数の創出２ 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　いま、数字の １ から ９ までの４個の異なる数と数学の記号　＋、−、×、÷、（ 、） を用
いて、「２４」という整数を表す計算式を作りたい。

　次の表を埋めてください。（表にある４つの数字を組み合わせて計算式を作る！）

（答）　計算式は一通りには定まらないが、一例をあげておく。

　　（追記）　平成２９年５月１４日、Ｗｅｂを徘徊していたら、偶然、このパズルの解を機械的
　　　　　　に求めるサイト「みさきちの壺」の「物壺」で、JavaScript版「加減乗除 de ポン」に
　　　　　　遭遇しました。面白そうだったのでリンクを張らせていただきました。みさきちさん
　　　　　　に感謝します。

（追記）　当ＨＰがいつもお世話になっている、らすかるさんから、「１６７８」と「３４６７」は解
　　　　なしとのご指摘を頂いた。ただ、数字の結合を許すと、次のような解があり得るとの
　　　　ことである。

　　　　　　　　　　１６７８　→　１６８÷７　、６×７−１８

　　　　　　　　　　３４６７　→　６７−４３　、（７６−４）÷３

　　　　　また、「１３４６」と「１４５６」は、他のパターンにはない形で「超」がつく位の難問に
　　　　感じました。正直に告白しておくと、自力での発見は出来ませんで、らすかるさんに
　　　　援助していただきました。

　　　　「１４５６」については、　６÷（５÷４−１）という解もあり得るとのことである。

（コメント）　分数の逆数というアイデアは、本当に思いつきませんでした。解答を知って、
　　　　　　　「あっ！」という感じで、言われてみると「確かに！」と思わず納得。らすかるさ
　　　　　　　んに感謝いたします。


　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんから、このパズルに関連して次のような
話題を提供していただいた。ＦＮさんに感謝します。（平成２２年１１月６日付け）

　中国では、「算２４点」というゲームがあるそうです。トランプを使って２人でするゲームで、
１人２枚ずつ引いて合計４枚の数字を使って２４をつくる競争をするのだそうです。遊びな
がら計算力がつきそうです。

　「算２４点」が、次のサイトで遊べます。　→　http://www.dffy.com/tool/24.htm（リンク切れ）

　４つの数字を入れれば、答えが、２４になる式がずらずらと出ます。

　さて、冒頭の問題で、「２４」を「１０」に変えます。即ち、１から９までの自然数から４個を取
ったすべての組合せ １２６ 通りに対して、「＋、−、×、÷、括弧」を使って答えが１０になる
式を作ってください。

　２４の場合はできないのが２つありましたが、これはすべてできるそうです。時間がある人
は、１２６通りすべてに挑戦してみてください。忙しい人は、次の３問ぐらいはどうでしょうか。

　（１）１３４６　（２）２４６７　（３）３４７８　（４）１１９９　（５）１４６６　（６）１１５８

　２４は約数が多くかなり手が広い感じで、１０は約数はあまりなく数も小さいので、問題とし
てはやや平板な感じです。

（コメント）　最近、久しぶりに乗った電車の切符が番号「４９０２」でした。計算結果が１０にな
　　　　　　るものをあれこれ乗っている間考えました。すぐ思いついたのが、

