面積計算２８ 　 　 　　　 　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「なつ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（令和６年１月２２日付け）

　美しい図形問題を紹介するので、よかったら解いてみてください。算数として解けます。

　等脚台形ABCDにおいて、AD//BC　、∠ABC＝∠DCB＝45°、∠ACB＝15°、

∠ACD＝30°、AD＝10cm　とする。

　　

このとき、四角形ABCDの面積は？
































（答）　面積＝５０（ｃｍ²）

　実際に、下図において、　ＰＡ＝５　で、△ＡＰＣにおいて、ＰＣ＝５

　　

よって、ＰＢ＝５　から、ＡＢ＝５（−）　となるので、　直角三角形ＡＢＨにおいて、

　ｈ＝５（−１）　となる。これが、等脚台形の高さとなる。

よって、等脚台形ＡＢＣＤの面積は、

　（２ｈ＋１０＋１０）×ｈ×（１/２）＝５（＋１）×５（−１）＝５０（ｃｍ²）　　（終）


　壊れた扉さんから、解答をご投稿いただきました。（令和６年１月２２日付け）

　多分、模範解答じゃないと思いますが．．．。

　等脚台形ＡＢＣＤを４つ使って、ＢＣを１辺とした正方形とＡＤを１辺とした正方形を作ります。

外側の正方形を反時計回りにＢＣＥＦ、内側の正方形を反時計回りにＡＤＧＨとします。

　ここで、ＤからＢＣに垂線を下ろし、その足を Ｉ とすると、△ＤＩＣは直角二等辺三角形より、

辺ＡＢの外側に移動させ、点 Ｉ の行き先をＪとすると、四角形ＪＢＩＤは長方形になります。

また、ＡＨの延長とＦＥとの交点をＫ、ＨＧの延長とＥＣとの交点をＬとすると、四角形ＦＪＡＫ、

四角形ＫＨＬＥ、四角形ＧＩＣＬは皆、長方形ＪＢＩＤと合同な長方形になり、対称性から、四角

形ＫＪＩＬは正方形になります。

　　

　ところで、ＢＡの延長とＣＤの延長との交点をＯとすると、Ｏは正方形ＢＣＥＦの中心で、

∠ＢＯＣ＝９０°　即ち、∠ＡＯＣ＝９０°、∠ＯＣＡ＝３０°より、△ＯＡＣは、３０°、６０°、

９０°の直角三角定規型になります。

よって、ＯＡ ： ＡＣ＝１ ： ２　より、ＯＡ＝ ｘ （ｃｍ）　と置くと、ＡＣ＝２ｘ （ｃｍ）

また、ＪＩ＝ＡＣ　より、ＪＩ＝２ｘ （ｃｍ）

　ところで、求めたいのは、台形ＡＢＣＤ＝長方形ＪＢＩＤ＝△ＪＤＩ×２　より、

　(正方形ＫＪＩＬ−正方形ＡＤＧＨ)÷４×２　・・・　☆　を求めれば良い。

よって、{(２ｘ)(２ｘ)−１０・１０}÷４×２＝(４ｘ²−１００)÷２　・・・　�@

また、△ＯＡＤ＝ｘ²/２　で、△ＯＡＤ＝１０²/４＝２５（ｃｍ²）　より、ｘ²＝５０（ｃｍ²）　・・・　�A

�Aを�@に代入すると、答えは、(４×５０−１００)÷２＝５０（ｃｍ²）　　（終）


＃模範解答はエレガントなのでしょうね。模範解答に期待しています。


　よおすけさんからのコメントです。（令和６年１月２２日付け）

　なつさんの問題は、壊れた扉さんの解答から、お茶の間クイズ＆パズル「四角形の面積」
が類題になると思います。

※「四角形の面積」のUP日は、平成２７年１２月２日付け


　なつさんからのコメントです。（令和６年１月２２日付け）

　皆さんありがとうございます。答えは、５０（ｃｍ²）で合っております。

　壊れた扉さんの解法は、算数で求まる部分と求まらない部分を寄り分けていくような感じな
ので、ある意味で本質的な解き方ですね・・・！


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年１月２３日付け）

　算数的解法はいくつか思いつきましたが、今のところその中で一番綺麗なのを投稿します。
手応え的にはもっと綺麗な解法も眠ってそうな感じがしますが．．．。

　辺 BC 上に ∠DAE = 30° となるように点 E をとると、EC = AE = 2*（台形の高さ） である
ことから、点 E は、実は BE = 10 cm となる点になっています。

