・4つの4                               S.H 氏

 4つの「4」とありとあらゆる数学の記号(四則演算、小数点、べき乗、平方根、階乗、2重
階乗、ガウスの記号、ガンマ関数、%、・・・)を用い、かつ、数字を並べることも許容して、0
以上の数を作るというパズルがある。

例 2重階乗 ・・・ nから一つおきの数の積 (例) 4!!=4・2=8、

  ガウスの記号 ・・・ n≦X<n+1 ⇔ [X]=n (例) []=1

  ガンマ関数 ・・・ Γ(n+1)=n! (例) Γ(4)=3!=6

  % ・・・ (例) 4%=0.04


 「Four 4s」と呼ばれる問題は、元は、1881年12月30日、イギリスの数学雑誌「Knowledge」
が提出した問題が最初と言われる。


 Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。(令和4年8月31日付け)

 「4つの4」で、1から4万までを作った PDF がありました。

 The Definitive Four Fours Answer Key  David A. Wheeler  18 June 2002


 0〜9までは、小学生レベルで容易だろう。

 0=44−44
 1=44÷44
 2=4÷4+4÷4
 3=(4+4+4)÷4
 4=4+(4−4)×4
 5=(4×4+4)÷4
 6=4+(4+4)÷4
 7=44÷4−4
 8=4+4+4−4
 9=4+4+4÷4


(コメント) 上記のPDFでは、 6=4×.4+4.4 とか 8=4+4.4−.4 と結構苦労
      しているような感じですね!


