三角形の面積の公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　戻る

　三角形の面積の公式といえば、（底辺）×（高さ）÷２ で、お馴染みである。基本的に、面
積の公式は全て、この公式が出発点である。

例１．（三角形の２辺 ａ 、ｂ とその間の角 θ が分かっているとき）

　Ｓ＝(１/２)ａｂ・sinθ　　　(（底辺）＝ａ、（高さ）＝b sinθ)

　 　例１．の変形バージョンとしては次の公式が有名だろう。

　　△ＡＢＣ の外接円、内接円の半径をそれぞれ Ｒ 、ｒ とすると、

　　　　　　Ｓ＝ａｂｃ/４Ｒ＝ｒｓ

　　　　ただし、ｓは、三角形の周の長さの半分。

（証明）　Ｓ＝ａｂｃ/４Ｒ　を示すには、正弦定理を用いればよい。

　　正弦定理より、　ｓｉｎθ＝ｃ/２Ｒ　なので、

　Ｓ＝(１/２)ａｂ・sinθ＝(１/２)ａｂ・（ｃ/２Ｒ）＝ａｂｃ/４Ｒ

　Ｓ＝ｒｓ　を示すには、△ＡＢＣを内接円の中心を頂点とする３つの小三角形に分割し、そ
の面積の総和を求めればよい。

　即ち、Ｓ＝ａｒ/２＋ｂｒ/２＋ｃｒ/２＝（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ/２＝ｒｓ　 （証終）


　　上記では、正弦定理を用いて、Ｓ＝ａｂｃ/４Ｒ　を示したが、直接的に示す方法も知ら
　れている。

　　左図において、　△ＡＢＨ∽△ＡＫＣ　なので、

　　　　　　ＡＢ ： ＡＫ ＝ ＡＨ ： ＡＣ

　　　すなわち、　ｃ ： ２Ｒ ＝ ｈ ： ｂ　より、　ｈ＝ｂｃ/２Ｒ

　　　よって、　Ｓ＝ａｈ/２＝ａｂｃ/４Ｒ

（コメント）　正弦定理を示す手法と同じですね！


例２．（座標平面上で、Ａ( ａ ， ｂ )、Ｂ( ｃ ， ｄ )、O( ０ ，０ ) のとき）

　Ｓ＝(１/２)| ａｄ－ｂｃ |　　　（|　　|は絶対値を表す）


例３．（ベクトルを用いたとき）

　例２．の３点において、　とおくと、

　

　例３．を用いて、例２．は簡単に導かれる。


例４．(行列式を用いたとき）

　

その行列式　ｄｅｔ（Ａ） は、ｄｅｔ（Ａ）＝ａｄ－ｂｃ　なので、

　Ｓ＝(１/２)|ｄｅｔ(Ａ)|


例５．（三角形の三辺 a 、b 、c が分かっているとき)

　ヘロンの公式　　

ただし、ｓは、三角形の周の長さの半分。

　余弦定理と、例１．の公式を用いて示される。ただ少しばかり、因数分解が大変かもしれ
ない。


例６．（例５．を初等的に導入）

　　△ＡＢＨで、三平方の定理より、ｈ2＝ｃ2－ｘ2
　　△ＡＨＣで、三平方の定理より、ｈ2＝ｂ2－(ａ－ｘ)2
　
この２つの式より、
　　　　　　　　　　　

　この ｘ を、第１式に代入して、ｈが求まる。（因数分解の知識を要する。）

　実際に、

４ａ2ｈ2＝４ａ2ｃ2－（ｃ2＋ａ2－ｂ2）2

＝（２ａｃ＋ｃ2＋ａ2－ｂ2）（２ａｃ－ｃ2－ａ2＋ｂ2）

＝｛（ｃ＋ａ）2－ｂ2｝｛ｂ2－（ｃ－ａ）2｝

＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）（－ａ＋ｂ＋ｃ）

　２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ　とおくと、

４ａ2ｈ2＝２ｓ（２ｓ－２ｂ）（２ｓ－２ｃ）（２ｓ－２ａ）＝１６ｓ（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）　より、

