行列の必須技法

行列の必須技法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　数学Ⅱで学ぶ「指数・対数」は、一旦分かってしまえば易しいと思われる計算だが、計算
力が乏しく、指数関数的経験がそれまであまりなかった場合は、極端に難しい計算と思え
るようで、生徒は無意識の内に、「２^ｘ」を「２掛けるｘ」としてしまいがちである。

　それと同じような現象が、数学Ｃで学ぶ「行列」でも起こる。成分同士の計算までは特に
問題は起こらないのだが、行列そのものをアクロバット的に処理する段になると、途端に
途方に暮れる生徒が増えてくる。

　たとえば、２次の正方行列

　

が、Ａ²＝Ａを満たすとき、ａ＋ｄとａｄ－ｂｃの値を求めよ。

という問題で、

　

から、連立方程式

　ａ²＋ｂｃ＝ａ　、　ａｂ＋ｂｄ＝ｂ　、　ａｃ＋ｃｄ＝ｃ　、ｂｃ＋ｄ²＝ｄ

を作り、これより、ａ＋ｄとａｄ－ｂｃの値を求めることは初学者向けによく行われる計算で
ある。

実際に計算してみると、　　ａｂ＋ｂｄ＝ｂ　、　ａｃ＋ｃｄ＝ｃ　より、

　（ａ＋ｄ－１）ｂ＝０　、　（ａ＋ｄ－１）ｃ＝０

　ａ＋ｄ≠１　のとき、　ｂ＝ｃ＝０

　このとき、　ａ²＝ａ　、　ｄ²＝ｄ　より、　ａ＝０、１　　ｄ＝０、１

　ａ＋ｄ≠１　なので、　（ａ，ｄ）＝（０，０）、（１，１）

　よって、　ａ＋ｄ＝０　、　ａｄ－ｂｃ＝０　または、　ａ＋ｄ＝２　、　ａｄ－ｂｃ＝１

　ａ＋ｄ＝１　のとき、　ａｄ－ｂｃ＝ａ（１－ａ）－ｂｃ＝ａ－ａ²－ｂｃ＝ａ－ａ＝０

以上から、　（ａ＋ｄ，ａｄ－ｂｃ）＝（０，０）、（１，０）、（２，１）

　ただ、この計算は十分基本的なのだが、４つ文字がある連立方程式を解く経験が、今の
高校生には決定的に不足している。（３元連立一次方程式が、数学Ⅰの２次関数の決定
で扱われるが、２次関数の決定を題材にしている以上、連立方程式の形は特殊な場合に
限られ、さらなる応用力を期待するのは難しい。その状態で学ぶ話なので、上記の計算を
難しいと感じる生徒もきっと多いに違いない。この責任は文科省に負うところ大である。）

　上記の計算を難しく感じる生徒にとって、解法にハミルトン・ケーリーの定理を使おうもの
なら途中で「訳分からん！」と匙を投げてしまうことは十分予想されるし、現実でもある。

　ただ、ハミルトン・ケーリーの定理は行列の計算では非常に有効な定理なので、この定
理の克服が行列学習のひとつの山場と言っても言い過ぎではないように思う。

　ハミルトン・ケーリーの定理を用いれば、次のように解かれる。

　行列Ａに対して、　Ａ²－（ａ＋ｄ）Ａ＋（ａｄ－ｂｃ）Ｅ＝Ｏ　が成り立つ。

　Ａ²＝Ａ　なので、　Ａ－（ａ＋ｄ）Ａ＋（ａｄ－ｂｃ）Ｅ＝Ｏ

　すなわち、　　（ａ＋ｄ－１）Ａ＝（ａｄ－ｂｃ）Ｅ

　ａ＋ｄ＝１　のとき、　ａｄ－ｂｃ＝０

　ａ＋ｄ≠１　のとき、　Ａ＝ｋＥ　（ｋは定数）　とおける。　（←　ここの部分がキーポイント）

　Ａ²＝Ａ　に代入して、　ｋ²Ｅ＝ｋＥ　より、　ｋ²＝ｋ　　　よって、　ｋ＝０、１

　ｋ＝０　のとき、　Ａ＝Ｏ　　このとき、　ａ＋ｄ＝０　、　ａｄ－ｂｃ＝０

　ｋ＝１　のとき、　Ａ＝Ｅ　　このとき、　ａ＋ｄ＝２　、　ａｄ－ｂｃ＝１

　　以上から、　（ａ＋ｄ，ａｄ－ｂｃ）＝（０，０）、（１，０）、（２，１）

（コメント）　この解法について息子に感想を聞いたら、「解けるけれど、なんかしっくりこない
　　　　　なあ～」とのこと。そう言えば、私も高校生の頃、この不可解な解法に悩んだ記憶が
　　　　　蘇ってきた．．．。今では、ごく自然な解法と思っているのだが。

　ハミルトン・ケーリーの定理は、行列のｎ乗の計算などに有効である。

例　２次の正方行列

　

について、　Ａ²、Ａ³、Ａ⁴、Ａ¹⁰ を計算せよ。

　ハミルトン・ケーリーの定理より、　Ａ²＋Ａ＋Ｅ＝０

よって、

　

　また、　Ａ³－Ｅ＝（Ａ－Ｅ）（Ａ²＋Ａ＋Ｅ）＝Ｏ　より、　Ａ³＝Ｅ

このとき、　Ａ⁴＝Ａ³Ａ＝ＥＡ＝Ａ　、　Ａ¹⁰＝（Ａ³）³Ａ＝Ｅ³Ａ＝ＥＡ＝Ａ

（コメント）　普通に成分計算しても求められるが、上記の方がちょっとおしゃれかな？

　上記の場合は、あまりハミルトン・ケーリーの定理の恩恵が感じられないが、次の問題で
は実感できることだろう。

例　２次の正方行列

　

について、　Ａ³－６Ａ²＋４Ａ＋５Ｅを計算せよ。

　ハミルトン・ケーリーの定理より、　Ａ²－４Ａ－５Ｅ＝０

よって、

　

（コメント）　まともに成分計算してもよいが、この方法に慣れてしまうと成分計算が億劫に
　　　　　　なるのは私だけ．．．？

　ハミルトン・ケーリーの定理は、高校では、２次の正方行列に限定されているので、その
証明は、教科書では成分計算で確かめることで終了している。

（追記）　平成２０年８月２３日付け

　同じ成分計算をするにしても、次のような手法があることを最近知ったので紹介したい。
もしかしたら皆さんにとっては既知の手法かもしれないが．．．。

（ハミルトン・ケーリーの定理の証明）

　Ａ²－（ａ＋ｄ）Ａ

＝Ａ｛Ａ－（ａ＋ｄ）Ｅ｝　　（←　このような式変形が上手いですね！）

よって、　Ａ²－（ａ＋ｄ）Ａ＋（ａｄ－ｂｃ）Ｅ＝Ｏ　が成り立つ。　（証終）

　しかし、ハミルトン・ケーリーの定理は、一般のｎ次の正方行列について常に成り立つ事実
であるので、ここでは一念発起し、一般のｎ次の正方行列についても簡単に、その証明が類
推出来るように、一般の線形代数学で行われている理論を、２次の正方行列の話に焼き直し
て、成分計算によらないハミルトン・ケーリーの定理の証明を、このページで試みようと思う。

　参考にさせていただいた文献は、

　三宅敏恒　著　　入門線形代数　　（培風館）

　具体的な例や例題が豊富で、分かりやすい演習形式の良書である。
（三宅先生の研究室は私の所属する研究室の近くだったので、多分、お茶会で、お会いしているかな．．．？）

　以下で、行列は全て、２次の正方行列とする。

　行列

　

に対して、行と列を入れ替えた行列を、転置行列といい、

　

で表す。転置行列について、次の性質が成り立つことは明らかだろう。

　^ｔ（Ａ＋Ｂ）＝^ｔＡ＋^ｔＢ　　　　^ｔ（ＡＢ）＝^ｔＢ^ｔＡ

　また、列ベクトルを、

　　　　

とおくと、行列Ａは、　Ａ＝（ａ　　ｂ）　と書ける。このような表し方を、行列Ａの分割とい
う。上記では、列ベクトルで分割しているが、もちろんいくつかの小行列に分割することもあ
りえる。

