組立除法の意外な使い道                戻る

 n 次の整式を 1次式で割り、その商と余りを求める場合、通常「組立除法」が用いられる。

例1. (X3+2X−5)÷(X−1) の商と余りを求めよ。

    左の計算により、

    商は、X2+X+3、余りは、−2




例2. (2X3+3X2+4)÷(2X−1) の商と余りを求めよ。


    左の計算により、

    商は、X2+2X+1、余りは、5



 上記のような略記法で計算する場合、例1.と例2.の違いに注意を要する。

その違いは、次の等式により了解される。

例1.の場合は、 X3+2X−5 = (X−1)(X2+X+3)−2

例2.の場合は、

 2X3+3X2+4 = (X−1/2)(2X2+4X+2)+5= (2X−1)(X2+2X+1)+5

 基本的に、組立除法は X− α による割り算なので、aX+b による割り算に用いる場合は、
商は、a で割るという操作が一回入る。

 このようなことは、F(X)÷G(X) の計算で、商を Q(X)、余りを R(X) としたとき、

    F(X)=G(X)Q(X)+R(X)   (R(X)=0 または degR(X)<degG(X) )

と書いて初めて理解されることである。

 組立除法をこのような見方で見直すと、組立除法の意外な使い道が見えてくる。

平均変化率の計算

 整式 F(X) を 1次式 X−a で割った商を S(X)、余りを T とし、商 S(X) を 1次式 X−b で
割った商を Q(X)、余りを R とする。このとき、

 F(X)=(X−a)S(X)+T=(X−a)((X−b)Q(X)+R)+T

なので、F(a)=T、F(b)=(b−a)R+T が成り立つ。よって、F(b)−F(a)=(b−a)R となる。

 したがって、次の公式を得る。

公式 整式 F(X) において、X の値が a から b まで変化するときの平均変化率は、
 F(X) を X−a で割った商を、X−b で割った余りに等しい。


例 F(X)=2X3−3X2+X−4 において、X の値が −1 から 2 まで変化するときの平均
  変化率を求めてみよう。

 通常は、次のように計算される。

 F(−1)=2(−1)3−3(−1)2+(−1)−4=−10、F(2)=2・23−3・22+2−4=2

よって、平均変化率は、(F(2)−F(−1))/(2−(−1))=12/3=4

 上記の計算は、今の高校生にとって、とても苦手なようで、100%全員が正解になること
はない。

 組立除法を用いた場合は、次のように計算される。

 

 以上から、求める平均変化率は、4 である。

記数法の計算

 二進法で、110101 という数は、十進法では、どのような数であろうか?

通常、このような計算は次のようになされる。

 ×25×24×23×22×2+=53

 組立除法を用いた場合は、次のように計算される。

 

 なぜ、このような計算で求められるのだろうか?

 その原理は、いたって単純である。

 二進法で表される数が、110101 とする。

整式 F(X)=1・X5+1・X4+0・X3+1・X2+0・X+1 に対して、

十進法で表される数は、1×25+1×24+0×23+1×22+0×2+1 すなわち  F(2)

に等しい。したがって、求める数は、割り算 F(X) ÷ (X−2) の余りである。

整式の割り算

 組立除法というと、整式の X− a による割り算を思い浮かべるが、実は、(X− a)(X−b)
の割り算にも有効である。

例 (X3+2X2−3X−4)÷(X−1)(X−2) の商と余りを求めよ。

 通常は、次のように計算される。(実際に、割り算を実行してもよい。)

 整式 F(X) = X3+2X2−3X−4 = X(X−1)(X−2)+5X2−5X−4
 = X(X−1)(X−2)+5(X−1)(X−2)+10X−14=(X−1)(X−2)(X+5)+10X−14

 したがって、商は、X+5 、余りは、10X−14

 組立除法を用いて計算する場合、どのような手順でやるのだろうか?

 整式 F(X) を 1次式 X−a で割った商を S(X)、余りを T とし、商 S(X) を 1次式 X−b
で割った商を Q(X)、余りを R とする。このとき、

 F(X)=(X−a)S(X)+T=(X−a)((X−b)Q(X)+R)+T

すなわち、F(X)=(X−a)(X−b)Q(X)R(X−a)+T

ここで、T=F(a) 、(b−a)R=F(b)−F(a) である。

 したがって、次の公式を得る。

公式 整式 F(X) を 1次式 X−a で割った商を S(X)、余りを T とし、商 S(X) を
  1次式 X−b で割った商を Q(X)、余りを R とする。
 今、整式 F(X) を (X−a)(X−b) で割るとき、