　ａ2ｈ2＝４ｓ（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）

この結果を、Ｓ＝(１/２)ａｈ　に代入して、

　ヘロンの公式　　　が得られる。


（参考文献：　石谷　茂　著　行列と行列式で楽しむ（現代数学社））


（追記）　平成２５年１１月２５日付け

　今までヘロンの公式というと、

　　　　（ただし、　２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ　）

の形でしか認識していなかったが、もっと別な形があることを、ある計算をしているときに気
づかされた。すなわち、次の式が成り立つ。

　　１６Ｓ2＝（ａ2＋ｂ2＋ｃ2）2－２（ａ4＋ｂ4＋ｃ4）

（証明）　ヘロンの公式より、　２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ　に対して、

１６Ｓ2＝２ｓ（２ｓ－２ａ）（２ｓ－２ｂ）（２ｓ－２ｃ）

＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（－ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）

＝｛（ｂ＋ｃ）2－ａ2｝｛ａ2－（ｂ－ｃ）2｝

＝－ａ4＋｛（ｂ＋ｃ）2＋（ｂ－ｃ）2｝ａ2－（ｂ＋ｃ）2（ｂ－ｃ）2

＝－ａ4＋２（ｂ2＋ｃ2）ａ2－ｂ4＋２ｂ2ｃ2－ｃ4

＝－ａ4－ｂ4－ｃ4＋２ａ2ｂ2＋２ｂ2ｃ2＋２ｃ2ａ2

＝（ａ2＋ｂ2＋ｃ2）2－２（ａ4＋ｂ4＋ｃ4）　　（証明）


(コメント）　この式変形により、ヘロンの公式に解析的な手法が適用可となる。今、そのよう
　　　　な問題を考察中である。

　ヘロンの公式が適用されるのは、辺の長さがすべて整数の場合と相場が決まっているが、
上記のような公式の形であれば、辺の長さに多少平方根などの無理数があっても計算の大
変さはそれほどでもないだろう。

例　△ＡＢＣにおいて、３辺の長さが　、、であるとき、△ＡＢＣの面積を求めよ。

（解）　１６Ｓ2＝（２＋３＋６）2－２（４＋９＋３６）＝１２１－９８＝２３　より、

　Ｓ＝（√23）/４　　（終）

（別解）　ｃｏｓθ＝（２＋３－６）/（２）＝－１/（２）　より、　ｓｉｎθ＝（√23）/（２）

　よって、　Ｓ＝（１/２）・（√23）/（２）＝（√23）/４　　（終）


（追記）　上記において、ベクトルを用いた三角形の面積の公式（例３）から、成分表示の
　　　（例２）は簡単に導かれると書いたが、（例２）そのものは、極座標系で考えた方が、
　　　はるかに簡単に導かれる。

　　実際に、下図において、OA＝Ｌ、OB＝Ｍ　とすると、△OAB の面積は、

三角形の面積 　Ｓ＝(1/2）｜ＬＭｓｉｎ(β－α)｜

　　＝(1/2）｜ＬＭ(ｓｉｎβｃｏｓα－ｃｏｓβｓｉｎα)｜

　　＝(1/2）｜Ｍｓｉｎβ・Ｌｃｏｓα－Ｍｃｏｓβ・Ｌｓｉｎα)｜

　ここで、Ａ(ａ，ｂ)、Ｂ(ｃ，ｄ) とすれば、

　ａ＝Ｌｃｏｓα　、ｂ＝Ｌｓｉｎα　、ｃ＝Ｍｃｏｓβ　、ｄ＝Ｍｓｉｎβ

なので、Ｓ＝(1/2）| ad－bc |


（追記）　例６．において、ヘロンの公式の初等的証明を示したが、次のような証明がある
　　　　ことを最近知った。

　ヘロンの公式における　ｓ－ａ、ｓ－ｂ、ｓ－ｃ　の意味が分かって、思わず唸ってしまった。

　正直に告白すると、ｓ－ａ　などが、図形的にどんな意味があるのか、今まで深く考えたこ
とはなかった．．．．．．f(^_^)。

　以下の証明では、この認識がキーポイントになっている。

　　△ＡＢＣ において、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃ
　とし、２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ　により、ｓ を定める。
　
　　△ＡＢＣ の内心を Ｉ 、半径を ｒ とする。

