あるものをある条件（数量の差や倍数関係）で、いくつかの部分に分ける問題は分配算と
言われる。
例えば、最も易しい分配算として、
１０００円をＡ、Ｂの２人で分ける。ＡがＢよりも４００円多いとき、Ａ、Ｂの持ち分を求
めよ。
を考えるとき、 １０００÷２±２００＝７００、３００ とすれば、直ちに解が求められる。
線分図の考え方を用いれば、 （Ｂ＋４００）＋Ｂ＝１０００ から、 Ｂ＝３００、Ａ＝７００
としても求められる。
（追記） 令和４年７月２５日付け
上記の問題で、１０００−４００＝６００（円） がＢの持ち分の２倍なので、Ｂの持ち分は、
３００円で、Ａの持ち分は、７００円とした方が実践的かもしれない。
このような考え方をいくつか練習しよう。
問題 ４０枚の色紙をＡ、Ｂ、Ｃの３人で分けると、ＢはＡの３倍より６枚少なく、ＣはＡの２倍
より４枚多いという。Ａ、Ｂ、Ｃの３人の持ち分を求めよ。
（解） ４０＋６−４＝４２（枚） は、Ａの持ち分の６倍なので、Ａの持ち分は、７枚
このとき、Ｂの持ち分は、 １５枚 、Ｃの持ち分は、 １８枚 （終）
問題 兄の所持金は弟の所持金の４倍より５０円少なく、兄と弟の所持金の差は、４００円
であるという。兄と弟の所持金をそれぞれ求めよ。
（解） 弟の所持金の３倍は、 ５０＋４００＝４５０（円） なので、弟の所持金は、１５０円
兄の所持金は、 ５５０円 （終）
（コメント） 上記の問題は、次の線分図を考えれば納得できるだろう。
問題 ８５枚のカードをＡ、Ｂ、Ｃの３人で分けると、ＢはＡの３倍、ＣはＢより６枚少ないという。
Ａは何枚のカードをもらったか？
（解） ８５＋６＝９１（枚） は、Ａのもらったカードの７倍に相当するので、Ａは、１３枚もらっ
た。 （終）
問題 ３つの整数Ａ、Ｂ、Ｃに対して、 Ａ÷Ｂ＝２２ ・・・ ６ 、Ｃ÷Ｂ＝４ ・・・ ５ で、
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝２００ という。このとき、Ａの値を求めよ。
（解） ２００−６−５＝１８９ は、２７Ｂに相当するので、 Ｂ＝７
よって、 Ａ＝２２×７＋６＝１６０ である。 （終）
（追記） 令和４年７月２６日付け
問題 ３つの整数Ａ、Ｂ、Ｃに対して、 Ａ÷Ｂ＝４ ・・・ ２ 、Ｂ÷Ｃ＝３ ・・・ ０ で、
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１４６ という。このとき、Ａの値を求めよ。
（解） Ａ÷Ｃ＝１２ ・・・ ２ で、１４６−２＝１４４ は、１６Ｃに相当するので、 Ｃ＝９
よって、 Ａ＝１２×９＋２＝１１０ である。 （終）
問題 兄の所持金は弟の所持金の２倍より５００円多く、兄と弟の所持金の和は、５０００円
であるという。兄と弟の所持金をそれぞれ求めよ。
（解） 題意より、弟の所持金の３倍は、 ５０００−５００＝４５００（円） なので、弟の所持金
は、１５００円 よって、兄の所持金は、３５００円 （終）
問題 ３つの整数Ａ、Ｂ、Ｃに対して、 Ｂ÷Ａ＝３ ・・・ ６ 、（Ｃ＋４）÷Ａ＝２ ・・・ ０ で、
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝９８ という。このとき、Ａの値を求めよ。