  商は Q(X) 、余りは、 R(X−a)+F(a) で与えられる。


それでは、実際に、組立除法を適用してみよう。

   左の計算により、

  商は、・X+=X+5

  余りは、10(X−1)+(−4)=10X−14

  となる。(これは、上の計算結果と一致する。)


定積分の計算

 定積分の計算も差の形なので、平均変化率の計算と同様にして求められる。

 定積分    を求めよ。

 通常は、

  

という公式から、G(X)=X3−X2+X なので、求める値は、

 G(2)−G(−1)=(8−4+2)−(−1−1−1)=9

 ところで、G(b)−G(a)=m(b−a) (m:平均変化率)なので、組立除法を用いた場合は、
次のように計算される。

   左の計算により、

  求める値は、 (2−(−1))=9 となる。

  (これは、上の計算結果と一致する。)


 上記の計算だと組立除法を用いる有効性が視認されないが、G(X) や a、b の値に分数
が入ってくる場合は多分(?)有効だろうと思う。

 その他、数列の和 S から一般項 a を求める公式

 a1=S1 、 n≧2 のとき、 a=S−Sn-1

についても組立除法は使えるが、その応用は読者の練習に残しておこう。


(参考文献:熊野充博 著 組立除法の応用例 (数研通信 No.20))


(追記) 平成22年10月14日付け

 当HPがいつもお世話になっているHN「攻略法」さんが、

数列の和 S から一般項 a を求める公式

 a1=S1 、 n≧2 のとき、 a=S−Sn-1

について考察された。

問 題  初項から第 n 項までの和 S が、 S=n2+2n で与えられる数列の一般項
     a を求めよ。

 通常は、次のように解かれる。

 n=1 のとき、a1=S1=3

 n≧2 のとき、 a =S −Sn-1=(n2+2n)−{(n−1)2+2(n−1)}=2n+1

 この式は、n=1 のときも成り立つ。

  ゆえに、n≧1 のとき、 a =2n+1

 これに対して、組立除法を用いた場合は、次のように計算される。

(解) 組立除法を使って、n2+2n を n−1 で展開する。(→ 参考:「整式の割り算」)

   よって、左の計算により、

  S1 (← n2+2n を n−1 で割った余り)

  S・(n−1)2・(n−1)+

  また、 Sn-1=(n−1)2+2(n−1)

したがって、S−Sn-1 は、n−1 を変数とする多項式の減算だから、a= 2(n−1)+3 

(普通に計算すれば、a =2n+1 であるが、一般化を意識して...)

 n−1=x とおくと、n=x+1 なので、方程式 2x+3=0 の解に 1 を加えればよい。

(→ 参考:「方程式の変換」)

  よって、左の計算により、求める方程式は、 2n+1=0 となり、

  a=2n+1


(コメント) 攻略法さんに感謝します。

 さらに、攻略法さんに組立除法の使用場面をまとめて頂いた。(平成22年10月16日付け)

ケース1

★整式 F(x) を x−a で割ったときの商: Q(x) 、余り: R
★整式 F(a) の値(x=a を代入する)
★記数法の計算

 ※ F(x)=Q(x)(x−a)+F(a) と表される。

 

★整式 F(x) を(x−a)(x−b)で割ったときの商: Q(x) 、余り: R(X−a)+F(a)

 ただし、R={F(b)−F(a)}/(b−a)

★整式 F(x) において、x の値が a から b まで変化するときの平均変化率: R

★定積分:

 

★整式 F(x) 上の2点( a ,F(a) )、( b ,F(b) ) を通る直線の方程式: y=R(x−a)+F(a)

 ※ F(x)=Q(x)(x−a)(x−b)+R(x−a)+F(a) と表される。

 ← R:(x−a)の係数、傾き、平均変化率

ケース2

★整式 F(x) を x=a でテイラー展開する
★整式 F(x) を (x−a)2 で割ったの商: Q(x) 、余り: F’(a)(x−a)+F(a)
★整式 F(x) 上の点( a ,F(a) )における接線の方程式: y=F’(a)(x−a)+F(a)
★代数方程式の根をニュートン法で求める(関数値、微分係数)

 ※ F(x)=F(a)+F’(a)(x−a)+{F”(a)/2!}(x−a)2+・・・ と表される。

 

