三角形の面積の公式といえば、（底辺）×（高さ）÷２ で、お馴染みである。基本的に、面
積の公式は全て、この公式が出発点である。
例１．（三角形の２辺 ａ 、ｂ とその間の角 θ が分かっているとき）
Ｓ＝(１/２)ａｂ・sinθ (（底辺）＝ａ、（高さ）＝b sinθ)
三角形の面積の公式
三角形の面積の公式といえば、（底辺）×（高さ）÷２ で、お馴染みである。基本的に、面
積の公式は全て、この公式が出発点である。
例１．（三角形の２辺 ａ 、ｂ とその間の角 θ が分かっているとき）
Ｓ＝(１/２)ａｂ・sinθ (（底辺）＝ａ、（高さ）＝b sinθ)
 |
例１．の変形バージョンとしては次の公式が有名だろう。 △ＡＢＣ の外接円、内接円の半径をそれぞれ Ｒ 、ｒ とすると、 Ｓ＝ａｂｃ/４Ｒ＝ｒｓ ただし、ｓは、三角形の周の長さの半分。 |
（証明） Ｓ＝ａｂｃ/４Ｒ を示すには、正弦定理を用いればよい。
正弦定理より、 ｓｉｎθ＝ｃ/２Ｒ なので、
Ｓ＝(１/２)ａｂ・sinθ＝(１/２)ａｂ・（ｃ/２Ｒ）＝ａｂｃ/４Ｒ
Ｓ＝ｒｓ を示すには、△ＡＢＣを内接円の中心を頂点とする３つの小三角形に分割し、そ
の面積の総和を求めればよい。
即ち、Ｓ＝ａｒ/２＋ｂｒ/２＋ｃｒ/２＝（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ/２＝ｒｓ （証終）
上記では、正弦定理を用いて、Ｓ＝ａｂｃ/４Ｒ を示したが、直接的に示す方法も知ら
れている。
 |
左図において、 △ＡＢＨ∽△ＡＫＣ なので、 ＡＢ ： ＡＫ ＝ ＡＨ ： ＡＣ すなわち、 ｃ ： ２Ｒ ＝ ｈ ： ｂ より、 ｈ＝ｂｃ/２Ｒ よって、 Ｓ＝ａｈ/２＝ａｂｃ/４Ｒ |
（コメント） 正弦定理を示す手法と同じですね！
例２．（座標平面上で、Ａ( ａ ， ｂ )、Ｂ( ｃ ， ｄ )、O( ０ ，０ ) のとき）
Ｓ＝(１/２)| ａｄ－ｂｃ | （| |は絶対値を表す）
例３．（ベクトルを用いたとき）
例２．の３点において、
とおくと、
例３．を用いて、例２．は簡単に導かれる。
例４．(行列式を用いたとき）
その行列式 ｄｅｔ（Ａ） は、ｄｅｔ（Ａ）＝ａｄ－ｂｃ なので、
Ｓ＝(１/２)|ｄｅｔ(Ａ)|
例５．（三角形の三辺 a 、b 、c が分かっているとき)
ヘロンの公式 
ただし、ｓは、三角形の周の長さの半分。
余弦定理と、例１．の公式を用いて示される。ただ少しばかり、因数分解が大変かもしれ
ない。
例６．（例５．を初等的に導入）
 |
△ＡＢＨで、三平方の定理より、ｈ2＝ｃ2－ｘ2 △ＡＨＣで、三平方の定理より、ｈ2＝ｂ2－(ａ－ｘ)2 この２つの式より、  |
この ｘ を、第１式に代入して、ｈが求まる。（因数分解の知識を要する。）
実際に、
４ａ2ｈ2＝４ａ2ｃ2－（ｃ2＋ａ2－ｂ2）2
＝（２ａｃ＋ｃ2＋ａ2－ｂ2）（２ａｃ－ｃ2－ａ2＋ｂ2）
＝｛（ｃ＋ａ）2－ｂ2｝｛ｂ2－（ｃ－ａ）2｝
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）（－ａ＋ｂ＋ｃ）
２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ とおくと、
４ａ2ｈ2＝２ｓ（２ｓ－２ｂ）（２ｓ－２ｃ）（２ｓ－２ａ）＝１６ｓ（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ） より、
ａ2ｈ2＝４ｓ（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）
この結果を、Ｓ＝(１/２)ａｈ に代入して、
ヘロンの公式 が得られる。
（参考文献： 石谷 茂 著 行列と行列式で楽しむ（現代数学社））
