隣り合う分数　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　整数の世界では、２ と ３ は「隣り合っている」、３ と ５ は「隣り合っていない」だろうという
ことは直感的に理解できる。

　整数論で、「連続する３整数の積は、６ の倍数である」という定理があるが、これは正確に
は「隣り合う３つの整数の積は、６ の倍数である。」とすべきだろう。

　ところが、分数の世界に数の範囲を拡げた場合、「隣り合う」という感覚が不明確になる。

　例えば、

　　分数の １/３ と １/２ は、果たして隣り合っているのだろうか？
　　分数の １/３ と ２/３ は、どうなんだろうか？
　　　　　．．．．．．．．．　疑問は尽きない。

　この問題に対して、次のような考え方があることを最近知った。

定義　　２つの分数 ａ/ｂ 、ｃ/ｄ （ａ，ｂ，ｃ，ｄ は整数で、ｂ，ｄ＞０）に対して、

　　　　　　　　　　ａｄ−ｂｃ＝±１

　　　　が成り立つとき、２つの分数 ａ/ｂ 、ｃ/ｄ は隣り合うという。

　ｂ＝ｄ＝１　すなわち　２つの数が、ともに整数の場合は、我々の今までの直感的理解と
一致する。

　この定義を用いると、１/３ と １/２ は、隣り合っていると言えるが、１/３ と ２/３ は、隣り
合っているとは言えないことになる。

　１/２ と ２/３ については、１/３＜１/２＜２/３ なので、「あ〜そうかな〜」という感じなのだ
が、１/３＜９/２０＜１/２ である ９/２０ が １/３ とは隣り合っていないことを思うと、とても
不思議な感覚だといえる。

　下図に、分数を並べてみた。

　　　

　分数全体が、加算集合を示すには上図で十分であるが、「隣り合う」という感覚を説明す
るには不十分である。

定義によれば、２つの列ベクトル		によって生成される平行四辺形の面積
が １ であるときに、２つの分数は「隣り合う」ことになる。

　このことを言い換えれば、面積 １ の正方形に一次変換を施して、面積が不変な場合、そ
の１次変換を表す行列の列ベクトルは、隣り合う分数を生成することになる。
　（もちろん、行列の成分は全て整数とする。）

　隣り合う分数には、次のような面白い性質もあるらしい。

性質（１）　２つの分数 ａ/ｂ 、ｃ/ｄ （ａ，ｂ，ｃ，ｄ は整数で、ｂ，ｄ＞０）が隣り合う分数
　　　　　であるとき、２つの分数は既約分数でなければならない。

　（証明）　分数 ａ/ｂ が既約分数でないと仮定すると、最大公約数 （ａ，ｂ）は１とは異なる。

　　　　　条件より、ａｄ−ｂｃ＝±１ で、左辺が （ａ，ｂ） で割り切れることになり、矛盾。

　　　　　よって、分数 ａ/ｂ は既約分数。分数 ｃ/ｄ についても同様である。　　（証終）


性質（２）　２つの分数 ａ/ｂ 、ｃ/ｄ （ａ，ｂ，ｃ，ｄ は整数で、ｂ，ｄ＞０）が隣り合う分数
　　　　　であるとき、分数 （ａ＋ｃ）/（ｂ＋ｄ） は、これらの間にあって、両方に隣り合う
　　　　　分数となる。

　（証明）　２つの分数 ａ/ｂ 、ｃ/ｄ は隣り合う分数であるので、ａｄ−ｂｃ＝±１

　　　　（ａ＋ｃ）/（ｂ＋ｄ） と ａ/ｂ について、（ａ＋ｃ）ｂ−（ｂ＋ｄ）ａ＝ｂｃ−ａｄ＝±１　なので、

　　　　分数 （ａ＋ｃ）/（ｂ＋ｄ） と ａ/ｂ は隣り合う分数である。

　　　　同様にして、

　　　　（ａ＋ｃ）/（ｂ＋ｄ） と ｃ/ｄ について、（ａ＋ｃ）ｄ−（ｂ＋ｄ）ｃ＝ａｄ−ｂｃ＝±１　なので、

　　　　分数 （ａ＋ｃ）/（ｂ＋ｄ） と ｃ/ｄ は隣り合う分数である。

　　　　また、

　　　　（（ａ＋ｃ）/（ｂ＋ｄ）−ａ/ｂ)(（ａ＋ｃ）/（ｂ＋ｄ）−ｃ/ｄ）＝−１/ｂ²（ｂ＋ｄ）²＜０

　　　　より、（ａ＋ｃ）/（ｂ＋ｄ） は、２つの分数 ａ/ｂ 、ｃ/ｄ の間にある。（証終）


　この性質（２）から、１/３ と １/２ は、隣り合う分数なので、

　　　　　　　　　　　１/３＜３/８＜２/５＜３/７＜１/２

と次々に隣り合う分数ができるかにみえるが、それは、隣り合う三者間の関係であって、
離れた数同士は、やはり隣り合わないもの

　　　　　上の場合だと、１/３ と ３/７，３/８ と ３/７，・・・

も出てくる。なんか収拾がつかない感じだ。

　この「隣り合う分数」という概念から、どのような数学が展開されるのか、とても興味がある。


（参考文献：Ｉ．Ｍ．ゲルファント　Ａ．シュン　著　富永　星　赤尾和男　訳
　　　　　　　　ゲルファント先生の学校に行かずにわかる数学　３　代数（岩波書店））


（追記）　平成１９年５月１９日付け

　平成１９年５月８日付けで、当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、ＨＮ「数学はとことん難しい」
さんから書き込みがあった。

