角の２等分線　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　戻る

　当ＨＰの「角の二等分線の長さ」において、次の公式を示した。

角の二等分線の長さの公式

　　　△ＡＢＣ において、ＡＤは∠Ａの二等分線である。

　　このとき、　

　　が成り立つ。


（追記）　平成２４年２月１１日付け

　数学の研究会で、開成高校の木部先生が、角の２等分線の長さの公式

　

を紹介された。知っている公式なので、嬉しかった！いよいよこの公式も全国区かな？


　角の２等分線について長さＡＤを求める問題は多数あるが、∠ＡＤＣに注目し、その角の
大きさを求める問題は少ない。

例　△ＡＢＣにおいて、∠Ａ＝８０°、∠Ｂ＝３０°、∠Ｃ＝７０°とする。∠Ａの二等分線が
　辺ＢＣと交わる点をＤとする。このとき、∠ＡＤＣを求めよ。

（解）　∠ＡＤＣ＋４０°＋７０°＝１８０°より、　∠ＡＤＣ＝７０°　　（終）

　上記の解を見て分かるように、「三角形の内角の和は１８０°」という性質を使うだけで、
特別なことは何も起こらないように見える。それ故に、この手の問題は少ないのだろう。


　これに対して、埼玉県立豊岡高校の五十嵐英夫先生が、次の性質に着目された。

　　　△ＡＢＣ において、ＡＤは∠Ａの二等分線である。

　　このとき、

　　　

　　が成り立つ。


（証明）　∠Ａ＝β−α　なので、　θ＋（β−α）/２＝β　より、

　θ＝β−（β−α）/２＝（α＋β）/２　　（証終）


　この性質を用いれば、上記の例の問題は、∠ＡＤＣ＝（３０°＋１１０°）/２＝７０°となる。

　また、五十嵐先生は、次の性質も示されている。

　

（証明）　角の２等分線の性質より、　ＢＤ ： ＤＣ＝ＡＢ ： ＡＣ　なので、

　△ＡＢＣの高さを１とすると、

１/ｔａｎα−１/ｔａｎθ ： −１/ｔａｎβ＋１/ｔａｎθ＝１/ｓｉｎα ： １/ｓｉｎβ＝ｓｉｎβ ： ｓｉｎα

が成り立つ。　よって、　ｃｏｓα−ｓｉｎα/ｔａｎθ＝−ｃｏｓβ＋ｓｉｎβ/ｔａｎθ　より、

　（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）/ｔａｎθ＝ｃｏｓα＋ｃｏｓβ

すなわち、

　