　よって、△ABE と△ADC の面積は等しいことがわかります。

　したがって、台形 ABCD の面積は、「△ABE 2 つと△AEC の面積の合計」を出せばいい
ことになります。

　ところで、これら 3 つの三角形を並べ替えれば、底辺と高さがともに 10 cm の直角二等辺
三角形になります。

　つまり、その面積の合計は、 10*10*(1/2) = 50 （ｃｍ²） です。


（コメント）　DD++ さんの解法を図示すると、

　直角２等辺三角形が綺麗に組み上がるんですね！感動しました。まさに算数的ですね。


　壊れた扉さんからのコメントです。（令和６年１月２３日付け）

　DD++さんの解法、素晴らしいですね。一応、解説させて下さい。

　辺 BC 上に ∠DAE = 30° となるように点 E をとると、EC = AE = 2*（台形の高さ） である
ことから、点 E は、実は BE = 10 cm となる点になっています。

　∠ＥＡＣ＝３０°−１５°＝１５°、∠ＥＣＡ＝１５°より、△ＥＡＣは、底角が１５°の二等辺
三角形。よって、ＡＥ＝ＣＥ　となる。

また、ＥからＡＤに垂線を下ろし、その足をＨ、ＤからＥＣに垂線を下ろし、その足を Ｉ とすると、

△ＡＥＨは３０°、６０°、９０°の直角三角定規型より、ＥＨ ： ＡＥ＝１ ： ２

よって、ＥＨ ： ＣＥ＝１ ： ２　より、ＤＩ ： ＣＥ＝１ ： ２、∠ＤＣＩ＝４５°、ＤＩ⊥ＥＣより、△ＤＥＣ

は直角二等辺三角形である。

（厳密には、△ＤＩＣが直角二等辺三角形より、ＤＩ＝ＣＩ で、ＤＩ ： ＣＥ＝１ ： ２より、ＤＩ＝ＥＩ

また、∠ＤＩＥ＝９０°より、△ＤＩＥ も直角二等辺三角形だから。）

よって、∠ＤＥＣ＝４５°、∠ＡＢＣ＝４５°より、ＡＢ//ＤＥ　また、ＡＤ//ＢＥ なので、

四角形ＡＢＥＤは平行四辺形である。よって、ＢＥ＝ＡＤ＝１０（ｃｍ）

　よって、△ABE と△ADC の面積は等しいことがわかります。

　したがって、台形 ABCD の面積は、「△ABE 2 つと△AEC の面積の合計」を出せばいい
ことになります。

　ところで、これら 3 つの三角形を並べ替えれば、底辺と高さがともに 10 cm の直角二等辺
三角形になります。

　ＥからＢＣに対して垂線を立て、ＢＡの延長との交点をＦとすると、△ＥＢＦは直角二等辺三

角形で、ＢＦ上にＦＧ＝ＢＡとなる点Ｇを取ると、△ＡＢＥと△ＧＦＥは合同。

また、錯角より、∠ＡＥＢ＝∠ＥＡＤ＝３０°、∠ＡＢＥ＝４５°より、

∠ＥＡＧ＝３０°＋４５°＝７５°

よって、対称性より、△ＥＡＧは、頂角が３０°の二等辺三角形になる。

ここで、△ＥＡＣは底角が１５°の二等辺三角形より、半分に切って組み直すと、△ＥＡＧの所

にぴったりとはまる。

よって、台形ＡＢＣＤを △ＡＢＥ＝△ＣＡＤ と △ＥＡＣ に分けて等積変形すると、△ＥＢＦと等積

になり、△ＥＢＦは、等辺が１０ｃｍの直角二等辺三角形より、１０×１０÷２＝５０（ｃｍ²）

よって、答えは、５０（ｃｍ²）


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年１月２４日付け）

　後半、なんか謎の迷走を始めてますが大丈夫でしょうか？

　「これら 3 つの三角形を並べ替えれば底辺と高さがともに 10 cm の直角二等辺三角形に
なります。」

は文字通りの操作でしかなく、謎の等積変形だのさらなる切断だのは不要ですよ。


　壊れた扉さんからのコメントです。（令和６年１月２４日付け）

　因みに、「辺 BC 上に ∠DAE = 30° となるように点 E をとる」代わりに、DからABと平行
な直線を引いて点Eを定めても出来ますが、かなり面倒臭いですね。