　　テレビ番組をみていると、どうも「予告→本編」の連鎖を客観的な文体で宣伝コードを要

　所要所に埋め込んでいるとみられ、これらを探求していくと、一年間を１２区画に分割でき、

　「6　5/6　5　4/5　4　3/4　3　2/3　2　1/2　1　0/1　0」(0は6にまた6は0に置き換え、数列

　の輪で考える)のテーマで数列を構成している雰囲気である。特に分数の並びが妙なので

　インターネット検索をすると「ファレイ数列」「既約分数」「スターン＝ブロコット木」を割り出

　したが、これ以上の資料は見当たらない。これらの数列は何を意味しているのだろうか。


　「隣り合う分数」というページは平成１５年６月頃アップしたもので、常々「隣り合う分数」や、
分数の合理的な番号の付け方をどうするかなど頭の片隅にあった。掲示板の書き込みを
見てほぼ４年ぶりの見直しをしようと思い立った。

　ところで、数学セミナー（日本評論社）　２００５年２月号〜４月号で、京都大学教授であら
れた岩井齊良さんが「分数の世界」と題して連載されている。また、数学セミナー　２００７年
３月号で、浅井哲也さんが「エレガントな解答をもとむ」で隣り合う分数を話題にされている。
時は正に「隣り合う分数」で熟したかのようである。

＃岩井齊良さんが２０２１年８月６日に逝去された。謹んで哀悼の意を表します。


　いま、このページを読み返していて、

性質（２）　２つの分数 ａ/ｂ 、ｃ/ｄ （ａ，ｂ，ｃ，ｄ は整数で、ｂ，ｄ＞０）が隣り合う分数
　　　　　であるとき、分数 （ａ＋ｃ）/（ｂ＋ｄ） は、これらの間にあって、両方に隣り合う
　　　　　分数となる。

から作られたであろう問題

　　ａ，ｂ，ｃ，ｄ が正の数で、 ａ/ｂ ＜ ｃ/ｄ ならば、

　　　　　ａ/ｂ ＜ （ａ＋ｃ）/（ｂ＋ｄ） ＜ｃ/ｄ　

　が成り立つことを証明せよ。

が脳裏をかすめる。この問題は古くは福岡教育大学で出題されたものだが、教科傍用の
問題集で解いた覚えがある方がほとんどだろう。

　私自身、この問題を高校１年の不等式の証明の時間に解いた覚えがあるが、この問題
が「隣り合う分数」の話題に関係しているとは、その当時、微塵も思わなかった！

　自然数 ｎ 以下の分母を持つ ０ 以上 １ 以下の既約分数を大きさの順に小さい方から並
べた数列を、ファレイ（Ｆａｒｅｙ）数列という。ファレイ数列を、Ｆ_ｎ と表すことにする。

例　数列 Ｆ₁ は、 ０/１　，　１/１　　（数 ０ を分数 ０/１ で表す。）

例　数列 Ｆ₂ は、 ０/１　，　１/２　，　１/１

例　数列 Ｆ₃ は、 ０/１　，　１/３　，　１/２　，　２/３　，　１/１

例　数列 Ｆ_４ は、 ０/１　，　１/４　，　１/３　，　１/２　，　２/３　，　３/４　，　１/１

例　数列 Ｆ_５ は、 ０/１　，　１/５　，　１/４　，　１/３　，　２/５　，　１/２　，　３/５　，　２/３　，　３/４　，　４/５　，　１/１

例　数列 Ｆ_６ は、 ０/１　，　１/６　，　１/５　，　１/４　，　１/３　，　２/５　，　１/２　，　３/５　，　２/３　，　３/４　，　４/５　，　５/６　，　１/１


