当ＨＰで、ジャンケンに関する話題を拾ってみると、
「電話でジャンケン」 「ジャンケンの極意」
があげられる。ジャンケンは、誰もなり手のない係を決めるときや掃除の後のゴミ捨て、片
付けをする人などを決めるときによく利用される方法である。
ジャンケンにも、「気持ちのいいジャンケン」というものがあるように思う。
ジャンケンは、「あいこ」になると再度ジャンケンとなるが、ある瞬間、「一人だけ勝ち抜け」
という場合が往々にして起こる。それまで混沌として、ある瞬間混沌に終止符が打たれる様
はとても美しく感じられる。
このページでは、その美しい瞬間がどのような確率で起こり得るのかを計算したいと思う。
問 題 設 定
３人がジャンケンを繰り返し、ｋ 回目に初めてちょうど１人が勝つ確率を求めよ。
ただし、途中で負けた人は、次回のジャンケンには参加しないものとする。
３人が１回ジャンケンをして、１人だけ勝つ確率は、（誰が勝つのか）、（勝ちパターン）を
考えて、
３×３/３3＝９/２７＝１/３
２人だけ勝つ確率は、１人だけ負ける確率に等しく、 １/３
勝負が決まらず、次回に勝敗が持ち越される場合（あいこ）は、 １−１/３−１/３＝１/３
以上から、１回目に初めてちょうど１人が勝つ確率は、１/３ となる。
問題設定では、これが、 ２回目、３回目、４回目、・・・ で初めてちょうど１人が勝つ確率
を求めたいということである。
急所は、ジャンケンの途中で、最初の３人から２人または１人になる瞬間があるという点
である。
２人が１回ジャンケンをして、１人だけ勝つ確率は、（誰が勝つのか）、（勝ちパターン）を
考えて、
２×３/３2＝６/９＝２/３
である。
勝負が決まらず、次回に勝敗が持ち越される場合（あいこ）は、 １−２/３＝１/３ となる。
次に、２回目に初めてちょうど１人が勝つ確率を求めてみよう。
２つの場合が考えられる。
（１） １回目があいこで、２回目に１人だけ勝つ場合
その確率は、 １/３×１/３＝１/９
（２） １回目のジャンケンで１人が負け、２回目に１人が勝つ場合
その確率は、 １/３×２/３＝２/９
したがって、２回目に初めてちょうど１人が勝つ確率は、 １/９＋２/９＝１/３
上記の計算を一般化するのは容易だろう。
（解） ｋ回目に初めてちょうど１人が勝つ場合は、２つの場合が考えられる。
（１） ｋ−１回まであいこで、ｋ回目に１人だけ勝つ場合
その確率は、 １/３ｋ-1×１/３＝１/３ｋ
（２） 途中の ｈ回目（１≦ｈ≦ｋ−１）のジャンケンで１人が負け、ｋ回目に１人が勝つ場合
その確率は、
ｈ＝１ のとき、 １/３×１/３ｋ-2×２/３＝２/３ｋ
ｈ＝２ のとき、 １/３×１/３×１/３ｋ-3×２/３＝２/３ｋ
ｈ＝３ のとき、 １/３×１/３×１/３×１/３ｋ-4×２/３＝２/３ｋ
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ｈ＝ｋ−１ のとき、 １/３ｋ-2×１/３×２/３＝２/３ｋ
より、 ２（ｋ−１）３ｋ となる。
以上から、求める確率は、 ２（ｋ−１）３ｋ＋１/３ｋ＝（２ｋ−１）/３ｋ である。 （終）
（追記） 平成２２年９月１３日付け
当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、ＨＮ「Σ」さんから、
『Ａ、Ｂ、Ｃの三人でジャンケンをする。負けたものは次回から除外するが、じゃんけんの
回数は最大でｎ回である。この時Ａ一人が勝ち残る確率は？』という問題に手も足もでま
せん。
という書き込みがあった。この書き込みで、このページがすっかり放置されていたことに気
づかされた。Σさんに感謝します。
この問題について、早速、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんが解か
れた。（平成２２年９月１４日付け）
上記で計算されているように、