が成り立つ。　　（証終）

　この公式は、α、βが具体的に分からない場合に有効だろう。

例　辺ＡＢの傾きが ４/３ で、辺ＡＣの傾きが −３/４ のとき、線分ＡＤの傾きを求めよ。

（解）　ｔａｎα＝４/３　より、　ｓｉｎα＝４/５　、ｃｏｓα＝３/５

　ｔａｎβ＝−３/４　より、　ｓｉｎβ＝３/５　、ｃｏｓβ＝−４/５

　よって、　ｔａｎθ＝（４＋３）/（３−４）＝−７　　（終）

（コメント）　今まで計算してきたはずなのに、上記のように公式化できるとは知りませんでし
　　　　　　た。五十嵐先生に感謝します。


　角の２等分線に関して、次の性質があることを最近知ることが出来た。



　　　左図において、線分ＡＥは∠Ａの２等分線である。

　　このとき、　　Ｋａ・ｋａ＝ｂｃ　　が成り立つ。


（証明）　線分ＡＥは∠Ａの２等分線なので、　ＢＤ ： ＤＣ ＝ ｃ ： ｂ　である。

　このとき、　ＢＤ＝ａｃ/（ｂ＋ｃ）　、　ＤＣ＝ａｂ/（ｂ＋ｃ）

　△ＡＢＤ∽△ＣＥＤ　より、　ｋａ ： ａｃ/（ｂ＋ｃ） ＝ ａｂ/（ｂ＋ｃ） ： Ｋａ−ｋａ

よって、　（Ｋａ−ｋａ）ｋａ＝ａ2ｂｃ/（ｂ＋ｃ）2　より、　Ｋａ・ｋａ＝ｋａ2＋ａ2ｂｃ/（ｂ＋ｃ）2

ところで、　ｋａ2＝ｃ2＋ａ2ｃ2/（ｂ＋ｃ）2−２ａｃ2/（ｂ＋ｃ）ｃｏｓＢ　において、

　ｃｏｓＢ＝（ｃ2＋ａ2−ｂ2）/（２ｃａ）　なので、

ｋａ2＝ｃ2＋ａ2ｃ2/（ｂ＋ｃ）2−２ａｃ2/（ｂ＋ｃ）・（ｃ2＋ａ2−ｂ2）/（２ｃａ）

　＝ｃ2＋ａ2ｃ2/（ｂ＋ｃ）2−ｃ（ｃ2＋ａ2−ｂ2）/（ｂ＋ｃ）

　＝ｃ｛ｃ（ｂ＋ｃ）2＋ａ2ｃ−（ｃ2＋ａ2−ｂ2）（ｂ＋ｃ）｝/（ｂ＋ｃ）2

　＝ｃ（ｂ2ｃ＋２ｂｃ2＋ｃ3＋ａ2ｃ−ｂｃ2−ａ2ｂ＋ｂ3−ｃ3−ａ2ｃ＋ｂ2ｃ）/（ｂ＋ｃ）2

　＝ｃ（２ｂ2ｃ＋ｂｃ2−ａ2ｂ＋ｂ3）/（ｂ＋ｃ）2

　＝ｂｃ（２ｂｃ＋ｃ2−ａ2＋ｂ2）/（ｂ＋ｃ）2

　＝ｂｃ｛（ｂ＋ｃ）2−ａ2｝/（ｂ＋ｃ）2

　＝ｂｃ−ａ2ｂｃ/（ｂ＋ｃ）2

したがって、

　Ｋａ・ｋａ＝ｋａ2＋ａ2ｂｃ/（ｂ＋ｃ）2＝ｂｃ−ａ2ｂｃ/（ｂ＋ｃ）2＋＋ａ2ｂｃ/（ｂ＋ｃ）2＝ｂｃ

となる。　（証終）

　他の頂点に対しても同様のことを行えば、

　Ｋｂ・ｋｂ＝ｃａ　　、Ｋｃ・ｋｃ＝ａｂ

したがって、新たな公式

　ＫａＫｂＫｃ・ｋａｋｂｋｃ＝（ａｂｃ）2

が得られる。


（コメント）　何となく美しい公式ですね！

　出張で横浜へ向かう電車の中で、上記のことを考えていたら、もっと初等的に証明できる
ことに気がついた。同様のことを、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんからもご
教示いただいた。（平成２３年６月１６日付け）

（別証）　ΔABDとΔAECにおいて、

　∠ABD＝∠AEC(弧ACの上に立つ円周角)

　∠BAD＝∠EAC(ADEは∠Aの２等分線)

よって、　ΔABD∽ΔAEC　より、　AB ： AD ＝ AE ： AC　なので、　AB･AC＝AD･AE

これより、　Ｋａ・ｋａ＝ｂｃ　　（別証終）


（コメント）　ＦＮさんに感謝します。


（追記）　平成２５年２月１３日付け

角の２等分線の長さの公式

　　△ＡＢＣ において、ＡＤは∠Ａの二等分線である。

　　このとき、

　　　

　　が成り立つ。


　上記を証明するのに、余弦定理を用いるよりも、もっと簡便な方法があることをＦＮさんの
証明を見て思った。

（証明）
 　　　　△ＡＢＥ∽△ＡＤＥ　より、　ａ/（ｘ＋ｙ）＝ｘ/ｂ

　　すなわち、　ｘ2＋ｘｙ＝ａｂ

　　　また、方べきの定理より、　ｘｙ＝ｍｎ

　　したがって、　ｘ2＋ｍｎ＝ａｂ　より、

　　　