 この応用として

★数列の和 S から一般項 a を求める公式:

 a1=S1 、n≧2 のとき、 a=S−Sn-1

 S を n−1 で展開すると、

 S1 および S=C0+C1(n−1)+C2(n−1)2+C3(n−1)3+・・・

を得る。また、与式の n に n−1 を代入して、Sn-1 を得る。

 よって、 a =S −Sn-1 は、n−1 を変数とする整式に展開される。

 n−1=x とおくと、n=x+1 なので、方程式の解に 1 を加えた方程式を求めることに

より、一般項 a を得る。

★y=F(x) のグラフを、x 軸方向に a、y 軸方向に b だけ平行移動したグラフを表す式:

  y=F(x−a)+b

 F(x)を x+a で展開し、 y=F(x) =A+B(x+a)+C(x+a)2+D(x+a)3+・・・ を得る。

 この式に、x=X−a、y=Y−b(平行移動量)を代入すると、

  Y=A+b+Bx+Cx2+Dx3+・・・ を得る。

例 y=x3+2x2−3 のグラフを、x 軸方向に 2、y 軸方向に −3 だけ平行移動する場合

(解) y+3=(x−2)3+2(x−2)2−3 より、展開して整理すると、

 y=x3−4x2+4x−6  (終)

 この計算は、組立除法を用いると次のように計算される。

  左の計算により、

   Y+3=X3−4X2+4X−3

  なので、求める関数は、

   y=x3−4x2+4x−6


n次式へ拡張した組立除法は、特に、「スーパー組立除法」と言われることを、最近参加し
た数学研究会で新潟高校の先生より教わった。

 整式 ax3+bx2+cx+d を x2−px−q で割った商 ax+r と余り mx+n は次のよう
にして求められる。(1次式の場合の「X−α」を意識して、2次式も「x2−px−q」の形に置く
のが自然なのだろう。)

 

 実際に、 ax3+bx2+cx+d=(x2−px−q)(ax+r)+mx+n から係数比較して、

 b=−ap+r 、c=−aq−rp+m 、 d=−rq+n

より、 r=b+ap 、 m=c+rp+aq 、 n=d+rq  である。

 また、整式 ax4+bx3+cx2+dx+e を x2−px−q で割った商 ax2+rx+s と余り
mx+n も、

 b=−ap+r 、c=−aq−rp+s 、 d=−rq−sp+m 、e=−sq+n

より、 r=b+ap 、 s=c+rp+aq 、 m=d+sp+rq 、 n=e+sq  であるので、

 

より、簡便に求められる。


 除数が因数分解された場合は、ケース1に相当するが、一般の整式で与えられる場合は、
拡張された組立除法を用いて解決される。

問 題  F(x)=x3−3x2+5x−6 において、F(1+)の値を求めよ。

(解) x=1+ が満たす2次方程式は、 x2−2x−2=0

   よって、左の計算により、

   F(x)=(x2−2x−2)(x−1)+5x−8

   したがって、 F(1+)=−3+5  (終)



(コメント) 攻略法さん、分かり易く整理していただいて感謝します。


 読者のために、いくつか練習問題を置いておこう。

練習問題  次の割り算の商と余りを求めよ。

(1) (2x3+4x2−3x+1)÷(x2−x−2)

(2) (3x3−5x2+2x−3)÷(x2−x−2)

(3) (2x4−3x3+x2−3x+2)÷(x2−x−2)

(4) (3x5+2x3+3x2+x+4)÷(x3−x−2)


(解)(1) 2x3+4x2−3x+1、x2−x−2 の係数を書き出す。
    青丸数字は、筆算の順番を表す。

  

 よって、(2x3+4x2−3x+1)÷(x2−x−2)の商は、2x+6 、余りは、7x+13

(2) 3x3−5x2+2x−3、x2−x−2 の係数を書き出す。

  

 よって、(3x3−5x2+2x−3)÷(x2−x−2)の商は、3x−2 、余りは、6x−7

(3) 2x4−3x3+x2−3x+2、x2−x−2 の係数を書き出す。

  

 よって、(2x4−3x3+x2−3x+2)÷(x2−x−2)の商は、2x2−x+4 、余りは、−x+10

(4) 3x5+2x3+3x2+x+4、x3−x−2 の係数を書き出す。

  

 よって、(3x5+2x3+3x2+x+4)÷(x3−x−2)の商は、3x2+5 、余りは、9x2+6x+14


例 (X3+2X2−3X−4)÷(X−1)(X−2) の商と余りをスーパー組立除法により求めてみよう。

 (X−1)(X−2)=X2−3X+2 なので、

  

 したがって、商は、X+5 、余りは、10X−14

 スーパー組立除法の応用例を考えてみよう。

問題  x4+ax3+bx2−x+3 を x2−x−2 で割ったときの余りが 2x+1 になるという。
  このとき、定数 a、b の値を求めよ。

(解) 自明な部分は補って、スーパー組立除法により、

  

 よって、−1−1+(ア)=2 から、 (ア)=4 よって、(イ)=2 で、(ウ)=2

 a+1=2 より、 a=1 、b+2+2=−1 より、 b=−5  (終)


(コメント) x2−x−2=(x−2)(x+1) なので、剰余の定理を使った方が速いかな?



  以下、工事中