　この分割という考え方は、次のような場合にとても有効である。

（１）　成分に、まとまって「０」があるときに、行列の積を求める

（２）　成分に、まとまって「０」があるときに、行列式を求める

（３）　固有値、固有ベクトルを利用して、行列の対角化を求める

　中学２年で学ぶ連立１次方程式の解法の原則は、「文字の消去」である。その方策として、
中学では、「代入法」「加減法」「等置法」などが指導されている。

　その式変形に共通する原理は、

（イ）　１つの式に、０以外の数を掛けても解は不変

（ロ）　式と式を入れ替えても解は不変

（ハ）　１つの式に、他の式を何倍かしたものを加えても解は不変

である。　この原理をもとに連立方程式を解く方法を、「掃き出し法」という。

　この掃き出し法は、行列の様式で、簡潔に表現される。その際に用いられる原理は、上
記の原理を行列の言葉に置き換えて次のような形となる。

（Ａ）　１つの行に、０以外の数を掛けても解は不変

（Ｂ）　行と行を入れ替えても解は不変

（Ｃ）　１つの行に、他の行を何倍かしたものを加えても解は不変

例　連立方程式

　

を解け。

（解）　掃き出し法による。

２	３	７
１	－１	１

５	０	１０	・・・　第２行を３倍したものを第１行に加える
１	－１	１

１	０	２	・・・　第１行を５で割る
１	－１	１

１	０	２
０	－１	－１	・・・　第１行を－１倍したものを第２行に加える

１	０	２
０	１	１	・・・　第２行を－１で割る

以上から、求める方程式の解は、　ｘ＝２　、　ｙ＝１　となる。

　行列Ａに対して、　ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ　となる行列Ｂが存在するとき、行列Ａは逆行列を持
つといい、Ｂ＝Ａ^-1　と表す。

　上記の掃き出し法による解法は、逆行列を用いれば次のようになる。

　ここで、

　

に対して、その逆行列Ａ-1 は、

　

（ただし、　ｄｅｔＡ＝ａｄ－ｂｃである。）

なので、

　

より、

　

すなわち、求める方程式の解は、　ｘ＝２　、　ｙ＝１　となる。

　上記の掃き出し法によれば、係数行列Ａは簡約されて、単位行列Ｅになっている。す
なわち、係数行列が行列の基本変形（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）により単位行列Ｅに簡約されれば、係
数行列Ａは必ず逆行列を持つことが分かる。

　行列Ａの逆行列の計算で、行列式ｄｅｔＡの値および余因子の考え方が大切である。

　行列

　

に対して行列式ｄｅｔＡ＝ａｄ－ｂｃであるが、置換の考えを用いて次のように定義されるもの
である。（→　参考：「ヤコビの定理」）

　

　ただし、　ａ＝ａ₁₁　、ｂ＝ａ₁₂　、ｃ＝ａ₂₁　、ｄ＝ａ₂₂　で、さらに、

　ｓｇｎ（σ）＝（－１）^ｍ　（ｍは、置換 σ を表す互換の数）　とする。

　この行列式の絶対値｜ｄｅｔＡ｜は、２つの列ベクトル

　　　　

が生成する平行四辺形の面積｜ａｄ－ｂｃ｜に等しいことは興味深い結果である。

　

　行列式の定義から明らかなように、次の性質が成り立つ。

（１）　行と列を入れかえても、行列式の値は不変（行と列に関して対称）

　　すなわち、　ｄｅｔＡ＝ｄｅｔ ^ｔＡ

（２）　２つの行（列）を入れかえると、行列式は、－１倍になる

　　行（列）を入れ替えると、もとの置換に互換が新たに乗ぜられるので、符号は、－１倍に
　なる。

（３）　行列式は、各行（列）に関して線形である

（４）　１つの行（列）の共通因数は、行列式の外にくくりだせる

（５）　１つの行（列）の要素が全て０ならば、行列式の値は０

（６）　２つの行（列）が等しいとき、行列式の値は０

　　等しい行（列）を入れ替えると、（２）より、ｄｅｔＡ＝－ｄｅｔＡなので、ｄｅｔＡ＝０

このとき、（３）と（６）から、

（７）　１つの行（列）に任意の数をかけて他の行（列）に加えても行列式の値は不変

　行列式に関して、次の定理がよく用いられる。

　ｄｅｔＡＢ＝ｄｅｔＡ・ｄｅｔＢ

　２次の正方行列では、成分計算により確かめられるが、ここでは、より一般的な場合にも
通用する証明を与えておこう。

（証明）　まず、４次の正方行列の行列式について、

　

が成り立つことを示す。

　

において、左辺の成分の状況から、σに関する和は、

　σ（１）＝１、σ（２）＝２　　または　σ（１）＝２、σ（２）＝１

の場合だけを考えればよい。このとき、

　σ（３）＝３、σ（４）＝４　　または　σ（３）＝４、σ（４）＝３

したがって、　｛１，２｝の置換を　τ、　｛３，４｝の置換を　ρ とすると、

　
が成り立つ。

　次に、左辺の行列式において、次のような操作を行う。

　第１列にｘ、第２列にｚを掛けたものを第３列に加える

　第１列にｙ、第２列にｗを掛けたものを第４列に加える

すなわち、

　（証終）

　上記証明で示したことは、いろいろな場面で活用される。

　読者のために練習問題を残しておこう。

練習問題　　次の等式が成り立つことを示せ。

　

　また、公式 ｄｅｔＡＢ＝ｄｅｔＡ・ｄｅｔＢ　の練習問題も残しておこう。

練習問題　　Ａ³＝Ｅ　ならば、ｄｅｔＡ＝１　であることを示せ。

　次に、余因子を定義しよう。

　２次の正方行列Ａに対して、その第ｐ行第ｑ列を取り去って得られる行列の行列式に
（－１）^ｐ＋ｑを掛けたものを、行列Ａの第（ｐ，ｑ）余因子といい、△_ｐｑで表す。

（例）　行列

　

について、△₁₁＝(－１）²×４＝４　、　△₁₂＝(－１）³×３＝－３
　△₂₁＝（－１）³×２＝－２　、　△₂₂＝(－１）⁴×１＝１

　この余因子の考えを用いると、行列式は、次の式で計算される。

　行列

　

に対して、ｄｅｔＡ＝ａ・△₁₁＋ｂ・△₁₂＝ａ・ｄ＋ｂ・（－ｃ）＝ａｄ－ｂｃ　となる。

　行列式Ａを、このように表すことを、行列式Ａの余因子展開という。

　２次の正方行列の場合、この展開の恩恵を受けることは全くないが、より高次の行列式
の計算では有効な方法となる。

ここで、

　ａ・△₁₁＋ｂ・△₁₂＝ｄｅｔＡ　　であるが、　ａ・△₂₁＋ｂ・△₂₂＝ａ・（－ｂ）＋ｂ・ａ＝０

という事実も見過ごせない。

　行列Ａの第（ｐ，ｑ）余因子 △_ｐｑ　を用いて、余因子行列Ａ^~

　

が定義される。（成分の配置に注意！）

このとき、　ａ・△₁₁＋ｂ・△₁₂＝ｄｅｔＡ　　ａ・△₂₁＋ｂ・△₂₂＝０

　ｃ・△₁₁＋ｄ・△₁₂＝０　　　　　ｃ・△₂₁＋ｄ・△₂₂＝ｄｅｔＡ

であることから、Ａ・Ａ^~＝Ａ^~・Ａ＝（ｄｅｔＡ）Ｅ　が成り立ち、ｄｅｔＡ≠０　のとき、

　