（追記） 平成２５年１１月２５日付け
今までヘロンの公式というと、
（ただし、 ２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ ）
の形でしか認識していなかったが、もっと別な形があることを、ある計算をしているときに気
づかされた。すなわち、次の式が成り立つ。
１６Ｓ2＝（ａ2＋ｂ2＋ｃ2）2－２（ａ4＋ｂ4＋ｃ4）
（証明） ヘロンの公式より、 ２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ に対して、
１６Ｓ2＝２ｓ（２ｓ－２ａ）（２ｓ－２ｂ）（２ｓ－２ｃ）
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（－ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）
＝｛（ｂ＋ｃ）2－ａ2｝｛ａ2－（ｂ－ｃ）2｝
＝－ａ4＋｛（ｂ＋ｃ）2＋（ｂ－ｃ）2｝ａ2－（ｂ＋ｃ）2（ｂ－ｃ）2
＝－ａ4＋２（ｂ2＋ｃ2）ａ2－ｂ4＋２ｂ2ｃ2－ｃ4
＝－ａ4－ｂ4－ｃ4＋２ａ2ｂ2＋２ｂ2ｃ2＋２ｃ2ａ2
＝（ａ2＋ｂ2＋ｃ2）2－２（ａ4＋ｂ4＋ｃ4） （証明）
(コメント） この式変形により、ヘロンの公式に解析的な手法が適用可となる。今、そのよう
な問題を考察中である。
ヘロンの公式が適用されるのは、辺の長さがすべて整数の場合と相場が決まっているが、
上記のような公式の形であれば、辺の長さに多少平方根などの無理数があっても計算の大
変さはそれほどでもないだろう。
例 △ＡＢＣにおいて、３辺の長さが 
、
、
であるとき、△ＡＢＣの面積を求めよ。
（解） １６Ｓ2＝（２＋３＋６）2－２（４＋９＋３６）＝１２１－９８＝２３ より、
Ｓ＝（√23）/４ （終）
（別解） ｃｏｓθ＝（２＋３－６）/（２）＝－１/（２） より、 ｓｉｎθ＝（√23）/（２）
よって、 Ｓ＝（１/２）・（√23）/（２）＝（√23）/４ （終）
（追記） 上記において、ベクトルを用いた三角形の面積の公式（例３）から、成分表示の
（例２）は簡単に導かれると書いたが、（例２）そのものは、極座標系で考えた方が、
はるかに簡単に導かれる。
実際に、下図において、OA＝Ｌ、OB＝Ｍ とすると、△OAB の面積は、
 |
Ｓ＝(1/2）｜ＬＭｓｉｎ(β－α)｜ ＝(1/2）｜ＬＭ(ｓｉｎβｃｏｓα－ｃｏｓβｓｉｎα)｜ ＝(1/2）｜Ｍｓｉｎβ・Ｌｃｏｓα－Ｍｃｏｓβ・Ｌｓｉｎα)｜ ここで、Ａ(ａ，ｂ)、Ｂ(ｃ，ｄ) とすれば、 |
ａ＝Ｌｃｏｓα 、ｂ＝Ｌｓｉｎα 、ｃ＝Ｍｃｏｓβ 、ｄ＝Ｍｓｉｎβ
なので、 Ｓ＝(1/2）| ad－bc |
（追記） 例６．において、ヘロンの公式の初等的証明を示したが、次のような証明がある
ことを最近知った。
ヘロンの公式における ｓ－ａ、ｓ－ｂ、ｓ－ｃ の意味が分かって、思わず唸ってしまった。
正直に告白すると、ｓ－ａ などが、図形的にどんな意味があるのか、今まで深く考えたこ
とはなかった．．．．．．f(^_^)。
以下の証明では、この認識がキーポイントになっている。
 |
△ＡＢＣ において、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃ とし、２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ により、ｓ を定める。 △ＡＢＣ の内心を Ｉ 、半径を ｒ とする。 Ｉ から各辺に下ろした垂線の足をそれぞれ Ｐ、 Ｑ、Ｒ とする。 また、左図のように、２つの線分のなす角を α、β、γ とする。 １つの頂点から引いた接線の長さは等しいか ら、 ＢＰ＋ＣＱ＋ＡＲ＝ｓ が成り立つ。 |