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年１月２４日付け）

　本当にできますか？AB//DE から ∠DAE = 30° を導くことはおそらく不可能だろうと私は
思っていますが．．．。


　壊れた扉さんからのコメントです。（令和６年１月２４日付け）

　ええ、平行四辺形ＡＢＥＤを作った後に、ＢＤを１辺とした正三角形ＦＢＤを頂点ＦがＢＤに関

して点Ａ側に作り、ＡＥとＢＤの交点をＧとして、ＦＧを結ぶと、工夫次第で、∠ＢＡＯ＝１０５°

と求まるので、∠ＥＡＣ＝∠ＥＣＡ＝１５°と求まります。

　ただし、上にも書きましたが、ちょっと面倒臭いので実戦向きではありません。

　算数的解法はいくつか思いつきましたが、今のところその中で一番綺麗なのを投稿します。

　手応え的にはもっと綺麗な解法も眠ってそうな感じがしますが、凄いですよね。


　らすかるさんからのコメントです。（令和６年１月２４日付け）

　AB//DE から ∠DAE = 30° を導く

　「∠ABD=15°、∠DBC=30°、∠BCA=90°、∠ACD=45°である四角形ABCDにおいて

∠ADBを求める」というラングレーの問題になりますので、何らかのうまい解法はあると思い

ます。（算数の範囲で解けるかどうかはわかりませんが）

　うまくない天下り的解法でよけれぱ、以下のようにはできます。

　中心がOの円に内接する正十二角形ABCDEFGHIJKLにおいて、直線BFと直線LHの距離

は円の半径に等しいので、OAの垂直二等分線とBF、LHの交点を順にM、Nとすると、四角

形AMONは正方形。そして、三角形ACOは正三角形なので、四角形BCMAは上記のラング

レーの問題の四角形ABCDの図と等しく、答えは、15°


　壊れた扉さんからのコメントです。（令和６年１月２４日付け）

　らすかるさん、ありがとうございます。

　四角形BCMAが本題の図の四角形ECDAに当たり、∠EACが１５°（らすかるさんの図で

は∠BAC）になるという訳ですね。

　うっかり、私の方も算数という事を忘れていたので、算数に修正しました。


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年１月２５日付け）

　なるほど、頑張ればできなくはないのですね。とはいえ、最初から ∠DAE = 30° で引け

ば補助線は AE だけか、丁寧にやるにしても下底への垂線 AH とあわせて 2 本だけで済む

わけで、平行線からスタートする方は結局無意味にややこしさを増してるだけな印象です。


　壊れた扉さんからのコメントです。（令和６年１月２５日付け）

　ええ、その後、ＢＥを１辺とした正三角形を描いても出来る事が判明しましたが、それも面倒
臭いだけですね。まぁ、それが面白いんですが。笑


（コメント）　ラングレーの問題　→　（参考）：「角の大きさ（２）」


　よおすけさんからも解答をいただきました。（令和６年１月２４日付け）

　AD//BCより、∠ACB＝∠CADから、∠CAD=15°

　△ADCに正弦定理を適用すると、AC/sin∠ADC＝AD/sin∠ACDにおいて、

　∠ADC＝180°−(∠CAD+∠ACD)＝135゜、∠ACD＝30°、AD＝10　より、

　AC＝AD×sin135°÷sin30°＝10

　△ABCに正弦定理を適用すると、BC/sin∠BAC＝AC/sin∠ABCにおいて、

