三角形には、五心（重心、外心、内心、垂心、傍心）がある。現在の高校１年生の多くが
学ぶであろう「数学Ａ」では、残念ながら、垂心、傍心に関して、教科書の本文での説明は
割愛されている。旧課程では、五心の説明がしっかり書かれていたことを思うと、非常に
残念である。
重心は「つりあい」、外心は「外接円」、内心は「内接円」と比較的扱いやすい題材が豊
富なのと、分かりやすさから多分生き残ったのだろう。
それに対して、垂心とか傍心は応用もままならず、扱いにくい題材がゆえに省略された
のではないだろうか。
しかしながら、傍心はまだしも、美しい性質を持つ垂心を生徒の目から遠ざけるというの
は、私個人的には賛成できない。ところで、垂心とは、三角形の３つの頂点から、それぞ
れの対辺に下ろした３つの垂線の交点のことをいう。
例 △ＡＢＣ の外心を Ｏ 、垂心を Ｈ 、重心を Ｇ とおくと、
が成り立つ。すなわち、
オイラーの定理（１７６５年）
△ＡＢＣ の外心 Ｏ 、重心 Ｇ 、垂心 Ｈ は一直線上にあり、
ＯＧ ： ＧＨ ＝ １ ： ２ である
（注） ３点 Ｏ 、Ｈ 、Ｇ を通る直線を、オイラー線（Ｅｕｌｅｒ Ｌｉｎｅ）という。
この事実に関連して、次の事実も有名だろう。
三角形の内心、外心、重心、垂心の４つのうちの２つが一致するならば、その三角
形は正三角形である
（証明） △ＡＢＣ の内心を Ｉ 、外心を Ｏ 、重心を Ｇ 、垂心を Ｈ とおく。
より、Ｏ＝Ｈ ならば、 Ｏ＝Ｇ となり、このとき、 △ＯＡＢ、△ＯＢＣ、△ＯＣＡ がすべて合同に
なることから、△ＡＢＣ は正三角形となる。
同様に、
Ｏ＝Ｇ ならば、 Ｏ＝Ｈ となり、このとき、 △ＯＡＢ、△ＯＢＣ、△ＯＣＡ がすべて合同に
なることから、△ＡＢＣ は正三角形となる。
Ｏ＝Ｉ ならば、 △ＯＡＢ、△ＯＢＣ、△ＯＣＡ がすべて合同になることから、△ＡＢＣ は正
三角形となる。
Ｇ＝Ｈ ならば、 Ｇ＝Ｏ となり、このとき、 △ＯＡＢ、△ＯＢＣ、△ＯＣＡ がすべて合同に
なることから、△ＡＢＣ は正三角形となる。
Ｇ＝Ｉ とする。このとき、 ３ＡＧ＝ＡＢ＋ＡＣ である。いま、ＡＢ＝ａ 、ＡＣ＝ｂ とおくと、
ｋ（ａ＋ｂ）ＡＩ＝ｂＡＢ＋ａＡＣ
となる。ＡＢ、ＡＣ は一次独立なので、 ３ｋａ＝ａ＋ｂ 、３ｋｂ＝ａ＋ｂ より、 ａ＝ｂ
同様にして、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ が示される。よって、△ＡＢＣ は正三角形となる。
Ｈ＝Ｉ ならば、 Ｇ＝Ｈ となり、このとき、 △ＡＢＣ は正三角形となる。 （証終）
（コメント） 上記の証明では、「Ｇ＝Ｉの場合」が少し不本意ですね。もっと幾何的な証明が
ないのかな？
オイラーの定理の証明は、ベクトルの内積を用いると味気ないが、平行四辺形の性質を
巧妙に用いた証明には、思わず引き込まれてしまうほどの美しいものがある。
（証明）
○ ベクトルの内積を用いる場合
重心の性質から、
であることは明らか。
とおくと、
よって、ＡＫ⊥ＢＣ となる。同様にして、ＢＫ⊥ＣＡ、ＣＫ⊥ＡＢ が示される。
したがって、Ｋは垂心となり、Ｋ＝Ｈ である。よって、定理は成り立つ。
○ 平行四辺形の性質を用いる場合
