チルンハウス変換　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰの掲示板「出会いの泉」で、当ＨＰがいつもお世話になっている Ａ’ｚさんが「チルン
ハウス変換」の話題を提供されている。（平成１９年１０月２８日〜）

　チルンハウス（Ｅｈｒｅｎｆｒｉｅｄ　Ｗａｌｔｅｒ　ｖｏｎ　Ｔｓｃｈｉｒｎｈａｕｓ　１６５１〜１７０８）はドイツの
数学者で、同時代にニュートンやライプニッツらがいる。

　チルンハウスは、一般の５次方程式が常に「 ｘ⁵＋ａｘ＋ｂ＝０ 」と表されることを証明した
らしい．．．５次方程式の解の公式を求めようとして！しかし、それは徒労に終わってしまっ
た。

　ｎ 次の多項式 Ｆ（ｘ）と、１次以上 ｎ−１ 次以下の多項式 φ（ｘ） に対して、終結式

　　　　　Ｇ（ｘ）＝Ｒ（ Ｆ（ｙ） ， ｘ − φ（ｙ） ）

を、 Ｆ（ｘ） の φ（ｘ） によるチルンハウス変換という。

　α を Ｆ（ｘ）の根とすると、 φ（α） は、Ｇ（ｘ） の根となる。

例（２次式の平方完成）

　　ｘ²＋２ａｘ＋ｂ＝（ｘ＋ａ）²＋ｂ−ａ²

　したがって、　２次式 ｘ²＋２ａｘ＋ｂ　を考える代わりに、２次式 ｘ²＋ｂ−ａ²　を考えた方が
考えやすい。

　このような考え方が、「チルンハウス変換」と言われるものである。

　実際に、　Ｆ（ｘ）＝ｘ²＋２ａｘ＋ｂ　、φ（ｘ）＝ｘ＋ａ　に対して、求める終結式は

　　　　Ｒ（ ｙ²＋２ａｙ＋ｂ ， ｘ−ｙ−ａ ）＝（ｘ−ａ）²＋２ａ（ｘ−ａ）＋ｂ＝ｘ²＋ｂ−ａ²

なので、　Ｇ（ｘ）＝ｘ²＋ｂ−ａ²　は、Ｆ（ｘ）のφ（ｘ）によるチルンハウス変換となる。

例（３次式のチルンハウス変換）

　２次式の場合と同様に、３次式　ｘ³＋３ａｘ²＋３ｂｘ＋ｃ　については、

　　　ｘ³＋３ａｘ²＋３ｂｘ＋ｃ＝（ｘ＋ａ）³＋３（ｂ−ａ²）ｘ＋ｃ−ａ³

　　　　　　　　　　　　　　　＝（ｘ＋ａ）³＋３（ｂ−ａ²）（ｘ＋ａ）＋ｃ−３ａｂ＋２ａ³

なので、　Ｆ（ｘ）＝ｘ³＋３ａｘ²＋３ｂｘ＋ｃ　の　φ（ｘ）＝ｘ＋ａ　によるチルンハウス変換は、

　　　Ｇ（ｘ）＝ｘ³＋３（ｂ−ａ²）ｘ＋ｃ−３ａｂ＋２ａ³

となる。実際に、

　Ｇ（ｘ）＝Ｒ（ ｙ³＋３ａｙ²＋３ｂｙ＋ｃ ， ｘ−ｙ−ａ ）

　　　　＝（ｘ＋２ａ）（ｘ−ａ）²＋ｃ＋３ｂ（ｘ−ａ）

　　　　＝ｘ³＋３（ｂ−ａ²）ｘ＋ｃ−３ａｂ＋２ａ³

例　Ｆ（ｘ）＝ｘ³＋３ｘ²＋６ｘ＋４　をチルンハウス変換すると、Ｇ（ｘ）＝ｘ³＋３ｘ

　　よって、　Ｇ（ｘ）＝ｘ³＋３ｘ＝０　の解は、　ｘ＝０　、ｉ　、−ｉ

　　このとき、Ｆ（ｘ）＝ｘ³＋３ｘ²＋６ｘ＋４＝０　の解は、φ^-1（ｘ）＝ｘ−１　より、

　　　φ^-1（０）＝−１　、φ^-1（ｉ）＝ｉ−１　、φ^-1（−ｉ）＝−ｉ−１

となる。



　　以下、工事中