であることが示された。

また、ｄｅｔ（Ａ・Ａ^~）＝ｄｅｔＡ・ｄｅｔＡ^~＝ｄｅｔ｛（ｄｅｔＡ）Ｅ｝＝（ｄｅｔＡ）²　において、

ｄｅｔＡ≠０　のとき、　ｄｅｔＡ^~＝ｄｅｔＡ

ｄｅｔＡ＝０　のとき、　Ａ＝Ｏ　ならば、　Ａ^~＝Ｏ　なので、　ｄｅｔＡ^~＝ｄｅｔＡ

　Ａ≠Ｏ　ならば、　Ａ・Ａ^~＝Ｏ　より、　Ａ^~ は逆行列をもたない。

　すなわち、　ｄｅｔＡ^~＝０　が成り立ち、　ｄｅｔＡ^~＝ｄｅｔＡ

以上から、何れにしても、　ｄｅｔＡ^~＝ｄｅｔＡ　が成り立つ。

（コメント）　この等式は成分計算すれば明らかだが、一般的な証明を意識すると上述のよう
　　　　　になる。

　行列Ａを用いて、１次変換　Ｔ（ｘ）＝Ａｘ　が定義される。

　１次変換Ｔにおいて、次の性質が成り立つ。

　Ｔ（ｘ＋ｙ）＝Ｔ（ｘ）＋Ｔ（ｙ）　　　Ｔ（ｋｘ）＝ｋＴ（ｘ）　　（ｋは定数）

　この性質から、　Ｔ（０）＝０　である。すなわち、１次変換により、原点は原点に移される。

　ベクトルｘ全体の集合をＶで表すと、Ｖは、１次独立な２つのベクトルｅ₁ 、ｅ₂ により
生成される。

　このとき、行列の等式　（Ｔ（ｅ₁）　Ｔ（ｅ₂））＝（ ｅ₁　ｅ₂ ）Ｂ　を満たす行列Ｂが存在する。

この行列Ｂのことを、基底｛ｅ₁ ，ｅ₂ ｝に関する表現行列という。

（ ｅ₁　ｅ₂ ）＝Ｅ　のとき、基底｛ｅ₁ ，ｅ₂ ｝は標準基底と言われる。

　標準基底においては、表現行列Ｂは、Ａ　と一致する。

　いま、基底｛ｅ₁ ，ｅ₂ ｝を別な基底｛ ｅ’₁ ， ｅ’₂ ｝に変えることを考える。

　（ ｅ’₁　ｅ’₂ ）＝（ ｅ₁　ｅ₂ ）Ｐ　（Ｐは正則行列）

このとき、行列Ｐのことを、基底の変換行列という。

　１次変換Ｔの基底｛ｅ₁ ，ｅ₂ ｝に関する表現行列をＡ、基底｛ ｅ’₁ ， ｅ’₂ ｝に関す
る表現行列をＢとすると、

　（Ｔ（ｅ₁）　Ｔ（ｅ₂））＝（ ｅ₁　ｅ₂ ）Ａ　　（Ｔ（ｅ’₁）　Ｔ（ｅ’₂））＝（ ｅ’₁　ｅ’₂ ）Ｂ

が成り立ち、　（ ｅ’₁　ｅ’₂ ）＝（ ｅ₁　ｅ₂ ）Ｐ　であるので、

　（Ｔ（ｅ’₁）　Ｔ（ｅ’₂））＝（ ｅ’₁　ｅ’₂ ）Ｂ＝（ ｅ₁　ｅ₂ ）ＰＢ

一方、　（Ｔ（ｅ’₁）　Ｔ（ｅ’₂））＝Ｔ（ ｅ’₁　ｅ’₂ ）＝Ｔ（ ｅ₁　ｅ₂ ）Ｐ

　　　　＝（Ｔ（ｅ₁）　Ｔ（ｅ₂））Ｐ＝（ ｅ₁　ｅ₂ ）ＡＰ

　よって、　ＰＢ＝ＡＰ　より、　Ｂ＝Ｐ^-1ＡＰ　が成り立つ。

　この公式は、行列の対角化などに応用される。

例　標準基底において、１次変換Ｔの表現行列を、

　

とする。基底｛ ｅ’₁ ， ｅ’₂ ｝

　　　　

に関する表現行列Ｂを求めよ。

(解）　基底｛ ｅ’₁ ， ｅ’₂ ｝の標準基底に関する変換行列Ｐは、

　

であるので、求める行列Ｂは、

　

（コメント）　上記行列の対角成分２および３は、行列Ａの固有値であり、ｅ’₁ 、ｅ’₂　は、
　　　　　それらに属する固有ベクトル（の一つ）である。（→　参考：「固有ベクトルを求める」）

　正方行列Ａに対して、　Ｇ_Ａ（λ）＝ｄｅｔ（λＥ－Ａ）

を行列Ａの固有多項式という。　方程式　Ｇ_Ａ（λ）＝０　の解を固有値という。

　固有値 λ に属する固有ベクトルｘ（≠０）は、　Ａｘ＝λｘ　により得られる。

例　行列

　

の固有多項式は、ｄｅｔ（λＥ－Ａ）＝（λ－１）（λ－４）－（－２）＝λ²ｰ５λ＋６

　よって、　λ²ｰ５λ＋６＝（λ－２）（λ－３）＝０　より、固有値は　２　と　３

固有値２に属する固有ベクトルの一つは、Ａ－３Ｅの列ベクトルから、

　

固有値３に属する固有ベクトルの一つは、Ａ－２Ｅの列ベクトルから、

　

であることが直ぐ分かる。

定　理（Ｃａｙｌｅｙ-Ｈａｍｉｌｔｏｎ）

　正方行列Ａの固有多項式Ｇ_Ａ（λ）について、　Ｇ_Ａ（Ａ）＝Ｏ　が成り立つ。

　この定理は、行列

　

に対して、　Ａ²-（ａ＋ｄ）Ａ＋（ａｄ－ｂｃ）Ｅ＝Ｏ

と書いた方が高校生にとっては馴染みがあるだろう。

（証明）　Ｂ_λ＝λＥ－Ａ　とおくと、　ｄｅｔＢ_λ＝ｄｅｔ（λＥ－Ａ）＝Ｇ_Ａ（λ）　なので、

Ｂ_λの余因子行列Ｂ_λ~ について、　Ｂ_λ Ｂ_λ~ ＝Ｇ_Ａ（λ）Ｅ　が成り立つ。

Ａは２次の正方行列なので、Ｂ_λ~ は、λについて高々１次の多項式として書ける。

すなわち、　Ｂ_λ~ ＝λＰ＋Ｑ　　（Ｐ、Ｑは２次の正方行列）　と書ける。

このとき、　Ｂ_λ Ｂ_λ~ ＝Ｇ_Ａ（λ）Ｅ　に代入して、　（λＥ－Ａ）（λＰ＋Ｑ）＝Ｇ_Ａ（λ）Ｅ

また、Ｇ_Ａ（λ）は、２次式なので、　Ｇ_Ａ（λ）＝λ²＋ｍλ＋ｎ　（ｍ、ｎは定数）

と書ける。ここで、　（λＥ－Ａ）（λＰ＋Ｑ）＝λ²Ｐ＋（Ｑ－ＡＰ）λ－ＡＱ　なので、

係数を比較して、　Ｐ＝Ｅ　、　Ｑ－ＡＰ＝ｍＥ　、　－ＡＱ＝ｎＥ　が成り立つ。

このとき、　　ｍＡ＝Ａ（Ｑ－ＡＰ）＝ＡＱ－Ａ²Ｐ　、　ｎＥ＝－ＡＱ　なので、

Ａ²＋ｍＡ＋ｎＥ＝Ａ²＋（ＡＱ－Ａ²Ｐ）＋（－ＡＱ）＝Ａ²＋ＡＱ－Ａ²－ＡＱ＝Ｏ

となり、これは、　Ｇ_Ａ（Ａ）＝Ｏ　が成り立つことを意味する。　（証終）

（コメント）　上記ではやや遠回りの計算を行っているが、余因子行列の性質から、Ｐ、Ｑは
　　　　行列Ａと交換可能であることが分かるので、変数ｘに行列Ａを代入することは可
　　　　能である。このとき、Ｇ_Ａ（Ａ）＝Ｏ　であることは、ほとんど自明だろう。
　　　　（成分による証明と比較して、この証明を高校生向けに行うことは無謀ですね！）

　代入する際、行列式のλに代入するのではなく、多項式展開されたλに代入するという意
識は大切であろう。

　上記で、行列のｎ乗の計算に、ハミルトン・ケーリーの定理が有効であること、そして、
その実際の計算例を述べた。

　行列のｎ乗の計算は、行列の対角化によって行うのが通常だろう。漸化式や確率の計
算等にも活用され、他分野に計算技術の提供をしている点で必ず習得すべき技法の一つ
だと言える。