　∠BAC＝120゜、∠ABC＝45°、AC＝10　より、

　BC＝AC×sin120°÷sin45°＝10

　等脚台形ABCDの面積は△ADCと△ABCの面積の和に等しいので、

等脚台形ABCD＝△ADC＋△ABC

＝（1/2）・AD・AC・sin∠CAD＋（1/2）・AC・BC・sin∠ACB

＝（1/2）・10・10・sin15°＋（1/2）・10・10・sin15°

＝50（＋）sin15°

＝50（＋）（−）/4

＝50


　よおすけさんから追加の解答をいただきました。（令和６年１月２７日付け）

　上記の解答より、BC＝１０　に注目して、等脚台形ABCDの面積は、1辺がBCの正方形

から１辺がADの正方形を除いた面積の1/4に等しいので、

　(1/4)(10×10−10×10)＝50

（参考）　お茶の間クイズ＆パズル：「四角形の面積」


（別解）　AB＝CD＝５（−）　なので、等脚台形ABCDの４辺AB、BC、CD、DAの長さ

は、順に、５（−）、１０、５（−）、１０　となったので、これを


ブレートシュナイダーの公式　（→　参考：「ブラマグプタの公式」）

S=√｛(s−AB)(s−BC)(s−CD)(s−DA)−AB・BC・CD・DA・(cos^2(∠ABC＋∠CDA)/２)｝

ただし、s＝(AB＋BC＋CD＋DA)/２


に入れれば、与えられた等脚台形ABCDの面積Sは、50

＃上記の内容は、いずれも完全な解答ではないので、参考程度に。


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年１月２６日付け）

　ようやく問題の作為解答っぽいものを見つけました。ただの台形ではなく、等脚台形とわざ
わざ書いてあることに、もっと注目するべきでした。

　　

　この四角形を AC で切断し、△ADC を裏返して、再び AC に逆向きに接合します。Dの移
動後の頂点もDと表すことにする。

　すると、AB = AD、∠ABC = 45°、∠BAD = 150°、∠ADC = 135°、∠BCD = 30°の四
角形 ABCD ができます。

　　

　これを今度は BD で切断すると、２つの二等辺三角形ができます。さらに、それらを、それ
ぞれ対称に真っ二つにすると、結局、この図形は、

・斜辺が 10 cm、高さが 5 cm、底角 30° の直角三角形
・高さが 5 cm、底角 75° の直角三角形

が２枚ずつになります。

　ところで、これら 1 枚ずつを高さ同士が背合わせになるように貼り合わせると、

底辺 10 cm、高さ 5 cm の二等辺三角形になるので、

　　

その面積は 10*5*(1/2) = 25（ｃｍ²）

よって、元の台形の面積は、その倍で、 50（ｃｍ²）


（コメント）　DD++ さん、素晴らしい！


　壊れた扉さんからのコメントです。（令和６年１月２６日付け）

　さすが、DD++ さん、見事ですね。ＡＣで切って組み換えるのはたまに見る手法ですが、最
後の所の２つの三角形を１つの二等辺三角形にする所は脱帽です。

　前回の解答も、今回ぐらい分かり易ければ、わざわざ解説しなかったんですけどね。


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年１月２６日付け）

　前回のも、ほとんどが私はやってない計算を勝手に壊れた扉さんが付け足しまくって、やや
こしくしただけですよ？


　壊れた扉さんからのコメントです。（令和６年１月２６日付け）

　　