　　が成り立つ。　　（証終）


（コメント）　この証明を見るとまさに裏技の証明に相応しいですね！絶対に忘れない．．．
　　　　　　かな。


（追記）　平成２５年９月２８日付け

　角の２等分線の長さを求めるのに「なぜ唐突に外接円？」ということで、土佐高校の藤岡優
太先生が次のような別解を考えられた。円を使わないごく自然な解法だと思う。

　　左図において、　△ＡＢＣ＝２△ＡＤＥ＋△ＢＤＥ＋△ＣＤＦ

　ここで、　△ＡＢＣ＝（1/2）ａｂｓｉｎ２θ

　　　△ＡＤＥ＝（1/2）Ｌｓｉｎθ・Ｌｃｏｓθ＝（1/4）Ｌ2ｓｉｎ２θ

　　　△ＢＤＥ＋△ＣＤＦ＝（1/2）ｍｎｓｉｎ２θ

　したがって、　（1/2）ａｂｓｉｎ２θ＝（1/2）Ｌ2ｓｉｎ２θ＋（1/2）ｍｎｓｉｎ２θ　より、

　ａｂ＝Ｌ2＋ｍｎ　すなわち、　Ｌ2＝ａｂ−ｍｎ　が成り立つ。


（コメント）　垂線を下ろして、三角形の面積を分割する発想に感動しました。


（追記）　平成２６年１月２５日付け

　角の２等分線というと、２等分線の長さを問うたり、線分の比を求める問題が多い。よく次
の図形が問題に用いられる。

　

　角の２等分線の性質から、ＢＤ ： ＤＣ ＝ ３ ： ２ なので、ＢＤ＝３、ＤＣ＝２　となる。

　さらに、上図の場合、　Ｃ＝２Ｂ　という関係式が成り立つ。このような関係式が成り立つこ
と自体初体験であるが、新しい問題への発展の可能性を秘めているような予感がする。

　　辺ＡＢ上に、ＡＥ＝ＡＣ＝４　となる点Ｅをとると、明ら
　かに、△ＡＣＤ≡△ＡＥＤとなり、その結果として、

　　△ＥＢＤは２等辺三角形

　となる。よって、

　　∠Ｃ＝∠ＡＥＤ＝２∠Ｂ　より、　Ｃ＝２Ｂ　が成り立つ。


　上記の、五十嵐英夫先生（埼玉県立豊岡高校）の結果を用いれば、

　∠ＡＤＣ＝（∠Ｂ＋１８０°−２∠Ｂ）/２＝９０°−∠Ｂ/２

であることも分かる。


（コメント）　「三角形の内角の和は１８０度」という関係はとても美しい。数式化すれば、
　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０°となる。上記の関係　２Ｂ−Ｃ＝０　という関係もある意味で美しい。

　実は、次の事実が知られている。

　上記の△ＡＢＣの３辺の長さを、ａ＝ＢＣ、ｂ＝ＣＡ、ｃ＝ＡＢ とすると、　ｃ2＝ｂ（ａ＋ｂ）　が、
成り立っている。このとき、一般に、

　（ａ，ｂ，ｃ）＝（γ2−β2，β2，βγ）　　（β、γは互いに素な自然数で、γ/２＜β＜γ）

と表される。逆に、三角形の３辺が上記の形に表されれば、必ず、２Ｂ−Ｃ＝０　という関係
が成り立つ。

　上記の△ＡＢＣは、β＝２、γ＝３　という場合である。β、γの値を変えれば、２Ｂ−Ｃ＝０
という関係を持つ△ＡＢＣは無数に作ることができる。


（追記）　平成２８年１月２８日付け

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。


　△ABCがあり、次の各条件下のAの角度はそれぞれ何？ただし、∠Aの２等分線が辺BC
と交わる点をDとする。

（１） ∠B ： ∠C = ２ ： １ で、　AB = CD

（２） ∠A ： ∠C = ２ ： ３ で、　AB＋CD = AC

　しばらくぶりに考える時間が持てたので挑戦してみた。（１）は、何となく上記の「Ｃ＝２Ｂ」
の場合の図が参考になりそうな．．．予感。（平成２８年４月１１日付け）

（解）（１）　題意より、∠B ： ∠C = ２ ： １ 即ち、∠B＝２∠C　なので、△ＡＢＤ≡△ＡＥＤとな
　　　　　るように点Ｅをとることができる。

　