３人でジャンケンをすると、一人勝ち、二人勝ち、あいこの確率は、１/３ずつ
２人でジャンケンをすると、勝負がつく確率は、２/３ で、あいこの確率は、１/３
が、この問題で用いられる基本の確率である。
(解法１)
ちょうど ｋ 回のジャンケンで誰か一人が勝つ確率は、
ｋ−１回あいこの後、ｋ回目で一人勝ち ： (１/３)k＝１/３k
ｋ−１回目までで二人残り、ｋ回目で一人勝ち ：
(ｋ−１)(１/３)k-1・(２/３)＝２(ｋ−１)/３k
両方合わせて、 (２ｋ−１)/３k なので、Aが勝ち残る確率は、
実際に、 Ｓ＝１/３2＋３/３3＋５/３4＋・・・＋（２ｎ−３）/３ｎ＋（２ｎ−１）/３ｎ+1 とおくと、
Ｓ/３＝１/３3＋３/３4＋５/３5＋・・・＋（２ｎ−３）/３ｎ+1＋（２ｎ−１）/３ｎ+2
辺々引いて、 ２Ｓ/３＝１/３2＋２/３3＋２/３4＋・・・＋２/３ｎ+1−（２ｎ−１）/３ｎ+2
＝（２/３2）（１−１/３ｎ）/（１ー１/３）−１/３2−（２ｎ−１）/３ｎ+2
＝（２・３ｎ−２ｎ−２）/３ｎ+2
より、
が成り立つ。
(解法２)
ｎ回のジャンケンで、３人とも残っている確率は、１/３ｎ
ｎ回のジャンケンで、ちょうど２人残っている確率を P(ｎ) とすると、
ｎ＋１回のジャンケンで、ちょうど２人残るのは、
ｎ回のジャンケンで、ちょうど２人残って、次が引き分け
または
ｎ回のジャンケンがすべてあいこで、次がちょうど２人残る
という場合なので、次の漸化式が成り立つ。
P(0)＝0 、 P(ｎ＋１)＝P(ｎ)・(１/３)＋(１/３ｎ)・(１/３)
このとき、 ３ｎ+1P(ｎ＋１)＝３ｎP(ｎ)＋１ より、 ３ｎP(ｎ)＝３P(１)＋ｎ−１＝ｎ なので、
P(ｎ)＝ｎ/３ｎ となる。
ｎ回のジャンケンで、２人以上残っている確率は、１/３ｎ＋ｎ/３ｎ＝(ｎ＋１)/３ｎ
よってAが勝ち残る確率は、
（１−(ｎ＋１)/３ｎ）/３
すなわち、
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんより別解を頂きました。
（平成２２年９月１４日付け）
らすかるさんの解法が本来の解答ですが、別解として次のようなのもあります。
(解法３)
Aが勝ち残る確率とBが勝ち残る確率、Cが勝ち残る確率は等しい。
ｎ回終わった時点で、３人とも残っている確率は、 １/３ｎ
ｎ回終わった時点で、２人が残っているのは、１回からｎ回のうちのどこかで２人が勝ち、
残りはすべて引き分けのときだからその確率は、ｎ(１/３ｎ）
従って、求める確率は、{１−(ｎ＋１)(１/３ｎ）}/３ すなわち、
らすかるさんからのコメントです。（平成２２年９月１４日付け）
その解法の方がはるかに簡単ですね。私の解法のややこしい計算は不要でした。
（コメント） 確かに漸化式は不要でしたね！でも、漸化式による解法も捨てがたいです。
また、この問題に関連して、ＦＮさんが次の問題を提起された。（平成２２年９月１４日付け）
３人でジャンケンをする。負けたものは次回から除外する。１人が勝ち残るまでジャ
ンケンをするとき、ジャンケンの回数の期待値は？
ちょうどｋ回目で１人が勝ち残る確率は、(２ｋ−１)/３k なので、ｋ(２ｋ−１)/３k を ｋ＝１
から∞までΣ計算すればいいのですが、面倒だからエクセルを使って数値計算をしました。
２．２５になりました。だから、答えは、９／４ だと思われます。上のΣ計算は面倒です。き
れいな数値なのでもっと簡単に出るような気がします。
これに対して、らすかるさんが解決された。（平成２２年９月１４日付け）
３人の時、勝負が付く確率は、２/３なので、最初に勝負が付くまでの回数の期待値は、
３/２回である。その時に、２人が残る確率は、１/２で、２人の時、勝負が付く確率は、２/３
なので、２人の時に勝負が付くまでの回数の期待値は、３/２回
よって求める期待値は、 (３/２)＋(１/２)・(３/２)＝９/４ である。