（算数の解法２）

　ＢＡの延長とＣＤの延長との交点をＥとすると、△ＥＡＤと△ＥＢＣは相似で、共に直角二等辺
三角形になり、∠ＢＥＣ＝９０°

　また、∠ＡＣＥ＝３０°より、△ＣＡＥは、３０°、６０°、９０°の直角三角定規型で、Ｅから

ＡＣに垂線を下ろし、その足をＨとすると、△ＥＡＨと△ＣＥＨも、３０°、６０°、９０°の直角

三角定規型になる。

よって、ＡＨ＝�@とすると、ＡＥ＝�A、ＡＣ＝�Cより、ＣＨ＝�C−�@＝�B なので、

ＡＨ ： ＣＨ＝１ ： ３　となるから、△ＥＡＨ ： △ＥＣＨ＝１ ： ３

よって、△ＥＡＨ∽△ＣＥＨより、ＡＥ×ＡＥ ： ＥＣ×ＥＣ＝１ ： ３

ところで、△ＥＡＤ∽△ＥＢＣで、△ＥＡＤ ： △ＥＢＣ＝ＥＡ×ＥＡ ： ＥＣ×ＥＣ＝１ ： ３

また、△ＥＡＤは、斜辺が１０ｃｍの直角二等辺三角形より、△ＥＡＤ＝１０×５÷２＝２５（ｃｍ²）

よって、△ＥＢＣ＝２５×３＝７５（ｃｍ²）　より、台形ＡＢＣＤ＝７５−２５＝５０（ｃｍ²）


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年１月２６日付け）

　なんか私の以前の解答に勝手に嘘解説つけた上で難癖つけてくる人がいるので、他の人
が騙されないよう、もう一回ちゃんと書いておきます。

　以下が前回の解答の計算全部です。上記の自称「解説」は、てんで的外れな計算を勝手
に付け足し、それが、さも重要であるかのように嘯いているだけです。ご注意ください。

　辺 BC 上に ∠DAE = 30° となるように点 E をとります。

　平行線の錯角が等しいことから ∠DAC = 15° なので、∠EAC = 30° - 15° = 15° です。

したがって、△EAC は二等辺三角形であり、EC = EA であることがわかります。

また、点 A から返 BC に垂線 AH を下ろします。

∠EAH は 90° から ∠DAC を引いた残りなので、∠EAH = 90° - 30° = 60°

よって、△EAH は内角が 90°, 60°, 30° の直角三角形であることがわかり、AE は AH

の倍の長さであることがわかります。

したがって、EC は台形の高さ 2 つ分の長さであることがわかります。

　この台形は底角 45° の等脚台形なので、下底は上底よりも台形の高さ 2 つ分長く、BE

はその下底よりもEC、即ち、台形の高さ 2 つ分短いので、BE は上底の長さと等しい 10 cm

であることがわかります。

　ここで、△ABE と △ADC に注目すると、どちらも底辺 10 cm で、高さは台形と共通です。

すなわち、この 2 つの三角形は等しい面積です。

よって、台形の面積 = △ABE + △EAC + △ADC = △ABE*2 + △EAC　を求めればいいこ

とになります。

ところで、△ABE 2 つを AB 同士貼り合わせてブーメラン型にすると、凹んでいる部分は頂

角 150° で等辺が AE である二等辺三角形すなわち △EAC の形になります。

よって、△ABE*2 + △EAC は等辺 10 cm の直角二等辺三角形の面積に等しく、

10*10*(1/2) = 50（ｃｍ²） です。したがって、元々の台形の面積も 50 ｃｍ² です。

## 今回は省略もしていませんので、勝手に変な計算を足さないでください。


　壊れた扉さんからのコメントです。（令和６年１月２６日付け）

　ようやく意図が分かりました。念のため、邪魔をしている訳ではありません。


　なつさんからのコメントです。（令和６年１月２６日付け）

　DD++さんの解き方は面白いですね！！最後にうまく直角二等辺三角形を作るのが美しい
ですね・・・！

　少し脇道にそれますが、途中で出てきた

　「∠ABD=15°、∠DBC=30°、∠BCA=90°、∠ACD=45°である四角形ABCDにおいて
∠ADBを求める」

という問題は、1995年算数オリンピックトライアルで設定されている角度の場所は違いますが、

同じ図形で問題が出ています。

　簡単に解くならこんな感じですかね・・・？

　　