　その理論的背景では、対角行列

　

について、

　

という性質の成り立つところが大きい。

　そして、（Ｐ^-1ＡＰ）^ｎ＝Ｐ^-1Ａ^ｎＰ　が成り立つことから、行列Ａのｎ乗 Ａ^ｎ は、

　Ａ^ｎ＝Ｐ（Ｐ^-1ＡＰ）^ｎＰ^-1

により求められる。

例　行列

　

の固有値は　２　と　３　で、固有値２に属する固有ベクトルの一つは、

　

固有値３に属する固有ベクトルの一つは、

　

であることを上記で計算した。

　このことから、　Ａｅ’₁＝２ｅ’₁　、　Ａｅ’₂＝３ｅ’₂ なので、Ａ（ｅ’₁　ｅ’₂）＝（２ｅ’₁　３ｅ’₂）

すなわち、

　

これより、行列Ａは、

　

と対角化される。よって、行列Ａのｎ乗は、

　

から、

　

と求められる。

　このことを活用して、連立型の漸化式

　ｘ₁＝１、ｙ₁＝１、ｘ_ｎ+1＝ｘ_ｎ＋２ｙ_ｎ、ｙ_ｎ+1＝－ｘ_ｎ＋４ｙ_ｎ

の解は、　ｘ_ｎ＝（２ⁿ－３^ｎ-1）＋（２・３^n-1－２^ｎ）＝３^n-1

　ｙ_ｎ＝（２^n-1－３^ｎ-1）＋（２・３^n-1－２^ｎ-1）＝３^n-1

となる。

（コメント）　問題設定が美しすぎました！　ｘ₁＝１、ｘ₂＝３、ｘ₃＝９、ｘ₄＝２７、・・・　からも、
　　　　　ｘ_ｎ＝３^n-1　が直ぐに分かってしまって、上記の行列のｎ乗の計算の有り難みが伝
　　　　　わらないような．．．予感！

　Ｃａｙｌｅｙ-Ｈａｍｉｌｔｏｎの定理　：　Ａ²-（ａ＋ｄ）Ａ＋（ａｄ－ｂｃ）Ｅ＝Ｏ　において、

　ａｄ－ｂｃ＝ｄｅｔＡ　　（行列Ａの行列式）

であるが、ａ＋ｄ＝ＴｒＡ　も大切な概念である。

　行列Ａのトレースまたは、ＳｐｕｒＡ（シュプールＡ）などと呼ばれる。

　高校生に対して特別に教えられることがないことを知ってか知らずか、ＴｒＡの性質に関
する入試問題が散見される。

ＴｒＡの性質

（１）　Ｔｒ（Ａ＋Ｂ）＝ＴｒＡ＋ＴｒＢ

（証明）

　　　、　

に対して、　Ｔｒ（Ａ＋Ｂ）＝ａ＋ｘ＋ｄ＋ｗ＝ａ＋ｄ＋ｘ＋ｗ＝ＴｒＡ＋ＴｒＢ　　（証終）

（２）　Ｔｒ（ｋＡ）＝ｋ・ＴｒＡ

（証明）

　　

に対して、　Ｔｒ（ｋＡ）＝ｋａ＋ｋｄ＝ｋ（ａ＋ｄ）＝ｋ・ＴｒＡ　　（証終）

（３）　Ｔｒ（ＡＢ）＝Ｔｒ（ＢＡ）

（証明）

　　　、　

に対して、　Ｔｒ（ＡＢ）＝ａｘ＋ｂｚ＋ｃｙ＋ｄｗ　、Ｔｒ（ＢＡ）＝ａｘ＋ｃｙ＋ｂｚ＋ｄｗ

よって、　　Ｔｒ（ＡＢ）＝Ｔｒ（ＢＡ）　が成り立つ。　　（証終）

　ＴｒＡの性質としては、上記の（１）（２）（３）が本質的である。

すなわち、逆に、２次の正方行列全体から実数全体への写像Ｆで、

（ⅰ）　Ｆ（Ａ＋Ｂ）＝Ｆ（Ａ）＋Ｆ（Ｂ）
（ⅱ）　Ｆ（ｋＡ）＝ｋ・Ｆ（Ａ）
（ⅲ）　Ｆ（ＡＢ）＝Ｆ（ＢＡ）

を満たすものは、　Ｆ（Ａ）＝α・ＴｒＡ　（αは定数）　と書けることが知られている。

（４）　Ｔｒ（Ｐ^-1ＡＰ）＝ＴｒＡ

（証明）　Ｔｒ（Ｐ^-1ＡＰ）＝Ｔｒ（ＡＰＰ^-1）＝ＴｒＡ　　（証終）

　（４）の性質は、ｄｅｔ（Ｐ^-1ＡＰ）＝ｄｅｔＡ　と併せて、行列の対角化　Ｂ＝Ｐ^-1ＡＰ　の検
算に用いられ、計算も単純であるので重宝である。

（５）　Ｔｒ（Ａ²）－（ＴｒＡ）²＋２ｄｅｔＡ＝０

（証明）　Ａ²－（ＴｒＡ）Ａ＋（ｄｅｔＡ）Ｅ＝Ｏ　より、Ｔｒ｛Ａ²－（ＴｒＡ）Ａ＋（ｄｅｔＡ）Ｅ｝＝０

性質（１）（２）より、　Ｔｒ（Ａ²）－（ＴｒＡ）（ＴｒＡ）＋２（ｄｅｔＡ）＝０

すなわち、　Ｔｒ（Ａ²）－（ＴｒＡ）²＋２（ｄｅｔＡ）＝０　　（証終）

　上記の性質の練習問題として、２００１年度　千葉大学の入試問題が最適であろう。

例　題　２次の正方行列Ａ、Ｂが、Ａ＝ＡＢ－ＢＡ　を満たすとき、　Ａ²＝Ｏ　である
　　　　ことを示せ。

（解）　Ｔｒ（Ａ）＝Ｔｒ（ＡＢ－ＢＡ）＝Ｔｒ（ＡＢ）－Ｔｒ（ＢＡ）＝０　で、さらに、

　Ａ²＝Ａ・Ａ＝Ａ（ＡＢ－ＢＡ）＝Ａ²Ｂ－ＡＢＡ　より、

　Ｔｒ（Ａ²）＝Ｔｒ（Ａ²Ｂ－ＡＢＡ）＝Ｔｒ（Ａ²Ｂ）－Ｔｒ（ＡＢＡ）＝Ｔｒ（Ａ²Ｂ）－Ｔｒ（Ａ²Ｂ）＝０

よって、　Ｔｒ（Ａ²）－（ＴｒＡ）²＋２（ｄｅｔＡ）＝０　より、　ｄｅｔＡ＝０　となる。

　Ｃａｙｌｅｙ-Ｈａｍｉｌｔｏｎの定理より、　Ａ²－（ＴｒＡ）Ａ＋（ｄｅｔＡ）Ｅ＝Ｏ　なので、

　Ｔｒ（Ａ）＝０　、　ｄｅｔＡ＝０　より、　Ａ²＝Ｏ　であることが分かる。　（終）

（コメント）　トレースの性質が存分に味わえる良問ですね！単に、Ａ＝ＡＢ－ＢＡ　から、直接
　　　　的にＡ² を計算してしまっては路頭に迷ってしまいます．．．。

　次は、平成２１年度　東京理科大学の入試問題である。ここでも上記で確認した ＴｒＡ
の性質が効果的に用いられる例である。（問題文は記述形式に改題！）

例　題　２次の正方行列Ｘ、Ａに対して、Ｘ³＝Ａ　で、ＴｒＸが整数となるように、
　　　　Ｘを定めよ。ただし、

　　