　上記例の数列において新しい項が、前段の２つの分数 ａ/ｂ ，ｃ/ｄ から、

　　　　　　　（ａ＋ｃ）/（ｂ＋ｄ）

という形の中間分数により与えられている点が面白い。換言すれば、隣り合う分数の話題
に関係するということだ。

　ファレイ数列 Ｆ_ｎ が、いくつの項からなる数列かという問いに対して、次の事実が知られ
ている。ファレイ数列の特徴から明らかだろう。

　オイラーの関数 φ（ｎ）　に対して、ファレイ数列 Ｆ_ｎ の項数は、

　　　　　１＋φ（１）＋φ（２）＋・・・＋φ（ｎ）

により与えられる。

　但し、φ（ｎ）＝（1 から ｎ までの自然数のうち ｎ と互いに素なものの個数）


例　φ（１）＝１　、φ（２）＝１　、　φ（３）＝２　、φ（４）＝２　、・・・　なので、

　　　　　ファレイ数列Ｆ₁ の項数は、　１＋φ（１）＝２

　　　　　ファレイ数列Ｆ₂ の項数は、　１＋φ（１）＋φ（２）＝３

　　　　　ファレイ数列Ｆ₃ の項数は、　１＋φ（１）＋φ（２）＋φ（３）＝５

　以下、同様にして、

　　　　　ファレイ数列Ｆ₄ の項数は、７

　　　　　ファレイ数列Ｆ₅ の項数は、１１

　　　　　ファレイ数列Ｆ₆ の項数は、１３

　　　　　ファレイ数列Ｆ₇ の項数は、１９

　　　　　ファレイ数列Ｆ₈ の項数は、２３

　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

である。

　一般に、ファレイ数列Ｆ_ｎ の項数は、大体　３ｎ²/π²　位であることが知られている。

　　ｎ＝１　のとき、　３ｎ²/π²＝３/π²≒０．３　　（実際の項数は、２）

　　ｎ＝２　のとき、　３ｎ²/π²＝１２/π²≒１．２　　（実際の項数は、３）

　　ｎ＝３　のとき、　３ｎ²/π²＝２７/π²≒２．７　　（実際の項数は、５）

　　ｎ＝４　のとき、　３ｎ²/π²＝４８/π²≒４．９　　（実際の項数は、７）

　　ｎ＝５　のとき、　３ｎ²/π²＝７５/π²≒７．６　　（実際の項数は、１１）

　　ｎ＝６　のとき、　３ｎ²/π²＝１０８/π²≒１０．９　　（実際の項数は、１３）

　　ｎ＝７　のとき、　３ｎ²/π²＝１４７/π²≒１４．９　　（実際の項数は、１９）

　　ｎ＝８　のとき、　３ｎ²/π²＝１９２/π²≒１９．５　　（実際の項数は、２３）

　　　　（小さい ｎ については、全然遠いかな．．．ｆ(^_^;)　）


　上記で、数 ０ を分数 ０/１ で表したように、正の無限大（＋∞）を分数 １/０ で表すことに
する。このとき、２つの既約分数 ａ/ｂ ，ｃ/ｄ から、新しい既約分数 （ａ＋ｃ）/（ｂ＋ｄ） が順次
生成される。

　上記表の構成方法から、出現する分数は全て相異なる。

上記表を、スターン=ブロコット（Ｓｔｅｒｎ-Ｂｒｏｃｏｔ）の木構造という。

０/１　から　１/１　までに注目すると、ファレイ数列の各項が大きさの順に出現している。

　上記表の太字の数列が、ファレイ数列 Ｆ₄ で、項数は、７ である。

　上記の表から、次の性質が成り立つことが推察される。

　２つの既約分数 ａ/ｂ ，ｃ/ｄ が、あるファレイ数列の隣り合う２項であるとき、中間
分数 （ａ＋ｃ）/（ｂ＋ｄ） はファレイ数列の Ｆ_b+d の項となる

例　分数 １/２　と　２/３ は、ファレイ数列 Ｆ₃ の隣り合う２項であるが、その中間分数
　　３/５ は、ファレイ数列 Ｆ₅ の項になっている。


（追記）　平成１９年５月３０日付け

　上記では、全く機械的にファレイ数列の各項を計算したが、幾何学的に次のような意味
合いがあることを最近知ることができた。

　当ＨＰの「平成１５年度前期　東京大学　理科系」の問題でお世話になった東京大学の坪
井先生がファレイ数列を幾何的に説明されている。（日本数学会市民講演会２００６）

　下図は、２つの円　Ｃ₁：ｘ²＋（ｙ−１/２）²＝（１/２）²　　Ｃ₂：（ｘ−１）²＋（ｙ−１/２）²＝（１/２）²
と ｘ 軸に対して順次外接する円を描いたものである。

　

