・　ピックの定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

　最近ひょんなことから、世の中に「ピックの定理」（Ｇ．Ｐｉｃｋ（墺） １８９９年）なるものがあ
るということを知った。

　ピックの定理は、格子点を線分で結んで得られる図形の面積を求めるためにある。

　皆さんは、下図を見て素早く面積を言い当てることができるだろうか？　ただし、単位正
方形の面積は「１」とする。

　　　　　　　

　ピックの定理を知らない、おそらく大多数の方は、何とか四苦八苦して、答えを出すのだ
ろう。または、面倒になって放り出すかのどちらかだろう。

　６×７ の長方形の面積から不要な部分の面積を引けばよいから、

　求める図形の面積は、

　　　６×７ − （２＋１＋３＋２＋３＋１＋５＋１＋９/２）＝４２−４５/２＝３９/２

である。

　ピックの定理によれば、上記の図形の内部にある格子点の数（ａ）と上記の図形の辺上

にある格子点の数（ｂ）が分かると、その面積 Ｓ は、

　　　　

で与えられるという。

　　　　　　　

　上図において、　ａ＝１６　、　ｂ＝９　なので、　

　　　　　　　Ｓ＝１６＋９/２−１＝３９/２

と簡単に図形の面積が求められる。

　このピックの定理を知ると、

　　　　　　　

のような、とんでもない図形の面積も求めてみようという気が起きるから、とても不思議だ！

（ピックの定理により、上図には内部に格子点がないので、辺上にある格子点の個数を数
　えて、面積は、１６/２−１＝７　である。皆さん、出来たかな？）


　ピックの定理の結果は、あまりに唐突すぎるので、少し考察を加えよう。

　明らかに、頂点のみが格子点（辺上にも内部にも格子点はない！）の三角形の面積は、
１/２ である。

　このような三角形のことを、基本三角形ということにする。

　ここで、基本三角形の面積が １/２ であることを「明らか．．．」としたが、事はそう単純で
はないようだ。

　厳密には次のようにして示される。

　基本三角形ＡＢＣにおいて、Ａ（ ０ ， ０ ）、Ｂ（ ａ ， ｂ ）、Ｃ（ ｃ ， ｄ ）としても一般性を失う
ことはないだろう。

　また、三角形ＡＢＣを含む長方形の内で最小の長方形を ＡＤＣＥ とする。

このとき、長方形 ＡＤＣＥ の内部および辺上には格 　　子点が （ｃ＋１）（ｄ＋１） 個ある。 　　　ここで、長方形の辺上には格子点が、２（ｃ＋ｄ） 個 　　あるので、長方形 ＡＤＣＥ の内部には、 　　　（ｃ＋１）（ｄ＋１）−２（ｃ＋ｄ）＝（ｃ−１）（ｄ−１） 　　個の格子点がある。

　辺ＡＣ上には端点以外に格子点はないので、　△ＡＤＣの内部にある格子点の数は、

　　　　　　（ｃ−１）（ｄ−１）/２　個

　ところで、△ＡＦＢの内部にある格子点の数は、上記と同様に考えて、

　　　　　　（ａ−１）（ｂ−１）/２　個

　　線分ＢＦ上の端点以外の格子点の数は、　ｂ−１ 個

　　長方形ＢＦＤＧの内部にある格子点の数は、　（ｃ−１−ａ）（ｂ−１）

　　線分ＢＧ上の端点以外の格子点の数は、　ｃ−１−ａ 個

　　△ＢＧＣの内部にある格子点の数は、　（ｃ−１−ａ）（ｄ−１−ｂ）/２　個

　以上から、

　（ｃ−１）（ｄ−１）/２＝（ａ−１）（ｂ−１）/２＋ｂ−１＋（ｃ−１−ａ）（ｂ−１）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ｃ−１−ａ＋（ｃ−１−ａ）（ｄ−１−ｂ）/２＋１

が成り立つ。　よって、　ａｄ−ｂｃ＝１　となる。

　従って、基本三角形ＡＢＣの面積は、（1/2）｜ａｄ−ｂｃ｜＝１/２　である。


　冒頭で与えられた図形は次のようにいくつかの基本三角形に分割される。

左図の基本三角形の数を 　　数えれば、ちょうど３９個ある。 　　　よって、図形の面積は、 　　　　　　３９/２ 　　となる。 　　　このような考え方をして、一 　　般のピックの定理の結果が得 　　られる。