　　　　　　　　　　　（９−４＋０）×２＝１０

　　　　　でも、この式だと、「０」の立場がなく、美しくもないので、次の式も考えてみました。

　　　　　　　　　　　９＋（２＋４）⁰＝１０

　　　　　ちょっと、しっくりこないかな．．．？

　ＦＮさんが出題された問題の解を考えてみました。

（１）１３４６　・・・　（１＋４）×６÷３＝１０

（２）２４６７　・・・　７＋６÷（４−２）＝１０

（３）３４７８　・・・　８×（３−７÷４）＝１０

（４）１１９９　・・・　９×（１＋１÷９）＝１０

（５）１４６６　・・・　６×６÷４＋１＝１０

（６）１１５８　・・・　８÷（１−１÷５）＝１０

　らすかるさんからの追加問題：　１３３７　・・・　３×（１＋７÷３）＝１０

（コメント）　このような計算は小学生でも十分可能で、数の感覚をみがくのにいい問題だと
　　　　　　思います。

　ＦＮさんやらすかるさんが注目されたような、なかなか気がつきにくい手法で求める例をい
くつか追加しておきます。

（７）１１６７　・・・　７＋６÷（１＋１）＝１０

（８）１２８８　・・・　２×（１＋８）−８＝１０

（９）２２２６　・・・　２×（６−２）＋２＝１０

（１０）２２３４　・・・　（２＋３）×４÷２＝１０

（１１）２２６６　・・・　２×（２＋６）−６＝１０

（１２）２２６７　・・・　２＋２×７−６＝１０

（１３）２２８９　・・・　２×（９−８÷２）＝１０

（１４）２３５８　・・・　５×（８−２）÷３＝１０

（１５）２３６７　・・・　２×（７−６÷３）＝１０

（１６）２３７７　・・・　７＋（２＋７）÷３＝１０

（１７）２３９９　・・・　９＋９÷３−２＝１０

（１８）２４７７　・・・　２×（４＋７÷７）＝１０

（１９）３４８８　・・・　８×（８−３）÷４＝１０

（２０）４４６６　・・・　（６×６＋４）÷４＝１０

（２１）４４８８　・・・　８＋４×４÷８＝１０

（２２）４６６９　・・・　４×（６＋９）÷６＝１０

（２３）６６６９　・・・　６＋６×６÷９＝１０

（２４）６６９９　・・・　６×（６＋９）÷９＝１０

（２５）６７９９　・・・　７＋９÷（９−６）＝１０

　ＦＮさんによれば、「１０を作る」は「２４を作る」に比べて平板な印象がするとのことですが、
結構「１０を作る」も約数が少ないだけあって難しく感じられます。

　また、

　数字の １ から ９ までの４個の異なる数と数学の記号　＋、−、×、÷、（ 、） を用
いて、必ず「１０」という整数を表す計算式が作れる

とのことです。挑戦してみては如何でしょうか？


（追記）　平成２３年１０月３日付け

　当ＨＰの読者のＨＮ「ｈａｓｕ」さんが、上記の話題について考察されました。

　４つの数字を、数の順番を変えてもいいというルールで、「１０」を作るゲームを良くやりま
す。冪は禁止です。

例　（１２５６）→５×（６÷２−１）＝１０

　ほぼ全通りやってみて、１〜１０段階評価で、レベル分けしてみました。

　レベル７　　（９９９９）、（５７８９）、（３３６７）、（４７７９）、（４７８９）、（３４４６）、（６８８９）

　レベル８　　（１２８８）、（１２５９）、（４５７９）、（３６７９）、（４５６９）、（４４６６）

ここから先解けたら四則演算マスターです。

　レベル９　　（２２７９）、（３４６７）、（３４７７）

　レベル１０　　（１１５８）

（コメント）　レベルによる分類があると、「やってみようかな〜」という気にさせますね！
　　　　　　ｈａｓｕさんに感謝します。

　答え合わせ

　レベル７　　（９９９９）　・・・　（９×９＋９）÷９＝１０　、（５７８９）　・・・　（７＋９）×５÷８＝１０
　　　　　　　　（３３６７）　・・・　３×３＋７−６＝１０　、（４７７９）　・・・　（７×７−９）÷４＝１０
　　　　　　　　（４７８９）　・・・　４＋７＋８−９＝１０　、（３４４６）　・・・　（４−４÷６）×３＝１０
　　　　　　　　（６８８９）　・・・　８×８−９×６＝１０

　レベル８　　（１２８８）　・・・　２×（１＋８）−８＝１０　、（１２５９）　・・・　（１＋９）÷２＋５＝１０
　　　　　　　　（４５７９）　・・・　５×４÷（９−７）＝１０　、（３６７９）　・・・　（９×７−３）÷６＝１０
　　　　　　　　（４５６９）　・・・　（９×６−４）÷５＝１０　、（４４６６）　・・・　（６×６＋４）÷４＝１０

ここから先解けたら四則演算マスターです。

　レベル９　　（２２７９）　・・・　（２×７−９）×２＝１０　、（３４６７）　・・・　７×４−３×６＝１０
　　　　　　　　（３４７７）　・・・　７×３−４−７＝１０