　　Ｉ から各辺に下ろした垂線の足をそれぞれ Ｐ、
　Ｑ、Ｒ　とする。

　　また、左図のように、２つの線分のなす角を
　α、β、γ　とする。

　　１つの頂点から引いた接線の長さは等しいか
　ら、　ＢＰ＋ＣＱ＋ＡＲ＝ｓ　が成り立つ。

　このとき、ＢＰ＝ｓ－ＣＱ－ＡＲ＝ｓ－ＣＱ－ＡＱ＝ｓ－ＣＡ＝ｓ－ｂ　である。

同様にして、　ＣＱ＝ｓ－ｃ　、　ＡＲ＝ｓ－ａ　が成り立つ。

α＋β＋γ＝π　なので、

　

よって、分母を払って、　

したがって、α＋β＋γ＝π　ならば、　

が成り立つ。このとき、



が成り立つので、　

したがって、求める△ＡＢＣ　の面積 Ｓ は、　　で与えられ
る。

（注）　とてもスッキリした証明で、エレガントですね！

（参考文献：浅見　汎　著　ヘロンの公式を導く（啓林　高数編　Ｎｏ．205）　（啓林館））


（追記）　　三角形の面積の公式の例２：

　（座標平面上で、Ａ( ａ ， ｂ )、Ｂ( ｃ ， ｄ )、O( ０ ，０ ) のとき）

　Ｓ＝(１/２)| ａｄ－ｂｃ |　　　（|　　|は絶対値を表す）

は、ベクトルを用いたり（例３）、三角関数の加法定理を用いたり（追記）、いろいろな証明法

がある。最近、この証明を図形を用いて示した方がおられることを、偶然次のホームページ

で知った。

　「取れたて通信」　杜陵サークル２００３年６月例会

　幾何的に鮮やかな証明であるので、ここで是非紹介したいと思う。

三角形の代わりに平行四辺形で示すことにする。

　　　左図のように、平行四辺形を切り分け、

　　４つの三角形において、等積変形を行い、

　　直角三角形にする。
　　　左図のように、左上図の右側、上側に

　　あった直角三角形を、それぞれ左側、下

　　側に平行移動させる。

　求める平行四辺形の面積は、左下図において、長方形３つ分の面積に等しい。
よって、

　Ｓ＝ａ×ｄ－ｃ×ｂ＝ａｄ－ｂｃ

である。

（注）　何となく、ａｄ－ｂｃ の意味が分かったような気がします！


（追記）・・・平成１８年２月１２日付け

　上記において、ヘロンの公式の証明を２つほどあげたが、次のような証明も興味深い。

　△ＡＢＣ　において、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃ　とし、２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ　により、ｓ を定める。

ここでも、やはり、　ＡＧ＝ｓ－ａ　、ＢＨ＝ｓ－ｂ　という事実が有効である。

（証明）　　いま、△ＡＢＣの辺ＢＣに接する傍接円 ＩＡ を考え、

　　　　その半径を　ｒＡ とする。

　　　　このとき、△ＩＡＫＢ∽△ＢＨＩ なので、

　　　　　　　ＩＡＫ ： ＢＫ＝ＢＨ ： ＩＨ　が成り立つ。

　　　　また、ＡＬ＝ｓ　なので、　ＢＫ＝ＢＬ＝ｓ－ＡＢ　となり、

　　　　　　　ＢＫ＝ｓ－ｃ

　　　　である。　よって、　ＢＨ＝ｓ－ｂ　なので、

　　 　　　ｒＡ ： ｓ－ｃ ＝ ｓ－ｂ ： ｒ　から、

　　　　　　　　

　　　　が成り立つ。

　また、△ＡＧＩ∽△ＡＬＩ　より、　ＩＧ ： ＩＡＬ＝ＡＧ ： ＡＬ　なので、　ｒ ： ｒＡ ＝ ｓ－ａ ： ｓ

よって、　ｒｓ＝ｒＡ （ｓ－ａ）　が成り立つ。

　△ＡＢＣの面積をＳとすると、　Ｓ＝ｒｓ　なので、　Ｓ＝ｒＡ （ｓ－ａ）

したがって、　Ｓ2＝Ｓ・Ｓ＝ｒｓ・ｒＡ （ｓ－ａ）＝ｓ(ｓ－ａ)(ｓ－ｂ)(ｓ－ｃ)　より

　ヘロンの公式　　

を得る。（証終）

この証明の副産物として、次の美しい定理が成り立つ。

　

