正５角形の作図

正５角形の作図と折り紙　　　　　　　　　　　　

　１７９６年３月３０日の朝、１９歳のガウス青年は、目覚めた瞬間に、正１７角形の作図
（定木とコンパスのみを用いる）を思いついたという。

　正３角形、正４角形、正５角形、正１５角形やその辺の数を次々に２倍してできる正６角
形、正８角形、正１０角形．．．．．などの作図は、古くユークリッドの時代には分かってい
た。ユークリッド以来、一般に初等幾何では、作図できる正多角形は、それ以上ないだろ
うと長く信じられていた。

　その中でのこの発見は、非常に驚くべきものがある。詳しい内容について、ここで触れ
るには、あまりに話が高度すぎるので、本の紹介に留めたい。
（でも、ちょっと興味がある人は、こちらを参照）

　正１７角形の作図の可能性の証明については．．．
　　　　高木貞治　著　　近世数学史談（共立全書）

　実際の正１７角形の作図については．．．
　　　　高木貞治　著　　初等整数論講義　第２版（共立出版）　Ｐ．１１１～Ｐ．１１２
　
　２００１年は、ガウスの「整数論」が刊行されて丁度２００年という節目の年である。ガウ
スの特集が数学セミナー　２００２－１月号（日本評論社）で組まれている。

　このページでは、ガウスには遠く及ばないが、正５角形の作図について、まとめてみた
いと思う。

　　　正５角形作図のポイントは、
　　△ＡＣＤ∽△ＤＦＣに気が付くことである。

　　　正５角形の一辺の長さを２とすると、
　　　　　ＡＦ＝ＦＤ＝ＣＤ＝２　である。

　　　そこで、ＦＣをＸとすると、比例式
　　　２＋Ｘ　：　２　＝　２　：　Ｘ　が成り立つ。
　　これを解くと、Ｘ＝

－１となる。

　　　従って、ＡＣ＝

＋１　であることが分
　　かる。

　　　以上の考察から、正５角形の作図は、
　　

の作図ができれば可能となる。

　　因みに、正１７角形の作図のためには、をはじめとしたいろいろな数の平方根の
　作図に帰着されることが知られている。

　正５角形の作図法は下記の通りである。

　左図のように、ＣＤの中点Ｈから垂直二等分線を引
き、ＧＨ＝２となるように、Ｇをとる。

　このとき、　ＣＧ＝

である。

　ＣＧのＧ方向の延長線上にＧＫ＝１となるようにＫを
とると、
　　　　　ＣＫ＝

＋１

である。この長さを、コンパスを用いてＡに移す。

　この正５角形の頂点Ａが決まれば、Ａ、Ｃを用いて
Ｂが決まり、Ａ、Ｄを用いてＥが決まる。

　以上で、正５角形の作図は完成である。

　　今から１０年程前（平成３年頃）に、私自身折り紙に強い興味を持った時期があった。
　定木とコンパスだけでは、角の３等分は不可能であるが、折り紙を用いるとそれは可
　能であることを知った。折り紙の持つ神秘さ、自由性に心ひかれた思い出がある。

　　上記のように、正５角形は、紙面に定木とコンパスを用いて書くことができるが、実は、
　折り紙で正５角形を作るという試みも非常に興味深い。

　　この試みについては、堀井洋子　著　「折り紙と数学」　（明治図書）　Ｐ．４３～Ｐ．４４
　に詳しく述べられている。

　上記の計算より、正５角形の一辺の長さを２とすると、対角線の長さは、１＋である。
従って、逆に対角線の長さを２とすると、一辺の長さは、－１＋となる。折り紙で正５
角形を折る場合、この長さをいかに実現するかがポイントとなる。

　①　折り紙の一辺ＵＶ（ＵＶ＝２）の中点ＭとＴを結ぶ線で折り、折り目をつける。ＭＵが
　　　ＴＭに重なるように折り、さらに、ＴＫがＴＭに重なるように折る。このとき、ＴＨ＝ＴＰ
　　　となるようにＴＵ上にＰを打つ。

