いろいろな平均　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　戻る

　テストが返されると、生徒たちは友人たちと点数の合計点で競い合い、一喜一憂する。対
して、教える側は、クラスによって人数が違うので、クラスの平均点を計算して、これまでの
指導の成果について自己評価する。
　もちろん、平均点だけでは母集団の特徴がつかめないので標準偏差や分布の状態も参
考にする。表計算ソフトのおかげで、それらの計算が一瞬のうちにできてしまうので大いに
助かっている。
　世の中で、平均といえば算術平均をいうが、平均には他にも幾何平均とか調和平均など
があり、それぞれ用途が異なる。

　算術平均・・・　２数 ａ、ｂ に対して、 　（相加平均ともいわれる。）
算術平均 　　算術平均は、左図からも分かるように、でこぼこ
　のものをならす働きがある。
　　２数 ａ、ｂ に対して、その算術平均は次のように
　作図して、幾何的に求めることができる。
　　　　

　幾何平均・・・　２つの正数 ａ、ｂ に対して、　（相乗平均ともいわれる。）

　　算術平均は、和　ａ＋ｂ　の値が、ある数を２回足したものになるときのある数のことをい
　う。数直線上で考えれば、２点Ｐ（ａ）、Ｑ（ｂ）の中点の座標という性格を持っている。
　　これに対して、幾何平均は、積　ａｂ　の値が、ある数を２回掛けたものになるときのある
　数のことをいう。
　　たとえば、普通の辛さのカレーに対して、カレーＡは２倍辛く、カレーＢは８倍辛いとする。
　この辛さの平均を考えるとき、Ｋ×Ｋ＝２×８　より、Ｋ＝４　となり、平均の辛さは４倍とな
　る。
　（しかし、これには異論があるかもしれない。推測であるが、２倍辛いとは、普通より２倍唐
　辛子が多く入っている、８倍辛いとは、普通より８倍唐辛子が多く入っているとすると、２つ
　を平均するということは、唐辛子の量が５倍ということで、５倍辛いカレーができてしまうと
　思うのだが、間違っているだろうか？カレーに詳しい方、是非お教えください！！）

　　２数 ａ、ｂ に対して、その幾何平均も簡単に作図することができる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（参考：作図問題における円の役割）

　当ＨＰの読者のＳさんより、相乗平均の作図方法をご教示頂いた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年９月２２日付け）

　　　左図において、ＡＢ＝ａ、ＣＤ＝ｂ　とし、ＡＥ＝√ａ、

　　ＣＦ＝√ｂ　とする。対角線の交点Ｇを通り、ＡＣ⊥ＩＨ

　　とするとき、ＩＪ＝　である。



（証明）　点Ａを座標軸の原点とし、ＡＣを ｘ 軸の正の向きとする。ＡＣ＝ｍ　とするとき、

　　　　直線ＢＤの方程式は、　ｙ＝｛（ｂ−ａ）/ｍ｝ｘ＋ａ　で、点Ｊの座標は、相似比より

　　　　　　（ ｛√ａ/（√ａ＋√ｂ）｝ｍ ，０ ）

　　　　このとき、　ＩＪ＝｛（ｂ−ａ）/ｍ｝・｛√ａ/（√ａ＋√ｂ）｝ｍ＋ａ

　　　　　　　　　　　　＝（√ｂ−√ａ）・√ａ＋ａ

　　　　　　　　　　　　＝　　（証終）

（コメント）　Ｓさんに感謝します。


　調和平均・・・　２数 ａ、ｂ に対して、逆数の算術平均の逆数

　　調和平均の例としては、次が有名である。

　「行きが時速４ｋｍ、帰りが時速６ｋｍで歩いたとき、平均の速さはいくらか？」

　なんとなく、時速５ｋｍと答えがちであるが、実際は、時速４．８ｋｍ　である。
　（速さ）×（時間）＝（距離）の公式を用いて計算すると、自然と調和平均の計算公式に導
　かれる。
　　２数 ａ、ｂ に対して、その調和平均の式から受けるイメージは複雑そうであるが、作図
　することは簡単である。下図のように作図すればよい。

