フォードの円                                戻る

 「隣り合う分数」の話題の中で、フォードの円なるものが登場した。



 数学において、フォードの円とは、中心が (p/q,1/(2q2)) で、半径が 1/(2q2) の円
のことである。ただし、p/q は既約分数。

 フォードの円では、次の公式が基本的である。

  半径aの円と半径bの円が外接し、さ
 らに共通の直線にも接している。

  このとき、2接点間の距離dは、次で
 与えられる。

   

(証明) 三平方の定理より、 (a−b)2+d2=(a+b)2 なので、 d2=4ab

    よって、   (証終)

例 この公式を冒頭の図に適用すると、半径1/2の円と半径1/8の円が外接しているので、
  その2接点間の距離dは、 d2=4・(1/2)(1/8)=1/4 より、 d=1/2 となり、確か
  に図と合っている。


 上記の公式の応用例として次がある。

  半径aの円と半径bの円が外接し、さ
 らに共通の直線にも接している。

  その2つの円と接線に接する半径c
 の円がある。このとき、

   

(証明) 公式より、  なので、

      

が成り立つ。  (証終)

例 この公式を冒頭の図に適用すると、半径1/2の円と半径1/8の円に接する円の半径を
  cとすると、

   1/√c=√2+2√2=3√2

 から、 c=1/18 となる。よって、半径1/2の円と半径1/18の円の共通接線上の2接点
 間の距離dは、

  d2=4・(1/2)(1/18)=1/9 より、 d=1/3 となり、確かに図と合っている。



  以下、工事中!