ただし、ｒＡ、 ｒＢ、 ｒＣ は上記と同様に定まる傍接円の半径とする。

（証明）

　　、　、

なので、

　１/ｒＡ＋１/ｒＢ＋１/ｒＣ

＝ｒ（１/(ｓ－ｂ)(ｓ－ｃ)＋１/(ｓ－ｃ)(ｓ－ａ)＋１/(ｓ－ａ)(ｓ－ｂ)）

＝ｒ/(ｓ－ａ)(ｓ－ｂ)(ｓ－ｃ)・｛ｓ－ａ＋ｓ－ｂ＋ｓ－ｃ｝

＝ｒｓ/(ｓ－ａ)(ｓ－ｂ)(ｓ－ｃ)

＝Ｓ/（Ｓ2/ｓ）

＝ｓ/Ｓ

＝１/ｒ

　が成り立つ。　　（証終）


（コメント）　この公式を眺めていると、「内接円のある性質 」で得られた公式

　　　　　　　　　　１/ｈA＋１/ｈB＋１/ｈC＝１/ｒ

（ただし、ｈA、ｈB、ｈCは、△ＡＢＣの頂点 Ａ、Ｂ、Ｃ より各対辺に下ろした垂線の長さである。）

　に形が似ていることに気づかされる。何か深遠なる法則で統制されているように感じる。

（参考文献：　中村文則氏（札幌旭丘高校）のＨＰ「三角形の面積をひも解く」）


　三角形の内接円の半径は、三角形の面積を利用して簡単に求められる。

　 △ＡＢＣにおいて、内接円の半径を ｒ 、三角形
の周の長さの半分を ｐ とすると、

　　　△ＡＢＣ＝ｐ・ｒ

が成り立つからである。

　ただし、　ｐ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）/２

また、 円外の１点から円に引いた接線の長さは等しい ので、点Ｃから引いた接線の長さ

ｘ は、　ｘ＝（ａ＋ｂ－ｃ）/２　で求められる。

　特に、Ｃ＝９０°の直角三角形の場合は、ｘ＝ｒ　なので、面積を利用しなくても、内接円の

半径 ｒ は、　ｒ＝（ａ＋ｂ－ｃ）/２　と求められる。

　この公式は、接線の長さを用いるのが最速であるが、△ＡＢＣ＝ｐ・ｒ　からも求めることが
できる。

　Ｃ＝９０°の直角三角形なので、　△ＡＢＣ＝ａｂ/２

　よって、　ａｂ/２＝ｒ・（ａ＋ｂ＋ｃ）/２　より、　ａｂ＝ｒ・（ａ＋ｂ＋ｃ）

　また、三平方の定理より、　a2＋ｂ2＝ｃ2　なので、　（ａ＋ｂ）2－２ａｂ＝ｃ2

　よって、　２ａｂ＝（ａ＋ｂ）2－ｃ2＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）　なので、

　（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）/２＝ｒ・（ａ＋ｂ＋ｃ）

　したがって、　ｒ＝（ａ＋ｂ－ｃ）/２　が成り立つ。


（追記）　当ＨＰ読者のＫ．Ｓ．さんが、「三角形の面積の公式」をまとめられた。
　　（平成２４年２月２５日付け）

　上記にはない公式も含まれ、興味は尽きない．．．。参考になります。Ｋ．Ｓ．さんに感謝し
ます。

（１）　Ｓ＝底辺×高さ÷２　（小学生）

（２）　Ｓ＝（１/２）ａｈ　（中学生）

（３）　Ｓ＝（１/２）ａｂｓｉｎＣ　（三角比）

（４）　Ｓ＝ａｂｃ/（４Ｒ）　（Ｒ：外接円の半径）

（５）　Ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ/２＝ｓｒ　（ｒ：内接円の半径）

（６）　Ｓ＝√（ｓ（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）　（ヘロンの公式）

（７）　Ｓ＝√（ｒ・ｒａ・ｒｂ・ｒｃ）　（ｒａ、ｒｂ、ｒｃ：傍接円の半径）

（８）　Ｓ＝（１/２）ａ2ｓｉｎＢｓｉｎＣ/ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）　（１辺と両端角）

