ブラマグプタの公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　インドの数学者ブラマグプタ（598〜660）は、とても美しい公式を残している。そして、この公
式のおかげで、長年多少違和感のあった「ヘロンの公式」が、実は必然的なものであることが
理解できた。ブラマグプタに大いに感謝しなければならない。

ブラマグプタの公式

円に内接する四角形の４辺の長さを、ａ、ｂ、ｃ、ｄ とするとき、 　　四角形の面積 Ｓ は、 　　 　　で与えられる。

（証明）　　Ｓ＝△ＡＢＣ＋△ＡＣＤ　において、Ｂ＋Ｄ＝１８０°より、ｓｉｎ Ｂ＝ｓｉｎ D　なので、

　　２Ｓ＝（ａｂ＋ｃｄ）ｓｉｎ Ｂ

ここで、余弦定理により、ＡＣ²＝ａ²＋ｂ²−２ａｂｃｏｓ Ｂ＝ｃ²＋ｄ²−２ｃｄｃｏｓ Ｄ

Ｂ＋Ｄ＝１８０°より、ｃｏｓ Ｄ＝−ｃｏｓ Ｂ　であることに注意して、ｃｏｓ Ｂ を求めれば、

　　

となる。このとき、

　

となることが簡単な計算で示される。
（この計算は、因数分解の典型的な計算なので、詳しいところは読者にまかせよう！）

　ａ＋ｂ＋ｃ−ｄ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ−２ｄ＝２（ｓ−ｄ）　などから、

　

これより、ｓｉｎ Ｂ を求めて、２Ｓ＝（ａｂ＋ｃｄ）ｓｉｎ Ｂ に代入すれば、公式が得られる。　　（終）

　ブラマグプタの公式の美しさは、何といっても、その一様性にある。四角形の周の長さの
半分（ｓ）から一様に各辺の長さを引いている。そこには、一点のためらいもない。

　それに対して、三角形の面積を求めるヘロンの公式：

　

（ただし、 a 、b 、c は三角形の三辺で、ｓは、三角形の周の長さの半分）

においては、その一様性が見られない。　ｓ のみが、何か場違いな、不自然な形である。

　この点について、ヘロンの公式を高校２年のときに学んで以来、ヘロンの公式を目にする
度に幾ばくかの違和感を感じていた。

　ところが、ブラマグプタの公式を用いれば、この違和感は一掃される。ｓ の存在にも必然
性があったのだ！

　次のように考えればよい。

　三角形を、４辺のうちの１辺の長さが ０ の四角形と考える。しかも、三角形には必ず外接
円が存在するので、ブラマグプタの公式における条件は満たされる。

　よって、ブラマグプタの公式により、三角形の面積は、

　

と理解される。このように考えると、やはり、ヘロンの公式においても、一様性があると認識
せざるを得ない。


（参考文献：　Ｄ．ウェルズ　著　大橋義房　訳　みつけよう！数学！（岩波書店）
　　　　　　　　永井勇一　著　３角関数　（科学新興社モノグラフ））


（追記）　ｋｓ さんからのコメントです。（令和７年３月１７日付け）

　ヘロンの公式 S＾２＝ｓ(s-a)(s-b)(s-c) の拡張として、ブターマグプタの公式があります。

　S^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) で、d=0 とすれば得られます。

　これは内接四角形の場合ですが、内接しない四角形について、

ブレートシュナイダーの公式

　S^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)ーabcdcos^2(A+C)/2

が知られています。（下記参照）


　ｋｓ さんからのコメントです。（令和７年３月２０日付け）

　凸四角形ABCDの場合、辺ABの中点をE、BCの中点をF、CDの中点をG、DAの中点をHと
置きます。点Eと点Gをを結んだ線分上に、点Fからの垂線の足をP、点Hからの垂線の足を
Qとします。

　　

　すると、裁断して、四角形AEQHをEを中心に、四角形HQGDをGを中心に回転し、長方形
が出来て、

　四角形ABCDの面積S＝２EG・HQ＝２EG・FP＝EG（HQ＋FP）

を知り、感動しました。

　裁断により、正三角形を正方形にすることも、すごいですね!


