放物線は、定点Fと、点Fを通らない定直線g からの距離が等しい点の軌跡である。
定点Fのことを、焦点といい、定直線g のことを、準線という。
放物線の性質で有名なものとしては次のものがあげられる。
軸に平行な光線は、放物線で反射して、焦点に向かって進む。
逆に、焦点から発せられた光は、放物線で反射して軸と平行な方向に進む。
いろいろな証明が考えられるが、次の証明が最も簡明であろう。
(証明)
点Pにおける微分係数から、
に、
を代入して計算すると、
よって、α=β となり、点Pで反射の法則が成り立つ。 (証終)
上記では計算により放物線の性質を示したが、
光の特性 <<光は最短経路を選択して進む>> を用
いれば、左図と睨めっこをすることにより、特段の
計算をすることもなく、放物線の性質は自然と了
解されるだろう。
(追記) 平成24年10月7日付け
上記の証明では、2つの角が等しいことを直接的に示したが、もちろん次のように示しても
よい。
(証明) 点P(x,y)における接線の方程式は、 yY=2p(X+x) なので、Q(−x,0)
放物線の定義から、 FP=|x+p|=FQ となり、△FPQは2等辺三角形。
よって、α=β となり、点Pで反射の法則が成り立つ。 (証終)
(コメント) もしかしたら、上記の証明より、こちらの方がより簡明かも...。