※昔考えた覚えがあると思って検索したら、ここにありました。
http://kakuritsu.hp.infoseek.co.jp/janken2.html
ＦＮさんからのコメントです。（平成２２年９月１４日付け）
やはりΣ計算を真面目にやらなくてもいいということですね。ｎ人でジャンケンをして、あい
こにならない確率が、(２ｎ−２)/３(ｎ-1)というのも始めて見ました。以外に簡単できれいな
式であるのに驚きました。（→ 参考）
じゃんけんの回数の期待値について、ＦＮさんより別解を頂いた。
（平成２２年９月１５日付け）
次のような考え方でもできました。実質的には、らすかるさんの解答と同じかもしれません
が．．．。
（別解） 求める期待値を Ｅ とし、ジャンケンを１回した後での、残りのじゃんけん回数の期
待値を考える。
ジャンケンを１回したとき、
(１) １人が勝つ (２) ２人が勝つ (３) あいこ
の各場合があり、確率はいずれも １/３ である。
それぞれの場合の残りのジャンケン回数の期待値は、
(１) 0 (２) ２人でジャンケンするときの期待値で、３/２・・・ (*) (3) Ｅ
従って、次の式が成り立つ。 Ｅ＝１＋１/３・０＋（１/３）・（３/２）＋（１/３）・Ｅ
（２/３）Ｅ＝３/２ より、 Ｅ＝９/４
上記の(*)について、(２)のとき、即ち、２人でジャンケンをするときの勝負がつくまでの
ジャンケン回数の期待値は次のようにして求められたものである。
ジャンケンを１回したとき、
(1) どちらかが勝つ (2) あいこ
のどちらかで、確率はそれぞれ ２/３ １/３
また、それぞれの場合の残りのジャンケン回数の期待値は、それぞれ 0 Ｅ
従って、 Ｅ＝１＋２/３・０＋（１/３）・Ｅ より （２/３）Ｅ＝１ ゆえに、Ｅ＝３/２
ｎ人のときの漸化式(らすかるさんが参考として書かれたページにある)も同様にできます。
少し変えて、
「３人でジャンケンをして１位、２位、３位を決める。このときのジャンケンの回数の期
待値は？」
これもほぼ同様にできますが、答えが、３になります(多分)。３という非常にきれいな答え
なのでほとんど計算しないで説明できるのではないかと思います。いかがでしょうか。数学
的には少々あやしげでもかまいません。
らすかるさんから解答を頂きました。（平成２２年９月１５日付け）
３というきれいな数になるのはたまたまじゃないですかね。
３人でジャンケンをして勝負がつく確率は、２/３
（勝負がつけば1人決まって残り2人になる）
２人でジャンケンをして勝負がつく確率は、２/３
∴ １/(２/３)＋１/(２/３)＝３（回）
ですね。
ＦＮさんからのコメントです。（平成２２年９月１６日付け）
１/(２/３)＋１/(２/３)＝３（回） という式で十分なようですね。３人の場合は、「２人と１人
にわかれて２人で勝負する」順しかないから、２人と１人になるまでの回数 １/(２/３)＝３/２
と２人での勝負の回数 １/(２/３)＝３/２ の足し算で、３になったということのようです。
３人のとき３回というのは偶然ですね。４人以上だとこんなに単純にはいきません。だから、
あまり簡単な結果にはならないということのようです。
ＨＮ「らい」さんが、この話題について考察されました。（平成２３年１１月７日付け）
３人でｎ回ジャンケンをして、勝者が決まる確率を求める問題が学校の試験で出て、さら
に研究したことがあるのですが、
ｎ人でジャンケンをして、ｍ回で勝者が決まる確率
について考えました。
求める確率を P(ｎ，ｍ) とし、一回のジャンケンで、ｎ人のうち ｋ 人が抜ける（負ける）確
率を、P’(ｎ，ｋ)とおく。（P’(ｎ，０)は、あいこを意味する）
このとき、
P(ｎ，ｍ)＝ P’(ｎ，０)m-1 + Σｋ=1〜n-2(Σｊ=1〜ｍ-1P’(ｎ，０)ｊ-1・P’(ｎ，ｋ)P(ｎ-ｋ，ｍ-ｊ))
という式が得られました。