　このとき、円 Ｄ の中心のｘ 座標は、１/２ で、円 Ｅ₁ の中心の ｘ 座標は、１/３ 、円 Ｅ₂ の
中心の ｘ 座標は、１/３ となることに驚かされる。

　これは、正にファレイ数列のＦ₃ なのだ！

　実際に、手計算でこのことを確認してみよう。

　円 Ｄ の中心の ｘ 座標が、１/２ であることは明らかだろう。円 Ｄ の半径を Ｒ とすると、

三平方の定理より、　（１/２−Ｒ）²＋（１/２）²＝（１/２＋Ｒ）²　が成り立つ。

　これより、　Ｒ＝１/８　である。

また、円 Ｅ₁ の半径を ｒ 、中心 Ｅ₁ の ｘ 座標を ａ とすると、三平方の定理より、

　　　（１/２−ｒ）²＋ａ²＝（１/２＋ｒ）²　　　、　（１/２−ａ）²＋（１/８−ｒ）²＝（１/８＋ｒ）²

が成り立つ。これより、

　　　　ａ²＝２ｒ　　、　　ａ²−ａ＋１/４＝ｒ/２

第２式より、　４ａ²−４ａ＋１＝２ｒ　なので、　４ａ²−４ａ＋１＝ａ²

すなわち、　　３ａ²−４ａ＋１＝０

よって、　（３ａ−１）（ａ−１）＝０　より、　ａ＝１/３　、１

ａ＝１　は不適なので、　ａ＝１/３

　同様にして、中心 Ｅ₂ の ｘ 座標が ２/３ であることも示される。

また、円　Ｃ₁ と円 Ｅ₁ および ｘ 軸に接する円の中心の ｘ 座標を ｂ 、半径を ｓ とすると、

上記と同様の計算から、

　　　　ｂ²＝２ｓ　　、　　ｂ²−（２/３）ｂ＋１/９＝２ｓ/９

が得られ、これを解いて、　ｂ＝１/４　、　ｓ＝１/３２　となる。


（コメント）　ｂ＝１/４　もファレイ数列のＦ₄ の項である。順次、原点に近づいて行くにした
　　　　　　がって、自然数 ｎ の逆数 １/ｎ が円の中心の ｘ 座標を与えている点、さらに
　　　　　　半径が １/(2ｎ²) のような雰囲気である点がとても面白い。

　　上図の円のことを、フォードの円（Ｆｏｒｄ　ｃｉｒｃｌｅ）と言うらしい。

　このことを一般的に証明してみよう。

　円 Ｅ_ｎ の中心の ｘ 座標が、１/ｎ
で、半径が １/(2ｎ²) 　であるとき、
円 Ｅ_ｎ+1 の中心の ｘ 座標と半径は
それぞれ
　　　　　　　、　

で与えられることを示す。






三平方の定理より、

　　　（１/２−ｒ）²＋ａ²＝（１/２＋ｒ）²　、（１/ｎ−ａ）²＋（１/(2ｎ²)−ｒ）²＝（１/(2ｎ²)＋ｒ）²

が成り立つ。これより、

　　　　ａ²＝２ｒ　、　ａ²−（２/ｎ）ａ＋１/ｎ²＝２ｒ/ｎ²

第２式より、　ｎ²ａ²−２ｎａ＋１＝２ｒ　なので、　ｎ²ａ²−２ｎａ＋１＝ａ²

すなわち、　（ｎ²−１）ａ²−２ｎａ＋１＝０

よって、　（（ｎ＋１）ａ−１）（（ｎ−１）ａ−１）＝０　より、　ａ＝１/（ｎ＋１）　、１/（ｎ−１）

　ａ＝１/（ｎ−１）　は不適なので、　ａ＝１/（ｎ＋１）

このとき、半径は、１/（２（ｎ＋１）²）　となる。


（コメント）　証明を眺めていると、今更ながらに美しい結果ですね！坪井先生に感謝します。


　さて、話を元に戻そう。上記で述べたように、下表のように中間分数が種々得られた。

　この中間分数に新しい概念が次のように付加される。

　２つの分数 ａ/ｂ＜ｃ/ｄ に対して、正の数 ｐ 、ｑ を用いて作られる分数

　　　　　　　　　　　　（ｐａ＋ｑｃ）/（ｐｂ＋ｑｄ）

は、不等式 ａ/ｂ＜（ｐａ＋ｑｃ）/（ｐｂ＋ｑｄ）＜ｃ/ｄ を満たす。

　実際に、　（ｐａ＋ｑｃ）/（ｐｂ＋ｑｄ）−ａ/ｂ＝｛（ｐａ＋ｑｃ）ｂ−（ｐｂ＋ｑｄ）ａ｝/（ｐｂ＋ｑｄ）ｂ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｑ（ｂｃ−ａｄ）/（ｐｂ＋ｑｄ）ｂ＞０

