行列の対角化とか、Ｊｏｒｄａｎの標準形、２次曲線(曲面）の分類など、固有値、固有ベクトル
の活躍する場は数多い。このページでは、簡単に固有ベクトルを求める裏技を紹介したい。
定義 実数体Ｒ上の線形空間をＶとする。ＶからＶへの線形変換を表す行列Ａに対して、
Ａｘ＝ｋｘ （ｘは０以外）となるＲの要素ｋを、Ａの固有値、Vの要素ｘをｋに属するＡの
固有ベクトルという。
固有ベクトルを求める
行列の対角化とか、Ｊｏｒｄａｎの標準形、２次曲線(曲面）の分類など、固有値、固有ベクトル
の活躍する場は数多い。このページでは、簡単に固有ベクトルを求める裏技を紹介したい。
定義 実数体Ｒ上の線形空間をＶとする。ＶからＶへの線形変換を表す行列Ａに対して、
Ａｘ＝ｋｘ （ｘは０以外）となるＲの要素ｋを、Ａの固有値、Vの要素ｘをｋに属するＡの
固有ベクトルという。
| 例 |  |
に対して、固有方程式 ｄｅｔ（Ａ−ｋＥ）＝０ を解くと、ｋ＝１、５ |
| このとき、（Ａ−Ｅ）（Ａ−５Ｅ）＝ |  |
＝０ （但し、Ｅは単位行列） |
（Ａ−Ｅ)(Ａ−５Ｅ)＝（Ａ−Ｅ)(ｕ v) （ただし、ｕ、v は、Ａ−５Ｅ の列ベクトル）
右辺を計算して、 （Ａ−Ｅ)(Ａ−５Ｅ)＝（Ａ−Ｅ)(ｕ v)＝(（Ａ−Ｅ)ｕ （Ａ−Ｅ)ｖ)＝ ０
なので、 （Ａ−Ｅ)ｖ＝０ となり、 Ａ−５Ｅ の列ベクトル ｖ が、固有値 １ に属する
固有ベクトルになることが分かる。固有値 ５ に属する固有ベクトルの求め方も同様。
| したがって、、ｋ＝１に属する固有ベクトル（の一つ）は、 |  |
| ｋ＝５に属する固有ベクトル（の一つ）は、 |  |
（注意） 固有ベクトルを求める正統的な方法は、不定な連立方程式を解かなければならな
い。たとえば、上記の例では、ｋ＝１のとき、連立方程式
２ｘ＋３ｙ＝ｘ ， ｘ＋４ｙ＝ｙ の解は、ｘ＋３ｙ＝０ を満たす全てのｘ，ｙ
となる。
このことから、固有ベクトルが求められる。ｋ＝５のときも、同様。
正統的な解法に比べて、裏技の解法は、単に行列の成分計算に帰着されているので、容
易に、固有ベクトルが求められることに驚かされる。
（参考文献：宮原 繁 著 漸化式 （科学新興社モノグラフ））
（追記） 山梨県在住のＫさんという方からメールで質問を頂いた。
上記の裏技は、行列が３次や４次、・・・の場合も使えるのでしょうか？
もう随分昔に学んだ線形代数学の知識しかないので、確定的なことをいうだけの自信は
ありませんが、多分、同様に裏技が使えるはずです。
その根拠として、
（１） 任意の ｎ 次の正方行列 Ａ に対して、適当な正則行列 Ｐ を選ぶことにより、
Ｐ-1ＡＰを上三角行列に変形することができる。
このとき、対角成分は、Ａの固有値である。
（２） 行列 Ａ の固有多項式 ＦＡ(Ｘ)＝ｄｅｔ(ＸＥ−Ａ) （Ｅは単位行列） に対して、
ＦＡ(Ａ)＝Ｏ （Ｏ は零行列） が成り立つ。（Ｈａｍｉｌｔｏｎ−Ｃａｙｌｅｙ の定理）
があげられる。 （１）（２）より、行列 Ａ の固有値を α、β、・・・、γ とすれば、
（Ａ−αＥ)(Ａ−βＥ)・・・・・・（Ａ−γＥ)＝Ｏ
が成り立つ。
いくつか具体例を通して、固有値と固有ベクトルを裏技で求めてみよう。
裏技で得られたものが、本当に題意に適するかどうかは、読者の検証にまかせようと思う。
例 次の行列 Ａ の固有値と固有ベクトルを求めよ。
ｄｅｔ（Ａ−λＥ）＝−λ(λ−１)(λ−２)＝０ より、固有値は、 ０ ，１ ，２ の３個。
このとき、 Ａ(Ａ−Ｅ)（Ａ−２Ｅ)＝Ｏ が成り立ち、
したがって、上記行列の列ベクトルに注目すれば、
固有値 ０ に属する固有ベクトル（の一つ）は、 （ １ ， ２ ，−２
） である。
同様にして、
固有値 １ に属する固有ベクトル（の一つ）は、 （ １ ， ２ ，−１
） である。
固有値 ２ に属する固有ベクトル（の一つ）は、 （ ０ ， １ ，−１
） である。
例 次の行列 Ａ の固有値と固有ベクトルを求めよ。