（解） ９８−６＋４＝９６ は、６Ａに相当するので、 Ａ＝１６ （終）
以下、工事中！
もう少し問題をレベルアップしよう。
問題 １０００円を３人Ａ、Ｂ、Ｃに分ける。ＡがＢの３倍より７００円少なく、ＢがＣの２倍より
２００円多いという。Ａの持ち分はいくらか。
（解） Ｂ＝２Ｃ＋２００ なので、 Ａ＝３Ｂ−７００＝６Ｃ−１００
よって、 （６Ｃ−１００）＋（２Ｃ＋２００）＋Ｃ＝９Ｃ＋１００＝１０００ より、 Ｃ＝１００
このとき、 Ａ＝５００ 、Ｂ＝４００ 、Ｃ＝１００ （終）
分配算はまた、やりとり算とも言われる。互いにものをやりとりするからである。
問題 Ａ、Ｂ、Ｃの３人が最初にいくらかのお金を持っている。今、Ａが所持金の半分をＢ
にあげ、次に、ＢがＣに所持金から５００円をあげ、最後に、ＣがＡに所持金から７００
円をあげたところ、Ａ、Ｂ、Ｃの所持金がそれぞれ９００円、８００円、６００円となった。
Ａ、Ｂ、Ｃの最初の所持金はそれぞれいくらか。
（解） Ａ÷２＋７００＝９００ より、 Ａ＝４００
Ｂ＋２００−５００＝８００ より、 Ｂ＝１１００
Ｃ＋５００−７００＝６００ より、 Ｃ＝８００ （終）
容器の液体を交互に少しずつ入れ替えるという問題は、パズルとして正統派だろう。
（→ 参考：「意外な実験」）
２つの容器Ａ、Ｂに同種の液体がそれぞれ異なった量ずつ入っている。次の操作を行う。
（１） Ａの液体の１/３をＢに移す。
（２） Ｂの液体の１/３をＡに移す。
この操作の結果、Ａ、Ｂの液体の量は何れも４リットルになった。
初めに各容器にはそれぞれどれだけの液体が入っていたか。
（解） 初めにＡ、Ｂに入っている液体の量をｘ、ｙとおく。
操作（１）により、Ａ、Ｂに入っている液体の量は、それぞれ （２/３）ｘ、ｙ＋（１/３）ｘ
操作（２）により、Ａ、Ｂに入っている液体の量は、それぞれ
（２/３）ｘ＋（１/３）（ｙ＋（１/３）ｘ）＝（７/９）ｘ＋（１/３）ｙ
（２/３）（ｙ＋（１/３）ｘ）＝（２/９）ｘ＋（２/３）ｙ
題意より、 （７/９）ｘ＋（１/３）ｙ＝４ 、（２/９）ｘ＋（２/３）ｙ＝４
すなわち、 ７ｘ＋３ｙ＝３６ 、２ｘ＋６ｙ＝３６
この連立方程式を解いて、 １２ｘ＝３６ より、 ｘ＝３ で、ｙ＝５ （終）
連立方程式を解けば解が求まるが、解法としては美しくない。算数的に解いてみよう。
（別解） 操作（２）により、Ａ、Ｂに入っている液体の量がそれぞれ４、４ということは、操
作（２）を行う直前のＡ、Ｂに入っている液体の量は、 ２ 、６ である。
実際に、操作（２）を行う直前のＡ、Ｂに入っている液体の量を、それぞれ ａ、ｂ とおくと、
操作（２）により、 ａ＋（１/３）ｂ 、（２/３）ｂ となる。
よって、 （２/３）ｂ＝４ から、 ｂ＝４÷（２/３）＝６ で、
ａ＝４−（１/３）・６＝２ となる。
操作（１）の結果、Ａ、Ｂに入っている液体の量がそれぞれ ２、６ なので、上記と同様
に考えて、 ｘ＝２÷（２/３）＝３ で、 ｙ＝６−（１/３）・３＝５ となる。 （終）
（ｘ＋ｙ＝８ を利用してもよい）
行列を利用すると、機械的に計算が進められるだろう。
操作（１）を表す行列Ｐは、
操作（２）を表す行列Ｑは、
なので、操作（１）（２）を表す行列ＰＱは、
となる。その逆行列は、
よって、