　レベル１０　（１１５８）　・・・　８÷（１−１÷５）＝１０　、（３４７８）　・・・　８×（３−７÷４）＝１０


（追記）　平成２５年１１月２９日付け

　今、ＴＶで「Google Nexus7」のCMが話題になっている。そのＣＭの中で、

　　「１、１、５、８、＋、−、×、÷ を用いて、答えを１０にしましょう。」

という問題が紹介されている。難しすぎ！という声が巷間に溢れている。

　確かに、「８÷（１−１÷５）＝１０」という超アクロバット的な解法を見れば頷ける。上記の
ｈａｓｕさんによれば、問題の難易度は最高レベルのレベル１０らしい。

　パズルに関心のある方なら必ず飛びつくと思うので、ＣＭのねらいは成功しているのかな？


（追記）　平成２５年９月２６日付け（修正：平成２５年１０月７日付け）

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「Ｋ．Ｓ．」さんから、次の問題をメールで頂いた。手
作業でもプログラムでも難しいので、皆さんの力をお借りしたいとのことである。

　イチロー選手も動体視力と判断力を養うために行ったという、車のナンバー：４ケタの数で、
「数の並べ替えを許して、四則演算とかっこのみで１０を作る問題」。

　００００〜９９９９の中でいくつあるでしょう？

　 約束：先頭の０は省略して表記。

（例）　１３９→０１３９　と考えて、　０×３＋１＋９＝１０
　　　　１０９→０１０９　と考えて、　０＋１＋０＋９＝１０

　また、数の結合は考えず、冪も不可とします。基本的に、１＋９＝１０(和)と２×５＝１０（積）
で作れます。但し、以下において、頭の０は表記上省略しますが、実際は考慮します。


（コメント）　ＦＮさんからの情報では、

　数字の １ から ９ までの４個の異なる数と数学の記号　＋、−、×、÷、（ 、） を用
いて、必ず「１０」という整数を表す計算式が作れる

とのことなので、Ｋ．Ｓ．さんの問題は、数の途中に「０」を含む場合を考えればいいのかな？


（追記）　平成２５年１０月３日付けで、ＨＮ「Ｋ．Ｓ．」さんから、続報をメールで頂いた。

　０を含まない異なる４つの数で必ず可能であれば，９×８×７×６＝３０２４（個）はあり、全
体が１００００個なので、約３/１０以上は可能ということですが、最終的にいくつあるか興味な
いですか？５０００を超えるかどうか？

　００００〜０１００までの中では、

　　１９，２５，２８，３７，４６，５２，５５，６４，７３，８２，９１　の１１通り。

　０１０１〜０２００までの中では、

　　１０９，１１５，１１８，１１９，１２４，１２５，１２６，１２７，１２８，１２９，１３３，１３５，１３６，
　　１３７，１３８，１３９，１４２，１４５，１４６，１４７，１４９，１５１，１５２，１５３，１５４，１５５，
　　１５６，１５９，１６２，１６３，１６４，１６５，１６９，１７２，１７３，１７４，１７９，１８１，１８２，
　　１８３，１８９，１９０，１９１，１９２，１９３，１９４，１９５，１９６，１９７，１９８，１９９
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の５１通り
　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　ご検証ください。


（コメント）　Ｋ．Ｓ．さんの求め方の発想を１８０度変えて考えてみました。

　使える数字は、０、１、２、３、４、５、６、７、８、９の１０種類で、０を少なくとも１個は含むも
のとする。

　検討する数の範囲は、　００００から０９９９で、昇順の場合に限定して良い。その中で、演
算結果が１０となるパターンを探す。そのパターンのそれぞれについて順列を考えれば、条
件を満たす全ての数が得られる。

　そのパターンは、

００１９、００２５、００２８、００３７、００４６、００５５、０１１５、０１１８、０１１９、０１２４、０１２５、
０１２６、０１２７、０１２８、０１２９、０１３３、０１３５、０１３６、０１３７、０１３８、０１３９、０１４５、
０１４６、０１４７、０１４９、０１５５、０１５６、０１５９、０１６９、０１７９、０１８９、０１９９、０２２３、
０２２４、０２２５、０２２６、０２２７、０２２８、０２２９、０２３４、０２３５、０２３７、０２３８、０２３９、
０２４４、０２４５、０２４６、０２４７、０２４８、０２４９、０２５５、０２５６、０２５７、０２５８、０２５９、
０２６６、０２６７、０２６８、０２７８、０２８８、０２８９、０３３４、０３３７、０３３９、０３４６、０３４７、
０３４９、０３５５、０３５６、０３５７、０３５８、０３６７、０３６８、０３７７、０３７８、０３７９、０４４６、
０４４９、０４５５、０４５６、０４５８、０４５９、０４６６、０４６７、０４６８、０４６９、０４７７、０４８８、
０５５５、０５５６、０５５７、０５５８、０５５９、０５６８、０５６９、０５７８、０５７９、０６６９、０６７９、
０６８８、０７７９、０７８９、０８８９、０８９９、０９９９
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以上　１０５パターン

