階乗、ガウスの記号、ガンマ関数、％、・・・）を用い、かつ、数字を並べることも許容して、０
以上の数を作るというパズルがある。
例 ２重階乗 ・・・ ｎから一つおきの数の積）
（例） ４
ガウスの記号 ・・・ ｎ≦Ｘ＜ｎ＋１ ⇔ ［Ｘ］＝ｎ （例） ［
］＝１ガンマ関数 ・・・ Γ(ｎ＋１)＝ｎ！ （例） Γ（４）＝３！＝６
％ ・・・ （例） ４％＝０．０４
「Four 4s」と呼ばれる問題は、元は、1881年12月30日、イギリスの数学雑誌「Knowledge」
が提出した問題が最初と言われる。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年８月３１日付け）
「４つの４」で、１から４万までを作った PDF がありました。
The Definitive Four Fours Answer Key David A. Wheeler 18 June 2002
０〜９までは、小学生レベルで容易だろう。
０＝４４−４４
１＝４４÷４４
２＝４÷４＋４÷４
３＝（４＋４＋４）÷４
４＝４＋（４−４）×４
５＝（４×４＋４）÷４
６＝４＋（４＋４）÷４
７＝４４÷４−４
８＝４＋４＋４−４
９＝４＋４＋４÷４
（コメント） 上記のＰＤＦでは、 ６＝４×．４＋４．４ とか ８＝４＋４．４−．４ と結構苦労
しているような感じですね！
１０以降になると、ありとあらゆる手練手管が必要となる。
１０＝（４４−４）÷４＝√４＋√４＋√４＋４
１１＝４４÷√（４×４） ・・・ 少し難しいが、 １１＝４÷．４＋４÷４
１２＝（４４＋４）÷４
１３＝（４−．４）÷．４＋４ ・・・ 一番難しいかな。この式を思いつくのは「神」のみですね！
１３＝４４÷４＋√４ の方が自然な発想かな？
１３＝４！÷√４＋４÷４ もありかな。
１４＝４＋４＋４＋√４
１５＝４４÷４＋４
１６＝４＋４＋４＋４
１７＝４×４＋４÷４
１８＝４４÷√４−４
１９＝４！−４−４÷４
２０＝（４＋４÷４）×４＝４!!＋４＋４＋４
２１＝４！−√４−４÷４
２２＝４！−（４＋４）÷４
２３＝Γ（４）×４−４÷４
２４＝４！＋（４−４）×４
２５＝（Γ（Γ（４））−４）÷４−４
２６＝４！＋（４＋４）÷４
２７＝（Γ（Γ（４））＋４）÷４−４
２８＝４!!＋４×４＋４
２９＝Γ（Γ（４））÷４−４÷４
３０＝Γ（Γ（４））÷４＋４−４
３１＝Γ（Γ（４））÷４＋４÷４
３２＝Γ（４）×４＋４＋４＝４！＋４!!＋４−４
３３＝（Γ（Γ（４））＋４）÷４＋√４
３４＝４！＋４＋４＋√４
３５＝（Γ（Γ（４））＋４）÷４＋４
３６＝４！＋４＋４＋４＝４４−４−４
３７＝Γ（４）^√４＋４÷４
３８＝（４!!−．４）÷．４×√４＝４！＋４×４−√４
３９＝４！＋（４＋４÷４）!!
