フォードの円　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　戻る

　「隣り合う分数」の話題の中で、フォードの円なるものが登場した。



　数学において、フォードの円とは、中心が　（ｐ/ｑ，１/（２ｑ2）） で、半径が １/（２ｑ2） の円
のことである。ただし、ｐ/ｑ は既約分数。

　フォードの円では、次の公式が基本的である。

　　半径ａの円と半径ｂの円が外接し、さ
　らに共通の直線にも接している。

　　このとき、２接点間の距離ｄは、次で
　与えられる。

　　　

（証明）　三平方の定理より、　（ａ−ｂ）2＋ｄ2＝（ａ＋ｂ）2　なので、　ｄ2＝４ａｂ

　　　　よって、　　　（証終）

例　この公式を冒頭の図に適用すると、半径１/２の円と半径１/８の円が外接しているので、
　　その２接点間の距離ｄは、　ｄ2＝４・（１/２）（１/８）＝１/４　より、　ｄ＝１/２　となり、確か
　　に図と合っている。


　上記の公式の応用例として次がある。

　　半径ａの円と半径ｂの円が外接し、さ
　らに共通の直線にも接している。

　　その２つの円と接線に接する半径ｃ
　の円がある。このとき、

　　　

（証明）　公式より、　　なので、

　　　　　　

が成り立つ。　　（証終）

例　この公式を冒頭の図に適用すると、半径１/２の円と半径１/８の円に接する円の半径を
　　ｃ とすると、

　　　１/√ｃ＝√２＋２√２＝３√２

　から、　ｃ＝１/１８　となる。よって、半径１/２の円と半径１/１８の円の共通接線上の２接点
　間の距離ｄは、

　　ｄ2＝４・（１/２）（１/１８）＝１/９　より、　ｄ＝１/３　となり、確かに図と合っている。


（追記）　令和３年１２月３０日付け

　上記の公式を問う問題が、お茶の水女子大学前期（２０２１）で出題された。文理共通問題
で、受験生の学力を見る手頃な問題なのだろう。

お茶の水女子大学前期（２０２１）

　共通の接線 Ｌ を持つ円 Ｃ1、Ｃ2、Ｃ3 の半径をそれぞれ ａ、ｂ、ｃ とする。これらの円
のどの二つも互いに外接しており、Ｃ3 は Ｌ、Ｃ1、Ｃ2 に囲まれた領域に含まれているもの
とする。以下の問いに答えよ。

（１） 　 　となることを示せ。

（２）　ｃ＝１ のとき、ａ＋ｂ の取り得る値の最小値を求めよ。

（解）（１）については、上記の（証明）から明らかだろう。

（２）については、相加平均と相乗平均の関係から、　ａ＋ｂ≧２√（ａｂ）　なので、ａ＝ｂ のとき、

ａ＋ｂ は最小となる。ｃ＝１ で、（１）と ａ＝ｂ から、ａ＝ｂ＝４と定まるので、

ａ＋ｂ の最小値は、２√（４・４）＝８　である。　　（終）


（コメント）　問題の意味するところが理解できれば、三平方の定理を使うだけなので、中学
　　　　　　３年生レベルの問題と言える。お茶の水女子大学受験生の方は完答だったかな。


（追記）　令和７年７月２日付け

　次の東北大学　前期理系（１９９６）の問題は、フォードの円に関する問題である。お茶の水
女子大学前期（２０２１）の（１）の等式が、解決のポイントである。

（参考）　「隣り合う分数」におけるファレイ数列

問題　　ｘｙ平面の点（０，１）を中心とする半径１の円をＣとし、第１象限にあって ｘ軸とＣに接
　　する円Ｃ1を考える。次に、ｘ 軸、Ｃ、Ｃ1で囲まれた部分にあって、ｘ 軸とこれら２円に接す
　　る円をＣ2とする。以下同様に、Ｃn （ｎ＝２、３、・・・）を ｘ 軸、Ｃ、Ｃn-1で囲まれた部分に
　　あって、これらに接する円とする。

（１）　Ｃ1の中心の ｘ 座標を ａ とするとき、Ｃ1の半径 ｒ1 を ａ を用いて表せ。
（２）　Ｃnの半径 ｒn を ａ と ｎ を用いて表せ。

（解）（１）　（１＋ｒ1）2＝ａ2＋（ｒ1−１）2　より、　ｒ1＝ａ2/４

（２）　公式より、　１/√ｒn＝１＋１/√ｒn-1 なので、数列｛１/√ｒn｝は、初項１/√ｒ1＝２/ａ、

　公差１の等差数列である。

よって、　１/√ｒn＝２/ａ＋（ｎ−１）＝（（ｎ−１）ａ＋２）/ａ　から、

　ｒn＝ａ2/（（ｎ−１）ａ＋２）2　　（終）



　　以下、工事中！