数の創出３　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　電車に乗って手持ち無沙汰のとき、切符に書いてある数字を使って語呂合わせを考えた
り、ぞろ目で縁起がいいとか思ったことがある人は少なからずいらっしゃることと思う。

　私自身いつもは車通勤なのだが、ときどき出張等で電車を利用するときは、数学を生業
としている以上、ついついそのようなことを考えてしまう。

　今日所要で乗った電車の切符に書いてある数字は、「４、９、６、４」。この４つの数字と数
学の記号　＋、−、×、÷、（ 、） とべき乗や√を用いて、数字の １、２、３、４、・・・　を作っ
ていこうと思い立った。どこまで行くかというワクワク間を感じながら．．．。

　一緒に乗り合わせた知り合いの女子高生からは「何か変！」と言われてしまったが、それ
ぞれ互いに答えを言い合うことにした。皆さんも挑戦してみては如何？

　どこまで行けるでしょうか？

（答）　計算式は一通りには定まらないが、一例をあげておく。

　「４１」と「４７」は、「ぽっぽ」さんにご教示いただきました。（平成２３年１０月１４日付け）

　６５、７１、７３、７５、８０、８２、８４、８９、９１、９７、１００　については、空舟さんよりご教示
頂きました。（平成２３年１０月１７日付け）

　さらに、空舟さんからはインパクトが強い解答として、

　　（√√√√√√√√√√√√√√√√√(４＋６)）⁴⁹＝(１０^2-17)²¹⁸＝１０²＝１００

というものも頂きました。思いつかないですね！

　ＧＡＩ さんより、次のような計算例をご教示頂きました。（平成２３年１０月１７日付け）

　　　７１＝(√９)⁴−（６＋４）　、７３＝（４−√４）⁶＋９　、８０＝√４＋（９＋４）×６

　　　８２＝（４＋９）×６＋４　、８４＝√４×（９×４＋６）　、９１＝(√９)⁴＋６＋４

　　１００＝√４×（９×６−４）

　よおすけさんから、「２桁もＯＫ」という条件で、次の解を頂きました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年１０月１８日付け）
　　　９８＝９６＋(√√４)^√4

　らすかるさんから、「２桁もＯＫ」という条件で、次の解を頂きました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年１０月１９日付け）

　　　９５＝９６−４÷４　　、９８＝４４＋６×９


　FNさんからのコメントです。（平成２３年１０月２０日付け）

　「お茶の時間」の「パズル＆クイズ｝に、「数の創出」、「数の創出２」、「数の創出３」がある。
使う数字と作る数字が違うのは当然だが、条件が微妙に違う。

　「数の創出」では、

　いま、数字 １、２、３、４　の一つずつと数学の記号　＋、−、×、÷、（ 、） とべき乗を用い
て、１から５０までの整数を表す計算式を作りたい。

　「数の創出２」では、

　いま、数字の １ から ９ までの４個の異なる数と数学の記号　＋、−、×、÷、（、） を用い
て、「２４」という整数を表す計算式を作りたい。

　「数の創出３」では、

　今日所要で乗った電車の切符に書いてある数字は、「４、９、６、４」。この４つの数字と数
学の記号　＋、−、×、÷、（ 、） とべき乗や√を用いて、数字の １、２、３、４、・・・　を作っ
ていこうと思い立った。

　べき乗と√の使用の可否については書いてあるが、２つ以上の数字を並べて２桁や３桁
の数として使うことの可否は書いてない。解答例からすると、「数の創出」ではＯＫで、「数の
創出２」や「数の創出３」では駄目であるようだ。

　このタイプの問題で私が一番最初に出会ったのは、Four fours(４つの４)だったと思う。４
個の「４」と「＋−×÷」と括弧（）を適当に使って、１から１０(or １００)になる式を作れという
ものだったと思う。そのときは、「＋−×÷」等の記号は少ないほどいいという感じであった。
だから、「４４÷４４＝１」の方が「４×４÷４÷４＝１」とかよりいいと感じる。それで、数の創
出２や３における設定(明示してなくて2桁の数として使うのは不可)は不自然に感じる。とも
かく２桁や３桁の数として使うのを認めるか、認めないかは明示すべきだろう。

　√は、本来２乗根だから、数字２が入っているので認めるのは不適切ではとも思うが、認
める流儀も結構あるらしい。小数「．３」とか、階乗とか、更には、ガウス記号まで認める流
儀もあるようだ。