４０＝４!!×４＋４＋４
４１＝Γ（４）!!−Γ（４）−４÷４
４２＝（Γ（４）＋４）×４＋√４
４３＝４４−４÷４
４４＝４４＋４−４
４５＝４４＋４÷４
４６＝４４−√４＋４
４７＝Γ（４）×４!!−４÷４
４８＝４４＋√４＋√４＝４!!×４＋４×４＝Γ（４）×４!!＋４−４＝（４＋√４）!!＋４−４
４９＝Γ（４）×４!!＋４÷４
５０＝４４＋√４＋４
５１＝Γ（４）!!＋４−４÷４
５２＝Γ（４）^√４＋４×４＝Γ（４）!!＋４＋４−４
５３＝Γ（４）!!＋４＋４÷４
５４＝Γ（４）÷．４−Γ（Γ４））＋４！
５５＝Γ（４）!!＋４!!−４÷４
５６＝４×（４×４−√４）
５７＝Γ（４）!!＋４!!＋４÷４
５８＝Γ（Γ（４））÷√４−４÷√４
５９＝Γ（Γ（４））÷√４−４÷４
６０＝Γ（Γ（４））÷√４＋４−４＝（４＋４）^√４−４
６１＝（４!!）^√４−Γ（４）÷√４
６２＝（４＋４）^√４−√４
６３＝４!!×Γ（４）＋Γ（４）÷．４＝（４!!）^√４−４÷４
６４＝４^（４−４÷４）
６５＝（４!!）^√４＋４÷４
６６＝（４＋４）^√４＋√４
６７＝（４!!）^√４＋Γ（４）÷√４
６８＝（４＋４）^√４＋４
６９＝Γ（４）!!＋４！−Γ（４）÷√４
７０＝（Γ（４）^√４）×√４−√４
７１＝Γ（Γ（４））−Γ（４）!!−４÷４
７２＝４！＋Γ（４）!!＋４−４＝Γ（Γ（４））−Γ（４）!!＋４−４
７３＝Γ（Γ（４））−Γ（４）!!＋４÷４
７４＝（Γ（４）÷４％−√４）÷√４
７５＝４！＋Γ（４）!!＋Γ（４）÷√４
７６＝（Γ（４）÷４％＋√４）÷√４
７７＝Γ（Γ（４））−Γ（４）!!＋√４÷．４＝（Γ（４）÷４％＋４）÷√４
７８＝４!!×Γ（４）＋４！＋Γ（４）
７９＝（４!!）^√４＋√４÷．４
８０＝Γ（４）!!＋Γ（４）^√４−４
８１＝（４!!＋４÷４）^√４
８２＝Γ（Γ（４））−Γ（４）^√４−√４
８３＝Γ（Γ（４））−Γ（４）^√４−Γ（√４）
８４＝４４×√４−４
８５＝４÷４％−Γ（４）÷．４
８６＝Γ（４）!!＋Γ（４）^√４＋√４＝４４×√４−√４
８７＝４４×√４−Γ（√４）
８８＝４４＋４４＝Γ（４）!!＋Γ（４）^√４＋４
８９＝（Γ（４）^√４）÷．４−Γ（√４）
９０＝４４×√４＋√４＝（Γ（４）÷．４）×（４＋√４）
９１＝（Γ（４）^√４）÷．４＋Γ（√４）
９２＝（Γ（４）^√４）÷．４＋√４
９３＝Γ（４）!!×√４−Γ（４）÷√４
９４＝（Γ（４）^√４）÷．４＋４
９５＝Γ（４）!!×√４−４÷４
９６＝Γ（４）!!×√４＋４−４
９７＝Γ（４）!!×√４＋４÷４
９８＝（４!!−Γ（４））^√４×√４
９９＝Γ（４）!!×√４＋Γ（４）÷√４
１００＝（４!!÷．４）×（√４÷．４）
１０１＝４!!÷４％÷√４＋Γ（４）
１０２＝４!!÷４％÷√４＋√４
１０３＝Γ（４）!!×√４＋Γ（４）＋Γ（√４）
１０４＝４!!÷４％÷√４＋４＝４４＋４！÷．４
１０５＝Γ（Γ（４））−４!!−Γ（４）−Γ（√４）
１０６＝Γ（Γ（４））−４^√４＋√４
１０７＝Γ（Γ（４））−４!!−Γ（４）＋Γ（√４）
１０８＝Γ（Γ（４））−４−４−４
１０９＝Γ（Γ（４））−４÷．４−Γ（√４）
１１０＝４！÷．４＋√４÷４％＝（４＋Γ（√４））！−４÷．４
１１１＝Γ（Γ（４））−４÷．４＋Γ（√４）
１１２＝Γ（Γ（４））−４÷．４＋√４
１１３＝Γ（Γ（４））−４−４＋Γ（√４）＝Γ（Γ（４））−（４！＋４）÷４＝［（４！＋４）/４］!!＋４!!