とする。

(解）　ｄｅｔＸ³ ＝（ｄｅｔＸ）³＝ｄｅｔＡ＝１４＋５０＝６４　より、　ｄｅｔＸ＝４

Ｃａｙｌｅｙ-Ｈａｍｉｌｔｏｎの定理において、　ＴｒＸ＝ｔ　とおくと、

　Ｘ²－ｔ・Ｘ＋（ｄｅｔＸ）Ｅ＝Ｏ　　すなわち、　Ｘ² ＝ｔ・Ｘ－４Ｅ

このとき、　　Ｘ³ ＝ｔ・Ｘ²－４Ｘ　より、　Ａ＝ｔ・Ｘ²－４Ｘ＝（ｔ²－４）Ｘ－４ｔＥ

よって、　ＴｒＡ＝Ｔｒ（（ｔ²－４）Ｘ－４ｔＥ）＝（ｔ²－４）・ＴｒＸ－８ｔ＝ｔ³－１２ｔ　から、

　ｔ³－１２ｔ＝－９　　すなわち、　ｔ³－１２ｔ＋９＝０

この３次方程式は、３個の実数解を持つが、そのうちの整数解は、３のみである。

したがって、　ｔ＝ＴｒＸ＝３　となる。

このとき、　Ａ＝５Ｘ－１２Ｅ　より、　Ｘ＝（１/５）（A＋１２Ｅ）　であるので、

　

となる。　　（終）

（コメント）　この問題も、ＴｒＸの性質に着目しないと、嫌気がさすような計算の嵐に巻き込ま
　　　　　れそうな．．．予感！

　当ＨＰがいつもお世話になっているＳ（Ｈ）さんが類題をいくつか作られたので、解いてみる
ことにしよう。（平成２１年２月１４日付け）

　Ｓ（Ｈ）さんの問題設定では行列の成分を複素数までとしているが、ここでは、成分は実数
までとしておこう。

（１）　行列

　

に対して、Ｘ⁴ ＝Ａ　となる行列Ｘを求めよ。

（解）　ｄｅｔＸ⁴ ＝（ｄｅｔＸ）⁴＝ｄｅｔＡ＝－２＋３＝１　より、　ｄｅｔＸ＝１、－１

（イ）　ｄｅｔＸ＝１　のとき、

　Ｃａｙｌｅｙ-Ｈａｍｉｌｔｏｎの定理において、　ＴｒＸ＝ｔ　とおくと、

　Ｘ²－ｔ・Ｘ＋（ｄｅｔＸ）Ｅ＝Ｏ　　すなわち、　Ｘ² ＝ｔ・Ｘ－Ｅ

　このとき、　　Ｘ⁴ ＝ｔ²・Ｘ²－２ｔ・Ｘ＋Ｅ　より、

　Ａ＝ｔ²・Ｘ²－２ｔ・Ｘ＋Ｅ＝ｔ²・（ｔ・Ｘ－Ｅ）－２ｔ・Ｘ＋Ｅ＝（ｔ³－２ｔ）Ｘ＋（１－ｔ²）Ｅ

　よって、　ＴｒＡ＝Ｔｒ（（ｔ³－２ｔ）Ｘ＋（１－ｔ²）Ｅ）＝（ｔ³－２ｔ）ｔ＋２（１－ｔ²）＝ｔ⁴－４ｔ²＋２

　から、ｔ⁴－４ｔ²＋２＝－１　すなわち、　ｔ⁴－４ｔ²＋３＝０　より、　ｔ＝±１、±

　そこで、　ｔ＝ＴｒＸ＝１　のとき、　Ａ＝－Ｘ　より、　Ｘ＝－Ａ

　ｔ＝ＴｒＸ＝－１　のとき、　Ａ＝Ｘ　より、　Ｘ＝Ａ

　ｔ＝ＴｒＸ＝　のとき、　Ａ＝Ｘ－２Ｅ　より、

　

　ｔ＝ＴｒＸ＝－　のとき、　Ａ＝Ｘ＋２Ｅ　より、

　

（ロ）　ｄｅｔＸ＝－１　のとき、

　Ｃａｙｌｅｙ-Ｈａｍｉｌｔｏｎの定理において、　ＴｒＸ＝ｔ　とおくと、

　Ｘ²－ｔ・Ｘ＋（ｄｅｔＸ）Ｅ＝Ｏ　　すなわち、　Ｘ² ＝ｔ・Ｘ＋Ｅ

　このとき、　　Ｘ⁴ ＝ｔ²・Ｘ²＋２ｔ・Ｘ＋Ｅ　より、

　Ａ＝ｔ²・Ｘ²＋２ｔ・Ｘ＋Ｅ＝ｔ²・（ｔ・Ｘ＋Ｅ）＋２ｔ・Ｘ＋Ｅ＝（ｔ³＋２ｔ）Ｘ＋（１＋ｔ²）Ｅ

　よって、　ＴｒＡ＝Ｔｒ（（ｔ³＋２ｔ）Ｘ＋（１＋ｔ²）Ｅ）＝（ｔ³＋２ｔ）ｔ＋２（１＋ｔ²）＝ｔ⁴＋４ｔ²＋２

　から、ｔ⁴＋４ｔ²＋２＝－１　すなわち、　ｔ⁴＋４ｔ²＋３＝０

　この４次方程式は実数解を持たないので不適。　　（終）

（２）　行列

　

に対して、Ｘ⁵ ＝Ｂ　となる行列Ｘを求めよ。

（３）　行列

　

に対して、Ｘ⁷ ＝Ａ　となる行列Ｘを求めよ。

（コメント）　（２）（３）も多分（１）と同様にできると思うので、読者の方の練習問題にしておこう。

（追記）　平成２７年１月１３日付け

　行列の理論について、当ＨＰ読者のＨ．Ｆ．さんよりメールにていろいろアドバイス頂いた。

　Ｈ．Ｆ．さんによれば、

　Ｘⁿ ＝Ａ　、A≠E　のとき、Xの全ての解は、最大で n²個ある

とのことである。（→　参考：「等方平面の幾何学的構造」）

　行列のｎ乗については次の公式が知られている。（すぐ導けるので覚える必要はない！）

　行列

　

において、Ｃａｙｌｅｙ-Ｈａｍｉｌｔｏｎの定理より、Ａ²-（ａ＋ｄ）Ａ＋（ａｄ－ｂｃ）Ｅ＝Ｏ

が成り立つ。２次方程式　ｘ²-（ａ＋ｄ）ｘ＋（ａｄ－ｂｃ）＝０　の２つの解を、α 、β とおく。

　このとき、

（１）　α＝β（重解）のとき、Ａ^ｎ＝ｎα^ｎ-1Ａ－（ｎ－１）α^ｎＥ

（２）　α≠β　のとき、

　Ａ^ｎ＝｛（β^ｎ－α^ｎ）/（β－α）｝Ａ－αβ｛（β^ｎ-1－α^ｎ-1）/（β－α）｝Ｅ

が成り立つ。

　当ＨＰ読者のＨＮ「ポテト」さんからの質問です。（平成２５年８月２２日付け）

　２次の正方行列Ａ、Ｂに対して、ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅのとき、ＢをＡの逆行列を呼ぶ、という事に
ついて、｢ＡＢ＝Ｅ　ならば　ＢＡ＝Ｅとなる。｣とあり、その証明がわかりません。なにか良い
文献等あれば教えてください。

　現在、｢大学への数学（通称黒代数）｣、｢線形代数学（川久保勝夫著）｣を読んで考えてい
ますが、成分で計算しようとすると文字が8種出てきており、処理に困っています（ただし、黒
代数では２次正方行列での証明は高校生でも可能と読める記述があり、それからすると成
分を利用すること自体は間違っていないのかもと思っています。どうぞご教授願います。

　ところで、ケーリー･ハミルトンの定理を用いることにより、行列ＡとかけてＥとなる行列は一
意的に決まるので、よって示されたという論証で大丈夫という考えに至りました。

　すなわち、Ａ＝（a b c d)　とおく。（← 左上、右上、左下、右下と読んでください）
このとき、ケーリー･ハミルトンの定理より、Ａ²－(ａ＋ｄ)A＋(ａｄ－ｂｃ)E＝Ｏ
よって、ａｄ－ｂｃ≠０のとき、因数分解をして、両辺をａｄ－ｂｃで割り、証明するという流れ
です。行列についてかなり苦手であり、論証に穴がある気がしてなりません。批評をお願い
します。