なので、　ａ/ｂ ＜ （ｐａ＋ｑｃ）/（ｐｂ＋ｑｄ）　が成り立つ。

　（ｐａ＋ｑｃ）/（ｐｂ＋ｑｄ） ＜ ｃ/ｄ 　も同様に成り立つ。


　このとき、分数 （ｐａ＋ｑｃ）/（ｐｂ＋ｑｄ） のことを、

２つの分数 ａ/ｂ＜ｃ/ｄ に対する重み ｐ ： ｑ の中間分数という。

例　　上記の表において、

　　分数 １/１ は、２つの分数 ０/１ 、 １/０ に対して、重み １ ： １ の中間分数である。

　　分数 １/２ は、２つの分数 ０/１ 、 １/０ に対して、重み ２ ： １ の中間分数である。

　　分数 １/２ は、２つの分数 ０/１ 、 １/１ に対して、重み １ ： １ の中間分数である。

　　分数 １/３ は、２つの分数 ０/１ 、 １/０ に対して、重み ３ ： １ の中間分数である。

　　分数 １/３ は、２つの分数 ０/１ 、 １/１ に対して、重み ２ ： １ の中間分数である。

　　分数 １/３ は、２つの分数 ０/１ 、 １/２ に対して、重み １ ： １ の中間分数である。

　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　この計算から、

　　　分数 １/２ は、２つの分数 ０/１ 、 １/１ の間にある

　　　分数 １/３ は、２つの分数 ０/１ 、 １/２ の間にある

ことが分かる。

　同様にして、

　分数 ２/３ は、２つの分数 ０/１ 、 １/０ に対して、重み ３ ： ２ の中間分数である。

　分数 ２/３ は、２つの分数 ０/１ 、 １/１ に対して、重み １ ： ２ の中間分数である。

　分数 ２/３ は、２つの分数 １/２ 、 １/１ に対して、重み １ ： １ の中間分数である。

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　この計算から、

　　　分数 ２/３ は、２つの分数 ０/１ 、 １/１ の間にある

　　　分数 ２/３ は、２つの分数 １/２ 、 １/１ の間にある

ことが分かる。

　また、重みの変化に着目すると次のように変化している。

　たとえば、

　　分数 １/３ の場合は、 ３ ： １ → ２ ： １ → １ ： １

　　分数 ２/３ の場合は、 ３ ： ２ → １ ： ２ → １ ： １

　このことを一般化すると、重みが等しくなるまでは、

　　　　大 ： 小 （ 小 ： 大 ） → 大−小 ： 小 （ 小 ： 大−小 ）

と変化しているようだ。

　以上をまとめて、分数 ２/３ の動向を絵にしてみた。

　　　　

　このように重み ｐ ： ｑ の値如何によって、上から下に水がしたたり落ちるように、分数の
落ち着き先（重みが １ ： １ になるまで）が定まっていくことは、とても面白い現象だ。

