２０２５（令和７）年８月２日、都内某所で数学教育の講演会があり、拝聴してきた。いくつか
の話題の中で、次の問題に興味を持った。
円周上の５等分点をひとつ置きに結ぶと、次の図形ができる。これは「星型５角形」と言わ
れる。
このとき、∠ａ＋∠ｂ＋∠ｃ＋∠ｄ＋∠ｅ＝１８０° が成り立つ。
就職試験にも頻出の問題であるので、読者の方は、どこかで一度はお目にかかっているの
ではと思う。当ＨＰでも、以下のページが参考になるだろう。
・「星形の内角の和」
・「角の大きさ（３７）」 ・・・ 星型図形の内角の和
・「凸多角形の考察」
この等式 ∠ａ＋∠ｂ＋∠ｃ＋∠ｄ＋∠ｅ＝１８０° を示すのに、９通りの考え方があると
いうことを、講演された先生は仰っていた。
「えっ、そんなにあるの？」というのが率直な感想であるが、どんな考え方があるのか、整
理してみようと思う。
（考え方 その１） ・・・ もっともよく知られた方法だろう。
∠ＡＰＴ＝∠ｃ＋∠ｅ 、∠ＡＴＰ＝∠ｂ＋∠ｄ なので、△ＡＰＴにおいて、三角形の内角の
和は１８０°なので、
∠ａ＋（∠ｃ＋∠ｅ）＋（∠ｂ＋∠ｄ）＝∠ａ＋∠ｂ＋∠ｃ＋∠ｄ＋∠ｅ＝１８０°
（考え方 その２）
∠ＣＯＤ＝２∠ａ、∠ＤＯＥ＝２∠ｂ、∠ＥＯＡ＝２∠ｃ、∠ＡＯＢ＝２∠ｄ、∠ＢＯＣ＝２∠ｅ
なので、 ２∠ａ＋２∠ｂ＋２∠ｃ＋２∠ｄ＋２∠ｅ＝３６０°
よって、 ∠ａ＋∠ｂ＋∠ｃ＋∠ｄ＋∠ｅ＝１８０°
（考え方 その３）
∠ＣＲＤ＝∠ａ＋∠ｃ＋∠ｄ 、∠ＢＲＥ＝１８０°−（∠ｂ＋∠ｅ） において、
対頂角が等しいので、∠ＣＲＤ＝∠ＢＲＥ より、∠ａ＋∠ｃ＋∠ｄ＝１８０°−（∠ｂ＋∠ｅ）
よって、 ∠ａ＋∠ｂ＋∠ｃ＋∠ｄ＋∠ｅ＝１８０°
（考え方 その４）
ＢＥ‖ＣＤ なので、∠ＢＤＣ＝∠ｂ 、∠ＥＣＤ＝∠ｅ 、また、∠ＣＲＤ＝∠ａ＋∠ｃ＋∠ｄ
△ＲＣＤにおいて、三角形の内角の和は１８０°なので、
∠ｂ＋∠ｅ＋（∠ａ＋∠ｃ＋∠ｄ）＝１８０°
よって、 ∠ａ＋∠ｂ＋∠ｃ＋∠ｄ＋∠ｅ＝１８０°
（考え方 その５）
ＡＣを∠ａ だけ回転させて、ＡＤに移動する。さらに、ＡＤを∠ｄ だけ回転させて、ＢＤに移動
する。さらに、ＢＤを∠ｂ だけ回転させて、ＢＥに移動する。さらに、ＢＥを∠ｅ だけ回転させて、
ＣＥに移動する。さらに、ＣＥを∠ｃ だけ回転させて、ＣＡに移動する。
このとき、ベクトルの向きを考えると、１８０° 回転していることになるので、
∠ａ＋∠ｂ＋∠ｃ＋∠ｄ＋∠ｅ＝１８０°
（考え方 その６）
平行線の錯角の性質から、上図のように角度が求まる。
５角形の内角の和は、５４０° なので、 ３（∠ａ＋∠ｂ＋∠ｃ＋∠ｄ＋∠ｅ）＝５４０°
よって、 ∠ａ＋∠ｂ＋∠ｃ＋∠ｄ＋∠ｅ＝１８０°
（考え方 その７）
三角形の面積５個分から五角形の外角の和（１８０°×５−５４０°＝３６０°）２個分を引
いて、
∠ａ＋∠ｂ＋∠ｃ＋∠ｄ＋∠ｅ＝１８０°×５−３６０°×２＝１８０°