このとき、ＢＰ＝ｓ－ＣＱ－ＡＲ＝ｓ－ＣＱ－ＡＱ＝ｓ－ＣＡ＝ｓ－ｂ である。
同様にして、 ＣＱ＝ｓ－ｃ 、 ＡＲ＝ｓ－ａ が成り立つ。
α＋β＋γ＝π なので、
よって、分母を払って、 
したがって、
α＋β＋γ＝π ならば、 
が成り立つ。このとき、
が成り立つので、 
したがって、求める△ＡＢＣ の面積 Ｓ は、 
で与えられ
る。
（注） とてもスッキリした証明で、エレガントですね！
（参考文献：浅見 汎 著 ヘロンの公式を導く（啓林 高数編 Ｎｏ．205） （啓林館））
（追記） 三角形の面積の公式の例２：
（座標平面上で、Ａ( ａ ， ｂ )、Ｂ( ｃ ， ｄ )、O( ０ ，０ ) のとき）
Ｓ＝(１/２)| ａｄ－ｂｃ | （| |は絶対値を表す）
は、ベクトルを用いたり（例３）、三角関数の加法定理を用いたり（追記）、いろいろな証明法
がある。最近、この証明を図形を用いて示した方がおられることを、偶然次のホームページ
で知った。
「取れたて通信」 杜陵サークル２００３年６月例会
幾何的に鮮やかな証明であるので、ここで是非紹介したいと思う。
三角形の代わりに平行四辺形で示すことにする。
 |
左図のように、平行四辺形を切り分け、 ４つの三角形において、等積変形を行い、 直角三角形にする。 |
 |
左図のように、左上図の右側、上側に あった直角三角形を、それぞれ左側、下 側に平行移動させる。 |
求める平行四辺形の面積は、左下図において、長方形３つ分の面積に等しい。
よって、
Ｓ＝ａ×ｄ－ｃ×ｂ＝ａｄ－ｂｃ
である。
（注） 何となく、ａｄ－ｂｃ の意味が分かったような気がします！
（追記）・・・平成１８年２月１２日付け
上記において、ヘロンの公式の証明を２つほどあげたが、次のような証明も興味深い。
△ＡＢＣ において、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃ とし、２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ により、ｓ
を定める。
ここでも、やはり、 ＡＧ＝ｓ－ａ 、ＢＨ＝ｓ－ｂ という事実が有効である。
 |
（証明） いま、△ＡＢＣの辺ＢＣに接する傍接円 ＩＡ を考え、 その半径を ｒＡ とする。 このとき、△ＩＡＫＢ∽△ＢＨＩ なので、 ＩＡＫ ： ＢＫ＝ＢＨ ： ＩＨ が成り立つ。 また、ＡＬ＝ｓ なので、 ＢＫ＝ＢＬ＝ｓ－ＡＢ となり、 ＢＫ＝ｓ－ｃ である。 よって、 ＢＨ＝ｓ－ｂ なので、 ｒＡ ： ｓ－ｃ ＝ ｓ－ｂ ： ｒ から、  が成り立つ。 |
また、△ＡＧＩ∽△ＡＬＩ より、 ＩＧ ： ＩＡＬ＝ＡＧ ： ＡＬ なので、 ｒ ： ｒＡ ＝ ｓ－ａ ： ｓ
よって、 ｒｓ＝ｒＡ （ｓ－ａ） が成り立つ。
△ＡＢＣの面積をＳとすると、 Ｓ＝ｒｓ なので、 Ｓ＝ｒＡ （ｓ－ａ）
したがって、 Ｓ2＝Ｓ・Ｓ＝ｒｓ・ｒＡ （ｓ－ａ）＝ｓ(ｓ－ａ)(ｓ－ｂ)(ｓ－ｃ) より
ヘロンの公式
を得る。（証終）
この証明の副産物として、次の美しい定理が成り立つ。
ただし、ｒＡ、 ｒＢ、 ｒＣ は上記と同様に定まる傍接円の半径とする。
（証明）
、
、
なので、
１/ｒＡ＋１/ｒＢ＋１/ｒＣ
＝ｒ（１/(ｓ－ｂ)(ｓ－ｃ)＋１/(ｓ－ｃ)(ｓ－ａ)＋１/(ｓ－ａ)(ｓ－ｂ)）
＝ｒ/(ｓ－ａ)(ｓ－ｂ)(ｓ－ｃ)・｛ｓ－ａ＋ｓ－ｂ＋ｓ－ｃ｝
＝ｒｓ/(ｓ－ａ)(ｓ－ｂ)(ｓ－ｃ)
＝Ｓ/（Ｓ2/ｓ）
＝ｓ/Ｓ
＝１/ｒ
が成り立つ。 （証終）
（コメント） この公式を眺めていると、「内接円のある性質 」で得られた公式
１/ｈA＋１/ｈB＋１/ｈC＝１/ｒ
（ただし、ｈA、ｈB、ｈCは、△ＡＢＣの頂点 Ａ、Ｂ、Ｃ より各対辺に下ろした垂線の長さである。）