　この１０５パターンを同じものの個数で分類する。

（１）　０ＡＡＡのタイプ　・・・　　０５５５、０９９９　　　以上　２パターン

（２）　０ＡＡ０のタイプ　・・・　　００５５　　　以上　１パターン

（３）　０ＡＡＢ（Ｂ≠０）のタイプ　・・・

　　０１１５、０１１８、０１１９、０１３３、０１５５、０１９９、０２２３、０２２４、０２２５、０２２６、
　　０２２７、０２２８、０２２９、０２４４、０２５５、０２６６、０２８８、０３３４、０３３７、０３３９、
　　０３５５、０３７７、０４４６、０４４９、０４５５、０４６６、０４７７、０４８８、０５５６、０５５７、
　　０５５８、０５５９、０６６９、０６８８、０７７９、０８８９、０８９９　　　以上　３７パターン

（４）　０ＡＢ０のタイプ　・・・　　００１９、００２５、００２８、００３７、００４６　　以上　５パターン

（５）　０ＡＢＣ（Ｃ≠０）のタイプ　・・・

　　０１２４、０１２５、０１２６、０１２７、０１２８、０１２９、０１３５、０１３６、０１３７、０１３８、
　　０１３９、０１４５、０１４６、０１４７、０１４９、０１５６、０１５９、０１６９、０１７９、０１８９、
　　０２３４、０２３５、０２３７、０２３８、０２３９、０２４５、０２４６、０２４７、０２４８、０２４９、
　　０２５６、０２５７、０２５８、０２５９、０２６７、０２６８、０２７８、０２８９、０３４６、０３４７、
　　０３４９、０３５６、０３５７、０３５８、０３６７、０３６８、０３７８、０３７９、０４５６、０４５８、
　　０４５９、０４６７、０４６８、０４６９、０５６８、０５６９、０５７８、０５７９、０６７９、０７８９
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以上　６０パターン

　以上から、００００〜９９９９の中で、０を少なくとも一つ含む４数で、演算結果が１０となる場
合の数は、

　　４×２＋６×１＋１２×３７＋１２×５＋２４×６０＝１９５８（個）

　０を含まない異なる４数で、演算結果が１０となる場合の数は、９×８×７×６＝３０２４（個）
なので、両者を合わせて、４９８２個。数字が重複する場合も考慮すれば、５０００個は超える
かも．．．。