（コメント）　実際に裁断して繋ぎ合わせると、

　　

と歪んでいました。「ADとＢＣが平行」という条件があれば、長方形が出来そうです。

　上図をさらに回転させて、

　　

ということかな？Ｆ、Ｈが垂線の足なら長方形が出来そうですが．．．？


（追記）　上記でブラマグプタの公式について紹介したが、最近その一般化が存在することを
　　　知った。（平成１８年２月１１日付け）

四角形ＡＢＣＤの４辺の長さを、ａ、ｂ、ｃ、ｄ とし、 　　　　　　　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝２ｓ　　、　Ａ＋Ｃ＝２θ 　　とする。このとき、四角形ＡＢＣＤの面積 Ｓ は次の式で与えられる。

　上記において、特に四角形ＡＢＣＤが円に内接するとき、円に内接する四角形の性質から、
Ａ＋Ｃ＝１８０°なので、θ＝９０°すなわち、ｃｏｓθ＝ｃｏｓ９０°＝０　なので、ブラマグプタの
公式がえられる。


（追記）　ＨＮ「通りすがり」さんから、「一般化されたブラマグプタの公式」の名前は「ブレート
　　　シュナイダーの公式」と言われることをご教示頂いた。（平成２７年１０月１１日付け）


　この一般化されたブラマグプタの公式の証明を考えてみよう。

（証明）　Ｓ＝△ＡＢＤ＋△ＢＣＤ＝(1/2)ａｄ・ｓｉｎＡ＋(1/2)ｂｃ・ｓｉｎＣ　より、

　２Ｓ＝ａｄ・ｓｉｎＡ＋ｂｃ・ｓｉｎＣ

両辺を平方して、　４Ｓ²＝ａ²ｄ²・ｓｉｎ²Ａ＋２ａｂｃｄ・ｓｉｎＡｓｉｎＣ＋ｂ²ｃ²・ｓｉｎ²Ｃ　・・・（１）

ここで、余弦定理より、ＢＤ²＝ａ²＋ｄ²− ２ａｄ・ｃｏｓＡ＝ｂ²＋ｃ²− ２ｂｃ・ｃｏｓＣ　なので、

　ａ²−ｂ²−ｃ² ＋ｄ²＝２ａｄ・ｃｏｓＡ− ２ｂｃ・ｃｏｓＣ

より、　（ａ²−ｂ²−ｃ² ＋ｄ²）/２＝ａｄ・ｃｏｓＡ− ｂｃ・ｃｏｓＣ　で、両辺を平方して、

（ａ²−ｂ²−ｃ² ＋ｄ²）²/４＝ａ²ｄ²・ｃｏｓ²Ａ−２ａｂｃｄ・ｃｏｓＡｃｏｓＣ＋ｂ²ｃ²・ｃｏｓ²Ｃ　・・・（２）

（１）＋（２）より、

　４Ｓ²＋（ａ²−ｂ²−ｃ² ＋ｄ²）²/４

＝ａ²ｄ²−２ａｂｃｄ・ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）＋ｂ²ｃ²

＝ａ²ｄ²−２ａｂｃｄ・ｃｏｓ２θ＋ｂ²ｃ²

＝ａ²ｄ²−２ａｂｃｄ・（２ｃｏｓ²θ−１）＋ｂ²ｃ²

＝（ａｄ＋ｂｃ）²−４ａｂｃｄ・ｃｏｓ²θ

よって、　１６Ｓ²＋（ａ²−ｂ²−ｃ² ＋ｄ²）²＝４（ａｄ＋ｂｃ）²−１６ａｂｃｄ・ｃｏｓ²θ　より、

１６Ｓ²

＝４（ａｄ＋ｂｃ）²−（ａ²−ｂ²−ｃ² ＋ｄ²）²−１６ａｂｃｄ・ｃｏｓ²θ

＝(２ａｄ＋２ｂｃ＋ａ²−ｂ²−ｃ² ＋ｄ²)(２ａｄ＋２ｂｃ−ａ²＋ｂ²＋ｃ² −ｄ²)−１６ａｂｃｄ・ｃｏｓ²θ

＝｛（ａ＋ｄ）²−（ｂ−ｃ）² ｝｛（ｂ＋ｃ）²−（ａ−ｄ）²｝−１６ａｂｃｄ・ｃｏｓ²θ

＝(ａ＋ｄ＋ｂ−ｃ)(ａ＋ｄ−ｂ＋ｃ)(ｂ＋ｃ＋ａ−ｄ)(ｂ＋ｃ−ａ＋ｄ)−１６ａｂｃｄ・ｃｏｓ²θ

＝(２ｓ−２ｃ)(２ｓ−２ｂ)(２ｓ−２ｄ)(２ｓ−２ａ)−１６ａｂｃｄ・ｃｏｓ²θ

＝１６(ｓ−ａ)(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)(ｓ−ｄ)−１６ａｂｃｄ・ｃｏｓ²θ