に形が似ていることに気づかされる。何か深遠なる法則で統制されているように感じる。
（参考文献： 中村文則氏（札幌旭丘高校）のＨＰ「三角形の面積をひも解く」）
三角形の内接円の半径は、三角形の面積を利用して簡単に求められる。
 |
△ＡＢＣにおいて、内接円の半径を ｒ 、三角形 の周の長さの半分を ｐ とすると、 △ＡＢＣ＝ｐ・ｒ が成り立つからである。 ただし、 ｐ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）/２ |
また、 円外の１点から円に引いた接線の長さは等しい ので、点Ｃから引いた接線の長さ
ｘ は、 ｘ＝（ａ＋ｂ－ｃ）/２ で求められる。
特に、Ｃ＝９０°の直角三角形の場合は、ｘ＝ｒ なので、面積を利用しなくても、内接円の
半径
ｒ
は、 ｒ＝（ａ＋ｂ－ｃ）/２ と求められる。
この公式は、接線の長さを用いるのが最速であるが、△ＡＢＣ＝ｐ・ｒ からも求めることが
できる。
Ｃ＝９０°の直角三角形なので、 △ＡＢＣ＝ａｂ/２
よって、 ａｂ/２＝ｒ・（ａ＋ｂ＋ｃ）/２ より、 ａｂ＝ｒ・（ａ＋ｂ＋ｃ）
また、三平方の定理より、 a2＋ｂ2＝ｃ2 なので、 （ａ＋ｂ）2－２ａｂ＝ｃ2
よって、 ２ａｂ＝（ａ＋ｂ）2－ｃ2＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ） なので、
（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）/２＝ｒ・（ａ＋ｂ＋ｃ）
したがって、 ｒ＝（ａ＋ｂ－ｃ）/２ が成り立つ。
（追記） 当ＨＰ読者のＫ．Ｓ．さんが、「三角形の面積の公式」をまとめられた。
（平成２４年２月２５日付け）
上記にはない公式も含まれ、興味は尽きない．．．。参考になります。Ｋ．Ｓ．さんに感謝し
ます。
（１） Ｓ＝底辺×高さ÷２ （小学生）
（２） Ｓ＝（１/２）ａｈ （中学生）
（３） Ｓ＝（１/２）ａｂｓｉｎＣ （三角比）
（４） Ｓ＝ａｂｃ/（４Ｒ） （Ｒ：外接円の半径）
（５） Ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ/２＝ｓｒ （ｒ：内接円の半径）
（６） Ｓ＝√（ｓ（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ） （ヘロンの公式）
（７） Ｓ＝√（ｒ・ｒａ・ｒｂ・ｒｃ） （ｒａ、ｒｂ、ｒｃ：傍接円の半径）
（８） Ｓ＝（１/２）ａ2ｓｉｎＢｓｉｎＣ/ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ） （１辺と両端角）
（９） Ｓ＝（１/２）√（｜ａ｜2｜ｂ｜2－（ａ・ｂ）2） （ベクトル）
（１０） Ｓ＝（１/２）｜ｘ1ｙ2－ｘ2ｙ1｜ （平面ベクトル）
（１１） Ｓ＝（１/２）｜ＡＢ×ＡＣ｜ （空間ベクトル）
（１２） Ｓ＝（１/２）｜Ｉｍ（Ｚ1Ｚ2~）｜＝（１/４）｜Ｚ1Ｚ2~－Ｚ1~Ｚ2｜ （複素平面）
（１３） Ｓ＝△ＡＢＣ＝△ＰＡＢ＋△ＰＢＣ＋△ＰＣＡ （符号付き面積）
（追記） 当ＨＰ読者のＫ．Ｓ．さんから、「四角形の面積の公式」をメールで頂いた。
（平成２５年６月２２日付け）
特別な場合の公式であるが、私の高校時代、教科書に載っていたような気がする。Ｋ．Ｓ．
さんに感謝します。
四角形ＡＢＣＤにおいて、対角線ＡＣとＢＤのなす角をθとするとき、面積Ｓは、
Ｓ＝（１/２）ＡＣ・ＢＤｓｉｎθ
で与えられる。
証明は、対角線に平行な平行四辺形（頂点ＡＢＣＤを辺上にもつ）を作ると、平行四辺形の
半分になる事からわかる。
例７．（直角三角形の内接円と斜辺の接点が分かっているとき）
ＨＰサイト「数の不思議世界」で、ＨＮ「壊れた扉」さんが平成２７年２月１８日付けで面白い
