当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「Dengan kesaktian Indukmu」さんからの出題です。
（令和３年１１月９日付け）
2 を 2 個と 5 を 2 個とを使って 181 を【二通りの方法で】作ってください。
ただし、25 や 522 等の、所謂「並び」は避けてください。また、使ってよい記号は、
括弧と四則演算と巾乗と平方根と階乗（ ( ) + - / * ^ √ ! ）です。
（答） らすかるさんが考察されました。（令和３年１１月１０日付け）
5!+(5!+2)/2=181
√(2^(5!!)-2-5)=181
((2+5)!!!!!)^2-5!!=181
5!+(5!!)!!!!!!!!!!!+2/2=181
（コメント） 階乗の使い方が凄いですね！
因みに、5!=120 、5!!=5×3×1=15 、(5!!)!!!!!!!!!!!=15×4=60 、7!!!!!=7×2=14
DD++ さんからのコメントです。（令和３年１１月１０日付け）
記号の使い方として、日本語で「階乗」と明言されているので、
√((√√√2)^(5!)-2-5)
の形じゃないと認められないと思います。
ルートと冪乗の順序だけ変えて、
√(√((√√2)^(5!))-2-5)
√(√√((√2)^(5!))-2-5)
√(√√√(2^(5!))-2-5)
で 4 通り、は認められないよなあとか考えていたら、単純な方の解を見落とした……。
120/8 乗する方が簡単な方の解だと思い込んで迷走した結果の副産物を出題。
4 を 4 つ使って、円周率πを作ってください。
但し、使ってよい記号は、括弧と四則演算と巾乗と平方根と階乗（ ( ) + - / * ^ √ ! ）です。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１１月１０日付け）
■私が準備していた答えは次の２つです。
√((√(√(√(2^(5!))))) -(2+5)) = (2 +5!)/2 +5! = 181
※√を使わない方は知人に教えてもらって仰天しました。
■Google電卓を使ったら
5!/2 +5! +√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√2 = 181
※こちらも知人に教えてもらって仰天しました。
（コメント） √√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√2は厳密には１でないので、
ガウスの記号を用いて、 [√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√2]
ですかね？
■階乗記号使用の多様化
らすかるさんに様々な多重階乗の式を見せて頂きましたので、私も、左階乗（=下位階乗）
を使ってみました。
5!/2 +5! +!2 = 181
※ おっとりがたなで今朝調べてみましたところ !2 = 1 なのでした。
＃普通？ 左階乗を求めたいときには漸化式などを使うのですが……
以下は今朝知った公式です。
!0 = 1 、!n = floor(n!/e +1/2) for n > 0
ガーン (￣□￣;)!! どぼじでどぼじで (゜ロ゜;?
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年１１月１２日付け）
DD++ さん出題の
4 を 4 つ使って、円周率πを作ってください。
但し、使ってよい記号は、括弧と四則演算と巾乗と平方根と階乗（ ( ) + - / * ^ √ ! ）です。
について、こんなことがほんとに可能なんですか？いくら考えても、調べてみても途方に暮れ
ます。どんなアプローチをすればいいのですか。せめてヒントを．．．。
らすかるさんからのコメントです。（令和３年１１月１２日付け）
普通に考えると、できそうにないので、
((√4)(√4/4)!)^(√4)
でしょうか。（→ 計算結果）
（コメント） ガンマ関数を用いた「階乗の一般化」で、
が成り立ちます。この式を変形すれば、 π＝｛２×（１/２）！｝2 なので、４を４つ使うように
調整すれば、 π＝｛√４×（√４/４）！｝√４ で、らすかるさんの式になりますね！でも、こ
の式を思いつくのは難しいと思います。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１１月１２日付け）
なるほど。 (1/2)! = (√(π))/2 ですものね。
てっきり頓知だとばかり思い込んでおりましたので、(4!-√4)/(!4-√4) = 22/7 で思考停
止しておりました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年１１月１２日付け）
が〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜ん！！！ なんと俺の頭は石頭なのか。
じゃ〜、4を3個でも ((-√4/4)!)^(√4) で、πが作れるんですね。
（コメント） (−1/2)! = 2(1/2)! なので、４が１個減らせますね！
らすかるさんからのコメントです。（令和３年１１月１２日付け）
この式も考えたのですが、符号の「-」（単項演算子）は、使ってよい記号に含まれていませ
んでしたので、やめました。（四則演算の「-」（二項演算子）は使ってよいのだが．．．）
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１１月１２日付け）
とすると、 (((√(4) -4)/4) !)^(√(4)) ということになるのですね。
DD++ さんからのコメントです。（令和３年１１月１２日付け）
らすかるさん、正解です。なお、((√4/4)!)^(√4)*4 だと根号を減らせます。
Dengan kesaktian Indukmu さんの (((√(4) -4)/4) !)^(√(4)) も正解です。
元は Dengan kesaktian Indukmu さんの問題で √π 同士で約分して有理数に戻すとかでき
ないかなーと思っていたのですが、流石に無理でした。
GAIさん、そうなんですよ。負号が認められるなら 3 つでいけるんですよ。驚愕ですよね。