（９）　Ｓ＝（１/２）√（｜ａ｜2｜ｂ｜2－（ａ・ｂ）2）　（ベクトル）

（１０）　Ｓ＝（１/２）｜ｘ1ｙ2－ｘ2ｙ1｜　（平面ベクトル）

（１１）　Ｓ＝（１/２）｜ＡＢ×ＡＣ｜　（空間ベクトル）

（１２）　Ｓ＝（１/２）｜Ｉｍ（Ｚ1Ｚ2~）｜＝（１/４）｜Ｚ1Ｚ2~－Ｚ1~Ｚ2｜　（複素平面）

（１３）　Ｓ＝△ＡＢＣ＝△ＰＡＢ＋△ＰＢＣ＋△ＰＣＡ　（符号付き面積）


（追記）　当ＨＰ読者のＫ．Ｓ．さんから、「四角形の面積の公式」をメールで頂いた。
　　（平成２５年６月２２日付け）

　特別な場合の公式であるが、私の高校時代、教科書に載っていたような気がする。Ｋ．Ｓ．
さんに感謝します。

　四角形ＡＢＣＤにおいて、対角線ＡＣとＢＤのなす角をθとするとき、面積Ｓは、

　Ｓ＝（１/２）ＡＣ・ＢＤｓｉｎθ

で与えられる。

　証明は、対角線に平行な平行四辺形（頂点ＡＢＣＤを辺上にもつ）を作ると、平行四辺形の
半分になる事からわかる。


例７．（直角三角形の内接円と斜辺の接点が分かっているとき）

　ＨＰサイト「数の不思議世界」で、ＨＮ「壊れた扉」さんが平成２７年２月１８日付けで面白い
定理を紹介されている。オリジナルではないとのことだが、証明に挑戦してみた。

定理　直角三角形ＡＢＣの内接円が斜辺ＡＢと接する点をＤとすると、△ＡＢＣの面積Ｓは、

　Ｓ＝ＡＤ・ＢＤ　　で求められる。

（証明）　△ＡＢＣの内接円の半径を ｒ とすると、例１．より、

　Ｓ＝ｒｓ＝ｒ（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）/２

ここで、　ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＤ　、ＢＣ＝ＢＤ＋ｒ　、ＣＡ＝ＡＤ＋ｒ　なので、

　Ｓ＝ｒ（ＡＤ＋ＢＤ＋ｒ）＝ｒ2＋ｒ（ＡＤ＋ＢＤ）

また、三平方の定理より、　ＡＢ2＝ＢＣ2＋ＣＡ2　が成り立つので、

　（ＡＤ＋ＢＤ）2＝（ＢＤ＋ｒ）2＋（ＡＤ＋ｒ）2

　展開して整理すると、　ＡＤ・ＢＤ＝ｒ（ＡＤ＋ＢＤ）＋ｒ2

　以上から、　Ｓ＝ＡＤ・ＢＤ　が成り立つ。　　（証終）


（追記）　令和３年６月２１日付け

　△ＡＢＣ の内接円の半径を ｒ 、ｓを三角形の周の長さの半分とすると、

　△ＡＢＣ の面積Ｓは、　Ｓ＝ｒｓ　で与えられる。

　よく知られた公式であり、大学受験でも有用であるので、読者のために練習問題を残して
おこう。

練習問題　　下図のように、直角三角形ＡＢＣに正方形ＰＱＲＳが内接している。このとき、
　　　　　　　△ＡＱＰの内接円の半径 ｒ を求めよ。

　　　　　　　

（解）　ＡＰ＝３ｘ/５、ＡＱ＝４ｘ/５　なので、　３ ： ｘ＝５ ： ４－４ｘ/５

　　これを解いて、　ｘ＝６０/３７　なので、　ＡＰ＝３６/３７　、ＡＱ＝４８/３７

　よって、　△ＡＱＰ＝（１/２）（３６/３７）（４８/３７）＝８６４/１３６９

　ここで、ｓ＝（３６/３７＋４８/３７＋６０/３７）/２＝７２/３７　なので、

　　（７２/３７）ｒ＝８６４/１３６９　より、　ｒ＝１２/３７　　（終）


（コメント）　△ＡＢＣ＝６　なので、△ＡＢＣの内接円の半径Ｒは、　Ｒ＝１

　　よって、　ｒ＝１×（ｘ/５）＝１２/３７

　とした方が簡明かな？


（追記）　令和３年６月２２日付け

　上記の練習問題では、直角三角形の３辺の長さを与えたが、内接円の半径を与えて、直
角三角形の辺の長さを求める問題を考えてみよう。

練習問題　　下図のように、斜辺の長さが１５の直角三角形ＡＢＣに正方形ＰＱＲＳが内接し
　　　　　　　ている。△ＢＲＱ、△ＣＰＳの内接円の半径がそれぞれ１８０/１１１、１３５/１１１
　　　　　　　であるとき、直角三角形の辺ＡＢ、ＡＣの長さを求めよ。