　以上から、　Ｓ²＝(ｓ−ａ)(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)(ｓ−ｄ)−ａｂｃｄ・ｃｏｓ²θ　となり、

　

を得る。　　（証終）

　一般化されたブラマグプタの公式から、特に四角形が円に内接する場合として、ブラマグ
プタの公式が導かれたが、それでは、四角形が円に外接する場合は、どんな公式が導か
れるのだろうか？興味の種は尽きない。

円に外接する四角形の４辺の長さを、ａ、ｂ、ｃ、ｄ とし、 　　　　　　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝２ｓ　　、　Ａ＋Ｃ＝２θ 　このとき、四角形ＡＢＣＤの面積 Ｓ は次の式で与えられる。

　証明は易しい。

（証明）　円に外接する四角形の性質から、対辺の長さの和は等しいので、ａ＋ｃ＝ｂ＋ｄ＝ｓ

　である。よって、　ｓ−ａ＝ｃ、ｓ−ｂ＝ｄ、ｓ−ｃ＝ａ、ｓ−ｄ＝ｂ　なので、

一般化されたブラマグプタの公式から、　Ｓ²＝ａｂｃｄ−ａｂｃｄ・ｃｏｓ²θ＝ａｂｃｄ・ｓｉｎ²θ

　したがって、　　　　が成り立つ。（証終）


　獨協大学（２０１３）で、次のような問題が出題された。

　半径 ｒ の円に四角形ＡＢＣＤが外接している。このとき、四角形ＡＢＣＤの面積は、

　　（ＡＢ＋ＣＤ）・ｒ

（解）　接線の長さが相等しいことから、　ａ＋ｃ＝ｂ＋ｄ　が成り立つ。

　よって、四角形ＡＢＣＤの面積を円の中心を用いて４分割すると、

　Ｓ＝ａｒ/２＋ａｒ/２＋ａｒ/２＋ａｒ/２＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）・ｒ/２＝（ａ＋ｃ）・ｒ

　すなわち、　Ｓ＝（ＡＢ＋ＣＤ）・ｒ　が成り立つ。　　（終）


　さらに、上記の四角形が円に内接している場合は、非常に美しい公式となる。

四角形が円に内接しているので、θ＝９０°である。 　　よって、ｓｉｎθ＝ｓｉｎ９０°＝１　より、 　　四角形ＡＢＣＤの面積 Ｓ は次の式で与えられる。

（参考文献：辻　正次、平野智治　著　　新三角法　（共立出版）
　　　　　　　中村文則氏（札幌旭丘高校）のＨＰ「三角形の面積をひも解く」　）


（追記）　平成２５年４月１５日付け

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんから、ブラマグプタの公式の練習問
題を頂いた。

練習問題　　円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5cm、BC=19cm、CD=7cm、DA=15cm
　　　　　　　のとき、この四角形ABCDの面積を求めよ。

（解）　ｓ＝（５＋１９＋７＋１５）/２＝２３　なので、求める面積は、ブラマグプタの公式より、

　Ｓ＝√（１８・４・１６・８）＝３・８・４＝９６（cm²）　　（終）


（追記）　平成２６年３月１１日付け

　ヘロンの公式、ブラマグプタの公式と、ｎ角形（ｎ＝３、４）の面積を、その辺の長さのみを
用いて表す公式を見てきたが、それもここまでであるという残念な定理が示されている。
すなわち、