　このとき、∠Ｂ＝∠ＡＥＤ＝∠ＥＤＣ＋∠Ｃ＝２∠Cより、∠ＥＤＣ＝∠Ｃとなるので、△ＥＤＣ
は２等辺三角形となる。

　よって、AB = CD＝ａ　とおくと、ＡＥ＝ａ　で、ＢＤ＝ＤＥ＝ＥＣ＝ｂ　とおけて、△ＡＢＣは、
ＣＡ＝ＣＢ＝ａ＋ｂ　の２等辺三角形となる。

　したがって、　∠Ａ＋∠Ａ＋（１/２）∠Ａ＝１８０°より、　∠Ａ＝７２°となる。


（２）　∠A ： ∠C = ２ ： ３　より、　∠Ｃ＝３・（∠Ａ/２）　なので、∠Ａ/２＝θ　とおくと、

　∠Ｃ＝３θ　となる。また、AB＋CD = AC　より、　ＡＣ上に　ＣＥ＝ＣＤ　となる点Ｅをとる。

このとき、　△ＣＤＥは２等辺三角形なので、　∠ＣＥＤ＝（π−３θ）/２

よって、　∠ＡＥＤ＝π−∠ＣＥＤ＝（π＋３θ）/２　である。

　△ＡＢＤ≡△ＡＥＤ　なので、　∠ＡＢＤ＝∠ＡＥＤ　である。

　ここで、　∠ＡＢＤ＝π−３θ−２θ＝π−５θ　なので、　π−５θ＝（π＋３θ）/２

よって、　θ＝（１/１３）π　となり、　∠Ａ＝（２/１３）π　である。　　（終）


（コメント）　最近このページに追記する機会があり、ページに再度目を通したら、なんと（２）
　　　　　がながらく「工事中」になっていて気になっていました。ようやくほぼ６年ぶりに解決
　　　　　することができました。ＧＡＩ さん、答は合っているでしょうか？ご検分をお願いいた
　　　　　します。（令和４年４月２０日付け）


（追記）　平成３１年３月２５日付け

　２０１８年度埼玉県公立高校入試問題です。三角形の相似や方べきの定理、トレミーの定
理と平面幾何大好き人間にとっては垂涎の逸品と言える問題です。

問題　円に内接する△ＡＢＣがあり、ＡＢ＝５、ＡＣ＝４とする。∠Ａの２等分線が辺ＢＣと交わ
　　　る点をＤ、△ＡＢＣの内接円との交点をＥとし、ＣＥ＝とする。このとき、線分ＡＤの長
　　　さを求めよ。

　