　空舟さんからのコメントです。（平成２５年１０月１０日付け）

　コンピュータで調べると、重複組み合わせとしては、５５２通り。重複順列としては、８１４７
通りでした。

552通りのほうを貼り付けておきます。
0,0,1,9; 0,0,2,5; 0,0,2,8; 0,0,3,7; 0,0,4,6; 0,0,5,5; 0,1,1,5; 0,1,1,8; 0,1,1,9; 0,1,2,4; 0,1,2,5; 0,1,2,6;
0,1,2,7; 0,1,2,8; 0,1,2,9; 0,1,3,3; 0,1,3,5; 0,1,3,6; 0,1,3,7; 0,1,3,8; 0,1,3,9; 0,1,4,5; 0,1,4,6; 0,1,4,7;
0,1,4,9; 0,1,5,5; 0,1,5,6; 0,1,5,9; 0,1,6,9; 0,1,7,9; 0,1,8,9; 0,1,9,9; 0,2,2,3; 0,2,2,4; 0,2,2,5; 0,2,2,6;
0,2,2,7; 0,2,2,8; 0,2,2,9; 0,2,3,4; 0,2,3,5; 0,2,3,7; 0,2,3,8; 0,2,3,9; 0,2,4,4; 0,2,4,5; 0,2,4,6; 0,2,4,7;
0,2,4,8; 0,2,4,9; 0,2,5,5; 0,2,5,6; 0,2,5,7; 0,2,5,8; 0,2,5,9; 0,2,6,6; 0,2,6,7; 0,2,6,8; 0,2,7,8; 0,2,8,8;
0,2,8,9; 0,3,3,4; 0,3,3,7; 0,3,3,9; 0,3,4,6; 0,3,4,7; 0,3,4,9; 0,3,5,5; 0,3,5,6; 0,3,5,7; 0,3,5,8; 0,3,6,7;
0,3,6,8; 0,3,7,7; 0,3,7,8; 0,3,7,9; 0,4,4,6; 0,4,4,9; 0,4,5,5; 0,4,5,6; 0,4,5,8; 0,4,5,9; 0,4,6,6; 0,4,6,7;
0,4,6,8; 0,4,6,9; 0,4,7,7; 0,4,8,8; 0,5,5,5; 0,5,5,6; 0,5,5,7; 0,5,5,8; 0,5,5,9; 0,5,6,8; 0,5,6,9; 0,5,7,8;
0,5,7,9; 0,6,6,9; 0,6,7,9; 0,6,8,8; 0,7,7,9; 0,7,8,9; 0,8,8,9; 0,8,9,9; 0,9,9,9; 1,1,1,4; 1,1,1,5; 1,1,1,6;
1,1,1,7; 1,1,1,8; 1,1,1,9; 1,1,2,3; 1,1,2,4; 1,1,2,5; 1,1,2,6; 1,1,2,7; 1,1,2,8; 1,1,2,9; 1,1,3,3; 1,1,3,4;
1,1,3,5; 1,1,3,6; 1,1,3,7; 1,1,3,8; 1,1,3,9; 1,1,4,4; 1,1,4,5; 1,1,4,6; 1,1,4,7; 1,1,4,8; 1,1,4,9; 1,1,5,5;
1,1,5,6; 1,1,5,7; 1,1,5,8; 1,1,6,6; 1,1,6,7; 1,1,6,8; 1,1,8,9; 1,1,9,9; 1,2,2,2; 1,2,2,3; 1,2,2,4; 1,2,2,5;
1,2,2,6; 1,2,2,7; 1,2,2,8; 1,2,2,9; 1,2,3,3; 1,2,3,4; 1,2,3,5; 1,2,3,6; 1,2,3,7; 1,2,3,8; 1,2,3,9; 1,2,4,4;
1,2,4,5; 1,2,4,6; 1,2,4,7; 1,2,4,8; 1,2,4,9; 1,2,5,5; 1,2,5,6; 1,2,5,7; 1,2,5,8; 1,2,5,9; 1,2,6,6; 1,2,6,7;
1,2,6,8; 1,2,6,9; 1,2,7,7; 1,2,7,8; 1,2,7,9; 1,2,8,8; 1,2,8,9; 1,2,9,9; 1,3,3,3; 1,3,3,4; 1,3,3,5; 1,3,3,6;
1,3,3,7; 1,3,3,8; 1,3,3,9; 1,3,4,4; 1,3,4,5; 1,3,4,6; 1,3,4,7; 1,3,4,8; 1,3,4,9; 1,3,5,5; 1,3,5,6; 1,3,5,7;
1,3,5,8; 1,3,5,9; 1,3,6,6; 1,3,6,7; 1,3,6,8; 1,3,6,9; 1,3,7,7; 1,3,7,8; 1,3,7,9; 1,3,8,8; 1,3,8,9; 1,4,4,5;
1,4,4,6; 1,4,4,7; 1,4,4,8; 1,4,4,9; 1,4,5,5; 1,4,5,6; 1,4,5,7; 1,4,5,8; 1,4,5,9; 1,4,6,6; 1,4,6,7; 1,4,6,8;
1,4,6,9; 1,4,7,7; 1,4,7,8; 1,4,7,9; 1,4,8,8; 1,4,8,9; 1,5,5,5; 1,5,5,6; 1,5,5,7; 1,5,5,8; 1,5,5,9; 1,5,6,6;
1,5,6,7; 1,5,6,8; 1,5,6,9; 1,5,7,7; 1,5,7,8; 1,5,7,9; 1,5,8,8; 1,5,8,9; 1,5,9,9; 1,6,6,8; 1,6,6,9; 1,6,7,8;
1,6,7,9; 1,6,8,8; 1,6,8,9; 1,7,7,8; 1,7,7,9; 1,7,8,8; 1,7,8,9; 1,7,9,9; 1,8,8,8; 1,8,8,9; 1,8,9,9; 1,9,9,9;
2,2,2,2; 2,2,2,3; 2,2,2,4; 2,2,2,5; 2,2,2,6; 2,2,2,7; 2,2,2,8; 2,2,2,9; 2,2,3,3; 2,2,3,4; 2,2,3,5; 2,2,3,6;
2,2,3,7; 2,2,3,8; 2,2,3,9; 2,2,4,4; 2,2,4,5; 2,2,4,6; 2,2,4,7; 2,2,4,8; 2,2,4,9; 2,2,5,5; 2,2,5,6; 2,2,5,8;