　５以上の任意の自然数ｎに対して、円に内接するｎ角形の面積を、四則演算とｋ乗根を
とる操作を通して、辺の長さで表現する一般の公式は存在しない。

　証明は、次の文献を参照されたい。

　数学セミナー’０９　１１月号　ｐ．42〜48　Ｎｏｎ-Ｂｉｒｉ数学研究会　「ヘロンとガロワ」


（追記）　平成２７年１０月１０日付け

　上底がａ、下底がｂ、高さｈの台形の面積Ｓは、小学校５年で学ぶように、Ｓ＝（ａ＋ｂ）ｈ/２
で与えられる。

　等脚台形は円に内接するので、ブラマグプタの公式が利用できる。

　等脚台形の側長をｃとすると、　２ｓ＝ａ＋ｂ＋２ｃ　より、　ｓ＝（ａ＋ｂ）/２＋ｃ

　このとき、　ｓ−ａ＝（ｂ−ａ）/２＋ｃ　、ｓ−ｂ＝（ａ−ｂ）/２＋ｃ　、ｓ−ｃ＝（ａ＋ｂ）/２

より、Ｓ²＝｛（ｂ−ａ）/２＋ｃ｝｛（ａ−ｂ）/２＋ｃ｝｛（ａ＋ｂ）/２｝²

　　＝｛ｃ²−｛（ｂ−ａ）/２｝²｝｛（ａ＋ｂ）/２｝²

ここで、　ｃ²−｛（ｂ−ａ）/２｝²＝ｈ²　なので、　Ｓ＝（ａ＋ｂ）ｈ/２


（コメント）　台形の面積の公式は平行四辺形の面積の公式からの導入が鮮烈で、上記の
　　　　　証明は何となくもどかしい。ただ、ブラマグプタの公式を利用しても示されることが理
　　　　　解できた。


（追記）　次の事実は「ブラマグブタの定理」として知られている。（平成３１年２月９日付け）

　円Oに内接する四角形ABCDでAC⊥BDのとき、対角線の交点Ｐを通る線分ＬがＣＤ
と垂直のとき、ＬとＡＢとの交点ＭはＡＢの中点である。

　

（証）　△ＭＰＡにおいて、　∠ＭＡＰ＝∠ＢＤＣ＝∠ＣＡＨ＝∠ＭＰＡ　から、△ＭＰＡは、

　ＭＡ＝ＭＰの２等辺三角形である。

　同様にして、△ＭＢＰにおいて、　∠ＭＢＰ＝∠ＡＣＤ＝∠ＤＰＨ＝∠ＭＰＢ　から、

△ＭＢＰは、ＭＰ＝ＭＢの２等辺三角形である。

　以上から、　ＭＡ＝ＭＢ　で、Ｍは辺ＡＢの中点である。　　（証終）


＃ブラマグプタの定理は円に内接しないときでも成り立つ場合がある。（→　参考）


（追記）　令和４年９月２２日付け

　高校数学�Tで、円に内接する四辺形の対角線の長さを求める問題は、余弦定理練習の
ための定番の問題だろう。そんな問題にも公式があることを最近知った。しかも、その公式
は、ブラマグプタも知っていたというから驚きだ。

　円に内接する四辺形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝ａ、ＢＣ＝ｂ、ＣＤ＝ｃ、ＤＡ＝ｄ とする。

　

　このとき、対角線ＡＣの長さ ｘ は、

　


（証明）　Ｂ＋Ｄ＝π　なので、　ｃｏｓＢ＝ｃｏｓ（π−Ｄ）＝−ｃｏｓＤ

　余弦定理より、　（ａ²＋ｂ²−ｘ²）/（２ａｂ）＝−（ｃ²＋ｄ²−ｘ²）/（２ｃｄ）

よって、　ｃｄ（ａ²＋ｂ²−ｘ²）＝−ａｂ（ｃ²＋ｄ²−ｘ²）　より、

　（ａｂ＋ｃｄ）ｘ²＝ａｂ（ｃ²＋ｄ²）＋ｃｄ（ａ²＋ｂ²）＝（ａｃ＋ｂｄ）（ａｄ＋ｂｃ）

したがって、

　　　（証終）


　読者のために、練習問題を残しておこう。

練習問題　　円に内接する四辺形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝５、ＢＣ＝４、ＣＤ＝４、ＤＡ＝２ とする。
　　このとき、対角線ＡＣの長さ ｘ を求めよ。