（解）　ＡＤ＝ｘ　とおくと、△ＡＢＤ∽△ＣＥＤ　なので、５ ： ｘ＝ ： ＣＤ　より、ＣＤ＝ｘ/

同様にして、　△ＡＣＤ∽△ＢＥＤ　なので、　４ ： ＝ｘ ： ＢＤ　より、ＢＤ＝ｘ/４

また、　△ＡＣＤ∽△ＣＥＤ　なので、　４ ： ＝ｘ/ ： ＤＥ　より、ＤＥ＝ｘ/４

（方べきの定理より、ｘ・ＤＥ＝（ｘ/４）・（ｘ/）＝ｘ2/４　なので、ＤＥ＝ｘ/４　としてもよい）

よって、トレミーの定理より、　５・＋４・＝（ｘ＋ｘ/４）・（ｘ/４＋ｘ/）　なので、

　９＝９ｘ2/１６　から、　ｘ2＝１６　より、　ｘ＝４　　（終）


（コメント）　トレミーの定理を用いなくとも、△ＣＥＤ∽△ＡＥＣ　なので、

　ｘ/４ ： ＝ ： ５ｘ/４　から、　ｘ＝４　が導かれる。

また、角の２等分線の長さの公式を用いれば、

　ＡＤ2＝５・４−（ｘ/４）・（ｘ/）＝２０−ｘ2/４　から、　ｘ2＝２０−ｘ2/４

　よって、　ｘ2＝１６　より、　ｘ＝４　となる。


（追記）　令和３年１月２９日付け

　角の２等分線の公式を使う問題が中学校入試で出題された。大学入学センター試験の
前身の共通一次試験で平成元年頃から出題され、それが頻出の公式として定着している。

　ただ、それが中学入試で、というのには驚かされる。正に中学入試、恐るべしである。

　次は、灘中学の入試問題（改題）で、「えっ、これで求まるの？」というのが初見の感想であ
る。ただ、問題は美しく、いろいろな解法が考えられ、非常に解く者をワクワクさせる良問で
ある。

問　題　　△ＡＢＣにおいて、頂点Ａより底辺ＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとおく。
　　ＢＨ＝２、ＨＣ＝５とする。また、∠ABC＝２∠ＡＣＢ　とする。

　

　このとき、辺ＡＣの長さを求めよ。

（解）　∠Ｂの２等分線と線分ＡＨの交点をＤとおくと、　△ＤＢＨと△ＡＣＨは相似なので、

ＢＨ：ＣＨ＝２：５　より、　ＤＨ：ＡＨ＝２：５　なので、

　ＡＤ：ＤＨ＝３：２　となる。

角の２等分線の性質から、　ＡＢ＝３　となる。

　　よって、　ＡＣ2＝３2-２2＋５2＝３０　より、

　ＡＣ＝　　（終）

　次のような別解も考えられる。

（別解）
 　　線分ＨＣ上に、ＡＢ＝ＡＥ　となる点Ｅをとると、

　ＨＥ＝ＢＨ＝２　なので、　ＥＣ＝３　となる。

　　△ＥＣＡ、△ＡＢＥが２等辺三角形なので、

　ＡＢ＝ＡＥ＝ＥＣ＝３

　　よって、　ＡＣ2＝３2-２2＋５2＝３０　より、

　ＡＣ＝　　（終）


（追記）　「正弦と比」と題して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんから問
　　　　題を頂きました。（令和３年１０月４日付け）

　　　　　　△ABCの辺BC上に点Dがある。

　　　　∠BAD＝α、∠CAD＝β とおくと、

　　　　　　BD ： ＤＣ＝AB・sinα ： AC・sinβ

　　　が成り立つことを証明せよ。

　この問題で、ＡＤ⊥ＢＣならば、等式が成り立つことは自明だろう。これが一般の場合も言
えるという点が面白い。

（解）　頂点Ｃより線分ＡＤと平行な線を引き、直線ＡＢとの交点をＥとおく。

　