調和平均

　　左図において、△ABG∽△DCG　より、
　　　　　　AG：GD＝BG：GC＝ ａ ： ｂ
　　△AEG∽△ACD　より、GE＝ａｂ/（ａ＋ｂ）
　　△BFG∽△BDC　より、FG＝ａｂ/（ａ＋ｂ）
　　したがって、
　　　　　　EF＝ となり、ＥＦが調和平均を与える。

（参考文献：中村義作・阿邊恵一　著　代数を図形で解く（講談社ブルーバックス））

（追記）　幾何平均について、次のような性質があることを上記書籍により知った。原理は
　　　　単純であるが、とても興味深い事実である。

幾何平均の性質　　　　左図の長方形ＡＢＣＤにおいて、
　　　ＡＢ＝ａ、ＡＤ＝ｂ　とする。
　　　いま、２数ａ、ｂ　の幾何平均を一辺とする
　　　正方形ＢＥＦＧ（ＧはＡＤ上）を作図する。
　　　　このとき、長方形の１頂点Ｃは、この正
　　　方形の辺ＥＦ上にある。

　　　　証明は、左図をみれば明らかであろう。
　　（長方形から正方形への等積変形である。）





（追記）　平成２３年５月８日付け

　平均というと、重さや長さ、点数等が分かり易い題材であるが、面積の平均とはどんなも
のだろう。

　面積という単なる数量の平均には興味はない。図形の形も考慮に入れた平均の方が意
味があるだろう。すなわち、相似な図形同士の面積の平均である。

例　２１インチのTVと３２インチのTVの画面の面積の平均は何インチのTVであるか。

　TV画面の大きさは、対角線の長さ（２１インチ、３２インチ）で定まる。２つのTV画面はとも
に、４：３ の画面とする。

　このとき、　２１インチのTV画面の縦の長さは、　２１×３/５＝６３/５

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　横の長さは、　２１×４/５＝８４/５

　よって、２１インチのTV画面の面積は、　６３/５×８４/５＝５２９２/２５　となる。

　　同様にして、　３２インチのTV画面の縦の長さは、　３２×３/５＝９６/５

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　横の長さは、　３２×４/５＝１２８/５

　よって、２１インチのTV画面の面積は、　９６/５×１２８/５＝１２２８８/２５　となる。

　　２つの画面の大きさの平均は、　（５２９２/２５＋１２２８８/２５）/２＝８７９０/２５

　このとき、求めるTV画面が Ａインチであるとすると、

　　　　　縦の長さは、　Ａ×３/５　、横の長さは、　Ａ×４/５

なので、その面積は、　Ａ2×１２/２５　である。

　よって、　Ａ2×１２/２５＝８７９０/２５　より、　Ａ2＝８７９０/１２＝２９３０/４　なので、

　　　Ａ＝５４．１２９４７４４１・・・/２＝２７．０６４７３７２１・・・

　以上から、　およそ２７インチのＴＶ画面が２つのＴＶ画面の平均となる。

　単に、（２１＋３２）/２＝２６．５（インチ）のＴＶでないところが面白い。

　上記の計算は、次のように一般化できる。

　対角線の長さがそれぞれ ａ、ｂ の相似な長方形がある。対角線と横のなす角を θ とする。

このとき、２つの長方形の面積は、それぞれ　　ａ2ｓｉｎθｃｏｓθ　、　ｂ2ｓｉｎθｃｏｓθ　なので、

　面積の平均は、　（ａ2ｓｉｎθｃｏｓθ＋ｂ2ｓｉｎθｃｏｓθ）/２＝（ａ2＋ｂ2）ｓｉｎθｃｏｓθ/２

よって、求める長方形の対角線の長さが Ａであるとすると、

　　　　　縦の長さは、　Ａｓｉｎθ　、横の長さは、　Ａｃｏｓθ

なので、その面積は、　Ａ2ｓｉｎθｃｏｓθ　である。

　したがって、　Ａ2ｓｉｎθｃｏｓθ＝（ａ2＋ｂ2）ｓｉｎθｃｏｓθ/２　より、

　　　　　