2,2,5,9; 2,2,6,6; 2,2,6,7; 2,2,6,8; 2,2,6,9; 2,2,7,7; 2,2,7,8; 2,2,7,9; 2,2,8,8; 2,2,8,9; 2,2,9,9; 2,3,3,3;
2,3,3,4; 2,3,3,5; 2,3,3,6; 2,3,3,7; 2,3,3,8; 2,3,3,9; 2,3,4,4; 2,3,4,5; 2,3,4,6; 2,3,4,7; 2,3,4,8; 2,3,4,9;
2,3,5,5; 2,3,5,6; 2,3,5,7; 2,3,5,8; 2,3,5,9; 2,3,6,6; 2,3,6,7; 2,3,6,8; 2,3,6,9; 2,3,7,7; 2,3,7,8; 2,3,7,9;
2,3,8,8; 2,3,8,9; 2,3,9,9; 2,4,4,4; 2,4,4,5; 2,4,4,6; 2,4,4,7; 2,4,4,8; 2,4,4,9; 2,4,5,5; 2,4,5,6; 2,4,5,7;
2,4,5,8; 2,4,5,9; 2,4,6,6; 2,4,6,7; 2,4,6,8; 2,4,6,9; 2,4,7,7; 2,4,7,8; 2,4,7,9; 2,4,8,8; 2,4,8,9; 2,4,9,9;
2,5,5,5; 2,5,5,6; 2,5,5,7; 2,5,5,8; 2,5,5,9; 2,5,6,6; 2,5,6,7; 2,5,6,8; 2,5,6,9; 2,5,7,7; 2,5,7,8; 2,5,7,9;
2,5,8,8; 2,5,8,9; 2,5,9,9; 2,6,6,6; 2,6,6,7; 2,6,6,8; 2,6,6,9; 2,6,7,7; 2,6,7,8; 2,6,7,9; 2,6,8,8; 2,6,8,9;
2,6,9,9; 2,7,7,7; 2,7,7,8; 2,7,7,9; 2,7,8,8; 2,7,8,9; 2,7,9,9; 2,8,8,8; 2,8,8,9; 2,8,9,9; 2,9,9,9; 3,3,3,3;
3,3,3,4; 3,3,3,5; 3,3,3,6; 3,3,3,7; 3,3,3,8; 3,3,3,9; 3,3,4,4; 3,3,4,5; 3,3,4,6; 3,3,4,7; 3,3,4,8; 3,3,4,9;
3,3,5,5; 3,3,5,6; 3,3,5,7; 3,3,5,8; 3,3,5,9; 3,3,6,6; 3,3,6,7; 3,3,6,8; 3,3,6,9; 3,3,7,7; 3,3,7,8; 3,3,7,9;
3,3,8,8; 3,3,8,9; 3,3,9,9; 3,4,4,5; 3,4,4,6; 3,4,4,7; 3,4,4,8; 3,4,4,9; 3,4,5,5; 3,4,5,6; 3,4,5,7; 3,4,5,8;
3,4,5,9; 3,4,6,6; 3,4,6,7; 3,4,6,8; 3,4,6,9; 3,4,7,7; 3,4,7,8; 3,4,7,9; 3,4,8,8; 3,4,8,9; 3,4,9,9; 3,5,5,5;
3,5,5,6; 3,5,5,7; 3,5,5,8; 3,5,5,9; 3,5,6,6; 3,5,6,7; 3,5,6,8; 3,5,6,9; 3,5,7,7; 3,5,7,8; 3,5,7,9; 3,5,8,8;
3,5,8,9; 3,5,9,9; 3,6,6,6; 3,6,6,7; 3,6,6,8; 3,6,7,7; 3,6,7,8; 3,6,7,9; 3,6,8,8; 3,6,8,9; 3,6,9,9; 3,7,7,7;
3,7,7,8; 3,7,8,8; 3,7,8,9; 3,7,9,9; 3,8,8,8; 3,8,8,9; 3,8,9,9; 4,4,4,5; 4,4,4,6; 4,4,4,7; 4,4,4,8; 4,4,4,9;
4,4,5,5; 4,4,5,6; 4,4,5,7; 4,4,5,8; 4,4,6,6; 4,4,6,7; 4,4,6,8; 4,4,6,9; 4,4,7,8; 4,4,7,9; 4,4,8,8; 4,4,8,9;
4,4,9,9; 4,5,5,5; 4,5,5,6; 4,5,5,7; 4,5,5,9; 4,5,6,6; 4,5,6,7; 4,5,6,8; 4,5,6,9; 4,5,7,7; 4,5,7,8; 4,5,7,9;
4,5,8,8; 4,5,8,9; 4,5,9,9; 4,6,6,6; 4,6,6,7; 4,6,6,8; 4,6,6,9; 4,6,7,7; 4,6,7,8; 4,6,7,9; 4,6,8,8; 4,6,8,9;
4,6,9,9; 4,7,7,7; 4,7,7,8; 4,7,7,9; 4,7,8,8; 4,7,8,9; 4,7,9,9; 4,8,8,8; 4,8,8,9; 5,5,5,5; 5,5,5,6; 5,5,5,7;
5,5,5,8; 5,5,5,9; 5,5,6,6; 5,5,6,7; 5,5,6,8; 5,5,6,9; 5,5,7,7; 5,5,7,8; 5,5,7,9; 5,5,8,8; 5,5,8,9; 5,5,9,9;
5,6,6,6; 5,6,6,7; 5,6,6,9; 5,6,7,7; 5,6,7,8; 5,6,7,9; 5,6,8,8; 5,6,8,9; 5,6,9,9; 5,7,7,7; 5,7,7,8; 5,7,7,9;
5,7,8,9; 5,8,8,8; 5,8,8,9; 5,9,9,9; 6,6,6,8; 6,6,6,9; 6,6,7,8; 6,6,7,9; 6,6,8,8; 6,6,8,9; 6,6,9,9; 6,7,7,9;
6,7,8,8; 6,7,8,9; 6,7,9,9; 6,8,8,9; 7,7,7,8; 7,7,7,9; 7,8,8,9; 7,8,9,9; 8,8,8,8; 8,8,8,9; 8,9,9,9; 9,9,9,9
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以上、５５２通り