から、初めにＡ、Ｂに入っていた液体の量は、３リットル、５リットル となる。
問題をもう少しレベルアップしよう。
問題 ３つの容器Ａ、Ｂ、Ｃに同種の液体がそれぞれ異なった量ずつ入っている。次の操
作を行う。
（１） Ａの液体の半分を２等分して、それぞれ ＢとＣに移す。
（２） Ｂの液体の半分を２等分して、それぞれ ＣとＡに移す。
（３） Ｃの液体の半分を２等分して、それぞれ ＡとＢに移す。
この操作の結果、Ａ、Ｂ、Ｃの液体の量は何れも８リットルになった。
初めに各容器にはそれぞれどれだけの液体が入っていたか。
（解） 初めにＡ、Ｂ、Ｃに入っている液体の量をｘ、ｙ、ｚとおく。
操作（１）により、Ａ、Ｂ、Ｃに入っている液体の量は、それぞれ
（１/２）ｘ 、ｙ＋（１/４）ｘ 、ｚ＋（１/４）ｘ
操作（２）により、Ａ、Ｂ、Ｃに入っている液体の量は、それぞれ
（１/２）ｘ＋（１/４）（ｙ＋（１/４）ｘ）＝（９/１６）ｘ＋（１/４）ｙ
（１/２）（ｙ＋（１/４）ｘ）＝（１/８）ｘ＋（１/２）ｙ
ｚ＋（１/４）ｘ＋（１/４）（ｙ＋（１/４）ｘ）＝（５/１６）ｘ＋（１/４）ｙ＋ｚ
操作（３）により、Ａ、Ｂ、Ｃに入っている液体の量は、それぞれ
（９/１６）ｘ＋（１/４）ｙ＋（１/４）（（５/１６）ｘ＋（１/４）ｙ＋ｚ）＝（４１/６４）ｘ＋（５/１６）ｙ＋（１/４）ｚ
（１/８）ｘ＋（１/２）ｙ＋（１/４）（（５/１６）ｘ＋（１/４）ｙ＋ｚ）＝（１３/６４）ｘ＋（９/１６）ｙ＋（１/４）ｚ
（１/２）（（５/１６）ｘ＋（１/４）ｙ＋ｚ）＝（５/３２）ｘ＋（１/８）ｙ＋（１/２）ｚ
題意より、 （４１/６４）ｘ＋（５/１６）ｙ＋（１/４）ｚ＝８
（１３/６４）ｘ＋（９/１６）ｙ＋（１/４）ｚ＝８
（５/３２）ｘ＋（１/８）ｙ＋（１/２）ｚ＝８
すなわち、
４１ｘ＋２０ｙ＋１６ｚ＝５１２ 、１３ｘ＋３６ｙ＋１６ｚ＝５１２ 、５ｘ＋４ｙ＋１６ｚ＝２５６
ｚ を消去して、 ７ｘ−４ｙ＝０ 、ｘ＋４ｙ＝３２
この連立方程式を解いて、 ８ｘ＝３２ より、 ｘ＝４ で、ｙ＝７ 、ｚ＝１３ （終）
方程式を立てれば必ず解けるが、結構大変である。これも逆算で求めた方が楽でしょう。
Ａ：８ 、Ｂ：８ 、Ｃ：８
操作（３）の実行 ↑
Ａ：４ 、Ｂ：４ 、Ｃ：１６
操作（２）の実行 ↑
Ａ：２ 、Ｂ：８ 、Ｃ：１４
操作（１）の実行 ↑
Ａ：４ 、Ｂ：７ 、Ｃ：１３
以上から、初めにＡ、Ｂ、Ｃに入っていた液体の量は、それぞれ
４リットル、７リットル、１３リットル
である。
読者のために練習問題を残しておこう。（令和４年４月３０日付け）
練習問題 ３つの容器Ａ、Ｂ、Ｃに同種の液体がそれぞれ異なった量ずつ入っている。次
の操作を行う。
（１） Ａの液体の１/４をＢに移す。
（２） Ｂの液体の１/４をＣに移す。
（３） Ｃの液体の１/４をＡに移す。
この操作の結果、Ａ、Ｂ、Ｃの液体の量は何れも９リットルになった。
初めに各容器にはそれぞれどれだけの液体が入っていたか。
（解）
Ａ：９ 、Ｂ：９ 、Ｃ：９
操作（３）の実行 ↑
Ａ：６ 、Ｂ：９ 、Ｃ：１２
操作（２）の実行 ↑
Ａ：６ 、Ｂ：１２ 、Ｃ：９
操作（１）の実行 ↑
Ａ：８ 、Ｂ：１０ 、Ｃ：９
以上から、初めにＡ、Ｂ、Ｃに入っていた液体の量は、それぞれ