　②　ＰＵの中点Ｄをとり、ＴＣ＝ＤＵとなるようにＴＵ上にＣを打つ。

　③　Ｃを固定して、ＤがＳＴ上にくるように折り曲げ、ＳＴ上にＢを打つ。
　④　同様にして、ＵＶ上にＥを打ち、さらに、ＤがＥに重なるように折り曲げる。Ｃと重なる
　　　点Ａを打ち、ＡＢ，ＡＥで折り曲げる。

　　以上で、折り紙による正５角形の完成である。

（追記）　正５角形の作図について、上記では、１辺を与えて作図した。しかし、状況によっ
　　　　ては、正５角形の対角線の長さとか正５角形が内接する円の半径をもとに、正５角
　　　　形を作図しなければならないときもある。ここでは、そのような場合について、作図
　　　　の実際を見てみたいと思う。

（１）　対角線の長さが分かっている場合
　　　正５角形の１辺の長さを、２とすると、対角線の長さは、＋１である。したがって、
　　逆に、対角線の長さを２とすると、一辺の長さは、－１となる。

　　　したがって、与えられた対角線の長さが　２Ｘ　のとき、１辺の長さ　（－１）Ｘ　を作
　　図すればよい。

　　１）与えられた対角線をＡＢとする。
　　　Ｂにおいて、ＡＢの長さの半分の垂
　　　線ＢＣをかく。

　　２）ＡＣ上にＣＤ＝ＣＢとなる点Ｄをとる。

　　３）ＡＤの長さで、２点Ａ、Ｂより、点Ｅを
　　　決める。

　　４）ＡＢ、ＡＥの長さを用いて、残りの頂
　　　点　Ｆ、Ｇを決める。

　左図において、点Ｐは線分ＡＢを黄金分
割する点である。

　よって、線分の黄金分割点が作図でき
れば、その線分を対角線に持つ正５角形
を作図することができる。

（２）　内接する円の半径が分かっている場合
　　　正５角形が内接する円の半径を２として考える。（一般の場合は、定数倍すればよい。）
　　まず、このときの正５角形の１辺の長さを求めてみる。正５角形を中心で５分割し、次の
　　三角形で考える。

　　θ＝３６°とすると、５θ＝１８０°

　よって、ｓｉｎ２θ＝ｓｉｎ（１８０°－３θ）
　　　　　　　　　＝ｓｉｎ３θ
　　　　　　　　　＝３ｓｉｎθ－４ｓｉｎ³θ

　　２ｓｉｎθｃｏｓθ＝３ｓｉｎθ－４ｓｉｎ³θ　の両辺をｓｉｎθで割って、

　　　　　　２ｃｏｓθ＝３－４ｓｉｎ²θ
　　　　　　　　　　＝３－４（１－ｃｏｓ²θ）

　　　　よって、４ｃｏｓ²θ－２ｃｏｓθ－１＝０　より、
　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これより、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　したがって、正５角形の１辺の長さは、