これを変形すると、 P(ｎ，ｍ+1) - P’(ｎ，０)P(ｎ，ｍ)＝Σk=1〜n-2P’(ｎ，ｋ)P(ｎ-ｋ，ｍ)
ただし、P(2，ｍ)＝2/3ｍ 、 P(ｎ，1)＝ｎ/3n-1
P’(ｎ，０)＝(3n-1-2n+2)/3n-1 、 P’(ｎ，ｋ)＝nCk/3n-1 (1≦k＜n)
以前研究した時に、これ以上進めることができず、断念してしまったのですが、さらに効率
よく計算できる漸化式にすることはできるでしょうか？
ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１１月７日付け）
最初の式はよくわかりません。普通に考えれば、最後の式がすぐ出ます。1回ジャンケンを
して、ｋ人が負けたとして自然に出ます。ただし、m≧1。
左辺の第2項は、右辺にあるのが自然です。
P(ｎ，ｍ+1)＝Σk=0〜n-2P’(ｎ，ｋ)P(ｎ-ｋ，ｍ) (ｍ=0 のときは、Σは、ｋ=0 から ｎ-1まで)
ついでに、P’という記号は、Pに近いというイメージがあります。今の場合、P’とPは相当違
う感じなので、別の文字の方がいいと思います。例えば、Q(ｎ，ｋ)。
また、初期条件は理論的には、P(1，ｍ)=0 、 P(ｎ，1)=ｎ/3n-1 としたい気もしますが、実
用的には上記の方がいいでしょう。
Q(ｎ，ｋ)=P’(ｎ，ｋ) が具体的に書けてしまうとなると、上の漸化式で十分で、さらに効率がい
い式というのは多分ないでしょう。
（追記） 平成２８年１１月１１日付け（本日は、ポッキーの日！）
ジャンケンをするとき、経験的に人数が多いとあいこになる確率は大きくなる。そこで、あ
いこになる確率を求めてみたい。
多人数でジャンケンするとき、「最初はグー！ジャンケンポン」とかけ声をかけて行うのが
全国的に一般的だと思われるが、これはＴＢＳ系で一世を風靡した「８時だヨ！全員集合」の
中の志村けんと仲本工事のコントでのジャンケン方法が起源との噂。
ジャンケン
で、「パー、グー、チョキ」の順で出すのが、統計的に最も簡単な必勝法らしい。、負ける手を次に出せばいいらしい。
（→ 参考：「ジャンケンの極意」）
何となく「グー」が出しやすいからだし、あいこになったら
ただし、「最初はグー！」でジャンケンを始める場合は、
「チョキ、パー、グー」の順で出すとい
いらしい。
問題 ｎ人がジャンケンをするとき、あいこになる確率を求めよ。
（解） ｎ人がジャンケンするとき、手の出し方は、３ｎ通り
手の出し方の種類（グー・チョキ・パー）が１種類または３種類だと必ずあいこになるので、
あいこにならないためには、手の出し方の種類（グー・チョキ・パー）は２通り。
よって、あいこにならない場合の確率は、 ３（２ｎ−２）/３ｎ＝（２ｎ−２）/３ｎ-1 なので、
あいこになる確率は、 １−（２ｎ−２）/３ｎ-1 （終）
例 上記の公式を用いて、
ｎ＝２ のとき、あいこになる確率は、
１−（２ｎ−２）/３ｎ-1＝１−（４−２）/３＝１/３（＝０．３３）
ｎ＝５ のとき、あいこになる確率は、
１−（２ｎ−２）/３ｎ-1＝１−（３２−２）/８１＝１−１０/２７＝１７/２７（＝０．６３）
（コメント） 人数が増えると、あいこになる確率が増えるので、早くジャンケンを終わらせよう
と思えば、次のような「ゲーマーじゃんけん」という方法があるようです。
（ルール１） ３種類の手のうち、少ない人数の方を勝ちとする。
（ルール２） 少ない人数の手が同数のときは、その手に普通のジャンケンのルールを適用
して勝敗を決める。
このゲーマーじゃんけんでは、あいこになる場合は全員が同じ手の場合だけなので、早く
勝敗が決まるという利点がある。
普通のジャンケンで、ｎ＝５ のとき、あいこになる確率は、１７/２７（＝０．６３）ですが、ゲ
ーマーじゃんけんでは、あいこになる確率は、３/２４３＝１/８１（＝０．０１）で、圧倒的にあい
こになる確率が減り、ジャンケンも早く終わることになります。
以下、工事中