ｘ−ｂ で割った商を Ｑ(Ｘ)、余りを Ｒ とする。
　今、整式 Ｆ(Ｘ) を (Ｘ−ａ)(Ｘ−ｂ) で割るとき、

　　商は Ｑ(Ｘ)　、余りは、　Ｒ（Ｘ−ａ）＋Ｆ(ａ)　で与えられる。

それでは、実際に、組立除法を適用してみよう。

左の計算により、 　　商は、１・Ｘ＋５＝Ｘ＋５ 　　余りは、１０(Ｘ−１)＋(−４)＝１０Ｘ−１４ 　　となる。（これは、上の計算結果と一致する。）

定積分の計算

　定積分の計算も差の形なので、平均変化率の計算と同様にして求められる。

例

定積分

を求めよ。

　通常は、

　　

という公式から、Ｇ(Ｘ)＝Ｘ³−Ｘ²＋Ｘ　なので、求める値は、

　Ｇ(２)−Ｇ(−１)＝(８−４＋２)−(−１−１−１)＝９

　ところで、Ｇ(ｂ)−Ｇ(ａ)＝ｍ(ｂ−ａ)　（ｍ：平均変化率）なので、組立除法を用いた場合は、
次のように計算される。

左の計算により、 　　求める値は、　３(２−(−１))＝９　となる。 　　（これは、上の計算結果と一致する。）

　上記の計算だと組立除法を用いる有効性が視認されないが、Ｇ(Ｘ) や ａ、ｂ の値に分数
が入ってくる場合は多分（？）有効だろうと思う。

　その他、数列の和 Ｓ_ｎ から一般項 ａ_ｎ を求める公式

　ａ₁＝Ｓ₁　、　ｎ≧２　のとき、　ａ_ｎ＝Ｓ_ｎ−Ｓ_ｎ-1

についても組立除法は使えるが、その応用は読者の練習に残しておこう。


（参考文献：熊野充博　著　組立除法の応用例　（数研通信　Ｎｏ．２０））


（追記）　平成２２年１０月１４日付け

　当HPがいつもお世話になっているＨＮ「攻略法」さんが、

数列の和 Ｓ_ｎ から一般項 ａ_ｎ を求める公式

　ａ₁＝Ｓ₁　、　ｎ≧２　のとき、　ａ_ｎ＝Ｓ_ｎ−Ｓ_ｎ-1

について考察された。

問　題　　初項から第 ｎ 項までの和 Ｓ_ｎ が、 Ｓ_ｎ＝ｎ²＋２ｎ で与えられる数列の一般項
　　　　　ａ_ｎ を求めよ。

　通常は、次のように解かれる。

　ｎ＝１　のとき、ａ₁＝Ｓ₁＝３

　ｎ≧２　のとき、　ａ_ｎ ＝Ｓ_ｎ −Ｓ_ｎ-1＝（ｎ²＋２ｎ）−｛（ｎ−１）²＋２（ｎ−１）｝＝２ｎ＋１

　この式は、ｎ＝１　のときも成り立つ。

　　ゆえに、ｎ≧１　のとき、　ａ_ｎ ＝２ｎ＋１

　これに対して、組立除法を用いた場合は、次のように計算される。

（解）　組立除法を使って、ｎ²＋２ｎ を ｎ−１ で展開する。（→　参考：「整式の割り算」）

よって、左の計算により、 　　Ｓ1＝３　（←　ｎ2＋２ｎ を ｎ−１ で割った余り） 　　Ｓｎ＝１・（ｎ−１）2＋４・（ｎ−１）＋３ 　　また、　Ｓｎ-1＝（ｎ−１）2＋２（ｎ−１）

したがって、Ｓ_ｎ−Ｓ_ｎ-1 は、ｎ−１ を変数とする多項式の減算だから、ａ_ｎ＝ ２（ｎ−１）＋３　

（普通に計算すれば、ａ_ｎ ＝２ｎ＋１　であるが、一般化を意識して．．．）

　ｎ−１＝ｘ　とおくと、ｎ＝ｘ＋１　なので、方程式　２ｘ＋３＝０　の解に １ を加えればよい。

（→　参考：「方程式の変換」）

よって、左の計算により、求める方程式は、　２ｎ＋１＝０　となり、 　　ａｎ＝２ｎ＋１

（コメント）　攻略法さんに感謝します。

　さらに、攻略法さんに組立除法の使用場面をまとめて頂いた。（平成２２年１０月１６日付け）

ケース１

★整式 Ｆ(ｘ) を ｘ−ａ で割ったときの商： Ｑ(ｘ)　、余り： Ｒ
★整式 Ｆ(ａ) の値（ｘ＝ａ を代入する）
★記数法の計算

　※　Ｆ(ｘ)＝Ｑ(ｘ)（ｘ−ａ）＋Ｆ(ａ)　と表される。

　

★整式 Ｆ(ｘ) を（ｘ−ａ）（ｘ−ｂ）で割ったときの商： Ｑ(ｘ) 、余り： Ｒ（Ｘ−ａ）＋Ｆ(ａ)