　辺ACを1辺とする正三角形を点Bの反対側に作り、頂点をEと置く。

∠BDC＝∠DCE＝15°なので、BD//CE　…　�@

また、BC＝AC＝EC　であることから、△BCEは二等辺三角形で、∠CEB＝15°

よって、∠DBE＝30°ー15°＝15°

∠DBE＝∠BDC＝15°であることと�@より、四角形BCEDは等脚台形なので、

∠BCE＝∠DEC＝150°、BC＝DE

もろもろ計算すると、△AEDが直角二等辺三角形であることがわかり、AB＝ADとなって、全

部の角度が求まります。


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年１月２６日付け）

　なつさん、ありがとうございます。直角二等辺三角形を作る解答の方も面白い解答にでき
たと思いますが、おそらくなつさんの意図していた解答は、上記に書いたものではないかと
思っています。いかがでしょう？


　なつさんからのコメントです。（令和６年１月２６日付け）

　実は、想定解答とは違いましたが、うまく求められる図形に変形していく、いい解き方です
ね！実は、この最初の△ACDを反転する方法でも二等辺三角形に持っていく方法はいくつ
かありそうでした。

　簡略な紹介となりますが、例えば図のように変形しても解けそうです。
（本質は一緒でした！）

　　

　想定解法は次のようなものでした。ご紹介させていただきますm(_ _)m

【想定解法】（少し省略して書きます）

　四角形ABCDに外接する円の中心をOと置く（円がおけることの議論は割愛）

　中心角の定理より、∠AOB＝15°×2＝30°、同様に、∠DOC＝30°、

　∠AOD＝30°×2＝60°

よって、△AOBと△DOCは30°を頂角とする二等辺三角形、△AODは正三角形。

ここで、△AODと△BOCをそれぞれ真ん中の縦線で半分にすると、それぞれ同じ大きさの

30°、60°、90°の直角三角形ができるため、△AODと△BOCの面積は等しい。
（厳密な議論は省略）

それにより、四角形ABCDの面積は、△AOBと△DOCの面積の合計と等しくなる。
（五角形ABOCDの面積から△AODの面積を引いたものと五角形ABOCDの面積から△BOC
の面積を引いたものが等しいため）

　△AOBと△DOCはおなじみの面積が求められる二等辺三角形であるため、

　10cm×5cm÷2×2＝50（ｃｍ²） 　（答え）

雑に作った図も載せておきます汗

　　

　DD++さんのこの解法は、いまの模範解答を思いつくまでは模範解答としておりました。作
問時にはここから問題を作ったので、私としては意図を組んでくださったと大変うれしく思っ
ております。

　その他の皆様も、様々に解いてくださりありがとうございました！


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年１月２７日付け）

　私は逆に、外接円を使う方を先に思いつきました。ただ、「流石に中心角の定理は算数外
か？」と思って却下しちゃったんですよね。

　どうやら中心角もアリみたいなので、それを私の第三の解答として投稿します。

　四角形 ABCD の外接円を書き、中心を O とします。

　　

　中心角の定理より ∠AOD = 60° なので、△AOD は正三角形で、この外接円の半径は
10 cm です。

　また、中心角の定理より、∠AOC = 90°、∠COD = 30° です。

　さて、ここで △CAB を、点 O を中心に 90° 回転移動して点 C を点 A に重ね、△AEF と
します。

　台形の面積は △ACD + △AEF で求まります。そして、これを等積変形（※）して

△OCD + △OEF とします。

　これら 2 つは合同な二等辺三角形で、もはや言うまでもない方法で 1 つ 25 ｃｍ² と出る

ので、元の台形の面積は倍の 50 ｃｍ² です。


※ 2 つの三角形について、底辺同士が平行で長さが等しく、頂点が同一点かつそれが底辺
　を延長した平行線の間にある場合、その共通頂点を平行線の間のどこへ移動しても 2 つ
　の三角形の面積の和は一定


　なつさんからのコメントです。（令和６年１月２７日付け）

　流石に中心角の定理は算数外か？

　DD++ さん、ご指摘ありがとうございます。たしかに中心角の定理は算数外みたいですね。
うっかり説明なしに使ってしまっておりました申し訳ございません。。。

　円を使わずにやると、どうしても逆説的な手法になってしまいそうですね。高さの合計がちょ
うど二等辺三角形２つ分になる発想は思いつきませんでした。面白い解法をありがとうござい
ます！



　　以下、工事中！