８リットル、１０リットル、９リットル
である。 （終）
さらに、問題を続けよう。今度は５人の場合である。
問題 ５人の兄弟Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅで、たくさんある金貨を、次のように分配した。
まず、Ａが８１枚、残り４人は、８１＞Ｂ＞Ｃ＞Ｄ＞Ｅ となるように金貨を受領した。
そして、次のような操作を行った。
操作（１） Ａは、他の４人の持ち分が２倍になるように自分の持ち分から金貨を分け与える。
操作（２） Ｂは、他の４人の持ち分が２倍になるように自分の持ち分から金貨を分け与える。
操作（３） Ｃは、他の４人の持ち分が２倍になるように自分の持ち分から金貨を分け与える。
操作（４） Ｄは、他の４人の持ち分が２倍になるように自分の持ち分から金貨を分け与える。
操作（５） Ｅは、他の４人の持ち分が２倍になるように自分の持ち分から金貨を分け与える。
以上の操作（１）〜（５）の結果、５人の持ち分は同じになったという。
初めに金貨は何枚あって、それを５人の兄弟Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅはどのように受領したのだ
ろうか。
これも逆算により簡便に求められる。
（解） 全体を１とする。
Ａ：１/５ 、Ｂ：１/５ 、Ｃ：１/５ 、Ｄ：１/５ 、Ｅ：１/５
操作（５）の実行 ↑
Ａ：１/１０ 、Ｂ：１/１０ 、Ｃ：１/１０ 、Ｄ：１/１０ 、Ｅ：３/５
操作（４）の実行 ↑
Ａ：１/２０ 、Ｂ：１/２０ 、Ｃ：１/２０ 、Ｄ：１１/２０ 、Ｅ：３/１０
操作（３）の実行 ↑
Ａ：１/４０ 、Ｂ：１/４０ 、Ｃ：２１/４０ 、Ｄ：１１/４０ 、Ｅ：３/２０
操作（２）の実行 ↑
Ａ：１/８０ 、Ｂ：４１/８０ 、Ｃ：２１/８０ 、Ｄ：１１/８０ 、Ｅ：３/４０
操作（１）の実行 ↑
Ａ：８１/１６０ 、Ｂ：４１/１６０ 、Ｃ：２１/１６０ 、Ｄ：１１/１６０ 、Ｅ：３/８０
最初にＡは８１枚だったので、金貨の総数は１６０枚となる。
このとき、Ｂは４１枚、Ｃは２１枚、Ｄは１１枚、Ｅは６枚 となる。 （終）
読者のために練習問題を残しておこう。市川学園中学の入試問題（２０１７）の改題です。
練習問題 ２０００円を、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ の４人で分配する。もらう順番と配分（１００円硬貨単
位で分配し、金額はそれぞれ異なり、かつ、それぞれもらう金額は２００円以上）
はあみだくじで決めた。金額をもらうとき、４人は次のように発言した。
Ａ：残りの１/３をもらった。
Ｂ：残りの１/４をもらった。
Ｃ：Ｂより、もらった金額は少なかった。
Ｄ：残り全部もらった。
さて、このとき、Ｃはいくらもらったのだろうか？
（解） ４人の発言から、最後にもらったのはＤで、ＣはＢの後にもらったことが分かる。
起こり得る可能性は、 Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ、Ｂ→Ａ→Ｃ→Ｄ、Ｂ→Ｃ→Ａ→Ｄ の３通り
まず、Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄの場合