　「数の創出３」は、４個の数字のうち３個が平方数だから、√を使うことがかなり有効であ
る。だから√を使うという設定になったのだろう。その際、２桁として使うことを認めれば簡
単にできてしまったりするので、不可にしたということだろう。例えば、「９５＝４６＋４９」とか。
私の感覚では、「９５」についてはこれが最善である。

　「数の創出３」と同じルール、即ち、＋−×÷とべき乗、√、括弧を使ってよいとし、２桁や
３桁の数として使うのは駄目とすると、４４６９の次に面白そうなのは多分４６９９でしょう。
５０以下では４４以外はできました。１００以下とすると、４４の他に、

　　６８、８０、８６、８８、９２、９４、９５、９７、９８、１００

ができません。できるのがあればお願いします。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２３年１０月２０日付け）

　６８＝（√９＋９）×６−４　はできましたが、他はできないのでは・・・？


　ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１０月２０日付け）

　確かに、「６８」はできますね。それ以外は無理なようですか。となると、問題として、4699は
4469よりかなり劣るようですね。できないのが、4469は2通り、4699は10通りであるとすれば。


　攻略法さんが、この話題について考察されました。（平成２３年１０月２２日付け）

問　題　　1+2+3 のような四則演算のみの式を考える。数の並びを変えないで、計算の順番
　　　　　をはっきりさせる、括弧のつけ方は最大何通りあるか。

（解）　2数の場合、すなわち、1+2 は、括弧を付けない「1+2」のみなので、1通り

　　　　3数の場合、すなわち、1+2+3 は、「(1+2)+3」、「1+(2+3)」 の 2通り

　　　　4数の場合、すなわち、1+2+3+4 は、

　　　　　　「((1+2)+3)+4」、「(1+2)+(3+4)」、「(1+(2+3))+4」、1+((2+3)+4)、1+(2+(3+4))

　　　　　の 5通り

　　　　5数の場合、すなわち、1+2+3+4+5 は、

　　　　　　「(((1+2)+3)+4)+5」、「((1+(2+3))+4)+5」、「((1+2)+(3+4))+5」、「(1+((2+3)+4))+5」、

　　　　　　「(1+(2+(3+4)))+5」、「1+(((2+3)+4)+5)」、「1+((2+(3+4))+5)」、「1+((2+3)+(4+5))」、

　　　　　　「1+(2+((3+4)+5))」、「1+(2+(3+(4+5)))」、「((1+2)+3)+(4+5)」、「(1+(2+3))+(4+5)」、

　　　　　　「(1+2)+((3+4)+5)」、「(1+2)+(3+(4+5))」

　　　　　の 14通り

　　一般に、ｎ個の数について括弧のつけ方の総数は、ｎ-1 に対するカタラン数 Ｃ_ｎ-1 となる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（終）
（補足）　「最大何通り」

　式を決めて、括弧を付ける場合を考える。演算子には優先順位があるので、

　式1+2+3*4の場合

　　上記より、5通りだが、式の意味が変わらないのは、(1+2)+(3*4)、1+(2+(3*4)) の 2通り

　式1/2/3/4の場合

　　1*2*3*4 なら5通りになるが、括弧を付けることで逆数になるんで、((1/2)/3)/4 の1通り

　　1-2-3-4も同様（符号の反転）となる。

　このように、演算の結合を決める括弧のつけ方は、限られることになる。　　（終）

（→　参考：「カタラン数」のトーナメント表について）

　これより、「数の創出」、「数の創出２」、「数の創出３」の計算式の「場合の数」はいくつに
なるだろうか？

　4つの数なので、計算の順番による分類は、5通り（5種類）となる。
数を結合して、2桁、3桁、4桁の数とすれば、上記より、2、1、1通りとなる。

　四則演算と括弧の組合せでできる式を考える。実際は、

　　　((1/2)/3)/4、(1/(2/3))/4、(1/2)/(3/4)、1/((2/3)/4)、1/(2/(3/4))

のように、括弧を付けると別の種類の式として成立するので、

　4つの数の場合、演算子4個、3箇所で4³通りなので、5・4³=320通りとなる。

　1数の場合、1通り

　2数の場合、1・4¹=4通り

　3数の場合、2・4²=32通り

　4つの数の並びは、4!通りとなる。同じ数を含むなら並びは少なくなる。

　したがって、4!・5・4³通り。

　べき乗が加わる場合、2項演算子が1つ増えるので、4³を5³とする。

　平方根が加わる場合、2項演算子なら計算結果が1項となるので、確実に適用される個数
は上限があるが、関数なので、√√のように複数結合できるので、上限はない。

　平方根の記号が挿入できる箇所は、

　　(((1+2)+3)+4)、((1+2)+(3+4))、((1+(2+3))+4)、(1+((2+3)+4))、(1+(2+(3+4))) の5通り

の左括弧と4つの数の前に記述できる。4つの数との組合せで、計算結果が整数となるなど
を考慮すれば上限はあると思う。

　各箇所に高々1つとして、四則演算と括弧とべき乗の組合せで、4つの数の前は、2⁴通り。
左括弧の前は、√(1+2)のような2項演算子があると考えて、(2・5)³通り。