　質問の趣旨は、「２次の正方行列Ａが逆行列を持つ」ことの定義として、

（１）　２次の正方行列Ｂが存在して　ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅが成り立つとき

とするのか、あるいは、

（２）　２次の正方行列Ｂが存在して　ＡＢ＝Ｅが成り立つとき

とするのかですね。（２）の場合は、「ＡＢ＝Ｅ　ならば　ＢＡ＝Ｅ｣を示す手順が残されます。

　線形代数学の書籍では大体、逆行列Ｂなるものを構成してみせて、その存在を保証してい
るようです。すなわち、

　２次の正方行列Ａに対して、その余因子行列をＡ~とすると、　Ａ・Ａ~＝Ａ~・Ａ＝（ｄｅｔＡ）Ｅ

が成り立つので、　ｄｅｔＡ≠０　のとき、　Ｂ＝（１/ｄｅｔＡ）Ａ~　とおくと、　ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ

　よって、ｄｅｔＡ≠０　のとき、Ａの逆行列は存在して、Ａの逆行列は、（１/ｄｅｔＡ）Ａ~

　ＡＢ＝Ｅ　あるいは　ＢＡ＝Ｅ　のとき、必然的に「ｄｅｔＡ≠０」なので、Ａの逆行列は存在しま
す。よって、逆行列が存在する定義として、（１）でも（２）でもどっちでもＯＫということになりま
すが、ここは、純粋に「ＡＢ＝Ｅ　ならば　ＢＡ＝Ｅ｣であることを示したいと思います。

（証明）　２次の正方行列Ｂが存在して　ＡＢ＝Ｅが成り立つとき、Ａは逆行列を持つとする。

　このとき、　ｄｅｔＢ≠０　なので、Ｂも逆行列を持つ。すなわち、あるＣが存在して、ＢＣ＝Ｅ

よって、　ＢＡ＝ＢＡＥ＝ＢＡＢＣ＝ＢＥＣ＝ＢＣ＝Ｅ　となる。

　したがって、　ＡＢ＝Ｅ　ならば　ＢＡ＝Ｅ　である。　　（証終）

　ポテトさんからのコメントです。（平成２５年８月２３日付け）

　冷静に考えたら、ＡＢ＝Ｅが成立する段階で、Ａは逆行列を持つことが確定するんですね。
したがって、私の疑問は、

　｢ＡＢ＝Ｅならば、行列Ａは逆行列を持つ。ところで、このときＣＡ＝Ｅを満たす行列ＣはＢ以
外に存在するのか？｣

ということになるんですね。そう考えると、上記のことがすっと理解できました。ありがとうござ
いました。

（コメント）　一般の代数では、「ａｂ＝ｅ　ならば　ｂａ＝ｅ」ということは言えないのですが、正方
　　　　　　行列の場合は言えるんですね！

　ところで、ＡＢ＝Ｅ　のとき、ＣＡ＝ＥとなるＣが存在すれば、それはＢ以外にありません。

実際に、　Ｃ＝ＣＥ＝ＣＡＢ＝ＥＢ＝Ｂ　だからです。

　ここでは、ＣＡ＝ＥとなるＣが存在すると仮定して示していますが、その存在を保証しながら
示すとなると、上記の（証明）のような方法になります。

（追記）　令和６年８月３日付け

　東北大学　文理共通（１９７６）で、次の問題が出題された。素朴に成分計算すれば解決で
きそうだ。最初、ハミルトン・ケーリーの定理を使おうとしたが、上手くいかなかった。

第３問　　行列

　　

が等式Ａ²－ｄＡ＝Ａ^-1 を満たすとき、Ａ³を求めよ。ただし、ａｄ－ｂｃ＝１とする。

（解）
　　、

なので、　ａ²＋ｂｃ－ａｄ＝ｄ　すなわち、　ｄ＝ａ²－１　・・・　（１）

　（ａ＋ｄ）ｂ－ｄｂ＝－ｂ　すなわち、　（ａ＋１）ｂ＝０　・・・　（２）

　（ａ＋ｄ）ｃ－ｄｃ＝－ｃ　すなわち、　（ａ＋１）ｃ＝０　・・・　（３）

　ｂｃ＋ｄ²－ｄ²＝ａ　すなわち、　ａ＝ｂｃ　・・・　（４）

　ａ＋１≠０　のとき、（２）（３）より、　ｂ＝ｃ＝０　で、（４）より、　ａ＝０

このとき、　ａｄ－ｂｃ＝０　となり、ａｄ－ｂｃ＝１に矛盾する。

　よって、ａ＝－１　で、（１）より、　ｄ＝０　、ｂｃ＝－１

ハミルトン・ケイレイの定理より、　Ｐ²－（ａ＋ｄ）Ｐ＋Ｅ＝０　（Ｅは単位行列）

すなわち、　Ｐ²＋Ｐ＋Ｅ＝０　なので、　Ｐ³－Ｅ＝（Ｐ－Ｅ）（Ｐ²＋Ｐ＋Ｅ）＝０

よって、　Ｐ³＝Ｅ　である。　　（終）

（追記）　令和６年８月２８日付け

　次の東北大学　文系（１９７９）の問題は、行列の成分を決定する問題である。ハミルトン・
ケーリーの定理が活躍できそうな問題である。

問題　　行列

　　

が等式Ａ³＝Ｅを満たすように実数ａ、ｂ、ｃを定めよ。ただし、Ｅは単位行列とする。

（解）　ハミルトン・ケーリーの定理より、　Ａ²－（ａ＋ｃ）Ａ＋（ａｃ－ｂ²）Ｅ＝０

すなわち、　Ａ³－（ａ＋ｃ）Ａ²＋（ａｃ－ｂ²）Ａ＝０　から、

　Ｅ－（ａ＋ｃ）（（ａ＋ｃ）Ａ－（ａｃ－ｂ²）Ｅ）＋（ａｃ－ｂ²）Ａ＝０

よって、　（（ａ＋ｃ）²－（ａｃ－ｂ²））Ａ＝（（ａ＋ｃ）（ａｃ－ｂ²）＋１）Ｅ

（ａ＋ｃ）²－（ａｃ－ｂ²）≠０　のとき、　Ａ＝ｋＥ　（ｋは実数）　と書ける。

すなわち、　Ａ³＝ｋ³Ｅ＝Ｅ　より、　ｋ³＝１　を解いて、　ｋ＝１

　このとき、　ａ＝１　、ｂ＝０　、ｃ＝１

　これは、（ａ＋ｃ）²－（ａｃ－ｂ²）≠０　を満たす。

（ａ＋ｃ）²－（ａｃ－ｂ²）＝０　のとき、　（ａ＋ｃ）（ａｃ－ｂ²）＝－１

すなわち、　（ａ＋ｃ）³＝－１　から、　ａ＋ｃ＝－１　、　ａｃ－ｂ²＝１

そこで、ｃ＝－ａ－１　で、ｂ²＝－ａ²－ａ－１＜０　となり、この式を満たす実数ｂは存在しない。

以上から、　ａ＝１　、ｂ＝０　、ｃ＝１　である。　　（終）

（コメント）　同志社大学（２００９）で、類題が出題されている。

　Ｅを２次の単位行列として、２次の正方行列

　　

がＡ²＝Ｅをみたすとする。ただし、ａ、ｂ、ｃは実数であり、ｂ＞０とする。

このとき、ａの値が取り得る範囲を求めよ。
また、ａの値がその範囲にあるとき、ｂおよびｃをａで表せ。

（解）　ハミルトン・ケーリーの定理より、　Ａ²－（ａ＋ｃ）Ａ＋（ａｃ－ｂ²）Ｅ＝０

すなわち、　（ａ＋ｃ）Ａ＝（ａｃ－ｂ²＋１）Ｅ

ａ＋ｃ≠０　のとき、Ａ＝ｋＥ　（ｋは実数）　と書けるが、ｂ＞０から不適

よって、　ａ＋ｃ＝０　、ａｃ－ｂ²＝－１

ｃ＝－ａ　を代入して、ｂ²＝１－ａ²＞０　から、－１＜ａ＜１　で、　ｂ＝√（１－ａ²）　　（終）

　次の東北大学　理系（１９８０）の問題においても、ハミルトン・ケーリーの定理が活躍する。

問題５　　行列

　　