（追記）　令和元年１１月４日付け

　上記では、三角関数の２倍角の公式、３倍角の公式を用いて解いているが、そういう高級
技を用いなくても、三平方の定理を用いてもっと初等的に解くことができる。　

（別解）

　　　内接円の半径を２とし、そのときの正５角形の
　　１辺の長さをｘとおく。

　　　正５角形の１辺の長さが１のとき、対角線の長
　　さは、（１＋

）/２なので、比例式

　　　　２：（１＋

）ｘ/２＝ａ：ｘ/２

　　より、　（１＋

）ａｘ/２＝ｘ

　よって、　ａ＝２/（１＋

）＝（

－１）/２

　三平方の定理より、

ｘ²＝（２－（－１）/２）²＋４－（（－１）/２）²＝８－２（－１）＝１０－２　なので、

　ｘ＝　　（終）

　よって、長さ２から、長さが作図できればよいことになる。

　左図において、Ｍは半径ＯＡの中点
なので、ＯＭ＝１

　よって、ＢＭ＝

　Ａを端点とする直径上に、ＭＣ＝ＭＢ
となる点Ｃをとる。

　このとき、ＯＣ＝

－１　なので、

　　　　　ＢＣ＝

となる。

　よって、Ｂを中心とし、半径ＢＣの円を
描き、円Ｏとの交点をＤとすれば、線分
ＢＤが求める正５角形の１辺となる。

（注）　この作図方法はまた、円周を５等分する方法も与えている。

（参考文献：野口健助　著　平面画法入門（日刊工業新聞社））

（追々記）　上記では、直接的に正５角形の一辺を作図したが、正１０角形の作図から正５
　　　　　　角形の一辺を作図する方法があることを最近知ることができた。

　半径２の円に内接する正１０角形の一辺の長さをＬとおくと、余弦定理から、

　　　　Ｌ²＝２²＋２²－２・２・２・ｃｏｓ３６°＝８－８・ｃｏｓ３６°

　　ここで、
　　　　　　　　　　　　

　なので、　　Ｌ²＝６－２　　より、　　Ｌ＝－１　となる。

　このことから、次のような作図方法が考えられる。

　　ＯＣの中点Ｍを中心とする半径１の円を
　描く。

　　この円と線分ＡＭとの交点をＰとする。

　　このとき、　ＡＰ＝

－１　　である。

　　そこで、点Ａを中心とし、ＡＰを半径とする
　円弧を描き、円Ｏとの交点を、Ｑ₁、Ｑ₂ とす
　る。

　　あとは、線分ＡＱ₁ の長さで、円Ｏの周上
　を均等に分割し、点Ｑ₃、Ｑ₄、Ｑ₅、Ｑ₆、Ｑ₇、
　Ｑ₈ を目盛ればよい。

　　そして、一つ飛びに点を結んでいくと、正
　５角形を作図することができる。

（追々々記）　平成１８年５月４日付け

　上記で、折り紙による正５角形の作図法を取り上げたが、少し込み入っているかな？と
いう印象が私自身にはあった。もう少し初等的な折り方が望ましいと思っていたところ、次
のような折り方があることを最近知った。

（１）		（２）
	→		→

（３）		（４）
	→		→

（５）		（６）
	→		→

（７）

（コメント）　原理的には、前のものと同じかな？！

（参考文献：玉木英彦　著　　小学生にピタゴラス　（みすず書房））

（追記）　平成２０年５月３０日付けで、当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、「ｋ０３６」さんから
　　　　書き込みがあった。

　「私の備忘録」の正５角形の作図を見ました。私もこの作図の正当性を証明しようと
２年前に挑戦しました。そして、下記を見つけました。

　　　左図のように、

　　　　　ＦＡ＝ａ　、　ＦＣ＝ｂ　、　ＦＥ＝ｃ

　　とおくと、
　　　　　　　　　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

　　が成り立つ。

（コメント）　これは正にピタゴラスの定理に出てくる
　　　　　　ような関係式ですね！

　「ｋ０３６」さんによれば、これは「ユークリッド原論」（→参考：山口大学教育学部卒業研究）の第１３
巻にある命題９と命題１０：

命題９　同じ円に内接する、正６角形の辺と正１０角形の辺が書かれたとき、直線全体は
　　　　　外中比に分けられ、そして、そのより大きい部分は正６角形の辺となる。
　（参考：　証明　→　山口大学　渡邉　正　研究室のＨＰ）

命題１０　正５角形が円に内接するとき、正５角形の辺の上の正方形は、同じ円に内接す
　　　　　る正６角形の辺と正１０角形の辺の上の正方形の和と等しい。
　（参考：　証明　→　山口大学　渡邉　正　研究室のＨＰ）

を簡単に説明・証明することになるそうである。

　すなわち、例えば、原論　第１３巻　命題１０の内容は、

　同一の円に内接する正１０角形、正６角形、正５角形の辺長について、

　　　　　　（正５角形の辺長）²＝（正６角形の辺長）²＋（正１０角形の辺長）²

とうことを意味する。

　正５角形、正６角形、正１０角形の配置図は次のように描くと分かりやすい。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（「ｋ０３６」さんによるものを、なぞらせていただきました！）