　

（解）　ＡＰ＝ｂｘ/１５、ＡＱ＝ａｘ/１５　なので、　ｂ ： ｘ＝１５ ： ａ－ａｘ/１５

これを解いて、　ｘ＝１５ａｂ/（ａｂ＋２２５）　なので、

　ＡＰ＝ａｂ2/（ａｂ＋２２５）　、ＡＱ＝ａ2ｂ/（ａｂ＋２２５）

よって、　ＰＣ＝ｂ－ａｂ2/（ａｂ＋２２５）＝２２５ｂ/（ａｂ＋２２５）

　ＱＢ＝ａ－ａ2ｂ/（ａｂ＋２２５）＝２２５ａ/（ａｂ＋２２５）

直角三角形ＡＢＣの内接円の半径 ｒ は、（ａ－ｒ）＋（ｂ－ｒ）＝１５　より、ｒ＝（ａ＋ｂ－１５）/２

　したがって、内接円Ｏ1の半径が１８０/１１１であることから、

　（ａ＋ｂ－１５）/２・（ＱＢ/１５）＝１５ａ（ａ＋ｂ－１５）/（２（ａｂ＋２２５））＝１８０/１１１

　すなわち、　１１１ａ（ａ＋ｂ－１５）＝２４（ａｂ＋２２５）

同様に、内接円Ｏ2の半径が１３５/１１１であることから、

　（ａ＋ｂ－１５）/２・（ＰＣ/１５）＝１５ｂ（ａ＋ｂ－１５）/（２（ａｂ＋２２５））＝１３５/１１１

すなわち、　１１１ｂ（ａ＋ｂ－１５）＝１８（ａｂ＋２２５）

よって、ａ＝（４/３）ｂ　なので、第２式に代入して整理すると、４７ｂ2－３３３ｂ－８１０＝０

　ｂ＞０　に注意して、これを解くと、　ｂ＝９　で、このとき、ａ＝１２

（注意）　ａ＝（４/３）ｂ　と、ａ2＋ｂ2＝２２５　から、　ａ＝１２、ｂ＝９　を求めてもよい。


（コメント）　適当に数値設定したので、問題設定が見え見えで汚くなってしまいました！


　DD++さんからのコメントです。（令和３年６月２３日付け）

　未知数が a、b、ｘ の 3 つであるのに対し、制約が多すぎて、この図形は存在できないん
じゃないでしょうか。実際、記事にある答えの数値では、直角三角形 ABC で三平方の定理
が成立していないように見えます。


　らすかるさんからのコメントです。（令和３年６月２３日付け）

　三平方どころか、a=(16±8√14)/5 で、(16+8√14)/5≒9.2＞(斜辺)、(16-8√14)/5＜0　な
のでどちらも不適ですね。


（コメント）　確かに、斜辺の長さが８の直角三角形ＡＢＣに正方形ＰＱＲＳが内接し、△ＢＲＱ、
　　　　　　△ＣＰＳの内接円の半径がそれぞれ２、１　という設定では、三平方の定理が成立
　　　　　　していなかったですね！もっと慎重に数値設定すべきでした。上記では、設定を修
　　　　　　正したものです。内接円の半径がもっと綺麗になればいいのですが、それは今後
　　　　　　の研究課題とします。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年６月２４日付け）

　左図のように、3、4、5の三辺を持つ直角三角
形で、斜辺に正方形の一辺を有する内接するも
のを考えたとき、３つの隙間にできる各直角三
角形 △APQ、△RBQ、△SPC に内接する内接
円の各半径 r1、r2、r3 を求めると、

　　r1=12/37　、r2=20/37　、r3=15/37

　となるが、これは、

　　r1 ： r2 ： r3=12 ： 20 ： 15=3*4 ： 4*5 ： 5*3

でもあることから、今度は、5、12、13の三辺を持つ直角三角形で、同じく斜辺に内接する正
方形の一辺を重ねたとき、３つの隙間での各直角三角形の内接円の半径の比率は、