練習問題Ａ　　重みの変化に着目して、分数 ３/５ は、どのように変化するか？


（答）　　５ ： ３ → ２ ： ３ → ２ ： １ → １ ： １


練習問題Ｂ　　左側大→右側大→左側大→重み １ ： １ 　と重みが変化するとき出発点の
　　　　　　　　分数を求めよ。


（答）　　１ ： １ → ２ ： １ → ２ ： ３ → ５ ： ３　より、求める分数は、３/５


　練習問題Ａ、Ｂ からも分かるように、分数 ３/５ と 重みの変化は １ ： １ に対応していると
言える。

　そこで、重みが左側大のときは数字の「０」を、右側大のときは数字の「１」を対応づけるも
のとすると、

　　分数 ３/５ には、　数の並び ０１０　が対応する


例　分数 ３/４ に対応する数の並びを求めよ。

　　　４ ： ３ → １ ： ３ → １ ： ２ → １ ： １　なので、　０１１　が対応する。

　ところで、分数 ３/４ について、

　　　　　　３＝４×０＋３

　　　　　　４＝３×１＋１

　　　　　　３＝１×３

から、分数 ３/４ の連分数表示は、［ ０ ； １ ， ３ ］ となる。

　重みの変化の計算では順次大きい数から小さい数を引いているが、これは割り算をして
「余り」に換算していることに等しい。

　最後は、余り「０」の一歩手前で計算が終了するので、実質は、

　　　　　　３＝４×０＋３

　　　　　　４＝３×１＋１

　　　　　　３＝１×２＋１

という計算に等しい。

　そこで、第１行には、数の「１」を対応させ、これが「０」回、

　　　　　　第２行には、数の「０」を対応させ、これが「１」回、

　　　　　　第３行には、数の「１」を対応させ、これが「２」回、

と翻訳すれば、　０１１　という数の並びが出現する。

例　分数 ３/５ についても同様な計算で、数の並びを見いだせ。

　　　　　　３＝５×０＋３

　　　　　　５＝３×１＋２

　　　　　　３＝２×１＋１

　　　　　　２＝１×１＋１

　以上から、求める数の並びは、　０１０　となる。

　分数 ３/５ の連分数表示が、［ ０ ； １ ， １ ， ２ ］ であることを考えると、

　分数 Ｑ/Ｐ　の連分数表示が、［ ａ ； ｂ ， ｃ ，・・・， ｄ ］ であるとき、

分数 Ｑ/Ｐ　に対応する数の並びは、

１ を ａ 個 、 ０ を ｂ 個 、 １ を ｃ 個 、 ・・・ 、 １ または ０ を ｄ−１ 個並べたもの

となることが分かる。

　前にあげた表

において、　０/１ 、 １/１ 、 １/０　以外の分数について、数の並びに置き換えてみると、

　隣り合う分数 １/２ と ２/３ の中間分数として、分数 ３/５ が作られたわけだが、分数 ３/５

の数の並びが ０１０ で、分数 １/２、２/３ の数の並びがそれぞれ ０ と ０１ であることを考え

ると、分数の落ち着き先が、０１０ → ０ と ０１ を端点にもつ範囲になるものと推察される。

　すなわち、「０１０」は「０１」の左側で、かつ、「０１０」は「０」の右側に位置する。


　数学セミナー　２００７年３月号で、浅井哲也さんは、「エレガントな解答をもとむ」に、次の
ような問題を出題された。

　分母が１００以下のすべての既約分数が大きさの順に並んでいる。分数 １７/６６ の
両隣りの分数を求めよ。

　これまでに学んだ理論をこの問題に適用してみよう。

まず、　　１７＝６６×０＋１７

　　　　　　６６＝１７×３＋１５

　　　　　　１７＝１５×１＋２

　　　　　　１５＝２×７＋１

　　　　　　　２＝１×１＋１

　以上から、分数 １７/６６ に対応する数の並びは、０００１０００００００１ となる。

したがって、両隣りの分数に対応する数の並びは、

　　　　　０００１０００００００　　　　０００１００００００

となるはずである。

　これらの連分数表示は、それぞれ　［ ０ ； ３ ， １ ， ８ ］ 、［ ０ ； ３ ， １ ， ７ ］ なので、分

数に直せば、それぞれ、 ９/３５ 、 ８/３１ となる。

　このとき、２つの分数 ９/３５ 、 ８/３１ は、 ９×３１−８×３５＝−１ より隣り合う分数で、

分数 １７/６６ は、それらの中間分数である。

　さらに、２つの分数 ９/３５ 、 １７/６６ の中間分数を考えると、 ２６/１０１ となり、これは、

分母が１００以下という条件に反するから不適である。

　同様に、２つの分数 １７/６６ と ８/３１ の中間分数 ２５/９７ を考えると、分数 ８/３１ よ

り分数 ２５/９７ の方が、より分数 １７/６６ に近い。

　以上から、

　分母が１００以下のすべての既約分数を大きさの順に並べたとき、

　分数 １７/６６ の両隣りの分数は、９/３５ と ２５/９７ である

ことが示された。


　上記の問題について、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「攻略法」さんからレポートを
頂いた。（平成２２年１２月７日付け）

　ｙ/ｘ、１７/６６ （ただし、 ｙ/ｘ＜１７/６６）　が隣り合う分数から、　１７ｘ−６６ｙ＝１　となる。

不定方程式　１７ｘ−６６ｙ＝１　を解くと、一般解は、

　　　　　　ｘ＝３５＋６６ｔ　、　ｙ＝９＋１７ｔ　　（ｔ は整数）

　１７/６６の片方の親は、Ｆ₆₆では、　０＜ｘ＜６６　だから、　ｔ＝０　の　９/３５　となる。

もう１つは、ファレイ数列の中間分数の生成方法から、

　　　　分子＝９＋ｃ＝１７　、　分母＝３５＋ｄ＝６６　より、　８/３１　である。

　よって、　９/３５、１７/６６、８/３１　である。

　また、Ｆ₁₀₀ とすると、１７/６６、２５/９７、８/３１　と中間分数ができる。

（コメント）　３年半ぶりにこのページを見て、まだまだ書き足りないところがあるような．．．予
　　　　　　感！攻略法さんに感謝します。


　攻略法さんからの補足です。（平成２２年１２月８日付け）

　不定方程式　１７ｘ−６６ｙ＝１　（ ｙ/ｘ＜１７/６６ で隣り合う分数）の一般解

　　　ｘ＝３５＋６６ｔ　、　ｙ＝９＋１７ｔ　　（ｔ は整数）

は、ｔ＝０、１、２、３、・・・　とすると、　９/３５、・・・、１７/６６　の中間分数を生成する。

同様に、１７/６６＜ｙ/ｘ　は隣り合う分数から、　−１７ｘ＋６６ｙ＝１　となる。一般解は、

　　　　　　ｘ＝３１＋６６ｔ　、　ｙ＝８＋１７ｔ　　（ｔ は整数）

で、ｔ＝０、１、２、３、・・・　とすると、　１７/６６、・・・、８/３１　の中間分数を生成する。

（追記）　令和３年９月２６日付け

　数学セミナー　２０２１年７月号で、山田修司さんは、「エレガントな解答をもとむ」に、この
ページの話題に関連する問題を出題された。

　有理数 ｓ、ｔ （ｓ＜ｔ）が既約分数で ｓ＝ａ/ｂ、ｔ＝ｃ/ｄ と表されるとき、

　　　ｍ＝ｓ＃ｔ＝（ａ＋ｃ）/（ｂ＋ｄ）

と定める。開区間 Ｉ ＝（ｓ，ｔ）に対して、　ｓ＜ｍ＜ｔ　が成り立ち、ｕ を開区間 Ｉ の＃中点と
呼ぶことにする。

　このとき、開区間 Ｉ は、＃中点と２つの開区間（ｓ，ｕ）、（ｕ，ｔ）に分割される。すなわち、

　　　Ｉ ＝（ｓ，ｕ）Ｕ｛ｕ｝Ｕ（ｕ，ｔ）

例　開区間 Ｉ ＝（１/２，２/３）に対して、　ｕ＝（１/２）＃（２/３）＝３/５　なので、

　１回目の分割は、　Ｉ_Ｌ＝（１/２，３/５）、Ｉ_Ｒ＝（３/５，２/３）

　２回目の分割は、　Ｉ_ＬＬ＝（１/２，４/７）、Ｉ_ＬＲ＝（４/７，３/５）、
　　　　　　　　　　　　 Ｉ_ＲＬ＝（３/５，５/８）、Ｉ_ＲＲ＝（５/８，２/３）