　　

　「ａ：ｂ」が黄金比であることは、よく知られているが、さらに、ａ、ｂ、ｃについて、ピタ
ゴラスの定理に出てくるような関係式が成り立つことは初見でした。

　大いに興味があったので、「ｋ０３６」さんによる証明を参考にまとめさせていただいた。こ
のような機会を与えていただいた「ｋ０３６」さんに感謝いたします。

　冒頭で計算したように、正５角形の１辺の長さを２とすると、　ａ＝２　、　ｂ＝－１　で

ある。また、　
　　　　　　　
なので、
　　　　　　ｃ＝

となる。　このとき、明らかに、　ａ²＋ｂ²＝ｃ²　が成り立つ。

　上記では三角比の値を求めて証明したが、あまり初等的とは言えない。「ｋ０３６」さんに
よる次のような証明が十分初等的で分かりやすい。

（ｋ０３６さんによる証明・・・一部修正させていただきました！）

　　　左図において、△ＡＣＤ∽△ＤＣＦ　なので、
　　　　　　　　　ａ＋ｂ：ａ＝ａ：ｂ
　　　よって、　ａｂ＝ａ²－ｂ²　が成り立つ。

　　　　また、　直角三角形ＡＦＧにおいて、
　　　　　ＡＦ＝ａ、ＦＧ＝ｃ/２、ＡＧ＝（ａ＋ｂ）/２
　　　なので、ピタゴラスの定理より、
　　　　　ａ²＝（ｃ/２）²＋｛（ａ＋ｂ）/２｝²
　　　すなわち、
　　　　　　　　　　ｃ²＝３ａ²－２ａｂ－ｂ²

　よって、上式に、ａｂ＝ａ²－ｂ²　を代入して、
　　　ｃ²＝３ａ²－２ａｂ－ｂ²＝ａ²＋ｂ²

（コメント）　意外なところに、意外な関係式で大変面白いと思います。

（追記）　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからのコメントです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２５年８月２０日付け）

　定規とコンパスで正五角形を作図する色々な方法をみることがあるが、とてもシンプルで
覚えやすい方法が、

　不思議おもしろ幾何学事典（Ｄ．ウェルズ　著　宮崎興二　他訳　（朝倉書店））

の７７頁に紹介されている。参考までに、

１．一つの円内に、互いに直交する２本の直径Ｌ、Ｌ’を描く。
２．Ｌ上で、半径の中点をＭとする。
３．直径Ｌ’が円と交わる点の一方をＡとし、Ｍを中心とする半径ＡＭの円が直径Ｌと交わる
　点をＮとする。
４．点Ａを中心として半径ＡＮの円を描き、元の円との交点をＢ，Ｅとする。
５．３点Ａ、Ｂ、Ｅは正５角形の３つの頂点となる。

　説明しているとややこしく感じますが、実際作図すればこんなに簡単に作図できるんだと
思ったものです。（他の方法もいろいろ書かれているが、どれもすぐに忘れてしまう。）

　この本はページ数（２４３ページ）の割には高価（税込みで５１４５円．．．ｆ(^^;) ）なのです
が、通常の本では見られない色々な幾何的問題があるアマチュア幾何学者と名のる著者
（DAVID WELLS)が集めていたものを訳したものである。世界にはこんな風変わりな人物が
いるお陰で、埋もれてしまっている思ってもいない問題が表に現れてくる。マーチン・ガード
ナーもびっくり驚き、興味津々の数々に出会えます。