１１４＝（４!!）^√４＋√４÷４％＝Γ（Γ（４））−４÷．４＋４
１１５＝Γ（Γ（４））−４−４÷４
１１６＝（４＋４÷４）！−４
１１７＝Γ（Γ（４））−４＋４÷４
１１８＝（４＋４÷４）！−√４
１１９＝（４＋４÷４）！−Γ（√４）
１２０＝（４＋４÷４）！×Γ（√４）
１２１＝（４＋４÷４）！＋Γ（√４）
１２２＝（４！÷．４＋Γ（√４））×√４
１２３＝Γ（Γ（４））＋Γ（√４）＋Γ（√４）＋Γ（√４）
１２４＝（Γ（Γ（４））÷４＋Γ（√４））×４
１２５＝Γ（Γ（４））＋４＋４÷４
１２６＝（４＋４÷４）！＋Γ（４）
１２７＝Γ（Γ（４））＋４＋√４＋Γ（√４）
１２８＝（Γ（４）^√４−４）×４
１２９＝Γ（Γ（４））＋４＋４＋Γ（√４）
１３０＝Γ（Γ（４））＋４＋４＋√４
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ラウズ・ポール（1891年）は、１〜１０００までの数のうち、４つの４で表せないものを列挙し
ている。
１１３、１５７、８７８、８８１、８９３、９１７、９４３、９４６、９４７ （以上、９個）
（コメント） ポールの、４つの４で表せないというのは、四則演算（＋、−、×、÷）と小数点、
括弧（）、冪乗、平方根、階乗、循環小数の循環節を表す点の７種類に限定した
場合のようだ。
多重階乗、ガウスの記号、Γ関数、％、Σ（その数までの和）などが用いられることもあ
る。そうすれば、ポールの、４つの４で表せないとしたものが、実は表せるようになることも
ある。
例えば、 １１３＝Γ（Γ（４））−（４！＋４）÷４＝［（４！＋４）/４］!!＋４!! などが知られて
いる。
実際に、 Γ（Γ（４））−（４！＋４）÷４＝Γ（６）−２８/４＝１２０−７＝１１３
［（４！＋４）/４］!!＋４!!＝７!!＋４!!＝７・５・３・１＋４・２＝１０５＋８＝１１３
である。また、１５７も
１５７＝Γ（４）÷４％＋Γ（４）＋Γ（√４）
と書ける。
上記の２３〜１３０の計算では、だいぶガンマ関数のお世話になったが、ガンマ関数を用い
ない表現って可能なんだろうか？これは今後の研究課題とすることにしよう。
ここで、対数を用いれば、あらゆる数が、４つの「４」だけで表せることが知られている。
ｌｏｇ（ｌｏｇ4√4）log4√・・・(ｎ個)・・・√4＝ｎ
これは凄い！ですね。対数を用いる解法は、グラハム（1968年）が「数学の驚異的な解法」
で示したのが最初と言われる。
上式の左辺は、少し計算すると、 ｌｏｇ1/2 （１/２）ｎ となり、だから、ｎ となる。
例えば、ｎ＝２の場合、
ｌｏｇ（ｌｏｇ4√4）log4√√4＝ｌｏｇ（1/2）（１/２）2＝２
Dengan kesaktian Indukmuさんからのコメントです。（令和３年３月２３日付け）
何気なくGoogle検索をしましたところ…なんと！！！
（１） ４つの４で、全ての有理数が表現できる
（２） ３つの４で、全ての整数が表現できる
とありました。
（２）の式は私には検証できませんでした。（何故か文字化けしてしまいまして）
らすかるさんからのコメントです。（令和３年３月２３日付け）
log√4 log√4 √√…(n+1個)…√4＝−ｎ
なので、３個で任意の整数が表せますね。
なお、logと√の他に、exp、sin、tan、cot、sec、arccos、arctanを使ってよければ、４は１個
だけで十分です。
（コメント） 対数の性質を用いれば、
ｎ＝−log√4 log4 √√…(n個)…√4
とも書けますね！
Dengan kesaktian Indukmuさんからのコメントです。（令和３年３月２３日付け）
らすかるさん、御親切、まことに有り難うございます。見れなくて残念に思っていました。
なお、ＷolframＡlpha で使える関数で次のようなものがあったことを思いだしました。ズル
いです。
ｎ＋１＝Ceiling[Ln[Ceiling[Exp[n]]]]
ｎ＝Floor[Ln[Floor[Exp[n+1]]]]
こちらもズルいですが、64より1だけ小さい数を…。
６３＝Exsec[Arccos[Secant[Arccos[64]]]]
そして、今見返したら何をしているのかサッパリ思い出せないのが以下です。
BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[Floor
[Ln[Floor[Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]]]]]]]]
らすかるさんからのコメントです。（令和３年３月２４日付け）
地道に内側から見ていけばわかりますね。
Exp[0]=1
Exp[Exp[0]]=e
Floor[Exp[Exp[0]]]=[2.718…]=2
Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]=2^2=4
Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]=4^3=64
Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]=e^64
Floor[Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]
=[e^64]=[6235149080811616882909238708.928469…]
=6235149080811616882909238708
Ln[Floor[Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]]
=ln6235149080811616882909238708
Floor[Ln[Floor[Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]]]
=[ln6235149080811616882909238708]
=[63.999999999999999999999999999851…]
=63
BitShiftLeft[Floor[Ln[Floor[Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]]]]
=63×2=126
BitShiftLeft[BitShiftLeft[Floor[Ln[Floor[Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]]]]]
=126×2=252
BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[Floor[Ln[Floor
[Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]]]]]]
=252×2=504
BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[Floor[Ln[Floor
[Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]]]]]]]
=504×2=1008
BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[Floor[Ln[Floor
[Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]]]]]]]]
=1008×2=2016
というわけで、多分2016年に作られた「今年の西暦を「0」一つだけで表す方法」でしょうね。
Dengan kesaktian Indukmuさんからのコメントです。（令和３年３月２５日付け）
らすかるさん、有り難うございます。謎が氷解いたしました。数年前にいじくりまわしていた
私の記憶がスッポリ落ちておりました…。お恥ずかしいことですが、らすかるさんのお陰で爽
快な気持ちです。
前回の私の投稿で
63=Exsec[Arccos[Secant[Arccos[64]]]]
とありました。我ながらなぜ特定の数字の例をメモしていたのか不審だったのですが、どうし
ても多重関数を通して、64から63を作りたかったらしいのでした。
63からなら、2016を倍々計算で作れる、64も2から倍々計算で作れる、ミッシングリンクとし
て 64 から 63 を作りたかったということだったのでした、どうやら。
余談ですが散逸していた当時のメモを探し回ったところ、以下のようなものをみつけました。
7=-Floor[-√√√√((Floor[√√√((-Floor[-√√√√√((Floor[√√√((-Floor[-√√((Floor[√√√(11!)])!)])!)])!)])!)])!)]
Floor関数はガウス記号で書き直せますので、〈11と、英字を明示的には含まない数学記号
とで 7を作れ〉という、【セブンイレブン問題】に挑戦していた模様です。
らすかるさんからのコメントです。（令和３年３月２５日付け）
〈11と、英字を明示的には含まない数学記号とで 7を作れ〉
[√(11!!!!!!)]=7 ともできます。
（!!!!!!は6重階乗なので、11!!!!!!=11×5=55 です。）
でも、「英字を明示的に含まない数学記号」をすべて使ってよいのなら、
11-(π+π+π+π)/π=7
といったわかりやすい式もできますね。
Dengan kesaktian Indukmuさんからのコメントです。（令和３年３月２５日付け）
多重階乗ですか、それにしても式が短いですね。横綱ですね。
subfactorial (下位階乗・左階乗)を試してみました。
ｎ の subfactorial を !n で表記することもありますので、
√(√(√(!11)))＝√(√(√(14684570)))≒7.86787867
から、 7 = [√(√(√(!11)))] となりました。
14字かかりましたので らすかるさんの 13字にはかなわず、大関とさせてください。
（コメント） 左階乗は初見なので、いろいろ調べてみました。
ｎ個の物を、全ての物が元の位置にはないように並べ替える方法の数を左階乗という。