定理を紹介されている。オリジナルではないとのことだが、証明に挑戦してみた。
定理 直角三角形ＡＢＣの内接円が斜辺ＡＢと接する点をＤとすると、△ＡＢＣの面積Ｓは、
Ｓ＝ＡＤ・ＢＤ で求められる。
（証明） △ＡＢＣの内接円の半径を ｒ とすると、例１．より、
Ｓ＝ｒｓ＝ｒ（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）/２
ここで、 ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＤ 、ＢＣ＝ＢＤ＋ｒ 、ＣＡ＝ＡＤ＋ｒ なので、
Ｓ＝ｒ（ＡＤ＋ＢＤ＋ｒ）＝ｒ2＋ｒ（ＡＤ＋ＢＤ）
また、三平方の定理より、 ＡＢ2＝ＢＣ2＋ＣＡ2 が成り立つので、
（ＡＤ＋ＢＤ）2＝（ＢＤ＋ｒ）2＋（ＡＤ＋ｒ）2
展開して整理すると、 ＡＤ・ＢＤ＝ｒ（ＡＤ＋ＢＤ）＋ｒ2
以上から、 Ｓ＝ＡＤ・ＢＤ が成り立つ。 （証終）
（追記） 令和３年６月２１日付け
△ＡＢＣ の内接円の半径を ｒ 、ｓを三角形の周の長さの半分とすると、
△ＡＢＣ の面積Ｓは、 Ｓ＝ｒｓ で与えられる。
よく知られた公式であり、大学受験でも有用であるので、読者のために練習問題を残して
おこう。
練習問題 下図のように、直角三角形ＡＢＣに正方形ＰＱＲＳが内接している。このとき、
△ＡＱＰの内接円の半径 ｒ を求めよ。
（解） ＡＰ＝３ｘ/５、ＡＱ＝４ｘ/５ なので、 ３ ： ｘ＝５ ： ４－４ｘ/５
これを解いて、 ｘ＝６０/３７ なので、 ＡＰ＝３６/３７ 、ＡＱ＝４８/３７
よって、 △ＡＱＰ＝（１/２）（３６/３７）（４８/３７）＝８６４/１３６９
ここで、ｓ＝（３６/３７＋４８/３７＋６０/３７）/２＝７２/３７ なので、
（７２/３７）ｒ＝８６４/１３６９ より、 ｒ＝１２/３７ （終）
（コメント） △ＡＢＣ＝６ なので、△ＡＢＣの内接円の半径Ｒは、 Ｒ＝１
よって、 ｒ＝１×（ｘ/５）＝１２/３７
とした方が簡明かな？
（追記） 令和３年６月２２日付け
上記の練習問題では、直角三角形の３辺の長さを与えたが、内接円の半径を与えて、直
角三角形の辺の長さを求める問題を考えてみよう。
練習問題 下図のように、斜辺の長さが１５の直角三角形ＡＢＣに正方形ＰＱＲＳが内接し
ている。△ＢＲＱ、△ＣＰＳの内接円の半径がそれぞれ１８０/１１１、１３５/１１１
であるとき、直角三角形の辺ＡＢ、ＡＣの長さを求めよ。
（解） ＡＰ＝ｂｘ/１５、ＡＱ＝ａｘ/１５ なので、 ｂ ： ｘ＝１５ ： ａ－ａｘ/１５
これを解いて、 ｘ＝１５ａｂ/（ａｂ＋２２５） なので、
ＡＰ＝ａｂ2/（ａｂ＋２２５） 、ＡＱ＝ａ2ｂ/（ａｂ＋２２５）
よって、 ＰＣ＝ｂ－ａｂ2/（ａｂ＋２２５）＝２２５ｂ/（ａｂ＋２２５）
ＱＢ＝ａ－ａ2ｂ/（ａｂ＋２２５）＝２２５ａ/（ａｂ＋２２５）
直角三角形ＡＢＣの内接円の半径 ｒ は、（ａ－ｒ）＋（ｂ－ｒ）＝１５ より、ｒ＝（ａ＋ｂ－１５）/２
したがって、内接円Ｏ1の半径が１８０/１１１であることから、
（ａ＋ｂ－１５）/２・（ＱＢ/１５）＝１５ａ（ａ＋ｂ－１５）/（２（ａｂ＋２２５））＝１８０/１１１
すなわち、 １１１ａ（ａ＋ｂ－１５）＝２４（ａｂ＋２２５）
同様に、内接円Ｏ2の半径が１３５/１１１であることから、
（ａ＋ｂ－１５）/２・（ＰＣ/１５）＝１５ｂ（ａ＋ｂ－１５）/（２（ａｂ＋２２５））＝１３５/１１１
すなわち、 １１１ｂ（ａ＋ｂ－１５）＝１８（ａｂ＋２２５）
よって、ａ＝（４/３）ｂ なので、第２式に代入して整理すると、４７ｂ2－３３３ｂ－８１０＝０
ｂ＞０ に注意して、これを解くと、 ｂ＝９ で、このとき、ａ＝１２
（注意） ａ＝（４/３）ｂ と、ａ2＋ｂ2＝２２５ から、 ａ＝１２、ｂ＝９ を求めてもよい。