となる。

　同様に、最長対角線の長さが、それぞれ ａ、ｂ である２つの相似な直方体についても、両
者の平均である直方体の最長対角線の長さ Ａ は、次式で与えられる。

　 　　　


　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんから、「平均の数学的構造」ということで、
次のような関係があることをご教示いただいた。（平成２３年５月９日付け）

　ａ＞０、ｂ＞０　に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　
とおくと、

　　　Ａ＝Ｍ（１）＝（ａ＋ｂ）/２　となり、相加平均を表す。

　さらに、ｔ → ０　のとき、　Ｍ（ｔ） → Ｇ＝　となり、相乗平均を表す。

実際に、　（ｌｏｇ（ａｔ＋ｂｔ）−ｌｏｇ２）/ｔ　は、０/０の不定形の極限で、ロピタルの定理を用いて、

ｔ → ０　のとき、　（ａｔｌｏｇａ＋ｂｔｌｏｇｂ）/（ａｔ＋ｂｔ） → （ｌｏｇａ＋ｌｏｇｂ）/２＝ｌｏｇ

　よって、　Ｍ（ｔ） → Ｇ＝　である。

　また、　Ｈ＝Ｍ（−１）＝２ａｂ/（ａ＋ｂ）　となり、調和平均が現れる。

（コメント）　線分から長方形、直方体と相似な図形間の平均を考えてみたのですが、ＧＡＩ さ
　　　　　　んからご教示いただいたいろいろな平均の関係から、実は統一的に記述できる数
　　　　　　式があることに驚かされました。ＧＡＩ さんに感謝いたします。


　ＰＳＰさんからのコメントです。（平成２７年３月６日付け）

　２乗平方和平均、相加平均、相乗平均、調和平均の作図に脱帽しました。加重平均も加え
て、作図ソフトを作成してみました。（→　作図ソフトと参考図）


（追記）　平成３１年２月１９日付け

　ｘ1、ｘ2、ｘ3 を正の数とする。このとき、

　ｘ1、ｘ2 の相加平均は、（ｘ1＋ｘ2）/２　であり、相乗平均は、√（ｘ1ｘ2）　である。

　ｘ1、ｘ2、ｘ3 の相加平均は、（ｘ1＋ｘ2＋ｘ3）/３　であり、相乗平均は、　3√（ｘ1ｘ2ｘ3）　である。

　これらの平均について、京都市在住の永田俊也さんが

　　　　数学セミナー　’１９　３月号（日本評論社）

において、次のような関係があることを示されている。（上記では一般的に示されている。）

　　２（（ｘ1＋ｘ2）/２−√（ｘ1ｘ2））≦３（（ｘ1＋ｘ2＋ｘ3）/３−3√（ｘ1ｘ2ｘ3））

　ある意味での「単調性」だという。

（証明）　ｙｋ＝ｘｋ＾(1/6)　とおき、特に、ｙ1＝ｔ　とおくと、ｔ の関数Ｙは、

　Ｙ＝右辺−左辺＝（２ｙ23）ｔ3−（３ｙ22ｙ32）ｔ2＋ｙ36

　ｔ で微分して、　Ｙ’＝（６ｙ23）ｔ2−（６ｙ22ｙ32）ｔ＝０　より、　ｔ＝０　、ｙ32/ｙ2

　ｔ≧０　の範囲で、Ｙは、ｔ＝ｙ32/ｙ2 で極小かつ最小で、最小値 ０ である。

　したがって、Ｙ≧０ で、

　２（（ｘ1＋ｘ2）/２−√（ｘ1ｘ2））≦３（（ｘ1＋ｘ2＋ｘ3）/３−3√（ｘ1ｘ2ｘ3））

が成り立つ。