　このとき、△ＡＣＥにおいて、正弦定理から、ＡＣ ： ＡＥ＝ｓｉｎα ： ｓｉｎβ が成り立つ。

　また、平行線の公理から、　ＡＢ ： ＡＥ＝ＢＤ ： ＤＣ なので、　ＡＥ＝ＡＢ×（ＤＣ/ＢＤ）

　よって、　ＡＣ ： ＡＢ×（ＤＣ/ＢＤ）＝ｓｉｎα ： ｓｉｎβ　から、

　ＡＢ・ｓｉｎα×（ＤＣ/ＢＤ）＝ＡＣ・ｓｉｎβ　すなわち、 ＢＤ/ＤＣ＝（ＡＢ・ｓｉｎα）/（ＡＣ・ｓｉｎβ）

よって、　BD ： ＤＣ＝AB・sinα ： AC・sinβ　が成り立つ。　　（終）


（コメント）　上記で、特に、α＝β の場合は、線分ＡＤは∠Ａの２等分線となり、

　BD ： ＤＣ＝AB ： AC

が成り立つことを示す。このことから、よおすけさんの問題は、角の２等分線の公式の一般
化になっていることが分かる。


（追記）　令和３年１０月１３日付け

　上記の、

　　　　　　△ABCの辺BC上に点Dがある。

　　　　∠BAD＝α、∠CAD＝β とおくと、

　　　　　　BD ： ＤＣ＝AB・sinα ： AC・sinβ

を示す問題で、よくよく考えたら、ＡＤと平行な直線を引くまでもなく、直接的な証明が出来そ
うだ。

（別解）　△ＡＢＤにおいて、正弦定理より、　ＢＤ/ｓｉｎα＝ＡＢ/ｓｉｎ∠ＡＤＢ

　同様に、△ＡＤＣにおいて、正弦定理より、　ＤＣ/ｓｉｎβ＝ＡＣ/ｓｉｎ∠ＡＤＣ

　したがって、　ＡＢ・ｓｉｎα ： ＡＣ・ｓｉｎβ＝ＢＤ・ｓｉｎ∠ＡＤＢ ： ＤＣ・ｓｉｎ∠ＡＤＣ

　ここで、　∠ＡＤＢ＋∠ＡＤＣ＝π　なので、　ｓｉｎ∠ＡＤＢ＝ｓｉｎ∠ＡＤＣ

　よって、　ＡＢ・ｓｉｎα ： ＡＣ・ｓｉｎβ＝BD ： ＤＣ　　（終）


（追記）　令和３年１０月１４日付け

　上記の証明が最も簡単だと思ったのも束の間、もっと簡単に証明できることを、当ＨＰ読
者のＨＮ「Ｔ．Ｋ．」さんよりご教示いただいた。Ｔ．Ｋ．さんに感謝いたします。

　　　左図において、

　　△ＢＤＥ ∽ △ＣＤＦ　より、

　　BD ： ＤＣ

　　＝BＥ ： ＣＦ

　　＝ＡＢ・ｓｉｎα ： ＡＣ・ｓｉｎβ

（追記）　令和４年４月１６日付け

　　上記で、角の２等分線が与えられたとき、次の公式が成
　り立つことを見た。今では、これらの公式は受験数学の必
　須アイテムといえるまでになった。

　（１）　ａ ： ｂ＝ｍ ： ｎ

　（２）　　

　これらの公式ほど有名ではないが、次の公式も角の２等分線の長さに関する基本公式で
ある。
　　　　　　（ａ＋ｂ）ＡＤ＝２ａｂ・ｃｏｓ（Ａ/２）

（証明）　△ＡＢＤ＋△ＡＤＣ＝△ＡＢＣ　より、

　（１/２）ａ・ＡＤｓｉｎ（Ａ/２）＋（１/２）ｂ・ＡＤｓｉｎ（Ａ/２）＝（１/２）ａｂｓｉｎＡ

すなわち、　（１/２）（ａ＋ｂ）・ＡＤｓｉｎ（Ａ/２）＝ａｂｓｉｎ（Ａ/２）ｃｏｓ（Ａ/２）

よって、　（ａ＋ｂ）・ＡＤ＝２ａｂｃｏｓ（Ａ/２）　が成り立つ。　　（証終）


　この公式と余弦定理を用いれば、（２）　　を示すことができる。

（証明）　（ａ＋ｂ）ＡＤ＝２ａｂ・ｃｏｓ（Ａ/２）＝２ａｂ・（ａ2＋ＡＤ2−ｍ2）/（２ａ・ＡＤ）　より、

　ａ・ＡＤ2＝ａ2ｂ−ｂ・ｍ2＝ａ（ａｂ−（ｂ/ａ）ｍ・ｍ）

（１）より、　ｍ＝（ａ/ｂ）ｎ　なので、　ａ・ＡＤ2＝ａ（ａｂ−（ｂ/ａ）（ａ/ｂ）ｎ・ｍ）＝ａ（ａｂ−ｍｎ）

よって、　ＡＤ2＝ａｂ−ｍｎ　から、　　である。　　（証終）


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年４月２３日付け）

　上記で、△ABCで∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとし、AB＝ａ、AC＝ｂ とするとき、