　ただし、Ｒ＝｛Ｆ(ｂ)−Ｆ(ａ)｝/(ｂ−ａ)

★整式 Ｆ(ｘ) において、ｘ の値が ａ から ｂ まで変化するときの平均変化率： Ｒ

★定積分：

　

★整式 Ｆ(ｘ) 上の２点( ａ ，Ｆ(ａ) )、( ｂ ，Ｆ(ｂ) ) を通る直線の方程式：　ｙ＝Ｒ（ｘ−ａ）＋Ｆ(ａ)

　※　Ｆ(ｘ)＝Ｑ(ｘ)（ｘ−ａ）（ｘ−ｂ）＋Ｒ（ｘ−ａ）＋Ｆ(ａ)　と表される。

　← Ｒ：（ｘ−ａ）の係数、傾き、平均変化率

ケース２

★整式 Ｆ(ｘ) を ｘ＝ａ でテイラー展開する
★整式 Ｆ(ｘ) を　（ｘ−ａ）² で割ったの商： Ｑ(ｘ)　、余り： Ｆ’(ａ)（ｘ−ａ）＋Ｆ(ａ)
★整式 Ｆ(ｘ) 上の点( ａ ，Ｆ(ａ) )における接線の方程式： ｙ＝Ｆ’(ａ)（ｘ−ａ）＋Ｆ(ａ)
★代数方程式の根をニュートン法で求める（関数値、微分係数）

　※　Ｆ(ｘ)＝Ｆ(ａ)＋Ｆ’(ａ)（ｘ−ａ）＋｛Ｆ”(ａ)/２！｝（ｘ−ａ）²＋・・・　と表される。

　

　この応用として

★数列の和 Ｓ_ｎ から一般項 ａ_ｎ を求める公式：

　ａ₁＝Ｓ₁　、ｎ≧２　のとき、　ａ_ｎ＝Ｓ_ｎ−Ｓ_ｎ-1

　Ｓ_ｎ を ｎ−１ で展開すると、

　Ｓ₁　および　Ｓ_ｎ＝Ｃ₀＋Ｃ₁(ｎ−１)＋Ｃ₂(ｎ−１)²＋Ｃ₃(ｎ−１)³＋・・・

を得る。また、与式の ｎ に ｎ−１ を代入して、Ｓ_ｎ-1 を得る。

　よって、　ａ_ｎ ＝Ｓ_ｎ −Ｓ_ｎ-1　は、ｎ−１ を変数とする整式に展開される。

　ｎ−１＝ｘ　とおくと、ｎ＝ｘ＋１　なので、方程式の解に １ を加えた方程式を求めることに

より、一般項　ａ_ｎ を得る。

★ｙ＝Ｆ(ｘ) のグラフを、ｘ 軸方向に ａ、ｙ 軸方向に ｂ だけ平行移動したグラフを表す式：

　 ｙ＝Ｆ(ｘ−ａ)＋ｂ

　Ｆ(ｘ)を ｘ＋ａ で展開し、　ｙ＝Ｆ(ｘ) ＝Ａ＋Ｂ(ｘ＋ａ)＋Ｃ(ｘ＋ａ)²＋Ｄ(ｘ＋ａ)³＋・・・　を得る。

　この式に、ｘ＝Ｘ−ａ、ｙ＝Ｙ−ｂ（平行移動量）を代入すると、

　　Ｙ＝Ａ＋ｂ＋Ｂｘ＋Ｃｘ²＋Ｄｘ³＋・・・　を得る。

例　ｙ＝ｘ³＋２ｘ²−３　のグラフを、ｘ 軸方向に ２、ｙ 軸方向に −３ だけ平行移動する場合

（解）　ｙ＋３＝（ｘ−２）³＋２（ｘ−２）²−３　より、展開して整理すると、

　ｙ＝ｘ³−４ｘ²＋４ｘ−６　　（終）

　この計算は、組立除法を用いると次のように計算される。

左の計算により、 　　　Ｙ＋３＝Ｘ3−４Ｘ2＋４Ｘ−３ 　　なので、求める関数は、 　　　ｙ＝ｘ3−４ｘ2＋４ｘ−６

●ｎ次式へ拡張した組立除法は、特に、「スーパー組立除法」と言われることを、最近参加し
た数学研究会で新潟高校の先生より教わった。

　整式 ａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄ を ｘ²−ｐｘ−ｑ　で割った商　ａｘ＋ｒ　と余り　ｍｘ＋ｎ　は次のよう
にして求められる。（１次式の場合の「Ｘ−α」を意識して、２次式も「ｘ²−ｐｘ−ｑ」の形に置く
のが自然なのだろう。）

　

　実際に、　ａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄ＝（ｘ²−ｐｘ−ｑ）（ａｘ＋ｒ）＋ｍｘ＋ｎ　から係数比較して、