ｄｅｔ（Ａ−λＥ）＝(λ−３)(λ2−λ＋１）＝０ より、
固有値は、 ３ ，α ，β の３個。
ただし、α＝（１＋
ｉ）/２ 、β＝（１−ｉ）/２ である。 （ ｉ は虚数単位）
このとき、 (Ａ−３Ｅ)(Ａ−αＥ)（Ａ−βＥ)＝(Ａ−３Ｅ)(Ａ2−Ａ＋Ｅ）＝Ｏ が成り立ち、
したがって、上記行列の列ベクトルに注目すれば、
固有値 ３ に属する固有ベクトル（の一つ）は、 （ −１ ， ４ ，２
） である。
同様にして、
(Ａ−αＥ)(Ａ−３Ｅ)（Ａ−βＥ)＝(Ａ−αＥ)（Ａ2−（β＋３）Ａ＋３βＥ）＝Ｏ が成り立ち、
したがって、上記行列の列ベクトルに注目すれば、
固有値 α に属する固有ベクトル（の一つ）は、
（ ２ ， −４＋２ｉ ，１−ｉ ）
である。同様にして、固有値 β に属する固有ベクトル（の一つ）は、
（ ２ ， −４−２ｉ ，１＋ｉ ）
である。
上記で述べたことが、Ｋさんの質問の趣旨に合致していることを祈って筆をおく。
（追記） 平成２６年６月２４日付け
この頁の冒頭で、固有ベクトルを簡便に求める方法を紹介したが、行列の対角化を用いて、
いろいろな応用に活用できることを次の書籍で学んだ。
橋口 正 著 「行列の対角化の『簡便法』とその応用について」
（数研通信 Ｎｏ．７８ （数研出版））
それによると、行列
の固有値を、α、β（ただし、α、βは０でない相異なる実数）とすれば、
| と置くことにより、 Ｐ-1ＡＰ＝ |  |
と、行列Ａを対角化することができる。 |
すなわち、固有値α、βのそれぞれに属する固有ベクトルを ｕ、ｖ とすると、
Ｐ＝（ｖ ｕ） ｖ＝ｔ（ａ−α ｃ） 、 ｕ＝ｔ（ｂ ｄ−β） （ｔ は転置行列を表す）
と書けることを意味する。
| 例 | |
に対して、固有方程式 ｄｅｔ（Ａ−ｋＥ）＝０ を解くと、ｋ＝１、５ |
このとき、上記の公式によれば、
固有値５に属する固有ベクトルｖは、ｖ＝ｔ（２−１ １）＝ｔ（１ １）
固有値１に属する固有ベクトルｕは、ｕ＝ｔ（３ ４−５）＝ｔ（３ −１）
であることが分かる。
証明は、冒頭で述べたことから明らかだろう。ここで、Ｐは次の豊かな性質を持つ。
Ｐ2＝−（ｄｅｔＰ）Ｅ （Ｅは単位行列） なので、 Ｐ-1ＡＰ＝ＰＡＰ-1 が成り立ち、
| ＰＡ | ＝ | |
Ｐ |
（証明） α、βは固有方程式 ｘ2−（ａ＋ｄ）ｘ＋ａｄ−ｂｃ＝０ の解なので、解と係数の関係
より、
α＋β＝ａ＋ｄ 、 αβ＝ａｄ−ｂｃ
よって、 Ｔｒ（Ｐ）＝ａ−α＋ｄ−β＝０ なので、ハミルトン・ケーリーの定理より、
Ｐ2−Ｔｒ（Ｐ）Ｐ＋ｄｅｔ（Ｐ）Ｅ＝０ すなわち、 Ｐ2＋ｄｅｔ（Ｐ）Ｅ＝０
したがって、 Ｐ2＝−ｄｅｔ（Ｐ）Ｅ が成り立つ。このとき、 Ｐ-1＝−（１/ｄｅｔ（Ｐ））Ｐ である。
よって、 Ｐ-1ＡＰ＝−（１/ｄｅｔ（Ｐ））ＰＡ・（−ｄｅｔ（Ｐ））Ｐ-1＝ＰＡＰ-1 が成り立つ。
| このとき、 | ＰＡ | ＝ | |
Ｐ | となる。 （証終） |
上記の公式が、いろいろな応用の基本となる。
例 連立型の漸化式
ｘ1＝２ 、ｙ1＝１ 、ｘｎ+1＝２ｘｎ＋３ｙｎ 、ｙｎ+1＝ｘｎ＋４ｙｎ （ｎ＝１、２、・・・）
について、通常は、行列の対角化からの行列のｎ乗計算で求めるのが定石であろう。
上記の公式を用いると、やや気が重い行列のｎ乗計算をしなくとも軽妙に一般項が求めら
れる。
|
このとき、Ｐ＝（ｖ ｕ） ｖ＝ｔ（１ １）、ｕ＝ｔ（３ −１） により、
| ＰＡ | ＝ | |
Ｐ より、ＰＸｎ+1＝ | |
ＰＸｎ |
が成り立つので、 ｘｎ+1＋３ｙｎ+1＝５（ｘｎ＋３ｙｎ） 、ｘｎ+1−ｙｎ+1＝ｘｎ−ｙｎ ・・・ (*) が直ちに
得られる。これより、 ｘｎ＋３ｙｎ＝５ｎ-1（ｘ1＋３ｙ1）＝５ｎ 、ｘｎ−ｙｎ＝ｘ1−ｙ1＝１ なので、
ｘｎ＝（５ｎ＋３）/４ 、 ｙｎ＝（５ｎ−１）/４
（コメント） この公式を用いると、要の関係式(*)が暗算で求められますね！感動しました。
以下、工事中！