で表される１次変換は、放物線Ｃ：ｙ＝ｘ²－ｘ上の点をつねにＣ上の点にうつすとする。
（１）　ｃとｄをａを用いて表せ。
（２）　さらに、Ａ²－６Ａ＋８Ｅ＝Ｏ　であるとき、行列Ａを求めよ。
ただし、Ｅは単位行列で、Ｏは零行列である。

（解）（１）　ｙ＝ｘ²－ｘ上の点（ｔ，ｔ²－ｔ）は、１次変換Ａにより、

　（ｂｔ²＋（ａ－ｂ）ｔ，ｄｔ²＋（ｃ－ｄ）ｔ）

にうつされ、これがまたＣ上の点なので、

　ｄｔ²＋（ｃ－ｄ）ｔ＝（ｂｔ²＋（ａ－ｂ）ｔ）²－（ｂｔ²＋（ａ－ｂ）ｔ）

から、ｂ²＝０　、２ｂ（ａ－ｂ）＝０　、（ａ－ｂ）²－ｂ＝ｄ　、－（ａ－ｂ）＝ｃ－ｄ　なので、

　ｂ＝０　、ｄ＝ａ²　、ｃ＝ｄ－ａ＝ａ²－ａ

（２）　ハミルトン・ケーリーの定理より、　Ａ²－（ａ²＋ａ）Ａ＋ａ³Ｅ＝Ｏ

　Ａ²－６Ａ＋８Ｅ＝Ｏ　なので、　（ａ²＋ａ－６）Ａ＝（ａ³－８）Ｅ

ａ²＋ａ－６≠０　のとき、　Ａ＝ｋＥ　とおける。すなわち、ｋ²－６ｋ＋８＝０　から、ｋ＝２、４

　よって、Ａ＝２Ｅ　、４Ｅ

ａ²＋ａ－６＝０　のとき、　（ａ＋３）（ａ－２）＝０　から、　ａ＝－３、２

　ａ＝－３　のとき、ｂ＝０、ｃ＝１２、ｄ＝９

　ａ＝２　のとき、ｂ＝０、ｃ＝２、ｄ＝４　　（終）

　次の東北大学　文系（１９８０）の問題は、１次変換に関する問題である。

問題　　　行列

　

で表される１次変換は、平面上の点(１，２)、(２，１)をそれぞれ点 (５，０)、(４，３)にうつすと
する。
（１）　行列Ａを求めよ。
（２）　この１次変換によって、原点を中心とする半径１の円はどのような図形にうつされるか。

（解）（１）　条件より、　ａ＋２ｂ＝５、２ａ＋ｂ＝４　から、ａ＝１、ｂ＝２

　ｃ＋２ｄ＝０、２ｃ＋ｄ＝３　から、ｃ＝２、ｄ＝－１

　よって、

　　

（２）　行列Ａを分解して、

　　

　即ち、１次変換Ａにより、原点を中心とする半径１の円をｘ軸に関して対称移動し、さらに、

回転移動をし、相似比の相似拡大させたものが求める図形である。

　したがって、求める図形は、原点を中心とする半径の円である。　　（終）

（追記）　令和６年９月２３日付け

　次の東北大学　理系（１９８１）の問題も、経験値が必要な問題である。

問題５

　　
とする。

（１）　ＯでないMの行列Aに対して、AX＝Ｏを満たすMの行列Ｘを求めよ。ただし、Ｏは零行
　列である。

（２）
　　

　を満たすＭの行列Ｘを求めよ。

（解）（１）
　　　　

において、ｄｅｔＡ＝ａ²＋ｂ² となる。行列Aは、Ｏでないので、ａ、ｂの何れかは０でない。

よって、　ｄｅｔＡ＝ａ²＋ｂ²≠０となるので、Ａの逆行列Ａ^-1が存在する。

以上から、　Ｘ＝Ａ^-1Ｏ＝Ｏ　である。

（２）
　　

とおくと、題意より、成分計算をして、　ｘ（ｘ²－３ｙ²）＝０　、ｙ（３ｘ²－ｙ²）＝１

　ｘ＝０　のとき、　－ｙ³＝１　から、　ｙ＝－１

　ｘ²＝３ｙ²　のとき、　８ｙ³＝１　から、　ｙ＝１/２　で、　ｘ＝±/２

したがって、求めるＸは、

　　、　、　　（終）

（追記）　令和６年１０月２日付け

　次の東北大学　文系（１９８１）では、１次変換的取扱いである。

問題　　Ｏを原点とする平面の１次変換Ｆがあって、任意の点Ｐがうつされる点をＱとするとき、
　　線分OQの長さは線分OPの長さの２倍になっている。とくにＦは点(１，０)を点(，－１)に
　　うつす。このような１次変換Ｆを表す行列Aを求めよ。

（解）　求める行列Ａを

　　

とおくと、題意より、　ａ＝　、ｃ＝－１

また、　（ａｘ＋ｂｙ）²＋（ｃｘ＋ｄｙ）²＝４（ｘ²＋ｙ²）　より、　ｂ²＋ｄ²＝４　、ｂ－ｄ＝０

これらを解いて、　ｂ＝±１　、ｄ＝±　（複号同順）　　（終）

（追記）　令和６年１０月６日付け

　次の東北大学　文理共通（１９８２）の問題は、よく練られた良問だと思う。

問題１　　行列

　　　　（ａ、ｂ、ｃ、ｄは実数）

は、Ａ²＝Ａを満たす。

（１）　ｂｃ≧１/４のとき、ａとｄの値を求めよ。
（２）　さらに、０≦ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＜２として、行列Ａを求めよ。

（解）（１）　題意より、　ａ²＋ｂｃ＝ａ　、（ａ＋ｄ）ｂ＝ｂ　、（ａ＋ｄ）ｃ＝ｃ　、ｂｃ＋ｄ²＝ｄ

　ｂｃ≧１/４なので、　ｂ≠０　、ｃ≠０　より、　ａ＋ｄ＝１

　ｄ＝１－ａ　を、ｂｃ＋ｄ²＝ｄ　に代入して整理すると、　a²－ａ＋ｂｃ＝０

ここで、判別式をＤとおくと、ａは実数なので、　Ｄ＝１－４ｂｃ≧０　より、　ｂｃ≦１/４

　ｂｃ≧１/４なので、　ｂｃ＝１/４　より、　a²－ａ＋１/４＝０　よって、　ａ＝１/２　、ｄ＝１/２

（２）　ａ＋ｄ＝１　より、　－１≦ｂ＋ｃ＜１　である。ここで、ｂ＋ｃ＝ｍ　とおくと、ｂ、ｃは、

　２次方程式ｔ²－ｍｔ＋１/４＝０　の２つの実数解である。

よって、判別式をＤとおくと、　Ｄ＝ｍ²－１≧０　より、　ｍ≦－１　、ｍ≧１

　－１≦ｍ＜１　より、　ｍ＝－１　となる。　ｔ²＋ｔ＋１/４＝０　を解いて、ｂ＝ｃ＝－１/２

以上から、

　　　（終）

（追記）　令和６年１０月１４日付け

　次の東北大学　理系（１９８２）の問題は、固有値の計算を絡めた問題である。

問題５　　行列

　　

について、次の問に答えよ。

（１）　Ａｘ＝ｘ　ｘ＝^ｔ（ｘ，ｙ）　とｘ²＋ｙ²＝１とを同時に満たす点P(x，y) (x＞０)がある。ｂと
　　点Ｐの座標をａで表せ。

（２）　（１）のとき、さらに、ＡＸ＝ｔＸ　（ｔ≠１）　Ｘ＝^ｔ（Ｘ，Ｙ）　とＸ²＋Ｙ²＝１とを同時に満た
　　す点Ｑ(Ｘ，Ｙ) (Ｙ＞０) が存在するようなｔをａで表し、点Ｑの座標をａで表せ。