（追記） kuiperbelt さんより、（考え方 その８）、（考え方 その９）をご投稿いただきました。
（令和７年８月４日付け）
（考え方 その８）
中心Oについて、 ∠COA+∠AOD+∠DOB+∠BOE+∠EOC=144°×5=720°
頂点Aについて、∠OCA+∠OAC+∠COA=180°、∠CAD=∠OAC+∠OAD
頂点B、C、D、Eについても同様で、
∠ODB+∠OBD+∠DOB=180°、∠DBE=∠OBD+∠OBE
∠OEC+∠OCE+∠EOC=180°、∠ECA=∠OCA+∠OCE
∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°、∠ADB=∠ODA+∠ODB
∠OBE+∠OEB+∠BOE=180°、∠BEC=∠OEB+∠OEC
両辺を加算すると、
∠CAD+∠DBE+∠ECA+∠ADB+∠BEC+720°=180°×5=900°より、
∠CAD+∠DBE+∠ECA+∠ADB+∠BEC=180°
（考え方 その９）
∠BAEは正5角形の頂点の一つなので、∠BAE=108°
A、B、C、D、Eは、円周の５等分点なので、弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA より、
∠BAC=∠CAD=∠DAE
∠BAC+∠CAD+∠DAE=∠BAE なので、 ∠CAD=108°÷3=36°
∠CAD=∠DBE=∠ECA=∠ADB=∠BEC より、
∠CAD+∠DBE+∠ECA+∠ADB+∠BEC=36°×5=180°
（コメント） kuiperbelt さん、ありがとうございました。
（追記） 令和７年８月５日付け
（考え方 その１０） ・・・ ５つの角 ∠ａ、∠ｂ、∠ｃ、∠ｄ、∠ｅ を一つの頂点に集める。
上図から、 ∠ａ＋∠ｂ＋∠ｃ＋∠ｄ＋∠ｅ＝１８０°
（考え方 その１１） ・・・ （考え方 その１０）とほぼ同様である。
（考え方 その１２） ・・・ （考え方 その６）の内部の５角形バージョンである。
∠ＴＰＱ＝∠ａ＋∠ｂ＋∠ｄ、∠ＰＱＲ＝∠ｂ＋∠ｃ＋∠ｅ、∠ＱＲＳ＝∠ａ＋∠ｃ＋∠ｄ、
∠ＲＳＴ＝∠ｂ＋∠ｄ＋∠ｅ、∠ＳＴＰ＝∠ａ＋∠ｃ＋∠ｅ で、
∠ＴＰＱ＋∠ＰＱＲ＋∠ＱＲＳ＋∠ＲＳＴ＋∠ＳＴＰ＝５４０° より、
３（∠ａ＋∠ｂ＋∠ｃ＋∠ｄ＋∠ｅ）＝５４０°
よって、 ∠ａ＋∠ｂ＋∠ｃ＋∠ｄ＋∠ｅ＝１８０°
（追記） 令和７年８月６日付け
（考え方 その１３） ・・・ 外角に注目！
上図において、 ∠ａ＋∠ｂ＋∠ｃ＋∠ｄ＋∠ｅ＋（外角の和）＝５４０°
ここで、 （外角の和）＝１８０°×５−５４０°＝３６０° なので、
∠ａ＋∠ｂ＋∠ｃ＋∠ｄ＋∠ｅ＝１８０°
（コメント） 上記の他にも、もっといろいろな解法があると思います。「これは！」というもの
が見つかったら、是非当ＨＰにご教示下さい。
以下、工事中！