２次曲線　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　戻る

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年６月１３日付け）

　 ２次曲線では有名な証明問題です。

　２次曲線の1つの焦点Fを通る弦の両端をP、Qとするとき、

　　　1/FP+1/FQ

は弦の方向に関係なく一定である。

　これを証明せよ。































（答）　２次曲線は、定点Ｆと、点Ｆを通らない定直線Ｌからの距離の比が一定な点Ｐの軌跡と定
　　　義される。

　今、点Ｆから直線Ｌに下ろした垂線の足をＨとし、その垂線の長さ（ＦＨ）を、ｋとおく。右図
のように、Ｆを極とし、ＨＦの方向に始線を定める。

　点Ｐより直線Ｌに下ろした垂線の足をＱとするとき、
定義より、
　　　　　　　　
である。
　右図より、　ＰＱ＝ｋ＋ｒｃｏｓθ　なので、この式に、
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
を代入して整理すれば、次のような極方程式が得ら
れる。

　　　　　

ここで、０＜ｅ＜１ のとき、楕円、ｅ＝１ のとき、放物線、ｅ＞１ のとき、双曲線を表す。

　また、定点Ｆを焦点、定直線Ｌを準線という。

　このことから、

　　1/FP+1/FQ＝（１−ｅｃｏｓθ）/ｌ＋（１−ｅｃｏｓ（θ＋π））/ｌ＝２/ｌ（＝一定）

と示される。


　よおすけさんからのコメントです。（平成２４年６月１５日付け）

　２次曲線が楕円の場合、1/FP+1/FQが弦の方向に関係なく一定であることは、以下のよう
にできます。

　PQを、ｘ=c+tcosα、ｙ=tsinαとし、楕円の方程式 ｘ2/ａ2+ｙ2/(ａ2-ｃ2))=1　に代入すると、

　　(ａ2-ｃ2)(c+tcosα)2+(ａtsinα)2=ａ2(ａ2-ｃ2)

　すなわち、　(ａ2-ｃ2(cosα)2)t2+2ct(ａ2-ｃ2)cosα-(ａ2-ｃ2)2=0

　この２つの解を、t[1]、t[2]とすると、　FP=|t[1]|、FQ=|t[2]|より、

　　1/FP+1/FQ=(|t[1]|+|t[2]|)/(|t[1]|×|t[2]|)

　ここで、　t[1]×t[2]＜0　だから、　|t[1]|+|t[2]|=|t[1]-t[2]|

　これを２乗して、

　(t[1]-t[2])2={(2c(ａ2-ｃ2)cosα)/(ａ2-ｃ2(cosα)2)}2+{(4(ａ2-ｃ2)2)/(ａ2-ｃ2(cosα)2}

　　　　　　　 ={(4a2(ａ2-ｃ2)2)/(ａ2-ｃ2(cosα)2)2}

　よって、　|t[1]-t[2]|={(2ａ(ａ2-ｃ2))/(ａ2-ｃ2(cosα)2)}

　　　　　　　|t[1]×t[2]|={(ａ2-ｃ2)2/(ａ2-ｃ2(cosα)2)}

　より、　1/FP+1/FQ=2a/(ａ2-ｃ2)　(一定)


（コメント）　極座標を用いた証明に慣れてしまうと、個別の証明が難しく感じられますね！