Ａ：２０００×１/３ は、「１００円硬貨単位で分配」に矛盾し、この場合は起こり得ない。
次に、Ｂ→Ａ→Ｃ→Ｄの場合
Ｂ：２０００×１/４＝５００
Ａ：１５００×１/３ は、「１００円硬貨単位で分配」に矛盾し、この場合は起こり得ない。
最後に、Ｂ→Ｃ→Ａ→Ｄの場合
Ｂ：２０００×１/４＝５００
残り１５００円のうち、Ｃがもらえる金額の可能性は、２００円、３００円、４００円
Ｃ：２００ のとき、 Ａ：１３００×１/３ で、「１００円硬貨単位で分配」に矛盾
Ｃ：３００ のとき、 Ａ：１２００×１/３＝４００ で、 Ｄ：８００ これは、起こり得る。
Ｃ：４００ のとき、 Ａ：１１００×１/３ で、「１００円硬貨単位で分配」に矛盾
以上から、Ｃがもらった金額は、 ３００円 （終）
次は、愛光中学の入試問題（２００８）の改題です。
練習問題 Ａ、Ｂ、Ｃの３人がいくらかずつお金を持っている。Ａの所持金を２倍するとＢの
所持金の３倍より１８０円多くなり、Ｂが所持金の１/４をＣにあげたとしてもＢはＣ
より６０円多いという。
このとき、Ａの所持金とＢ、Ｃ２人の所持金の合計では、どちらがいくら多いか？
また、３人の所持金の合計が９３０円のとき、Ｃの所持金はいくらか？
（解） ２Ａ＝３Ｂ＋１８０ より、 Ａ＝（３/２）Ｂ＋９０
（３/４）Ｂ＝Ｃ＋（１/４）Ｂ＋６０ より、 Ｃ＝（１/２）Ｂ−６０ なので、 Ｂ＋Ｃ＝（３/２）Ｂ−６０
よって、 Ａ−（Ｂ＋Ｃ）＝９０＋６０＝１５０ なので、Ａの所持金の方が１５０円多い。
また、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝３Ｂ＋３０＝９３０ より、 Ｂ＝３００
このとき、 Ｃ＝１５０−６０＝９０ で、 Ａ＝４５０＋９０＝５４０ （終）
分配算は、中学入試では頻出の分野である。もう少し、問題を練習しておこう。
問題 ２つの整数があり、その和が３００で、大きい方の数を小さい方の数で割ると商が
６で、余りが２７になるという。このとき、２つの整数を求めよ。
（解） 題意より、 ｛（小さい数）×６＋２７｝＋（小さい数）＝３００ なので、
（小さい数）×７＝２７３ から、 （小さい数）＝３９ で、
（大きい数）＝３００−３９＝２６１ （終）
問題 Ａ、Ｂ、Ｃの３人がそれぞれいくらかずつ支払った。Ａの払った金額はＢの２倍で、そ
の後Ｂは、Ａに４００円、Ｃに３００円払ったところ、３人の支払額が同じになったという。
Ａ、Ｂ、Ｃの３人が初めに支払った金額はそれぞれいくらか。
（解） 題意より、 Ｂ−４００＝４００＋３００ なので、 Ｂ＝１１００ 、Ａ＝２２００
Ｃ−３００＝１１００＋４００＋３００ より、 Ｃ＝２１００
以上から、Ａ、Ｂ、Ｃの３人が初めに支払った金額はそれぞれ
２２００円 、１１００円 、２１００円
である。 （終）
（追記） 令和４年５月８日付け
次の問題は、支払い方法が斬新ですね！
問題 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人がお金を出し合った。まず、Ａは全体の１/３を支払い、次に、Ｂ
は他の３人（Ａ、Ｃ、Ｄ）が出したお金の１/２、Ｃは、他の３人（Ａ、Ｂ、Ｄ）が出したお金
の１/３を支払い、その結果、Ｄの支払う金額は６０円となった。
