電卓には必ずといっていいほど平方根の計算ができるように、√キーが付いている。
ところで、＋、−、×、÷、√ を用いて表される数は、定木・コンパスを用いて作図可能であ
ることが知られている。（詳しくは、こちらを参照）
ということは、我々は、作図可能な世界と常に接しているわけで、毎日数学の世界と関わり
の機会を持ちながら、生きていることになる。そう考えると、何か不思議な気分だ。
最近、その平方根を用いて、３乗根を求める方法があることを知った。
普通は、関数電卓やパソコンの表計算ソフトを利用して、３乗根の計算はなされる。あるいは、
Ｈｏｒｎｅｒ の方法などが知られている。
ここでは、手もとにある、どこにでもあるような普通の電卓を利用して、３乗根を求める方法を
紹介しようと思う。
数列｛ａn｝において、漸化式
ａ1＝ａ、４ａn+1＝ａn＋１ （ｎ≧１）
を考える。
このとき、この漸化式は、４（ａn+1−1/３）＝ａn−1/３ と変形できるので、一般項 ａn は、
ａn＝1/３＋（１/４）n-1（ａ−1/３）
となる。
したがって、
ｎ → ∞ のとき、 ａn → 1/３
となる。
この漸化式を用いると、平方根を利用して、３乗根（の近似値）が求められる。
３乗根を求めたい数を、Ｎ とする。このとき、次の式が成り立つ。
ここで、
とおくと、
となる。
この式が、Ｎの３乗根を求めるプロセスを与える。
ところで、 ｎ → ∞ のとき、 ａn → 1/３ なので、確かに
が成り立つ。例 ２ の ３ 乗根
を求めよ。まず、Ｘ1 ＝ ２ として、（← ここは任意に適当な数を選ぶ）
Ｘ2 ＝ ( Ｘ1 に、Ｎ＝２ を掛けて、平方根を２回とる）＝１．４１４２１３５６２３７
Ｘ3 ＝ ( Ｘ2 に、Ｎ＝２ を掛けて、平方根を２回とる）＝１．２９６８３９５５４６４
Ｘ4 ＝ ( Ｘ3 に、Ｎ＝２ を掛けて、平方根を２回とる）＝１．２６９０５０９５７１８
以下同様にして、
Ｘ5 ＝１．２６２１９７３５０３８
Ｘ6 ＝１．２６０４８９７３９８６
Ｘ7 ＝１．２６００６３１９８３２
Ｘ8 ＝１．２５９９５６５８５４９
Ｘ9 ＝１．２５９９２９９３３６９
Ｘ10 ＝１．２５９９２３２７０８３
Ｘ11 ＝１．２５９９２１６０５１２
Ｘ12 ＝１．２５９９２１１８８６９
Ｘ13 ＝１．２５９９２１０８４５９
Ｘ14 ＝１．２５９９２１０５８５６
Ｘ15 ＝１．２５９９２１０５２０５
Ｘ16 ＝１．２５９９２１０５０４３
Ｘ17 ＝１．２５９９２１０５００２
Ｘ18 ＝１．２５９９２１０４９９２
Ｘ19 ＝１．２５９９２１０４９８９
Ｘ20 ＝１．２５９９２１０４９８９ （← そろそろ計算が安定してきた！）
･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・
以上の計算から、
≒ １．２５９９２１０４９８９であることが分かる。
因みに、関数電卓を用いれば、２の３乗根は、１．２５９９２１０５ と瞬時に求めることができ
るが、上記の方法で感心するのは、簡易な電卓でも、時間をかければ、十分３乗根も計算が
可能であるという点である。
（参考文献：野崎昭弘・何森 仁・伊藤潤一・小沢健一 著
数と計算の意味がわかる （ベレ出版））
（追記） 同様の手法で、５乗根、７乗根も求められる。
例 ２ の ５ 乗根
を求めよ。数列｛ａn｝において、漸化式
ａ1＝ａ、１６ａn+1＝ａn＋３ （ｎ≧１）
を考える。