 10以降になると、ありとあらゆる手練手管が必要となる。

 10=(44−4)÷4=√4+√4+√4+4
 11=44÷√(4×4) ・・・ 少し難しいが、 11=4÷.4+4÷4
 12=(44+4)÷4
 13=(4−.4)÷.4+4 ・・・ 一番難しいかな。この式を思いつくのは「神」のみですね!
                    13=44÷4+√4 の方が自然な発想かな?
                    13=4!÷√4+4÷4 もありかな。
 14=4+4+4+√4
 15=44÷4+4
 16=4+4+4+4
 17=4×4+4÷4
 18=44÷√4−4
 19=4!−4−4÷4
 20=(4+4÷4)×4=4!!+4+4+4
 21=4!−√4−4÷4
 22=4!−(4+4)÷4
 23=Γ(4)×4−4÷4
 24=4!+(4−4)×4
 25=(Γ(Γ(4))−4)÷4−4
 26=4!+(4+4)÷4
 27=(Γ(Γ(4))+4)÷4−4
 28=4!!+4×4+4
 29=Γ(Γ(4))÷4−4÷4
 30=Γ(Γ(4))÷4+4−4
 31=Γ(Γ(4))÷4+4÷4
 32=Γ(4)×4+4+4=4!+4!!+4−4
 33=(Γ(Γ(4))+4)÷4+√4
 34=4!+4+4+√4
 35=(Γ(Γ(4))+4)÷4+4
 36=4!+4+4+4=44−4−4
 37=Γ(4)^√4+4÷4
 38=(4!!−.4)÷.4×√4=4!+4×4−√4
 39=4!+(4+4÷4)!!
 40=4!!×4+4+4
 41=Γ(4)!!−Γ(4)−4÷4
 42=(Γ(4)+4)×4+√4
 43=44−4÷4
 44=44+4−4
 45=44+4÷4
 46=44−√4+4
 47=Γ(4)×4!!−4÷4
 48=44+√4+√4=4!!×4+4×4=Γ(4)×4!!+4−4=(4+√4)!!+4−4
 49=Γ(4)×4!!+4÷4
 50=44+√4+4
 51=Γ(4)!!+4−4÷4
 52=Γ(4)^√4+4×4=Γ(4)!!+4+4−4
 53=Γ(4)!!+4+4÷4
 54=Γ(4)÷.4−Γ(Γ4))+4!
 55=Γ(4)!!+4!!−4÷4
 56=4×(4×4−√4)
 57=Γ(4)!!+4!!+4÷4
 58=Γ(Γ(4))÷√4−4÷√4
 59=Γ(Γ(4))÷√4−4÷4
 60=Γ(Γ(4))÷√4+4−4=(4+4)^√4−4
 61=(4!!)^√4−Γ(4)÷√4
 62=(4+4)^√4−√4
 63=4!!×Γ(4)+Γ(4)÷.4=(4!!)^√4−4÷4
 64=4^(4−4÷4)
 65=(4!!)^√4+4÷4
 66=(4+4)^√4+√4
 67=(4!!)^√4+Γ(4)÷√4
 68=(4+4)^√4+4
 69=Γ(4)!!+4!−Γ(4)÷√4
 70=(Γ(4)^√4)×√4−√4
 71=Γ(Γ(4))−Γ(4)!!−4÷4
 72=4!+Γ(4)!!+4−4=Γ(Γ(4))−Γ(4)!!+4−4
 73=Γ(Γ(4))−Γ(4)!!+4÷4
 74=(Γ(4)÷4%−√4)÷√4
 75=4!+Γ(4)!!+Γ(4)÷√4
 76=(Γ(4)÷4%+√4)÷√4
 77=Γ(Γ(4))−Γ(4)!!+√4÷.4=(Γ(4)÷4%+4)÷√4
 78=4!!×Γ(4)+4!+Γ(4)
 79=(4!!)^√4+√4÷.4
 80=Γ(4)!!+Γ(4)^√4−4
 81=(4!!+4÷4)^√4
 82=Γ(Γ(4))−Γ(4)^√4−√4
 83=Γ(Γ(4))−Γ(4)^√4−Γ(√4)
 84=44×√4−4
 85=4÷4%−Γ(4)÷.4
 86=Γ(4)!!+Γ(4)^√4+√4=44×√4−√4
 87=44×√4−Γ(√4)
 88=44+44=Γ(4)!!+Γ(4)^√4+4
 89=(Γ(4)^√4)÷.4−Γ(√4)
 90=44×√4+√4=(Γ(4)÷.4)×(4+√4)
 91=(Γ(4)^√4)÷.4+Γ(√4)
 92=(Γ(4)^√4)÷.4+√4
 93=Γ(4)!!×√4−Γ(4)÷√4
 94=(Γ(4)^√4)÷.4+4
 95=Γ(4)!!×√4−4÷4
 96=Γ(4)!!×√4+4−4
 97=Γ(4)!!×√4+4÷4
 98=(4!!−Γ(4))^√4×√4
 99=Γ(4)!!×√4+Γ(4)÷√4
 100=(4!!÷.4)×(√4÷.4)
 101=4!!÷4%÷√4+Γ(4)
 102=4!!÷4%÷√4+√4
 103=Γ(4)!!×√4+Γ(4)+Γ(√4)
 104=4!!÷4%÷√4+4=44+4!÷.4
 105=Γ(Γ(4))−4!!−Γ(4)−Γ(√4)
 106=Γ(Γ(4))−4^√4+√4
 107=Γ(Γ(4))−4!!−Γ(4)+Γ(√4)
 108=Γ(Γ(4))−4−4−4
 109=Γ(Γ(4))−4÷.4−Γ(√4)
 110=4!÷.4+√4÷4%=(4+Γ(√4))!−4÷.4
 111=Γ(Γ(4))−4÷.4+Γ(√4)
 112=Γ(Γ(4))−4÷.4+√4
 113=Γ(Γ(4))−4−4+Γ(√4)=Γ(Γ(4))−(4!+4)÷4=[(4!+4)/4]!!+4!!
 114=(4!!)^√4+√4÷4%=Γ(Γ(4))−4÷.4+4
 115=Γ(Γ(4))−4−4÷4
 116=(4+4÷4)!−4
 117=Γ(Γ(4))−4+4÷4
 118=(4+4÷4)!−√4
 119=(4+4÷4)!−Γ(√4)
 120=(4+4÷4)!×Γ(√4)
 121=(4+4÷4)!+Γ(√4)
 122=(4!÷.4+Γ(√4))×√4
 123=Γ(Γ(4))+Γ(√4)+Γ(√4)+Γ(√4)
 124=(Γ(Γ(4))÷4+Γ(√4))×4
 125=Γ(Γ(4))+4+4÷4
 126=(4+4÷4)!+Γ(4)
 127=Γ(Γ(4))+4+√4+Γ(√4)
 128=(Γ(4)^√4−4)×4
 129=Γ(Γ(4))+4+4+Γ(√4)
 130=Γ(Γ(4))+4+4+√4
   ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