（コメント） 適当に数値設定したので、問題設定が見え見えで汚くなってしまいました！
DD++さんからのコメントです。（令和３年６月２３日付け）
未知数が a、b、ｘ の 3 つであるのに対し、制約が多すぎて、この図形は存在できないん
じゃないでしょうか。実際、記事にある答えの数値では、直角三角形 ABC で三平方の定理
が成立していないように見えます。
らすかるさんからのコメントです。（令和３年６月２３日付け）
三平方どころか、a=(16±8√14)/5 で、(16+8√14)/5≒9.2＞(斜辺)、(16-8√14)/5＜0 な
のでどちらも不適ですね。
（コメント） 確かに、斜辺の長さが８の直角三角形ＡＢＣに正方形ＰＱＲＳが内接し、△ＢＲＱ、
△ＣＰＳの内接円の半径がそれぞれ２、１ という設定では、三平方の定理が成立
していなかったですね！もっと慎重に数値設定すべきでした。上記では、設定を修
正したものです。内接円の半径がもっと綺麗になればいいのですが、それは今後
の研究課題とします。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年６月２４日付け）
|
左図のように、3、4、5の三辺を持つ直角三角 形で、斜辺に正方形の一辺を有する内接するも のを考えたとき、３つの隙間にできる各直角三 角形 △APQ、△RBQ、△SPC に内接する内接 円の各半径 r1、r2、r3 を求めると、 r1=12/37 、r2=20/37 、r3=15/37 となるが、これは、 r1 ： r2 ： r3=12 ： 20 ： 15=3*4 ： 4*5 ： 5*3 |
でもあることから、今度は、5、12、13の三辺を持つ直角三角形で、同じく斜辺に内接する正
方形の一辺を重ねたとき、３つの隙間での各直角三角形の内接円の半径の比率は、
5*12 ： 12*13 ： 5*13=60 ： 156 ： 65
となるものなんでしょうか？
（追伸） 一般に、３辺の長さがA、B、C (A2+B2=C2) である直角三角形では、中に一辺が
x の正方形を斜辺に重なる様に内接してるとき、３か所にできる直角三角形での内
接円の半径 r1、r2、r3 は、
r1=(A*B)^2/((A+B+C)*(A*B+C^2))
r2=A^2*B*C/((A+B+C)*(A*B+C^2))
r3=A*B^2*C/((A+B+C)*(A*B+C^2))
即ち、 r1 ： r2 ： r3＝A*B ： A*C ： B*C を満たす。
また、上図において、AQ=a、AP=b として
a=A*k 、b=B*k 、x=C*k
ただし、k=A*B/(A*B+C^2) にて計算しておけばよい。
（コメント） 斜辺の長さが１５で、ａ＝１２、ｂ＝９のとき、r2＝１８０/１１１ 、r3＝１３５/１１１
なので、確かに、 r2 ： r3＝１８０/１１１ ： １３５/１１１＝４ ： ３＝１２*１５ ： ９*１５
が言えていますね。新しい視座ですね！
（追記） 令和４年３月２２日付け
平成３０年度の灘高校入試で、次の問題が出題された。内接円に関係する問題で、興味
があり解いてみた。問題は若干改題しました。
問題 下図のように、△ＡＢＣと点 Ｉ を中心とする円があり、この円は辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡに
接している。ただし、ＡＢ＝１７、ＡＣ＝２５、ＡＩ＝１０で、△ＡＢＩ＋△ＡＣＩ＝１２６とする。
このとき、辺ＢＣの長さを求めよ。
（解） △ＡＢＩ＋△ＡＣＩ＝１２６ から、 １７ｒ/２＋２５ｒ/２＝２１ｒ＝１２６ より、 ｒ＝６
点 Ｉ より、辺ＡＢ、ＡＣに垂線を下ろし、その足をそれぞれＨ、Ｋとおく。