このとき、この漸化式は、１６（ａn+1−1/５）＝ａn−1/５ と変形できるので、一般項 ａn は、
ａn＝1/５＋（１/１６）n-1（ａ−1/５）
となる。
したがって、
ｎ → ∞ のとき、 ａn → 1/５
となる。
この漸化式を用いると、平方根を利用して、５乗根（の近似値）が求められる。
５乗根を求めたい数を、Ｎ とする。このとき、次の式が成り立つ。
ここで、
とおくと、
となる。
この式が、Ｎの５乗根を求めるプロセスを与える。
ところで、 ｎ → ∞ のとき、 ａn → 1/５ なので、確かに
が成り立つ。まず、Ｘ1 ＝ ２ として、（← ここは任意に適当な数を選ぶ）
Ｘ2 ＝ ( Ｘ1 に、Ｎ＝２3＝８ を掛けて、平方根を４回とる）＝１．１８９２０７１１５
Ｘ3 ＝ ( Ｘ2 に、Ｎ＝８ を掛けて、平方根を４回とる）＝１．１５１１８９２２９９４
Ｘ4 ＝ ( Ｘ3 に、Ｎ＝８ を掛けて、平方根を４回とる）＝１．１４８８５３８７６６５
以下同様にして、
Ｘ5 ＝１．１４８７０８０７４４８
Ｘ6 ＝１．１４８６９８９６２４５
Ｘ7 ＝１．１４８６９８３９２９６
Ｘ8 ＝１．１４８６９８３５７３６
Ｘ9 ＝１．１４８６９８３５５１３
Ｘ10 ＝１．１４８６９８３５５００
Ｘ11 ＝１．１４８６９８３５４９９
Ｘ12 ＝１．１４８６９８３５４９９ （← そろそろ計算が安定してきた！）
･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・
以上の計算から、
≒ １．１４８６９８３５４９９であることが分かる。
例 ２ の ７ 乗根
を求めよ。数列｛ａn｝において、漸化式
ａ1＝ａ、８ａn+1＝ａn＋１ （ｎ≧１）
を考える。
このとき、この漸化式は、８（ａn+1−1/７）＝ａn−1/７ と変形できるので、一般項 ａn は、
ａn＝1/７＋（１/８）n-1（ａ−1/７）
となる。
したがって、
ｎ → ∞ のとき、 ａn → 1/７
となる。
この漸化式を用いると、平方根を利用して、７乗根（の近似値）が求められる。
７乗根を求めたい数を、Ｎ とする。このとき、次の式が成り立つ。
ここで、
とおくと、
となる。
この式が、Ｎの７乗根を求めるプロセスを与える。
ところで、 ｎ → ∞ のとき、 ａn → 1/７ なので、確かに
が成り立つ。まず、Ｘ1 ＝ ２ として、（← ここは任意に適当な数を選ぶ）
Ｘ2 ＝ ( Ｘ1 に、Ｎ＝２ を掛けて、平方根を３回とる）＝１．１８９２０７１１５
Ｘ3 ＝ ( Ｘ2 に、Ｎ＝２ を掛けて、平方根を３回とる）＝１．１１４３８６７４２５９
Ｘ4 ＝ ( Ｘ3 に、Ｎ＝２ を掛けて、平方根を３回とる）＝１．１０５３７１４４５６９
以下同様にして、
Ｘ5 ＝１．１０４２４９６７３８３
Ｘ6 ＝１．１０４１０９５３２４１
Ｘ7 ＝１．１０４０９２０１５９９
Ｘ8 ＝１．１０４０８９８２６４５
Ｘ9 ＝１．１０４０８９５５２７６
Ｘ10 ＝１．１０４０８９５１８５５
Ｘ11 ＝１．１０４０８９５１４２７
Ｘ12 ＝１．１０４０８９５１３７４
Ｘ13 ＝１．１０４０８９５１３６８
Ｘ14 ＝１．１０４０８９５１３６７
Ｘ15 ＝１．１０４０８９５１３６７ （← そろそろ計算が安定してきた！）
･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・
以上の計算から、
≒ １．１０４０８９５１３６７であることが分かる。