　ｂ＝−ａｐ＋ｒ　、ｃ＝−ａｑ−ｒｐ＋ｍ　、　ｄ＝−ｒｑ＋ｎ

より、　ｒ＝ｂ＋ａｐ　、　ｍ＝ｃ＋ｒｐ＋ａｑ　、　ｎ＝ｄ＋ｒｑ　　である。

　また、整式 ａｘ⁴＋ｂｘ³＋ｃｘ²＋ｄｘ＋ｅ を ｘ²−ｐｘ−ｑ　で割った商　ａｘ²＋ｒｘ＋ｓ　と余り
ｍｘ＋ｎ　も、

　ｂ＝−ａｐ＋ｒ　、ｃ＝−ａｑ−ｒｐ＋ｓ　、　ｄ＝−ｒｑ−ｓｐ＋ｍ　、ｅ＝−ｓｑ＋ｎ

より、　ｒ＝ｂ＋ａｐ　、　ｓ＝ｃ＋ｒｐ＋ａｑ　、　ｍ＝ｄ＋ｓｐ＋ｒｑ　、　ｎ＝ｅ＋ｓｑ　　であるので、

　

より、簡便に求められる。


　除数が因数分解された場合は、ケース１に相当するが、一般の整式で与えられる場合は、
拡張された組立除法を用いて解決される。

問　題　　Ｆ(ｘ)＝ｘ³−３ｘ²＋５ｘ−６　において、Ｆ(１＋)の値を求めよ。

（解）　ｘ＝１＋　が満たす２次方程式は、　ｘ²−２ｘ−２＝０

よって、左の計算により、 　　　Ｆ(ｘ)＝（ｘ2−２ｘ−２）（ｘ−１）＋５ｘ−８ 　　　したがって、　Ｆ(１＋)＝−３＋５　　（終）

（コメント）　攻略法さん、分かり易く整理していただいて感謝します。


　読者のために、いくつか練習問題を置いておこう。

練習問題　　次の割り算の商と余りを求めよ。

（１）　（２ｘ³＋４ｘ²−３ｘ＋１）÷（ｘ²−ｘ−２）

（２）　（３ｘ³−５ｘ²＋２ｘ−３）÷（ｘ²−ｘ−２）

（３）　（２ｘ⁴−３ｘ³＋ｘ²−３ｘ＋２）÷（ｘ²−ｘ−２）

（４）　（３ｘ⁵＋２ｘ³＋３ｘ²＋ｘ＋４）÷（ｘ³−ｘ−２）


（解）（１）　２ｘ³＋４ｘ²−３ｘ＋１、ｘ²−ｘ−２　の係数を書き出す。
　　　　青丸数字は、筆算の順番を表す。

　　

　よって、（２ｘ³＋４ｘ²−３ｘ＋１）÷（ｘ²−ｘ−２）の商は、２ｘ＋６　、余りは、７ｘ＋１３

（２）　３ｘ³−５ｘ²＋２ｘ−３、ｘ²−ｘ−２　の係数を書き出す。

　　

　よって、（３ｘ³−５ｘ²＋２ｘ−３）÷（ｘ²−ｘ−２）の商は、３ｘ−２　、余りは、６ｘ−７

（３）　２ｘ⁴−３ｘ³＋ｘ²−３ｘ＋２、ｘ²−ｘ−２　の係数を書き出す。

　　

　よって、（２ｘ⁴−３ｘ³＋ｘ²−３ｘ＋２）÷（ｘ²−ｘ−２）の商は、２ｘ²−ｘ＋４　、余りは、−ｘ＋１０

（４）　３ｘ⁵＋２ｘ³＋３ｘ²＋ｘ＋４、ｘ³−ｘ−２　の係数を書き出す。

　　

　よって、（３ｘ⁵＋２ｘ³＋３ｘ²＋ｘ＋４）÷（ｘ³−ｘ−２）の商は、３ｘ²＋５　、余りは、９ｘ²＋６ｘ＋１４


例　(Ｘ³＋２Ｘ²−３Ｘ−４）÷(Ｘ−１)(Ｘ−２)　の商と余りをスーパー組立除法により求めてみよう。

　(Ｘ−１)(Ｘ−２)＝Ｘ2−３Ｘ＋２　なので、

　　

　したがって、商は、Ｘ＋５　、余りは、１０Ｘ−１４

　スーパー組立除法の応用例を考えてみよう。

問題　　ｘ⁴＋ａｘ³＋ｂｘ²−ｘ＋３ を ｘ²−ｘ−２ で割ったときの余りが ２ｘ＋１ になるという。
　　このとき、定数 ａ、ｂ の値を求めよ。

（解）　自明な部分は補って、スーパー組立除法により、

　　

　よって、−１−１＋（ア）＝２　から、　（ア）＝４　よって、（イ）＝２　で、（ウ）＝２

　ａ＋１＝２　より、　ａ＝１　、ｂ＋２＋２＝−１　より、　ｂ＝−５　　（終）


（コメント）　ｘ²−ｘ−２＝（ｘ−２）（ｘ＋１）　なので、剰余の定理を使った方が速いかな？



　　以下、工事中