果たして、４人全体で支払った金額はいくらであるか。
（解） ４人全体で支払った金額をＴとおくと、題意より、
Ａ＝Ｔ/３ 、Ｂ＝（Ｔ−Ｂ）/２ 、Ｃ＝（Ｔ−Ｃ）/３ 、Ｄ＝６０
このとき、 Ｂ＝Ｔ/３ 、 Ｃ＝Ｔ/４ なので、
Ｔ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝（１１/１２）Ｔ＋６０ から、 Ｔ＝７２０
よって、４人全体で支払った金額は、７２０円である。 （終）
次は、溶液の配分の問題です。
問題 ２つの容器Ａ、Ｂがあり、ＡにはＢの２倍の溶液が入っている。Ａから３０リットル、Ｂ
から２０リットルを注ぎだしたところ、ＡにはＢの３倍の溶液が入っていることになった。
初めに、Ａ、Ｂの容器にはどれだけ溶液が入っていたか。
（解） 題意より、 Ａ＝２Ｂ 、 Ａ−３０＝３（Ｂ−２０） なので、
２Ｂ−３０＝３Ｂ−６０ より、 Ｂ＝３０ よって、Ａ＝６０ （終）
（追記） 令和４年５月２１日付け
武蔵中学の入試問題（２０１４）です。一部改題しました。
問題 Ａの所持金はＢの３倍である。今、Ａが所持金の１/２より４８０円多い金額をＢにあ
げた。その後、Ｂがそのときの所持金の１/３の金額をＡに戻したところ、２人の所持
金は等しくなった。Ａの初めの所持金はいくらであったか。
（解） Ａ＝３Ｂ で、Ａ→Ｂ の金額は、 （３/２）Ｂ＋４８０ なので、
Ｂの所持金は、 Ｂ＋（（３/２）Ｂ＋４８０）＝（５/２）Ｂ＋４８０ に増えた。
次に、 Ｂ→Ａ の金額は、 （１/３）（（５/２）Ｂ＋４８０）＝（５/６）Ｂ＋１６０ なので、
Ａの所持金は、 ３Ｂ−（（３/２）Ｂ＋４８０）＋（（５/６）Ｂ＋１６０）＝（７/３）Ｂ−３２０
また、Ｂの所持金は、 （５/２）Ｂ＋４８０−（（５/６）Ｂ＋１６０）＝（５/３）Ｂ＋３２０
題意より、 （７/３）Ｂ−３２０＝（５/３）Ｂ＋３２０ となるので、 Ｂ＝９６０
このとき、 Ａ＝９６０×３＝２８８０ となる。
よって、Ａの初めの所持金は、２８８０円である。 （終）
上記の問題を逆算で求めてみよう。
（別解） 問題の操作で、２人の所持金がともに ａ 円になったとすると、
ａ ａ
Ｂ→Ａの操作↑
（１/２）ａ （３/２）ａ
Ａ→Ｂの操作↑
ａ＋９６０ ａ−９６０
よって、題意より、 ａ＋９６０＝３（ａ−９６０） なので、 ａ＝１９２０
以上から、Ａの初めの所持金は、１９２０＋９６０＝２８８０（円） である。 （終）
（追記） 令和４年６月６日付け
甲と乙がそれぞれの所持金について話し合っていた。
甲：「私に８００円くれれば、私の所持金は君の２倍になるね。」
乙：「君は私よりたくさん持っているんだから、君こそ私に８００円くれよ。そうすれば、私と
君の所持金は同じになるんだから。」
さて、甲と乙の所持金は、それぞれいくらか？
（解） 甲＋８００＝２（乙−８００） より、 甲＝２乙−２４００
甲−８００＝乙＋８００ より、 甲＝乙＋１６００
よって、 ２乙−２４００＝乙＋１６００ より、 乙＝４０００ で、甲＝５６００ （終）
線分図を用いれば、文字を使わないで解くことができる。
上図から、
甲の所持金は、 （８００×４）×２−８００＝５６００（円）
乙の所持金は、 ８００×４＋８００＝４０００（円）
である。
以下、工事中！