所謂、完全順列のことである。
左階乗 ！ｎ＝ｎ！Σk=0n （-１）ｋ/ｋ！ で求められる。
例 ！１＝０ 、！２＝１ 、！ｎ＝（ｎ−１）（！（ｎ−１）＋！（ｎ−２））
第３式で、ｎ＝２ とおくと、！２＝！１＋！０ すなわち、１＝０＋！０ となり、！０＝１ が
成り立つ。
このとき、
！１１
＝１１！（１/０！−１/１！＋１/２！−１/３！＋１/４！−１/５！
＋１/６！−１/７！＋１/８！−１/９！＋１/１０！−１/１１！）
＝３９９１６８００−３９９１６８００＋１９９５８４００−６６５２８００
＋１６６３２００−３３２６４０＋５５４４０−７９２０＋９９０−１１０＋１１−１
＝１４６８４５７０
である。
上記では、！１１を直接計算で求めたが、漸化式を用いても計算できる。
！１＝０
！２＝１
！３＝２（１＋０）＝２
！４＝３（２＋１）＝９
！５＝４（９＋２）＝４４
！６＝５（４４＋９）＝２６５
！７＝６（２６５＋４４）＝１８５４
！８＝７（１８５４＋２６５）＝１４８３３
！９＝８（１４８３３＋１８５４）＝１３３４９６
！１０＝９（１３３４９６＋１４８３３）＝１３３４９６１
！１１＝１０（１３３４９６１＋１３３４９６）＝１４６８４５７０
これはこれで大変かな？
DD++ さんから問題をいただきました。（令和３年１１月１０日付け）
4 を 4 つ使って、円周率πを作ってください。
但し、使ってよい記号は、括弧と四則演算と巾乗と平方根と階乗（ ( ) + - / * ^ √ ! ）です。
（→ 参考：「小町算？」）
らすかるさんからのコメントです。（令和３年１１月１２日付け）
普通に考えると、できそうにないので、
((√4)(√4/4)!)^(√4)
でしょうか。（→ 計算結果）
DD++ さんからのコメントです。（令和３年１１月１２日付け）
らすかるさん、正解です。なお、((√4/4)!)^(√4)*4 だと根号を減らせます。
（コメント） ガンマ関数を用いた「階乗の一般化」で、
が成り立ちます。この式を変形すれば、 π＝｛２×（１/２）！｝2 なので、４を４つ使うように
調整すれば、 π＝｛√４×（√４/４）！｝√４ で、らすかるさんの式になりますね！でも、こ
の式を思いつくのは難しいと思います。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年８月２８日付け）
「４つの４」のルールに準じて、「２つの４」で１１を作ることを試みると痺れると思います。
むろん、解はあります。
らすかるさんからのコメントです。（令和４年８月２９日付け）
多分もっとよい解があると思いますが、とりあえず、
11=(4!)!!!!!!!!!!!!!/(4!) （分子は13重階乗）
(追記) ガウス記号を使うとたくさん．．．。
11=[4!!*log4]
11=4-[tan(4!!)]
11=[4+exp(√4)]
11=[-exp(√4)/cos(4)]
11=[(4!)^(-sin(4))]
（コメント） (4!)!!!!!!!!!!!!!=24*11 なので、 (4!)!!!!!!!!!!!!!/(4!)=11ですか！
これは確かに痺れますね．．．。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年８月２９日付け）
いつもいつもお世話になっております。有り難うございます。
２つの４で１１を作るというネタのもとは、上記の次の式から導いたものです。
１２３＝Γ（Γ（４））＋Γ（√４）＋Γ（√４）＋Γ（√４）
この式をみて下記を導いた次第です。
１１ = √(１+５！) = √(Γ(√(４))+Γ(Γ(４)))
※１３重階乗を用いたらすかるさんによる解にはビックリしました…… 以上です。
（コメント） なるほど！ １１＝√１２１＝√（１＋１２０） と考え、１は、Γ（√４）＝Γ（２）＝１
に、１２０は、５！と考え、 ５！＝Γ（６） なので、後は、６＝３！＝Γ（４）と置き換
えれば済むんですね。確かに、この解も痺れますね！
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年９月２４日付け）
πを表す式として、
らすかるさんが ((√4)(√4/4)!)^(√4) 、DD++さんが ((√4/4)!)^(√4)*4
と上記で御提示済みです。
「数学の部屋BBS」No.23155 9/11-22:34 で、らすかるさんがレスをおつけになっていらした
スレッドにて提示されていた e を表す式がとても興味深かったのでタレコミます。
√√((-1)^(-√(-((1/2)!)^(-4)))) ・・・ (*)
すなわち、
下位階乗（左階乗）で １ を表し、平方根で 2/4 を表せば、「４つの４」で e を．．．。
なお、(*)は、 Google電卓でも検算できます。
恐らく、出発点はオイラーの等式 e^(i*π)+1=0 ですね。 多価とか主値とかきちんと始末し
ておきたいところではありますが、とても驚いております。
（コメント） 左階乗で、１を！２と表せば、
これなら、４つの４で ｅ が表せそうですね！
以下、工事中！