　頂点がすべて格子点である図形 Ｋ は一体何個の基本三角形に分割されるのだろうか？
この問いに答えれば、ピックの定理は示されたことになる。

　図形 Ｋ の内部およびに辺上にある格子点の数をそれぞれ ａ 、ｂ とする。図形Ｋ に含ま
れる格子点の個数は ａ＋ｂ である。これらが、基本三角形の頂点となる。

　図形 Ｋ を基本三角形に分割したときの、辺の数、三角形の数をそれぞれ ｅ、ｆ とする。

このとき、　３ｆ ＝（図形 Ｋ の辺ではない辺の数）×２＋（図形 Ｋ の辺の一部となる辺の数）

ここで、　（図形 Ｋ の辺の一部となる辺の数）＝ ｂ　で、

　　　　３ｆ ＝ （ ｅ − ｂ ）×２＋ｂ ＝ ２ｅ−ｂ

が成り立つ。　すなわち、　ｅ ＝ （３ｆ＋ｂ）/２　である。

オイラーの公式により、　　（頂点の数）−（辺の数）＋（三角形の数）＝ １　なので、

　　　　　ａ＋ｂ−（３ｆ＋ｂ）/２＋ｆ ＝ １

　よって、　ｆ ＝ ２ａ＋ｂ−２　が成り立つ。

したがって、図形 Ｋ の面積 Ｓ は、

　　　　

で与えられる。

　これで、ピックの定理は証明された。


（追記）　令和元年５月１２日付け

　上記では、平面図形におけるオイラーの公式を用いて証明したが、多面体とみなして、オ
イラーの多面体定理を用いて示すことも可能である。

　格子点に頂点を持つ多角形Ｋを考え、内部の格子点の数をａ個、頂点および辺上の格子
点の数をｂ個とする。

　Ｋが基本三角形ｄ個に分割されるとき、Ｋの面積は、ｄ/２である。多角形外の点Ａを１つ選
び、多面体Ａ-Ｋを作る。このとき、Ａとｂ個の格子点を結んでｂ個の三角形を作る。

　このとき、面の数は、ｄ＋ｂ

　辺の数は、３（ｄ＋ｂ）/２

　頂点の数は、ａ＋ｂ＋１

　よって、オイラーの多面体定理より、

　３（ｄ＋ｂ）/２＝（ａ＋ｂ＋１）＋（ｄ＋ｂ）−２

　これより、　ｄ＝２ａ＋ｂ−２　なので、

　　Ｋの面積は、ｄ/２＝ａ＋ｂ/２−１　で与えられる。


（追記）　平成２６年６月１９日付け

　上記のピックの定理の証明を見ていると、あまり実感がわかないというのが正直な感想で
ある。これに対し、ハーバード大学の

　時枝　正　著　「物理を数学へ応用する」　（数学セミナー’１４　７月号（日本評論社））

におけるピックの定理の証明を拝見して、目が洗われるような思いをした。

　次のように説明されると、思わず納得！してしまう。

　平面の格子点に水を体積１だけ入れたコップを逆さに置く。一斉にコップを持ち上げると、
平面には深さ１の水がはられる。

　　　　　

　上記の図形をＫとすれば、Ｋ上に収まる水の体積がＫの面積を表す。

　Ｋの任意の辺の中点に関する対称移動（１８０°回転）を考えることにより、Ｋの内部にあ
る格子点上のコップの水は、Ｋ内に留まるとしてよい。

　よって、Ｋの内部にある格子点の数を、ａ 個とすれば、その部分の面積は、ａ　となる。

　また、Ｋの辺上の格子点におけるコップの水は、内角θに対して、θ/（２π）だけＰ内に留
まる。Ｋの辺上の格子点の数を、ｂ 個とすれば、Ｋはｂ角形とみなせ、ｂ角形の内角の和は、
（ｂ−２）πなので、その部分の面積は、（ｂ−２）π/（２π）＝ｂ/２−１　となる。

　以上から、求めるＰの面積は、　ａ＋ｂ/２−１　となる。

（コメント）　こんなに簡単に示せるとは、まさに神業ですね！これが物理の数学への応用の
　　　　　　威力なんですね。物理がますます好きになりました。