当ＨＰの読者のＫ．Ｓ．さんより、平成２４年９月２０日付けで標記話題をメールで頂いた。
楕円の定義
（１） 二つの焦点からの距離の和が一定の軌跡
（２） 円の一つの方向への伸縮
（３） 離心率が１より小さい
（４） 円錐を斜めに切断した面
放物線の定義
（１） 離心率が１に等しい
（２） 円と直線の両方に接する円の中心の軌跡（離心率＝１のいいかえ）
（３） 円錐の母線に平行な平面による切断面
（追記） Kelly Burkhardさんからのコメントです。（平成３０年８月１１日付け）
放物線の定義の1つ：ある点からの距離とある直線からの距離とが等しい点の集合
というのは、「円と直線の両方に接する円の中心の軌跡」で、前者の円の半径を0にした
ものに含めるのでしょうか。
（コメント） Kelly Burkhardさん、いつも当ＨＰをご覧いただきありがとうございます。
ご推察の通り、「前者の円の半径を０にしたもの」即ち、「点」と考えたものが通
常の放物線の定義になると思います。一般には、次のような場面を想定していま
す。
双曲線の定義
（１） 二つの焦点からの距離の差が一定の軌跡
（２） 離心率が１より大きい
（３） 円錐の軸に平行な平面による切断面
反射の性質
（１） 楕円の一つの焦点からの光は、反射によって他の焦点を通る
（２） 放物線の軸に平行な光は、反射によって焦点を通る
（３） 双曲線の一つの焦点からの光は、法線に関する反射によって他の焦点を通る
双曲線の性質
・ 一つの直線が双曲線と交わる点をＰ、Ｑおよびその漸近線と交わる点をＲ、Ｓとするとき、
（１） ＰＱ，ＲＳの中点は一致する。 （２） ＰＲ＝ＱＳが成り立つ。
・ 双曲線のどのような接線をとっても、接戦と２つの漸近線とで囲まれる三角形の面積は
一定である。
・ 双曲線上の任意の点Ｐから二つの漸近線へ垂線ＰＱ、ＰＲをおろすとき、ＰＱ・ＰＲは一定。
・ 双曲線の標準形の焦点をＦ、F’ とすると、曲線上の任意の点Ｐにおける接線がＸ軸と交
わる点をＱとするとき、ＦＱ：ＱF’=PF：PF’が成り立つ。
・ 双曲線上の任意の点Ｐにおける接線が二つの漸近線と交わる点をＱ，Ｒとするとき、Ｐは
線分ＱＲの中点であり、△ＯＱＲの面積は一定である。
・ 双曲線上の点Ｐから２つの漸近線に平行な直線を引くとき、これらの直線と漸近線でつく
られる平行四辺形の面積は一定である。
楕円の性質
・ 楕円の焦点を通って短軸に平行な弦をＡＢとする。このとき、
（短軸の長さ）2＝（長軸の長さ）・（弦ＡＢの長さ） である。
・ 楕円の標準形上の任意の点Ｐにおける接線とｘ軸との交点をＱとし、Ｐからｘ軸への垂線
の足をＲとするとき、ＯＱ・ＯＲは一定である。
・ 楕円の標準形上の点Ｐにおける接線に、焦点Ｆ、Ｆ’ から垂線ＦＨ、F’H’ をおろすとき、
ＦＨ：F’H’＝ＰＦ：ＰＦ’ 、∠ＦＰＨ＝∠Ｆ’ＰＨ’ が成り立つ。
放物線の性質
・ 点Ｐから、放物線へ引いた二つの接線の接点をＱ、Ｒとすると、放物線は、△ＰＱＲの面
積を２：１に分割する。
・ 放物線上の任意の点Ｐにおける接線および法線が軸と交わる点をそれぞれＱ，Ｒとする
とき、焦点はＱＲの中点である。
（コメント） Ｋ．Ｓ．さん、いろいろな性質をまとめていただき、ありがとうございます。