 ラウズ・ポール(1891年)は、1〜1000までの数のうち、4つの4で表せないものを列挙し
ている。

  113、157、878、881、893、917、943、946、947 (以上、9個)


(コメント) ポールの、4つの4で表せないというのは、四則演算(+、−、×、÷)と小数点、
      括弧()、冪乗、平方根、階乗、循環小数の循環節を表す点の7種類に限定した
      場合のようだ。

  多重階乗、ガウスの記号、Γ関数、%、Σ(その数までの和)などが用いられることもあ
 る。そうすれば、ポールの、4つの4で表せないとしたものが、実は表せるようになることも
 ある。

 例えば、 113=Γ(Γ(4))−(4!+4)÷4=[(4!+4)/4]!!+4!! などが知られて
いる。

 実際に、 Γ(Γ(4))−(4!+4)÷4=Γ(6)−28/4=120−7=113

     [(4!+4)/4]!!+4!!=7!!+4!!=7・5・3・1+4・2=105+8=113

である。また、157も

  157=Γ(4)÷4%+Γ(4)+Γ(√4)

と書ける。

 上記の23〜130の計算では、だいぶガンマ関数のお世話になったが、ガンマ関数を用い
ない表現って可能なんだろうか?これは今後の研究課題とすることにしよう。


 ここで、対数を用いれば、あらゆる数が、4つの「4」だけで表せることが知られている。

  log(log4√4)log4√・・・(n個)・・・√4=n


 これは凄い!ですね。対数を用いる解法は、グラハム(1968年)が「数学の驚異的な解法」
で示したのが最初と言われる。

 上式の左辺は、少し計算すると、 log1/2 (1/2) となり、だから、n となる。

 例えば、n=2の場合、

  log(log4√4)log4√√4=log(1/2)(1/2)2=2


 Dengan kesaktian Indukmuさんからのコメントです。(令和3年3月23日付け)

 何気なくGoogle検索をしましたところ…なんと!!!

(1) 4つの4で、全ての有理数が表現できる

(2) 3つの4で、全ての整数が表現できる

とありました。

 (2)の式は私には検証できませんでした。(何故か文字化けしてしまいまして)


 らすかるさんからのコメントです。(令和3年3月23日付け)

  log√4 log√4 √√…(n+1個)…√4=−n

なので、3個で任意の整数が表せますね。

 なお、logと√の他に、exp、sin、tan、cot、sec、arccos、arctanを使ってよければ、4は1個
だけで十分です。


(コメント) 対数の性質を用いれば、

   n=−log√4 log4 √√…(n個)…√4

とも書けますね!


 Dengan kesaktian Indukmuさんからのコメントです。(令和3年3月23日付け)

 らすかるさん、御親切、まことに有り難うございます。見れなくて残念に思っていました。

  なお、WolframAlpha で使える関数で次のようなものがあったことを思いだしました。ズル
いです。

 n+1=Ceiling[Ln[Ceiling[Exp[n]]]]

 n=Floor[Ln[Floor[Exp[n+1]]]]

 こちらもズルいですが、64より1だけ小さい数を…。

 63=Exsec[Arccos[Secant[Arccos[64]]]]

 そして、今見返したら何をしているのかサッパリ思い出せないのが以下です。

BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[Floor
                      [Ln[Floor[Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]]]]]]]]


 らすかるさんからのコメントです。(令和3年3月24日付け)