　ＡＤ＝２ａｂcos(A/2)/(ａ＋ｂ)

なる公式を示してあるが、これは、ａ、ｂに対する調和平均 ｄ

　1/ｄ＝(1/2)(1/ａ＋1/ｂ)　　即ち、　ｄ＝２ａｂ/(ａ＋ｂ)

に対して、縮小率 cos(A/2) を掛けたものと解釈される。

　ここに、調和平均の幾何的解釈として、（→　参考：「調和平均の真実」）

　ｘｙ平面で、ｘ軸上の点A(ａ，0)、ｙ軸上にP(0，ｄ)をとり、点Ｐからｘ軸に平行に距離ｂだけ離

れた点B(ｂ，ｄ)を取るとき、４点O(原点)、A(ａ，0)、B(ｂ，ｄ)、P(0，ｄ) が囲む台形に半径ｄ/２

の円が内接できる。即ち、

　２つの平行な長さ ａ、ｂ の間隔を調和平均で出すｄで離してやっておけば、この中にピタリ

半径ｄ/２の内接円が収まり、その間隔ｄを、最後に∠BACの二等分角度A/2に対するcos量

のcos(A/2)で縮小してやれば、ADの距離が与えられると解釈される。

　つまり、△ABCで∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとし、AB＝ａ、AC＝ｂ とするとき、

　ａ と ｂ の調和平均 ｄ＝２ａｂ/(ａ＋ｂ)　を求めれば、ＡＤは、

　　ＡＤ＝ｄ・cos(A/2)

により与えられる。


（コメント）　ＡＤの計算に、ａ と ｂ の調和平均が出てくるところが面白いですね。


（追記）　ＧＡＩ さんから問題をいただきました。（令和４年４月１８日付け）

　 △ABCがあり、辺BCがx-y座標平面上のx軸上にあり、頂点Aはy軸の正の部分にあるも
のとする。

　今、線分AB、ACの傾きをそれぞれm1、m2と表すとき、∠Aの二等分線が辺BCと交わる
点をDとしたとき、各(m1，m2)の値に対するADの線分の傾きmがどの様な値となるか、見
つけてほしい。

(1)　(m1，m2)=(1/7，-1)

(2)　(m1，m2)=(1/2，-2)

(3)　(m1，m2)=(1/3，-3)

(4)　(m1，m2)=(1/4，-4)

(5)　(m1，m2)=(1，-5)


（コメント）　何となく、冒頭の五十嵐先生の着目された公式

　　　△ＡＢＣ において、ＡＤは∠Ａの二等分線である。

　　　このとき、

　　　