このとき、 ＡＨ＝ＡＫ＝８ なので、 ＢＣ＝（１７－８）＋（２５－８）＝２６ （終）
（コメント） 三角関数を用いれば、次のようにも解けるだろう。
∠ＢＡＩ＝∠ＣＡＩ＝θ とおくと、△ＡＢＩ＋△ＡＣＩ＝１２６ から、
（１/２）・１７・１０ｓｉｎθ＋（１/２）・１０・２５ｓｉｎθ＝２１０ｓｉｎθ＝１２６
よって、 ｓｉｎθ＝３/５ で、 ｃｏｓ２θ＝１－２ｓｉｎ2θ＝７/２５
余弦定理より、 ＢＣ2＝２８９＋６２５－８５０・（７/２５）＝６７６ なので、 ＢＣ＝２６
＃当初、ＡＢ＝８、ＡＣ＝１０、ＡＩ＝５、△ＡＢＩ＋△ＡＣＩ＝２７と問題設定を予定していたが、
検算すると、矛盾のある図形となってしまった。灘高校の数値設定に感動しました。
DD++ さんからのコメントです。（令和４年３月２５日付け）
上記の問題、面積の情報を削除しても三角形がユニークに定まりますよね。すなわち、以
下の問題は（中学範囲に制限しなければ）ちゃんと解けるはず。
「三角形 ABC の内心を I とする。AB=17, AC=25, AI=10 のとき、BC を求めよ。」
さて、綺麗な解き方はあるでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（令和４年３月２６日付け）
とりあえず綺麗でも何でもない「普通の」解き方ですが
AB=c、BC=a、CA=b とおくと、△ABCの面積Sは、
S=(1/4)√{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}
なので、内接円の半径 r は、
r=2S/(a+b+c)=(1/2)√{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(a+b+c)}
Aから内接円の接点までの距離をs、Bから内接円の接点までの距離をt、Cから内接円の
接点までの距離をu とおくと、
a=t+u、b=u+s、c=s+t なので、 s=(-a+b+c)/2
AI=d とおくと、 d^2=s^2+r^2=bc-2abc/(a+b+c)
これを a について解くと、 a=(bc-d^2)(b+c)/(bc+d^2) なので、b=25、c=17、d=10 を代入
して、 a=26 である。
(追記) これを計算していて気付いたのですが、上記の s、t、u を使うと、
面積は、 S=√{stu(s+t+u)}
内接円の半径は、 r=√{stu/(s+t+u)}
という綺麗な式で表せるんですね。
（コメント） 内接円の半径を ｒ とすると、ｓｉｎ∠ＢＡＩ＝ｒ/１０、ｃｏｓ∠ＢＡＩ＝√（１００－ｒ2）/１０
円外の１点から引いた接線の長さが等しいことから、 ＢＣ＝４２－２√（１００－ｒ2）
よって、 △ＡＢＣ＝ｒ（４２－√（１００－ｒ2））
一方、△ＡＢＣ＝（１/２）・１７・２５・２（ｒ/１０）・（√（１００－ｒ2）/１０）＝（１７/４）ｒ√（１００－ｒ2）
なので、 （１７/４）ｒ√（１００－ｒ2）＝ｒ（４２－√（１００－ｒ2））
すなわち、 √（１００－ｒ2）＝８ より、 ｒ＝６ なので、 ＢＣ＝２６ と定まる。
（注） √（１００－ｒ2）＝ｘ として、 ｓｉｎ∠ＢＡＩ＝ｒ/１０、ｃｏｓ∠ＢＡＩ＝ｘ/１０
円外の１点から引いた接線の長さが等しいことから、 ＢＣ＝４２－２ｘ
よって、 △ＡＢＣ＝ｒ（４２－ｘ）
一方、△ＡＢＣ＝（１/２）・１７・２５・２（ｒ/１０）・（ｘ/１０）＝（１７/４）ｒｘ
なので、 （１７/４）ｒｘ＝ｒ（４２－ｘ） より、 ｘ＝８ なので、、 ＢＣ＝２６ と定まる。
（上記の計算から分かるように、√（１００－ｒ2）の ｒ は求める必要はないようです。）
＃ 面積の条件がなくても、「ＢＣ＝２６」が分かるんですね！感動しました。DD++ さんに感謝
します。らすかるさん、解答をありがとうございます。
