左図のように、それぞれミルクとあずき餡の入った容器 　　がある。ミルクとあずき餡は同量とする。 　　　いま、ミルクの入った容器からスプーン一杯を取り出し、 　　それをあずき餡の容器に入れて、よくかき混ぜる。 　　　その後、今度は、あずき餡の入った容器から、スプーン 　　一杯を取り出し、ミルクの容器に入れる。

　このとき、ミルクの容器の中のあずき餡の量と、あずき餡の容器の中のミルクの量では、
どちらが多いだろうか？

　この問題を初めて見た人にとっては、きっと、「ミルクの方が多い？」、いや、「あずき餡の
方が多い？」と悩むことだろう。私自身もそうだった。実は、答えは「同じ！」なのである。

　次のように考えると、明らかである。

最初に、ミルクとあずき餡がそれぞれスプーン２杯分入っているものとする。このとき、

　以上の計算から、確かに両者の量は同じである。この関係は、両者を何倍しても変わら
ない。


（参考文献：Ｅ．Ｐ．ノースロップ　著　松井政太郎　訳　ふしぎな数学（みすず書房））


　上記では分数計算をして問題を解いたが、次のように図式化すると分かりやすい。

→

→

　この操作をもう１回やったらどうなるだろうか？興味があったので実験してみた。

→

→

ミルクの容器のあずき餡の量は、　０　→　１/３　→　４/９　→　・・・　と移り変わる。

だんだんと、１/２ に収束するような．．．予感。（当たり前か！）

　漸化式を使って、計算してみよう。

　上記の操作を、ｎ 回行った後のミルクの容器のミルクとあずき餡の量をそれぞれ、ａ_ｎ 、

ｂ_ｎ　とおく。このとき、あずき餡の容器のミルクとあずき餡の量はそれぞれ、ｂ_ｎ 、ａ_ｎ　と

なる。　また、　ａ₀ ＝１　、ｂ₀ ＝０　である。

　漸化式　　ａ_ｎ+1＝（２/３）｛（１/２）ｂ_ｎ＋ａ_ｎ｝＝（２/３）ａ_ｎ＋（１/３）ｂ_ｎ

　ｂ_ｎ+1＝（２/３）｛（１/２）ａ_ｎ＋ｂ_ｎ｝＝（１/３）ａ_ｎ＋（２/３）ｂ_ｎ

が成り立つので、ｂ_ｎ を消去して、　３ａ_ｎ+2−４ａ_ｎ+1＋ａ_ｎ＝０、ａ₀ ＝１　、ａ₁ ＝２/３

これより、　ａ_ｎ+2−（１/３）ａ_ｎ+1＝ａ_ｎ+1−（１/３）ａ_ｎ　から、　ａ_ｎ+1−（１/３）ａ_ｎ＝１/３

　ａ_ｎ+2−ａ_ｎ+1＝（１/３）｛ａ_ｎ+1−ａ_ｎ｝　から、　ａ_ｎ+1−ａ_ｎ＝（１/３）^ｎ（−１/３）＝−（１/３）^ｎ+1

よって、　　ａ_ｎ＝（１/２）｛１＋（１/３）^ｎ｝　となり、同様にして、　ｂ_ｎ＝（１/２）｛１−（１/３）^ｎ｝

　このことから、　ｎ　→　∞　のとき、確かに、　ａ_ｎ　→　１/２　、　ｂ_ｎ　→　１/２　である。


（参考文献：　吉永良正　著　　数学のセンス　　（ダイヤモンド社））


（追記）　平成２０年９月１８日付け

　冒頭の問題では、液体の量が明示されていないので、多少レベルが高いが、次のように
具体的に問題設定がなされていれば計算してみようという気にもなるだろう。

　焼酎０．５リットル入った容器Ａとお湯１．５リットル入った容器Ｂがある。まず、Ａか
ら０．１リットルをＢに移し、よくかき混ぜて逆に今度はＢから０．１リットルをＡに戻す。