（３）　原点をＯとするとき、△ＯＰＱの面積を求めよ。

（解）（１）　条件より、　２ａｘ＋ｂｙ＝ｘ　、ｂｘ＋ａｙ＝ｙ　より、

　（２ａ－１）ｘ＋ｂｙ＝０　、ｂｘ＋（ａ－１）ｙ＝０

（ｘ，ｙ）≠（０，０）　なので、（２ａ－１）（ａ－１）－ｂ²＝０　即ち、　ｂ＝√｛（１－２ａ）（１－ａ）｝

このとき、　ｙ＝（１－２ａ）/ｂ・ｘ＝√｛（１－２ａ）/（１－ａ）｝・ｘ　より、

　ｘ²＋｛（１－２ａ）/（１－ａ）｝・ｘ²＝１　なので、　ｘ²＝（１－ａ）/（２－３ａ）

よって、　ｘ＝√｛（１－ａ）/（２－３ａ）｝　、ｙ＝√｛（１－２ａ）/（２－３ａ）｝　より、

　Ｐ（√｛（１－ａ）/（２－３ａ）｝，√｛（１－２ａ）/（２－３ａ）｝）

（２）　条件より、　２ａＸ＋ｂＹ＝ｔＸ　、ｂＸ＋ａＹ＝ｔＹ　より、

　（２ａ－ｔ）Ｘ＋ｂＹ＝０　、ｂＸ＋（ａ－ｔ）Ｙ＝０

（Ｘ，Ｙ）≠（０，０）　なので、（２ａ－ｔ）（ａ－ｔ）－ｂ²＝０　即ち、

　（２ａ－ｔ）（ａ－ｔ）－（２ａ－１）（ａ－１）＝０　より、　（ｔ－１）（ｔ－３ａ＋１）＝０

よって、ｔ≠１　なので、　ｔ＝３ａ－１

このとき、　（１－ａ）Ｘ＋ｂＹ＝０　、ｂＸ＋（１－２ａ）Ｙ＝０

　Ｘ＝－｛（１－２ａ）/ｂ｝Ｙ＝－√｛（１－２ａ）/（１－ａ）｝・Ｙ　より、

　（１－２ａ）/（１－ａ）・Ｙ²＋Ｙ²＝１　なので、　Ｙ²＝（１－ａ）/（２－３ａ）　より、

　Ｙ＝√｛（１－ａ）/（２－３ａ）｝　よって、　Ｘ＝－√｛（１－２ａ）/（２－３ａ）｝

したがって、Ｑ（－√｛（１－２ａ）/（２－３ａ）｝，√｛（１－ａ）/（２－３ａ）｝）

（３）　ＯＰ・ＯＱ＝０　より、　ＯＰ⊥ＯＱ

よって、△ＯＰＱ＝（１/２）・１・１＝１/２　　（終）

（追記）　令和６年１０月２０日付け

　次の東北大学　理系（１９８３）の問題は、固有ベクトルに関する問題である。

問題５　　行列

　　　

は、任意のベクトル　ｕ＝^ｔ（ｘｙ）　に対して、　Ａｕ・ｕ＝ｕ・ｕ＝（１/４）Ａｕ・Ａｕ　を満たす。

（１）　Ａを求めよ。
（２）　ｕ≠０　のとき、ｕとＡｕのなす角を求めよ。
（３）　Ａの定める１次変換によって、円弧｛（ｘ，ｙ）｜ｘ²＋ｙ²＝１、ｘ≧０、ｙ≦０｝はどのような
　　図形にうつされるか。図によって示せ。

（解）（１）　条件より、

　Ａｕ・ｕ＝ａｘ²＋（ｂ＋ｃ）ｘｙ＋ｄｙ²＝ｘ²＋ｙ²＝（１/４）（（ａｘ＋ｂｙ）²＋（ｃｘ＋ｄｙ）²）

から、ａ＝１、ｄ＝１、ｂ＋ｃ＝０、ａ²＋ｃ²＝４ａ、ａｂ＋ｃｄ＝０、ｂ²＋ｄ²＝４ｄ

よって、　ｂ²＝３、ｃ²＝３　で、ｂ＋ｃ＝０　から、　（ｂ，ｃ）＝（，－）、（－，）

したがって、求める行列Ａは、

　　　、

（２）　ｕとＡｕのなす角をθとおくと、｜Ａｕ｜＝２｜ｕ｜　なので、

　ｃｏｓθ＝Ａｕ・ｕ/（｜Ａｕ｜｜ｕ｜）＝｜ｕ｜²/（２｜ｕ｜²）＝１/２　より、　θ＝π/３

（３）　１次変換Ａは、

　

から、原点中心に－π/３回転させて、２倍に拡大させればよい。

　

から、原点中心にπ/３回転させて、２倍に拡大させればよい。

　以上から、Ａの定める１次変換によって、円弧｛（ｘ，ｙ）｜ｘ²＋ｙ²＝１、ｘ≧０、ｙ≦０｝のうつ

される図形は、下図の青太実線部分になる。

　　　　（終）

（追記）　令和６年１０月２８日付け

　次の東北大学　文理共通（１９８４）の問題は、退化が話題の問題である。

問題１　　平面上で、行列

　　

により与えられる１次変換をＦ、原点のまわりに－π/３回転する１次変換をＧとする。

（１）　平面上の任意の点がＦによって、ある直線Ｌ上の点にうつされることを示し、Ｌの方程
　　式を求めよ。

（２）　Ｐ(ａ，ｂ)をＬ上の点とする。合成写像ＦＧによって、Ｐにうつされる点全体のつくる図形
　　を求めよ。

（解）（１）　Ｆ：（ｘ，ｙ）→（Ｘ，Ｙ）　とすると、　Ｘ＝（３ｘ＋ｙ）/４　、Ｙ＝（ｘ＋ｙ）/４　から、

　Ｘ＝Ｙ　となるので、求める直線Ｌの方程式は、　ｘ＝ｙ

（２）　Ｐ(ａ，ｂ)をＬ上の点とすると、　ａ＝ｂ　が成り立つ。このとき、

　ＦＧ：（ｘ，ｙ）→（（/２）ｙ，（１/２）ｙ）＝(ａ，ｂ)　から、　ｙ＝２ｂ　、ｘは任意

よって、求める図形の方程式は、　ｙ＝２ｂ　で、これは、点（０，２ｂ）を通り、ｘ軸に平行な直

線である。　　（終）

（追記）　令和６年１１月２０日付け

　次の東北大学　理系（１９８６）の問題も、退化が話題の問題である。

問題３　　（１）　行列

　　

について、Ａ³＝Ａが成立するようにａ、ｂを定めよ。

（２）　（１）のａ、ｂに対して、１次変換ｘ’＝ａｘ＋ｂｙ　、ｙ’＝ｘ＋ａｙ　を考える。この１次変換
　による円ｘ²＋ｙ²＝１の像を図示せよ。

（解）（１）　ハミルトン・ケーリーの定理より、　Ａ²－２ａＡ＋（ａ²－ｂ）Ｅ＝０　（Ｅは単位行列）

すなわち、　Ａ²＝２ａＡ－（ａ²－ｂ）Ｅ　より、

　Ａ³＝２ａＡ²－（ａ²－ｂ）Ａ＝（３ａ²＋ｂ）Ａ－２ａ（ａ²－ｂ）Ｅ＝Ａ

よって、　（３ａ²＋ｂ－１）Ａ＝２ａ（ａ²－ｂ）Ｅ

Ａ≠ＫＥ　より、　３ａ²＋ｂ－１＝０　、ａ（ａ²－ｂ）＝０

ａ＞０　より、　ａ²＝ｂ　なので、　ａ²＝１/４　すなわち、　ａ＝１/２　、ｂ＝１/４

（２）　ｘ’＝（１/２）ｘ＋（１/４）ｙ　、ｙ’＝ｘ＋（１/２）ｙ　から、　ｙ’＝２ｘ’

よって、ｘ²＋ｙ²＝１上の点は、直線ｙ＝２ｘ上にうつされる。

ただし、　ｘ＝ｃｏｓθ、ｙ＝ｓｉｎθ　とおくと、

　ｘ’＝（１/２）ｃｏｓθ＋（１/４）ｓｉｎθ＝（/４）ｓｉｎ（θ＋α）　（ただし、ｔａｎα＝２）　より、

　－/４≦ｘ’≦/４

以上から、円ｘ²＋ｙ²＝１の像は、線分ｙ＝２ｘ　（－/４≦ｘ≦/４）　である。　　（終）

　　以下、工事中！