 地道に内側から見ていけばわかりますね。

Exp[0]=1
Exp[Exp[0]]=e
Floor[Exp[Exp[0]]]=[2.718…]=2
Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]=2^2=4
Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]=4^3=64
Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]=e^64
Floor[Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]
=[e^64]=[6235149080811616882909238708.928469…]
=6235149080811616882909238708
Ln[Floor[Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]]
=ln6235149080811616882909238708
Floor[Ln[Floor[Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]]]
=[ln6235149080811616882909238708]
=[63.999999999999999999999999999851…]
=63
BitShiftLeft[Floor[Ln[Floor[Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]]]]
=63×2=126
BitShiftLeft[BitShiftLeft[Floor[Ln[Floor[Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]]]]]
=126×2=252
BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[Floor[Ln[Floor
                            [Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]]]]]]
=252×2=504
BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[Floor[Ln[Floor
                            [Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]]]]]]]
=504×2=1008
BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[BitShiftLeft[Floor[Ln[Floor
                            [Exp[Cube[Square[Floor[Exp[Exp[0]]]]]]]]]]]]]]
=1008×2=2016

というわけで、多分2016年に作られた「今年の西暦を「0」一つだけで表す方法」でしょうね。


 Dengan kesaktian Indukmuさんからのコメントです。(令和3年3月25日付け)

 らすかるさん、有り難うございます。謎が氷解いたしました。数年前にいじくりまわしていた
私の記憶がスッポリ落ちておりました…。お恥ずかしいことですが、らすかるさんのお陰で爽
快な気持ちです。

 前回の私の投稿で

 63=Exsec[Arccos[Secant[Arccos[64]]]]

とありました。我ながらなぜ特定の数字の例をメモしていたのか不審だったのですが、どうし
ても多重関数を通して、64から63を作りたかったらしいのでした。

 63からなら、2016を倍々計算で作れる、64も2から倍々計算で作れる、ミッシングリンクとし
て 64 から 63 を作りたかったということだったのでした、どうやら。

 余談ですが散逸していた当時のメモを探し回ったところ、以下のようなものをみつけました。

 7=-Floor[-√√√√((Floor[√√√((-Floor[-√√√√√((Floor[√√√((-Floor[-√√((Floor[√√√(11!)])!)])!)])!)])!)])!)]

 Floor関数はガウス記号で書き直せますので、〈11と、英字を明示的には含まない数学記号
とで 7を作れ〉という、【セブンイレブン問題】に挑戦していた模様です。


 らすかるさんからのコメントです。(令和3年3月25日付け)

  〈11と、英字を明示的には含まない数学記号とで 7を作れ〉

 [√(11!!!!!!)]=7 ともできます。

(!!!!!!は6重階乗なので、11!!!!!!=11×5=55 です。)

 でも、「英字を明示的に含まない数学記号」をすべて使ってよいのなら、

 11-(π+π+π+π)/π=7

といったわかりやすい式もできますね。


 Dengan kesaktian Indukmuさんからのコメントです。(令和3年3月25日付け)

 多重階乗ですか、それにしても式が短いですね。横綱ですね。

 subfactorial (下位階乗・左階乗)を試してみました。

 n の subfactorial を !n で表記することもありますので、

 √(√(√(!11)))=√(√(√(14684570)))≒7.86787867

から、 7 = [√(√(√(!11)))] となりました。

 14字かかりましたので らすかるさんの 13字にはかなわず、大関とさせてください。


(コメント) 左階乗は初見なので、いろいろ調べてみました。

 n個の物を、全ての物が元の位置にはないように並べ替える方法の数を左階乗という。
所謂、完全順列のことである。

 左階乗 !n=n!Σk=0n (-1)/k! で求められる。

例 !1=0 、!2=1 、!n=(n−1)(!(n−1)+!(n−2))

  第3式で、n=2 とおくと、!2=!1+!0 すなわち、1=0+!0 となり、!0=1 が
成り立つ。

このとき、

 !11

=11!(1/0!−1/1!+1/2!−1/3!+1/4!−1/5!
                  +1/6!−1/7!+1/8!−1/9!+1/10!−1/11!)