　このとき、Ａにおけるお湯の割合とＢにおける焼酎の割合はどちらの方が多いだろ
うか？

　この操作を繰り返すとき、Ｂにおける焼酎の濃度はだんだん高くなるが、何％に近
づくだろうか？

　答えは、もちろん同じ割合で、操作を続けると、２５％に近づく。

（コメント）　後半の問いかけが、目新しいですね！


（追記）　令和６年１１月１６日付け

　冒頭の問題と同趣旨の問題が、東北大学　文系（１９８５）で出題された。

問題　　濃度ａ％の食塩水６Ｌが入っている容器Ａと、濃度ｂ％の食塩水４Ｌが入っている容
　　器Ｂがある。Ａより１Ｌの食塩水をとって、それをＢにうつし、よく混ぜ合わせた後に同量を
　　Ａに戻すものとする。この操作を ｋ 回くり返したときのＡ、Ｂの食塩水の濃度をそれぞれ
　　ａ_ｋ％、ｂ_ｋ％とする。

（１）　ｂ_ｋ−ａ_ｋ はどのような数列となる。.
（２）　ａ_ｋ、ｂ_ｋ を求めよ。

（解）（１）　Ａより１Ｌの食塩水をとって、それをＢにうつすと、食塩 １０００・ａ/１００＝１０ａ(ｇ）

がＢに移る。

　そのとき、Ａに残る食塩の量は、６０００・ａ/１００−１０００・ａ/１００＝５０ａ（ｇ）

　Ｂに含まれる食塩の量は、　４０００・ｂ/１００＋１０ａ＝１０ａ＋４０ｂ（ｇ）　となる。

このとき、濃度 ｂ₁ は、　ｂ₁＝（１０ａ＋４０ｂ）/５０００・１００＝（ａ＋４ｂ）/５（％）

次に、Ｂより１Ｌの食塩水をとって、それをＡにうつすと、

　食塩 １０００・（ａ＋４ｂ）/５００＝２ａ＋８ｂ(ｇ）

がＡに移る。このとき、濃度 ａ₁ は、

　ａ₁＝（２ａ＋８ｂ＋５０ａ）/６０００・１００＝（１３ａ＋２ｂ）/１５（％）

これより、一般に、ａ＝ａ₀　、ｂ＝ｂ₀　として、

　ａ_k+1＝（１３ａ_ｋ＋２ｂ_ｋ）/１５（％）　、ｂ_k+1＝（ａ_ｋ＋４ｂ_ｋ）/５（％）

よって、　ｂ_k+1−ａ_k+1＝（２/３）（ｂ_ｋ−ａ_ｋ）　から、

　ｂ_ｋ−ａ_ｋ は、初項 ｂ−ａ で、公比 ２/３ の等比数列となる。

したがって、　ｂ_ｋ−ａ_ｋ＝（ｂ−ａ）・（２/３）^k

（２）　ａ_k+1＝（１３ａ_ｋ＋２ｂ_ｋ）/１５　より、

　ａ_k+1−ａ_ｋ＝（２/１５）（ｂ_ｋ−ａ_ｋ）＝（２/１５）（ｂ−ａ）・（２/３）^k

すなわち、　ａ_k−ａ_ｋ-1＝（２/１５）（ｂ−ａ）・（２/３）^k-1

　ａ_k-1−ａ_ｋ-2＝（２/１５）（ｂ−ａ）・（２/３）^k-2

　・・・・・・・・・・・・・・・

　ａ₁−ａ＝（２/１５）（ｂ−ａ）・１

より、　ｋ≧１　のとき、

ａ_k−ａ＝（２/１５）（ｂ−ａ）・（１＋（２/３）＋・・・＋（２/３）^k-1）＝（２/５）（ｂ−ａ）・（１−（２/３）^k）

よって、

　ａ_k＝ａ＋（２/５）（ｂ−ａ）・（１−（２/３）^k）＝（３ａ＋２ｂ）/５−（２/５）（ｂ−ａ）・（２/３）^k

　この式は、ｋ＝０　のときも成り立つ。

また、ｂ_ｋ−ａ_ｋ＝（ｂ−ａ）・（２/３）^k　より、

　ｂ_ｋ＝ａ_ｋ＋（ｂ−ａ）・（２/３）^k

＝（３ａ＋２ｂ）/５−（２/５）（ｂ−ａ）・（２/３）^k＋（ｂ−ａ）・（２/３）^k

＝（３ａ＋２ｂ）/５＋（３/５）（ｂ−ａ）・（２/３）^k　　（終）


（コメント）　食塩水の濃度の問題は、食塩量に着目するのがポイントですね！



　　以下、工事中！