（コメント）　重複順列の方が自然で、８１４７通りもあるんですね！空舟さんの結果を見て、
　　　　　　私の計算に漏れ（３通り・・・０４８８、０６６９、０７７９）があることが分かりました。
　　　　　　空舟さんに感謝します。

　なお、らすかるさんのＨＰ：「4個の数字で10を作る（切符の問題）」に計算式も書かれた一
覧表があります。これは、圧巻ですね！


（追記）　Ｋ．Ｓ．さんからのコメントです。（平成２５年１０月１２日付け）

　４ケタの和１０の問題が、完全解決しましたね。実際に計算すると、かなりの確率で１０にす
ることができますので、可能性が高いと思っていました。同じ問題を、すでに関心をもって計
算した人がいて、うれしく思います。

　０を含まない場合の数は、　６１８９通り。これは、空舟さんやらすかるさんの結果からも分
かりますが、実際に求めてみました。

（１）　ＡＢＣＤ　・・・　２４×１２６＝３０２４（通り）
（２）　ＡＢＣＣ　・・・　１２×２３０＝２７６０（通り）
（３）　ＡＡＢＢ　・・・　６×２８＝１６８（通り）
（４）　ＡＢＢＢ　・・・　４×５８＝２３２（通り）
（５）　ＡＡＡＡ　・・・　１×５＝５（通り）

　よって、　３０２４＋２７６０＋１６８＋２３２＋５＝６１８９（通り）


（追記）　ＨＮ「数々の和」さんから、メールにて報告を頂きました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２５年１０月１２日付け）

　１〜９から異なる４個を選び、四則と括弧のみを用いて、１〜１０の各数が創出できるか。
(結合して、２桁数にすることを禁止。１〜１０までを作ることが不可能の場合は＃）