　　5*12 ： 12*13 ： 5*13=60 ： 156 ： 65

となるものなんでしょうか？

（追伸）　一般に、３辺の長さがA、B、C (A2+B2=C2) である直角三角形では、中に一辺が
　　　　　x の正方形を斜辺に重なる様に内接してるとき、３か所にできる直角三角形での内
　　　　　接円の半径 r1、r2、r3 は、

　　r1=(A*B)^2/((A+B+C)*(A*B+C^2))

　　r2=A^2*B*C/((A+B+C)*(A*B+C^2))

　　r3=A*B^2*C/((A+B+C)*(A*B+C^2))

即ち、　r1 ： r2 ： r3＝A*B ： A*C ： B*C　を満たす。

　また、上図において、AQ=a、AP=b として

　　a=A*k　、b=B*k　、x=C*k

　ただし、k=A*B/(A*B+C^2) にて計算しておけばよい。


（コメント）　斜辺の長さが１５で、ａ＝１２、ｂ＝９のとき、r2＝１８０/１１１　、r3＝１３５/１１１
　　　　　　なので、確かに、　r2 ： r3＝１８０/１１１ ： １３５/１１１＝４ ： ３＝１２*１５ ： ９*１５
　　　　　　が言えていますね。新しい視座ですね！


（追記）　令和４年３月２２日付け

　平成３０年度の灘高校入試で、次の問題が出題された。内接円に関係する問題で、興味
があり解いてみた。問題は若干改題しました。

問題　　下図のように、△ＡＢＣと点 Ｉ を中心とする円があり、この円は辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡに
　　　　接している。ただし、ＡＢ＝１７、ＡＣ＝２５、ＡＩ＝１０で、△ＡＢＩ＋△ＡＣＩ＝１２６とする。

　

　このとき、辺ＢＣの長さを求めよ。

（解）　△ＡＢＩ＋△ＡＣＩ＝１２６　から、　１７ｒ/２＋２５ｒ/２＝２１ｒ＝１２６　より、　ｒ＝６

　点 Ｉ より、辺ＡＢ、ＡＣに垂線を下ろし、その足をそれぞれＨ、Ｋとおく。

このとき、　ＡＨ＝ＡＫ＝８　なので、　ＢＣ＝（１７－８）＋（２５－８）＝２６　　（終）


（コメント）　三角関数を用いれば、次のようにも解けるだろう。

　∠ＢＡＩ＝∠ＣＡＩ＝θ　とおくと、△ＡＢＩ＋△ＡＣＩ＝１２６　から、

　　（１/２）・１７・１０ｓｉｎθ＋（１/２）・１０・２５ｓｉｎθ＝２１０ｓｉｎθ＝１２６

　よって、　ｓｉｎθ＝３/５　で、　ｃｏｓ２θ＝１－２ｓｉｎ2θ＝７/２５

　余弦定理より、　ＢＣ2＝２８９＋６２５－８５０・（７/２５）＝６７６　なので、　ＢＣ＝２６

＃当初、ＡＢ＝８、ＡＣ＝１０、ＡＩ＝５、△ＡＢＩ＋△ＡＣＩ＝２７と問題設定を予定していたが、
　検算すると、矛盾のある図形となってしまった。灘高校の数値設定に感動しました。


　DD++ さんからのコメントです。（令和４年３月２５日付け）

　上記の問題、面積の情報を削除しても三角形がユニークに定まりますよね。すなわち、以
下の問題は（中学範囲に制限しなければ）ちゃんと解けるはず。

　「三角形 ABC の内心を I とする。AB=17, AC=25, AI=10 のとき、BC を求めよ。」

　さて、綺麗な解き方はあるでしょうか？


　らすかるさんからのコメントです。（令和４年３月２６日付け）

　とりあえず綺麗でも何でもない「普通の」解き方ですが

　AB=c、BC=a、CA=b とおくと、△ABCの面積Sは、

　　S=(1/4)√{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}

なので、内接円の半径 r は、

　　r=2S/(a+b+c)=(1/2)√{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(a+b+c)}