　このとき、　Ｉ_ＲＬ＝（３/５，５/８）　における＃中点は、８/１３となり、

「８/１３」は開区間 Ｉ ＝（１/２，２/３）におけるアドレスとして、「ＲＬ」を持つ。

　ここで、　８/１３＝（２・１＋２・２）/（３・２＋３・３）　であるので、８/１３は、

　２つの分数 １/２＜２/３ に対する重み ２ ： ３ の中間分数となる。

　重みが左側大のときは数字の「０」を、右側大のときは数字の「１」を対応づけるものとす
ると、

　　２ ： ３ → ２ ： １　なので、分数 ８/１３ には １０ が対応する。

　数字の「０」をＬ、数字の「１」をＲと対応づければ、これは、まさにアドレス「ＲＬ」を持つこと
を意味する。

　「エレガントな解答をもとむ」での出題では、

　開区間 Ｉ 内の全ての有理数はアドレスを持つことを示せ。

となっている。

　「エレガントな解答をもとむ」において、次の概念が興味深い。

　２つの既約分数 ａ/ｂ、ｃ/ｄ に対して、それらの解離度を

　　　Δ（ａ/ｂ、ｃ/ｄ）＝ｂｃ−ａｄ

で定める。

例　Δ（１/３，１/２）＝３−２＝１ より、解離度は１で、２つの分数は隣り合っている。

　Δ（１/３，２/３）＝６−３＝３　より、解離度は３で、２つの分数は隣り合っていない。


　当ＨＰ読者のＫ．Ｓ．さんから、ファレイ数列に関する話題をメールで頂いた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年１０月７日付け）

　ファレイ数列において、

　数列 Ｆ₁ ： ０/１，１/１　より、分子の和＝１、分母の和＝２　である。

　数列 Ｆ₂ ： ０/１，１/２，１/１　より、分子の和＝２、分母の和＝４　である。

　数列 Ｆ₃ ： ０/１，１/３，１/２，２/３，１/１　より、分子の和＝５、分母の和＝１０　である。

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　このことから、次の命題が成り立つことが予想される。

命　題　　ファレイ数列において、（分子の和）/（分母の和）＝１/２　が成り立つ。

　自然数 ｎ に関する数学的帰納法で証明できる。

（証明）　ｎ＝１ のとき、明らかに成り立つ。

　　ｎ＝ｋ（ｋ≧１）のとき、命題が成り立つと仮定する。すなわち、

　　　数列 Ｆ_ｋ において、（分子の和）/（分母の和）＝１/２

　　ｎ＝ｋ＋１　とする。分母が、ｋまでのファレイ数列の分母の和＝A、分子の和＝Bとすると、

　帰納法の仮定より、B/A＝1/２　なので、　Ａ＝２Ｂ

　一方、ｋ＋１を分母に持つ既約分数は、オイラーの関数から、Φ（ｋ＋１）個あり、分母の和

　は、（ｋ＋１）Φ（ｋ＋１）となる。

　　一般に、ｎ/ｍ が既約であれば、(ｍ−ｎ)/ｍ も既約であるので、分母が ｋ＋１ のときの

　既約な分数の分子の和は、等差数列の和の求め方と同様の方法（ガウスの方法）を用いて、

　　Φ（ｋ＋１）（１＋ｋ）/２　（　←　項数×（初項＋末項）/２　）

　となる。このとき、分母＝ｋ＋１ のときのファレイ数列の分母の和＝C、分子の和＝D とす

　ると、D/C＝1/２　より、C＝２D　となる。

　　よって、ｎ＝ｋ＋１ のときのファレイ数列について、

　　　分母の和/分子の和＝(B＋D)/(A＋C)＝(B＋D)/(２B＋２D)＝１/２

以上により、すべての自然数 ｎ について、命題が成り立つ。　　（証終）

（コメント）　ファレイ数列の美しい性質ですね！Ｋ．Ｓ．さんに感謝します。


　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「空舟」さんから、関連する話題を頂いた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２５年２月１０日付け）

　「隣り合う分数」に関連する重要な性質が見当たらなかったので紹介します。特に、（１）か
ら導かれる（２）の性質がとても面白いと思います。

（１）　分数が隣り合う　⇔　ファレイ数列の項として隣り合う

　すなわち、以下が成り立つ。(ａ、ｂ、ｃ、ｄ：自然数)