（解）　ｘ²＝（５・４＋４・２）（５・２＋４・４）/（５・４＋４・２）＝２６　より、　ｘ＝　　（終）


（追記）　令和６年６月１６日付け

　数学セミナー　２０２４年７月号（日本評論社）　の「ＮＯＴＥ」で、静岡市の鈴木さんという方
が「ブラマグプタの公式を考察すると・・・」と題して、次の定理を紹介されている。

定理　円に内接する四角形を対角線により２つの三角形に分割すると、その２つの三角形
　　　の面積の積は必ず四角形の４辺の積の４分の１以下になる。
　　　特に、等号成立は、対角線が直径の場合に限る。

　記事では、ブラマグプタの公式とヘロンの公式を用いて、２つの三角形の面積の積を評価
して示しているのだが、そんなことをしなくても、次のように計算すれば簡単に定理を示すこ
とが出来る。

　なぜ、この方法を取らなかったのか、大いに疑問の残る記事であった。

　　

(証明）　△ＡＢＣ＝（１/２）ａｂｓｉｎθ　、△ＡＣＤ＝（１/２）ｃｄｓｉｎ（π−θ）＝（１/２）ｃｄｓｉｎθ

よって、　△ＡＢＣ・△ＡＣＤ＝（１/４）ａｂｃｄｓｉｎ²θ≦（１/４）ａｂｃｄ　より、

　２つの三角形の面積の積は必ず四角形の４辺の積の４分の１以下になる。

　等号成立は、ｓｉｎθ＝１　すなわち、θ＝π/２　のときで、ＡＣは円の直径となる。　　（終）


（追記）　令和６年７月８日付け

　「円に内接する四角形の面積」と聞けば、「ブラマグプタの公式」がまず頭に浮かぶ。

問題　　円に内接する四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝２、ＢＣ＝４、ＣＤ＝５、ＤＡ＝８　のとき、
　　その面積を求めよ。

　　

（解）　ブラマグプタの公式を用いて、　ｓ＝（２＋４＋５＋８）/２＝１９/２　から、

求める面積は、√｛（１９/２−２）（１９/２−４）（１９/２−５）（１９/２−８）｝＝（９/４）√５５　（終）

　別解もいろいろ考えられる。

（別解その１）

　　

　∠Ａ＝θとおくと、∠Ｃ＝π−θ　なので、余弦定理より、

　ＢＤ²＝４＋６４−３２ｃｏｓθ＝１６＋２５＋４０ｃｏｓθ

このとき、　ｃｏｓθ＝３/８　なので、　ｓｉｎθ＝（１/８）√５５

よって、求める面積は、

　（１/２）・１６・（１/８）√５５＋（１/２）・２０・（１/８）√５５＝（９/４）√５５　　（終）

（別解その２）

　　

　上図において、△ＢＥＣ∽△ＤＥＡ　なので、

　ｍ ： ｎ＋５＝４ ： ８＝１ ： ２　より、　ｎ＋５＝２ｍ

　ｎ ： ｍ＋２＝４ ： ８＝１ ： ２　より、　ｍ＋２＝２ｎ

　ｎ＝２ｍ−５　を　ｍ＋２＝２ｎ　に代入して、ｍ＋２＝４ｍ−１０　から、　ｍ＝４、ｎ＝３

このとき、△ＢＭＣは２等辺三角形となるので、

　底辺＝３、高さ＝√（１６−９/４）＝（１/２）√５５　から、

　△ＢＭＣ＝（１/２）・３・（１/２）√５５＝（３/４）√５５

△ＢＥＣと△ＤＥＡは、相似比が １ ： ２ なので、面積比は、１ ： ４

よって、　△ＤＥＡ＝３√５５

以上から、求める面積は、　３√５５−（３/４）√５５＝（９/４）√５５　　（終）


（コメント）　解答の長さを単純に比較して、「ブラマグプタの公式」の優秀性が伺い知れる。



　　以下、工事中！