オイラーの定理 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　世の中に、あの数学界の巨星 Ｅｕｌｅｒ の偉大さを物語るように、定理に「オイラーの」と冠
されるものは数多い。例えば、

　●　立体図形におけるオイラーの多面体定理

　　（頂点の個数）−（辺の個数）＋（面の個数）＝２

　●　関数論におけるオイラーの定理

　　　ｅ^Ｘ＋ｉＹ＝ｅ^Ｘ（ｃｏｓＹ＋ｉｓｉｎＹ）

　●　整数論におけるオイラーの定理

　　　ａ^φ（ｎ）≡１　（ｍｏｄ ｎ）

　ただし、ｎ は正の整数で、１ から ｎ までの自然数のうち、ｎ と互いに素となるものの個数
を φ（ｎ） （オイラー関数）、ａ は ｎ と互いに素な整数とする。

　●　････････････････････････････････････････

　ここで、またオイラーの定理というものを紹介するのは、少し気が引けるが、とても興味あ
る事実なので、あえて取り上げたいと思う。

オイラーの定理 　　三角形の内接円の中心 I と外接円の中心 Ｏ との距離 ｄ は、

　　

で与えられる。　ただし、Ｒ は、外接円の半径、 ｒ は、内接円の半径　である。

	三角形の外心Ｏ、重心Ｇ、垂心Ｈには、 　　　　　　　 　　という美しい関係が成り立つことは、よく 　　知られている。（→証明は、こちら） 　　　しかし、それに劣らず、 　　　外心 Ｏ と内心 Ｉ の中心間の距離が、 　　両者の半径のみによって表される 　　という事実も、とても興味深い。 　　（流石！オイラーですね．．．。）

（証明）　よく知られた公式により、

　

が成り立つ。このとき、

　
　　　　　　　　　　　　

において、



　　、

であるので、

　（ａ＋ｂ＋ｃ）²ＯＩ²

＝ａ²Ｒ²＋ｂ²Ｒ²＋ｃ²Ｒ²＋２ａｂＲ²−ａｂｃ²＋２ｂｃＲ²−ａ²ｂｃ＋２ｃａＲ²−ａｂ²ｃ

＝（ａ＋ｂ＋ｃ）²Ｒ²−ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ）

ここで、△ＡＢＣ の面積を Ｓ とおくと、２Ｓ＝ｒ（ａ＋ｂ＋ｃ）　、４ＲＳ＝ａｂｃ　が成り立つので、

　ａｂｃ＝２ｒＲ（ａ＋ｂ＋ｃ）　である。

よって、　（ａ＋ｂ＋ｃ）²ＯＩ²＝（ａ＋ｂ＋ｃ）²Ｒ²−２ｒＲ（ａ＋ｂ＋ｃ）²　　より、

　ＯＩ²＝Ｒ²−２ｒＲ　　すなわち、　

が成り立つ。　　（証終）

　このオイラーの定理により、　Ｒ−２ｒ ≧０　なので、

　三角形の外接円の半径は、内接円の直径以上である

ことが分かる。もちろん、正三角形においては、Ｒ＝２ｒ が成り立つ。

　上記では、三角形の外心と内心の距離に注目した公式であったが、外心と傍心の距離
についても同様の公式が成り立つ。（→　参考：「傍接円の話題」）

定理 　三角形の一つの傍接円の中心 I’ と外接円の中心 Ｏ との距離 ｄ は、

　　

で与えられる。　ただし、Ｒ は外接円の半径、 ｒ’ は傍接円の半径　である。

（証明）　　△ＡＢＣ　において、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃ　とし、２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ　とおく。

ＢＡ ： ＢＤ ＝ ｂ＋ｃ ： ａ　で、ＢＩ’ は∠ＡＢＣの外角の 　２等分線なので、　Ｉ’ は線分ＡＤを、ｂ＋ｃ ： ａ　に外分 　する点である。　よって、 　　　（−ａ＋ｂ＋ｃ）ＯＩ’＝−ａＯＡ＋ｂＯＢ＋ｃＯＣ 　が成り立つ。　このとき、 　　　（−ａ＋ｂ＋ｃ）2ＯＩ’2 　　＝ａ2ＯＡ2＋ｂ2ＯＢ2＋ｃ2ＯＣ2 　　　　−２ａｂＯＡ・ＯＢ＋２ｂｃＯＢ・ＯＣ−２ｃａＯＣ・ＯＡ 　において、

　ＯＡ・ＯＢ＝ＯＡ・ＯＢ・ｃｏｓ∠ＡＯＢ＝Ｒ²（Ｒ²＋Ｒ²−ｃ²）/（２Ｒ²）＝（２Ｒ²−ｃ²）/２

　ＯＢ・ＯＣ＝（２Ｒ²−ａ²）/２　、ＯＣ・ＯＡ＝（２Ｒ²−ｂ²）/２

であるので、

（−ａ＋ｂ＋ｃ）²ＯＩ’²

＝ａ²Ｒ²＋ｂ²Ｒ²＋ｃ²Ｒ²−２ａｂＲ²＋ａｂｃ²＋２ｂｃＲ²−ａ²ｂｃ−２ｃａＲ²＋ａｂ²ｃ

＝（−ａ＋ｂ＋ｃ）²Ｒ²＋ａｂｃ（−ａ＋ｂ＋ｃ）

ここで、△ＡＢＣ の面積を Ｓ とおくと、　４ＲＳ＝ａｂｃ　　で、さらに、

Ｓ＝△ＡＢ’Ｉ’＋△ＡＣ’Ｉ’−△ＢＢ’Ｉ’−△ＢＡ’Ｉ’−△ＣＣ’Ｉ’−ＣＡ’Ｉ’

＝ｓｒ’−（ｓ−ｃ）ｒ’−（ｓ−ｂ）ｒ’＝（−ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ’/２

が成り立つので、　ａｂｃ＝２ｒ’Ｒ（−ａ＋ｂ＋ｃ）　である。

よって、　（−ａ＋ｂ＋ｃ）²ＯＩ’²＝（−ａ＋ｂ＋ｃ）²Ｒ²＋２ｒ’Ｒ（−ａ＋ｂ＋ｃ）²　　より、

　ＯＩ’²＝Ｒ²＋２ｒ’Ｒ　すなわち、　

が成り立つ。　　（証終）


（コメント）　２円の中心間の距離が半径のみで得られるのは、とても美しい結果ですね！
　　　　　　ちょっと証明が大変かな？と思ったのですが、今日の出張先での空き時間にチョ
　　　　　　コチョコっと計算したらあっさり証明が出来てしまいました！


（追記）　令和元年９月２９日付け

　最近、正三角形の内接円、外接円、傍接円の半径の比が、１：２：３ という美しい比になる
ことを知り、確認してみた。

左図において、正三角形の内接円の半 径を１とすると、 　外接円の半径は２、傍接円の半径は３ となることは明らかだろう。 　こんな美しい比に出会えて幸せです！ 　　また、ＣＤを介して、ＣＥ＝ＣＦ　となる 　ことも興味深い性質ですね。 　　これを、に代入す 　ると、確かに、ｄ＝４　となりますね。