DD++ さんのご教示を受け、矛盾のない問題設定を考えてみた。
ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃ とおいて、ＡＩ＝５、ｒ＝３ となるようにしたい。
このとき、 ＢＣ＝ｂ＋ｃ－８ で、 ｓ＝ｂ＋ｃ－４ なので、 △ＡＢＣ＝３（ｂ＋ｃ－４）
一方、 △ＡＢＣ＝（１/２）・ｂｃ・２（３/５）（４/５）＝１２ｂｃ/２５ なので、
１２ｂｃ/２５＝３（ｂ＋ｃ－４） すなわち、 ４ｂｃ＝２５（ｂ＋ｃ－４）
これより、 （４ｂ－２５）（４ｃ－２５）＝２２５ となる。
ｂ、ｃ （ｂ≦ｃ） が整数という条件を付加して、
（４ｂ－２５，４ｃ－２５）＝（１５，１５）、（３，７５） から、 （ｂ，ｃ）＝（１０，１０）、（７，２５）
このうち、 ｂ＝７、ｃ＝２５ を採用すれば、題意を満たす。
このとき、 △ＡＢＩ＋△ＡＣＩ＝４８ である。
りらひいさんからのコメントです。（令和４年３月２７日付け）
わたしも最初はらすかるさんと同じような方法で解きました。その後、別の方法でも解いて
みました。綺麗な解き方にはなりませんでしたが、一応書いてみます。
BC=a、CA=b、AB=c、∠A=2α、∠B=2β、∠C=2γ、AI=d とおく。
∠CAI=∠BAI=α、∠ABI=∠CBI=β、∠BCI=∠ACI=γ となる。
∠A+∠B+∠C=π より、 α+β+γ=π/2 なので、
∠AIB = π-(α+β) = π-(π/2-γ) = π/2+γ
∠AIC = π-(α+γ) = π-(π/2-β) = π/2+β
△AIBに正弦定理を使うと、 (sinβ)/d=(sin∠AIB)/c より、sinβ=(d/c)*cosγ なので、
(sinβ)^2+(cosβ)^2=1 に代入して、 (d/c)^2*(cosγ)^2+(cosβ)^2=1 … ①
△AICに正弦定理を使うと、 (sinγ)/d=(sin∠AIC)/b より、sinγ=(d/b)*cosβ なので、
(sinγ)^2+(cosγ)^2=1 に代入して、 (d/b)^2*(cosβ)^2+(cosγ)^2=1 … ②
①②を連立して解くと、
(cosγ)^2=c^2(b^2-d^2)/(b^2*c^2-d^4) 、(cosβ)^2=b^2(c^2-d^2)/(b^2*c^2-d^4)
よって、 a= b*cos(2γ) + c*cos(2β)
= b*(2*(cosγ)^2-1) + c*(2*(cosβ)^2-1)
= b*(2*c^2(b^2-d^2)/(b^2*c^2-d^4)-1) + c*(2*b^2(c^2-d^2)/(b^2*c^2-d^4)-1)
= (b+c)*(bc-d^2)/(bc+d^2)
なので、b=25、c=17、d=10 を代入して、a=26 を得る。
＃らすかるさんの解法のd^2の計算で、分子の3次、2次の項が消えたり、上の解法のaの計
算で約分ができたりするので、何かしら綺麗な解き方があってもよさそうな気もします。
スモークマンさんからのコメントです。（令和４年３月２７日付け）
計算だけなら、以下のようにして求めてみました ^^。
A、Ｂ、Ｃから内接円の接点までの距離をそれぞれ s、ｔ、ｕ とおく。
また、∠A/2=α とおくと、 sinα=r/d 、cosα=s/d
ここで、 △ABC=AB*AC*sin(2α)/2=AB*AC*(rs/d^2)=(s+t+u)*r なので、
17*25*s=(17+25-s)*100 より、 17s=4(42-s) すなわち、21s=4*42 より、 s=8
よって、 t=17-8=9 、u=25-8=17 なので、 BC=t+u=9+17=26
ちなみに、 r=√(10^2-8^2)=6 である。
以下、工事中！