　したがって、4!・2⁴・5・(2・5)³通り。

　条件（4つの1桁の数、四則演算、括弧、べき乗、平方根（各箇所に高々1つ））で検証して
みると、

　数の創出３　4、4、6、9　の場合、「95」、「98」はない。

　数の創出３　4、6、9、9　の場合、

　　　「80」、「86」、「88」、「92」、「94」、「95」、「97」、「98」、「100」はない。

　　　「44」は、「4×｛(6/√9)+9｝」により可能

という結果になる。

　4つの1桁の数、四則演算、括弧での例（4、4、6、9の場合）

　4つの1桁の数、四則演算、括弧での例（4、6、9、9の場合）

　ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１０月２２日付け）

　相当本格的に調べてありますね。2項演算子だけで、括弧がなければ簡単です。括弧が
あれば、とても面倒で無理だろうと思いましたが、場合の数はそんなに多くないのですね。
1項演算子の√はやはり面倒です。

　「44」は解がありましたか。なんで気がつかなかったのだろう。平方根(各箇所に高々1つ)
の所で2つ以上を認めても多分新たに見つかりそうな気はしませんから、それぞれ2個、9個
は不可能なのでしょう。

　攻略法さんにより、４６９９で「４４」になる式が作られたので、１から５０までにすると、問題
として成立することになりました。

　４個の数字 ４、６、９、９ と記号＋、−、×、÷、＾(べき乗)、√(平方根)、及び括弧

を適宜使って、答えが、１、２、３、･･･、５０になる式を作れ。

　ただし、数字は、４、６、９、９の４個で順序は変えてもよい。記号は何個使ってもよ

いが、数字と数字の間には必ず記号が入らなければならない。すなわち、数字を２個

以上並べて、４６や６９９とすることはできないとする。

　答えはいろいろあるでしょうが、攻略法さんが書かれたものがあるときは、それを使いまし
た。ないときは、べき乗または√を使わないと書けないことになります。４４以外は私が考え
た式を使いました。

　らすかるさんからのコメントです。（平成２３年１０月２２日付け）

　「カッコはない方が良い」、「√の個数は少ない方が良い」、「√とベキ乗を両方使うよりは
片方の方が良い」などの観点で考えると、下記のような式もあります。
（ほとんど変わらないものもあります）

　よおすけさんからのコメントです。（平成２３年１０月２３日付け）

　では、4669の場合はどうでしょうか？条件は、4469や4699の時と同じで。

　とりあえず、1の場合は、　4+9-6-6＝1

　らすかるさんがよおすけさんの問題を考察されました。（平成２３年１０月２３日付け）

　4669の場合、1から100までで作れないのは、53、59、71、77、83、85、89、91、95、97、98
の11個のようです。

　ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１０月２３日付け）

　32(40)は一番最後になんとかできた式だったのですが、そんなに無理しないで、上記の式
の方がいいですね。4699より4689の方がいいでしょうか？

　よおすけさんからのコメントです。（平成２３年１０月２３日付け）

　結局、95と98は、4つの数字4699、4469、4669ともに計算式が作れないのか．．．。

らすかるさんからのコメントです。（平成２３年１０月２３日付け）

　4689で出来ないのは、91と97の2個のようです。

　ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１０月２３日付け）

　4699は、90以上が6個もできないのに対し、4689は90以上をちょっとやってみたら、91、94、
95、97以外はできました。だから、4699よりいい可能性はあるかなと思ったのですが、4469
よりは悪いだろうと思っていました。2個だけとは意外です。4689は、問題としてはかなりいい
ことになります。まず、94、95を考えてみます。

（コメント）　たまたま手に取った切符の数字が「4964」だったのですが、「4699」より「4689」や
　　　　　　「4964」の方が問題としてはいいとか、どんどん問題が深化していっていい感じです
　　　　　　ね！ラッキーナンバー「4964」を引き当てた私はラッキーボーイだったのでしょうか？



　　　工事中