=39916800−39916800+19958400−6652800
            +1663200−332640+55440−7920+990−110+11−1

=14684570

である。

 上記では、!11を直接計算で求めたが、漸化式を用いても計算できる。

!1=0
!2=1
!3=2(1+0)=2
!4=3(2+1)=9
!5=4(9+2)=44
!6=5(44+9)=265
!7=6(265+44)=1854
!8=7(1854+265)=14833
!9=8(14833+1854)=133496
!10=9(133496+14833)=1334961
!11=10(1334961+133496)=14684570

 これはこれで大変かな?


 DD++ さんから問題をいただきました。(令和3年11月10日付け)

 4 を 4 つ使って、円周率πを作ってください。

但し、使ってよい記号は、括弧と四則演算と巾乗と平方根と階乗( ( ) + - / * ^ √ ! )です。

(→ 参考:「小町算?」)

 らすかるさんからのコメントです。(令和3年11月12日付け)

 普通に考えると、できそうにないので、

  ((√4)(√4/4)!)^(√4)

でしょうか。(→ 計算結果


 DD++ さんからのコメントです。(令和3年11月12日付け)

 らすかるさん、正解です。なお、((√4/4)!)^(√4)*4 だと根号を減らせます。


(コメント) ガンマ関数を用いた「階乗の一般化」で、

       

が成り立ちます。この式を変形すれば、 π={2×(1/2)!}2 なので、4を4つ使うように

調整すれば、 π={√4×(√4/4)!}√4 で、らすかるさんの式になりますね!でも、こ

の式を思いつくのは難しいと思います。


 Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。(令和4年8月28日付け)

 「4つの4」のルールに準じて、「2つの4」で11を作ることを試みると痺れると思います。
むろん、解はあります。


 らすかるさんからのコメントです。(令和4年8月29日付け)

 多分もっとよい解があると思いますが、とりあえず、

 11=(4!)!!!!!!!!!!!!!/(4!) (分子は13重階乗)

(追記) ガウス記号を使うとたくさん...。

 11=[4!!*log4]
 11=4-[tan(4!!)]
 11=[4+exp(√4)]
 11=[-exp(√4)/cos(4)]
 11=[(4!)^(-sin(4))]


(コメント) (4!)!!!!!!!!!!!!!=24*11 なので、 (4!)!!!!!!!!!!!!!/(4!)=11ですか!
      これは確かに痺れますね...。


 Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。(令和4年8月29日付け)

 いつもいつもお世話になっております。有り難うございます。

 2つの4で11を作るというネタのもとは、上記の次の式から導いたものです。

  123=Γ(Γ(4))+Γ(√4)+Γ(√4)+Γ(√4)

 この式をみて下記を導いた次第です。

 11 = √(1+5!) = √(Γ(√(4))+Γ(Γ(4)))

※13重階乗を用いたらすかるさんによる解にはビックリしました…… 以上です。


(コメント) なるほど! 11=√121=√(1+120) と考え、1は、Γ(√4)=Γ(2)=1
      に、120は、5!と考え、 5!=Γ(6) なので、後は、6=3!=Γ(4)と置き換
      えれば済むんですね。確かに、この解も痺れますね!


 Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。(令和4年9月24日付け)

 πを表す式として、

 らすかるさんが ((√4)(√4/4)!)^(√4) 、DD++さんが ((√4/4)!)^(√4)*4

と上記で御提示済みです。

 「数学の部屋BBSNo.23155 9/11-22:34 で、らすかるさんがレスをおつけになっていらした
スレッドにて提示されていた e を表す式がとても興味深かったのでタレコミます。

  √√((-1)^(-√(-((1/2)!)^(-4)))) ・・・ (*)

すなわち、 

 下位階乗(左階乗)で 1 を表し、平方根で 2/4 を表せば、「4つの4」で e を...。

なお、(*)は、 Google電卓でも検算できます。

 恐らく、出発点はオイラーの等式 e^(i*π)+1=0 ですね。 多価とか主値とかきちんと始末し
ておきたいところではありますが、とても驚いております。


(コメント) 左階乗で、1を!2と表せば、

   

 これなら、4つの4で e が表せそうですね!

   



  以下、工事中!


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