　　２つの分数 a/b、c/d が(分数として)隣り合う

　⇔　|ad-bc|＝1

　⇔　(0,0)、(a,b)、(c,d)、(a+c,b+d)で囲まれる平行四辺形の面積＝1

　⇔　上記の平行四辺形の辺・内部には格子点が存在しない

　⇔　a/b と c/d の間には、Max(b,d)以下の分母を持つ分数は無い

　⇔　ファレイ数列Fn[n=Max(b,d)]において、a/b と c/d は(項として)隣り合う。

(参考：ピックの定理(Wikipedia)　、当ＨＰ「ピックの定理」）

（２）　中間分数の意義

　a/b と c/d が隣り合う時、中間分数 (a+c)/(b+d) は、a/b、c/d と隣り合う。

　そこで、それぞれの間で（１）を適用して分かることは、

　　中間分数は、a/b と c/d の間にある最も分母が小さい分数

である。


（追記）　平成２５年１１月１６日付け

　上記では、隣り合う分数について、いろいろ見てきたが、「隣り合う」とくれば、やはり順番
に数えたくなるのが人情だろう。

　　　　　　　

　上図のように、分数を並べれば数えられる（可算集合）ことは明らかだが、如何せん、分数

が重複しているので、このままではダブったまま数えられてしまう。ダブりがないように数える

ことができれば、その分数が最初から数えて何番目かも分かるし、逆に、ある順番にある分

数が何であるかも分かってしまう。（→　参考：「分数と有理数の違い」）


　このような夢のようなことが可能であることを、次の書籍で最近知ることができた。

　寺澤　順　著　「有理数をカウントする数式」　（数学セミナー　’１３年１２月号　(日本評論社））

　関数
　　　　　

を用いると、ｎ番目の有理数は、　Ｆ^ｎ（０）　で与えられる。

（例）　１番目の有理数は、Ｆ¹（０）＝Ｆ（０）＝１（＝１/１）

　　　２番目の有理数は、Ｆ²（０）＝Ｆ（Ｆ（０））＝Ｆ（１）＝１/２

　　　３番目の有理数は、Ｆ³（０）＝Ｆ（Ｆ（Ｆ（０）））＝Ｆ（１/２）＝２（＝２/１）

　　　４番目の有理数は、Ｆ⁴（０）＝Ｆ（Ｆ（Ｆ（Ｆ（０））））＝Ｆ（２）＝１/３

　　　５番目の有理数は、Ｆ⁵（０）＝Ｆ（Ｆ（Ｆ（Ｆ（Ｆ（０）））））＝Ｆ（１/３）＝３/２

　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


（コメント）　計算していて、ワクワクしてきますね！


（追記）　ｋｓ さんからご投稿いただきました。（令和５年６月９日付け）

　３つの分数 ｘ＝ｂ/a　、ｙ＝ｄ/ｃ　、z=(b+d)/(a+c)　について、ｘ＜ｚ＜ｙのとき、ｚ が x よりか、
ｙよりか（近い）という分数の近さを判断する条件はありますか？


　らすかるさんからのコメントです。（令和５年６月９日付け）

　a、b、c、d＞0 とします。(x+y)/2=b/(2a)+d/(2c)=(ad+bc)/(2ac) です。

　z-(x+y)/2＞0 を整理すると、(ad-bc)(c-a)＞0

ここで、　x＜y　から、ad-bc＞0　なので、　z-(x+y)/2＞0 ⇔ c＞a

従って、a と c を比較して、

　a の方が大きければ、x 寄り、c の方が大きければ、y 寄り

となります。


（コメント）　ｂ/ａ＝１/２　、ｄ/ｃ＝２/３ について、　（ｂ＋ｄ）/（ａ＋ｃ）＝３/５

　１/２＝０．５　、２/３＝０．６７　、３/５＝０．６　なので、分数３/５は、分数２/３寄りである。

　らすかるさんの結果は、上記の計算をしなくても、ａ＝２とｃ＝３の大小関係　ａ＜ｃ　を見て、

瞬時に、分数３/５は、分数２/３寄りであることが分かる。


　ｋｓ さんからのコメントです。（令和５年６月１０日付け）

　らすかるさん、ありがとうございます。どの位の位置にあるかを考えました。

　b/a+(d/c -b/a)×ｃ/(a+c)=(b+d)/(a+c)　なので、ｘ と ｙ を ｃ ： ａ　に内分する点であること
が分かりました。分子は影響しないのが面白いですね。


　ｋｓ さんからのコメントです。（令和５年６月１２日付け）

　b/a＜ x/(a＋c) ＜d/c (a＜c)を満たす ｘ の必要条件を調べたら、2b＜ｘ＜2d で、b＋ｄ は、
ほぼ中間であることが分かりました。

　例えば、3/7＜x/18＜6/11　のとき、ｘ＝7、8、9、10、11 でした。



　　　以下、工事中！