（コメント）　ＧＡＩさんが感動された方法は、この頁の

　（２）内接する円の半径が分かっている場合

で紹介されています。また、「基本の作図」の中の「星型」もご参照ください。

（追記）　平成２７年２月１８日付け

　次の問題を、正５角形の問題ととらえる方はどれくらいいるのだろう。

　下図は、底面の円の半径３、母線の長さ１０の直円錐の展開図である。このとき、線分ＡＢ
の長さを求めよ。
　　

（解）　中心角∠ＡＯＢの大きさは、３６０°×６π/２０π＝１０８°なので、求める長さＡＢは

　　１辺の長さが１０の正５角形の対角線の長さである。１辺の長さが２の正５角形の対角線

　　の長さは、１＋なので、　ＡＢ＝５＋５　となる。　　（終）

（コメント）　高校生ならば、この問題は真っ先に余弦定理を思いつくだろうが、計算がとても
　　　　　　煩雑となる。

　上記の解のように、正５角形の１辺の長さ１に対して、対角線の長さ（（１＋）/２）が黄
金比になるという事実を知らなくても、冒頭の考え方と同様にして、相似な三角形を見つけ
れば、後は２次方程式の計算となる。

　

　上図において、２等辺三角形ＯＡＢは２等辺三角形ＣＢＯに相似である。

　よって、　１０：ｘ＝１０＋ｘ：１０　が成り立つ。すなわち、　ｘ²＋１０ｘ－１００＝０

　このとき、　ｘ＝－５＋５　なので、　ＡＢ＝５＋５　となる。

（コメント）　３６°、７２°の図形の扱いに慣れていないと難しいかも．．．。

（追記）　平成３０年７月７日付け

　最近、正５角形の作図を振り返る機会があり、その成果をまとめておきたい。

（１）　頂角３６°の二等辺三角形を利用する方法

　　底辺の長さを２とすると、等辺の長さは、＋１である。したがって、、ひいては
＋１の作図がポイントとなる。

　　

（２）　複素数平面を利用する方法（ガウス平面といった方が少しかっこいいかな？）

　　方程式　ｚ⁵＝１の解が正５角形の頂点を与える。

　ｚ＝cosθ＋ｉ・ｓｉｎθ　とおくと、ド・モアブルの定理から、　cos５θ＋ｉ・ｓｉｎ５θ＝１

　よって、　５θ＝２ｋπ　（ｋ＝０、１、２、３、４）　より、

　　　θ＝０、２π/５、４π/５、６π/５、８π/５

　このとき、方程式　ｚ⁵＝１の５つの解は、

　ｚ₁＝１、ｚ₂＝cos(２π/５)＋ｉ・ｓｉｎ(２π/５)、ｚ₃＝cos(４π/５)＋ｉ・ｓｉｎ(４π/５)、

　ｚ₄＝cos(６π/５)＋ｉ・ｓｉｎ(６π/５)、ｚ₅＝cos(８π/５)＋ｉ・ｓｉｎ(８π/５)

　ここで、ｚ₄＝cos(６π/５)＋ｉ・ｓｉｎ(６π/５)＝cos(２π－４π/５)＋ｉ・ｓｉｎ(２π－４π/５)

　　　　　　　＝cos(４π/５)－ｉ・ｓｉｎ(４π/５)　（←　ｚ₃ の共役複素数）

　ｚ₅＝cos(８π/５)＋ｉ・ｓｉｎ(８π/５)＝cos(２π－２π/５)＋ｉ・ｓｉｎ(２π－２π/５)

　　＝cos(２π/５)－ｉ・ｓｉｎ(２π/５)　（←　ｚ₂ の共役複素数）

　また、ｚ⁴＋ｚ³＋ｚ²＋ｚ＋１＝０　から、　（ｚ＋１/ｚ）²＋（ｚ＋１/ｚ）－１＝０

　よって、　ｚ＋１/ｚ＝（－１±）/２

　１/ｚは、ｚの共役複素数なので、　ｚ₂＋ｚ₅＝（－１＋）/２　、ｚ₃＋ｚ₄＝（－１－）/２

　すなわち、　cos(２π/５)＝（－１＋）/４　、cos(４π/５)＝（－１－）/４

　よって、（－１＋）/４や（－１－）/４が作図できれば、正５角形が作図できる。

　　

（コメント）　複素数平面で、－１/４を中心とし、半径/４の円を作図することにより、正５
　　　　　　角形が作図できるんですね！すごく単純化されました．．．。