　その結果を報告します。（赤字の部分：修正箇所）

　異なる４個の数字を用いて全てが表せる数が、「１０」以外に「２」「３」も可能なんですね！
数々の和さん、ありがとうございます。

（追記）　オチカさんより、　4*(9-6)-8=4　が成り立つことをご指摘いただきました。このこと
　　　　　から、異なる４個の数字を用いて全てが表せる数が、「１０」以外に「２」「３」「４」も可
　　　　　能ということが分かりました。（平成２９年１２月１６日付け）


（追記）　Ｋ．Ｓ．さんからのコメントです。（平成２５年１０月２０日付け）

　問題の性質上、不可能と思われていたものが、思わぬ方法で可能であったりと、不可能を
示すことは難しいですね。可能なものはそれでよいのですが…。可能性ということで、２桁の
場合、確率0.11、３桁の場合0.31、４ケタの場合0.8147、次は５桁の場合となりますが、この
辺が、限界でしょうか？限りなく割合が増加するのか、それとも、最大値があるのか、いい方
法がないか考え中です。


（追記）　Ｋ．Ｓ．さんからの続報です。（平成２６年１月９日付け）

　数の創出で、５桁の場合を考えます。上記の４桁の場合の元になる５５２通りの数に対して、
０を含めて、並び替えても１０を作ることは明らかに可能です。計算するとN（０）＝３４０５４通
り。１を含めた場合も明らかに可能で、N（１）＝３４９３５通り。N（０）の場合と重複はありませ
ん。２を含めた場合はいつでも可能とは限りません。またN(０)、N（１）に重複しないように、
２０００番台だけ考えるとすると、N（２）＝１５３０１通り。合計すると８４２９０通り。したがって、
確率P（５）＞0.8429＞0.814＝P（４）　となることが分かりました。


（追記）　平成２７年３月２７日付け

　久しぶりに切符を買って電車に乗ったら、発券番号が「６１０７」。いつも発券番号を使って
「１０」が作れるか考えるのだが、「６１０７」は無理だった。これって、不幸なことなのか？また
は、１０が作れない４つの数字に当たったと言うことで、「幸」なのか？悩むところだ。


　よおすけさんからのコメントです。（平成２７年４月１日付け）

　強引ながら、　(６−１−０)×[]＝１０　　※　[ ]はガウス記号


（コメント）　なるほど、√とガウス記号[ ]を使って「２」を作るんですね！


　当ＨＰ読者のＨＮ「オチカ」さんからのコメントです。（平成２９年１２月１６日付け）

　0〜9の中から(重複ありで)選んだ4つの数を四則演算によって10にする、数学好きなら誰も
が癖でやってしまう(？)問題について、1〜9の中から異なる4つを選べば必ず10が作れる話
は有名(？？)ですよね！

　このページに載っている「10以外にも2や3も126組全てで作れる」との話題を見て、関連する
記事を見つけたので参考までにご紹介しておこうかと思います。

　「テンパズルの解の探索」

　上記サイトの「解の存在性」の項が個人的に一番興味深かったです。実際に自分で探索し
たわけではないですが、このページによると、126組全てで作れる数は2、3、4、10の4つだけ
のようです。また126組全てで作ることができない数の最小値は298だそうです。


（追記）　令和３年８月５日付け

　上記で、「６１０７」では１０は表せないと思ったところ、よおすけさんの方から、

　　(６−１−０)×[]＝１０　　※　[ ]はガウス記号

という素晴らしい解答をいただいた。最近、また考えたら、次のような式もありかなと思う。

　　（７−６＋０）÷．１＝１０　・・・　ちょっと苦しいかな？

　最近、Ｗｅｂサイト「４つの数字で１０を作る」のことを知り、いろいろ検証してみた。

　上記サイトでは、１０が作れない４つの数字の組合せとして、

　　　００００　、００５８　、００６７　、００６８　、００７８

　　　０２７７　、０５６７　、０６６７　、０７７８　、・・・

などいろいろなパターンが確認できるが、

　「０２７７」　→　７＋２＋７⁰＝１０

　「０５６７」　→　５＋６−７⁰＝１０

などもありえるので、上記サイトでは「０乗」は禁じ手にしているようだ。

　「０」が入ると、結構１０が作れなくなるんですね。１〜９の４個の数字で必ず１０が作れた
のに．．．！