　　が成り立つ。

が使えそうな雰囲気だったので、計算してみた。

　ＧＡＩ さんの問題設定(1)〜（5)から、辺ＢＣ上に座標軸の原点がある。

　このとき、ｍ1＝ｔａｎα、ｍ2＝ｔａｎβ　であり、ｍ＝ｔａｎθである。

　２θ＝α+β　なので、　ｔａｎ２θ＝（ｔａｎα＋ｔａｎβ）/（１−ｔａｎαｔａｎβ）　である。

（１）　ｍ1＝１/７、ｍ2＝−１　のとき、　ｔａｎ２θ＝−３/４

　ｔａｎ２θ＝２ｔａｎθ/（１−ｔａｎ2θ）　に代入して整理すると、

　３ｔａｎ2θ−８ｔａｎθ−３＝０　すなわち、　（３ｔａｎθ＋１）（ｔａｎθ−３）＝０

ＤはＢＯ上にあるので、　ｔａｎθ＝３

（２）　ｍ1＝１/２、ｍ2＝−２　のとき、　ｔａｎ２θ＝−３/４

　ｔａｎ２θ＝２ｔａｎθ/（１−ｔａｎ2θ）　に代入して整理すると、

　３ｔａｎ2θ−８ｔａｎθ−３＝０　すなわち、　（３ｔａｎθ＋１）（ｔａｎθ−３）＝０

ＤはＢＯ上にあるので、　ｔａｎθ＝３

（３）　ｍ1＝１/３、ｍ2＝−３　のとき、　ｔａｎ２θ＝−４/３

　ｔａｎ２θ＝２ｔａｎθ/（１−ｔａｎ2θ）　に代入して整理すると、

　２ｔａｎ2θ−３ｔａｎθ−２＝０　すなわち、　（２ｔａｎθ＋１）（ｔａｎθ−２）＝０

ＤはＢＯ上にあるので、　ｔａｎθ＝２

（４）　ｍ1＝１/４、ｍ2＝−４　のとき、　ｔａｎ２θ＝−１５/８

　ｔａｎ２θ＝２ｔａｎθ/（１−ｔａｎ2θ）　に代入して整理すると、

　１５ｔａｎ2θ−１６ｔａｎθ−１５＝０　すなわち、　（５ｔａｎθ＋３）（３ｔａｎθ−５）＝０

ＤはＢＯ上にあるので、　ｔａｎθ＝５/３

（５）　ｍ1＝１、ｍ2＝−５　のとき、　ｔａｎ２θ＝−２/３

　ｔａｎ２θ＝２ｔａｎθ/（１−ｔａｎ2θ）　に代入して整理すると、

　ｔａｎ2θ−３ｔａｎθ−１＝０　すなわち、　ｔａｎθ＝（３±）/２

ＤはＢＯ上にあるので、　ｔａｎθ＝（３＋）/２


　らすかるさんからのコメントです。（令和４年４月１８日付け）

　一般式は、{m1*m2-1-√((m1^2+1)*(m2^2+1))}/(m1+m2)　でしょうか。


（コメント）　（ｍ1＋ｍ2）ｔａｎ2θ＋２（１−ｍ1ｍ2）ｔａｎθ−（ｍ1＋ｍ2）＝０　を解くと、

　ｔａｎθ＝［ｍ1ｍ2−１±√{（ｍ12＋１）（ｍ22＋１）}］/（ｍ1＋ｍ2）

　ここで、点Ｄのｘ座標は、

　ｘ＝｛（√（ｍ22＋１）−√（ｍ12＋１）｝/｛ｍ2√（ｍ12＋１）−ｍ1√（ｍ22＋１）｝

　ｍ1＞０、ｍ2＜０　より、　ｍ2√（ｍ12＋１）−ｍ1√（ｍ22＋１）＜０　に注意して、

ｍ1＞−ｍ2　のとき、　ｘ＞０　で、　ｔａｎθ＜０　となるために、

　ｔａｎθ＝［ｍ1ｍ2−１−√{（ｍ12＋１）（ｍ22＋１）}］/（ｍ1＋ｍ2）

ｍ1＜−ｍ2　のとき、　ｘ＜０　で、　ｔａｎθ＞０　となるために、

　ｔａｎθ＝［ｍ1ｍ2−１−√{（ｍ12＋１）（ｍ22＋１）}］/（ｍ1＋ｍ2）

以上をまとめて、　ｔａｎθ＝［ｍ1ｍ2−１−√{（ｍ12＋１）（ｍ22＋１）}］/（ｍ1＋ｍ2）


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年４月１９日付け）

　個別に出していたので、こんな式で表せるとは思ってもいませんでした。

　これは、AB とACが直角なら(m1*m2=-1)、m=(1+m1)/(1-m1)　の式に還元できるので、

　m1=1 ==>m=∞
　m1=1/2 ==>m=3
　m1=2 ==>m=-3
　m1=1/3 ==>m=2
　　････････

と対応していくから、BCを直径とする円を利用して、m1での値を使って作図することで、∠A
での二等分線が引けることができたり、他にも応用が出来そうですね。



　　以下、工事中！