　Aから内接円の接点までの距離をs、Bから内接円の接点までの距離をt、Cから内接円の
接点までの距離をu とおくと、

　　a=t+u、b=u+s、c=s+t　なので、　s=(-a+b+c)/2

　AI=d とおくと、　d^2=s^2+r^2=bc-2abc/(a+b+c)

　これを a について解くと、　a=(bc-d^2)(b+c)/(bc+d^2)　なので、b=25、c=17、d=10　を代入
して、　a=26　である。

(追記)　これを計算していて気付いたのですが、上記の s、t、u を使うと、

　　面積は、　S=√{stu(s+t+u)}

　　内接円の半径は、　r=√{stu/(s+t+u)}

という綺麗な式で表せるんですね。


（コメント）　内接円の半径を ｒ とすると、ｓｉｎ∠ＢＡＩ＝ｒ/１０、ｃｏｓ∠ＢＡＩ＝√（１００－ｒ2）/１０

　円外の１点から引いた接線の長さが等しいことから、　ＢＣ＝４２－２√（１００－ｒ2）

　よって、　△ＡＢＣ＝ｒ（４２－√（１００－ｒ2））

一方、△ＡＢＣ＝（１/２）・１７・２５・２（ｒ/１０）・（√（１００－ｒ2）/１０）＝（１７/４）ｒ√（１００－ｒ2）

なので、　（１７/４）ｒ√（１００－ｒ2）＝ｒ（４２－√（１００－ｒ2））

　すなわち、　√（１００－ｒ2）＝８　より、　ｒ＝６　なので、　ＢＣ＝２６　と定まる。


（注）　√（１００－ｒ2）＝ｘ　として、　ｓｉｎ∠ＢＡＩ＝ｒ/１０、ｃｏｓ∠ＢＡＩ＝ｘ/１０

　円外の１点から引いた接線の長さが等しいことから、　ＢＣ＝４２－２ｘ

　よって、　△ＡＢＣ＝ｒ（４２－ｘ）

一方、△ＡＢＣ＝（１/２）・１７・２５・２（ｒ/１０）・（ｘ/１０）＝（１７/４）ｒｘ

なので、　（１７/４）ｒｘ＝ｒ（４２－ｘ）　より、　ｘ＝８　なので、、　ＢＣ＝２６　と定まる。

（上記の計算から分かるように、√（１００－ｒ2）の ｒ は求める必要はないようです。）

＃　面積の条件がなくても、「ＢＣ＝２６」が分かるんですね！感動しました。DD++ さんに感謝
　　します。らすかるさん、解答をありがとうございます。


　DD++ さんのご教示を受け、矛盾のない問題設定を考えてみた。

　ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃ とおいて、ＡＩ＝５、ｒ＝３ となるようにしたい。

　このとき、　ＢＣ＝ｂ＋ｃ－８　で、　ｓ＝ｂ＋ｃ－４　なので、　△ＡＢＣ＝３（ｂ＋ｃ－４）

　一方、　△ＡＢＣ＝（１/２）・ｂｃ・２（３/５）（４/５）＝１２ｂｃ/２５　なので、

　　１２ｂｃ/２５＝３（ｂ＋ｃ－４）　すなわち、　４ｂｃ＝２５（ｂ＋ｃ－４）

　これより、　（４ｂ－２５）（４ｃ－２５）＝２２５　となる。

　ｂ、ｃ （ｂ≦ｃ） が整数という条件を付加して、

　（４ｂ－２５，４ｃ－２５）＝（１５，１５）、（３，７５） から、　（ｂ，ｃ）＝（１０，１０）、（７，２５）

　このうち、　ｂ＝７、ｃ＝２５ を採用すれば、題意を満たす。

　このとき、　△ＡＢＩ＋△ＡＣＩ＝４８　である。


　りらひいさんからのコメントです。（令和４年３月２７日付け）

　わたしも最初はらすかるさんと同じような方法で解きました。その後、別の方法でも解いて
みました。綺麗な解き方にはなりませんでしたが、一応書いてみます。

　BC=a、CA=b、AB=c、∠A=2α、∠B=2β、∠C=2γ、AI=d とおく。

　∠CAI=∠BAI=α、∠ABI=∠CBI=β、∠BCI=∠ACI=γ となる。

　∠A+∠B+∠C=π より、　α+β+γ=π/2 なので、

　∠AIB = π-(α+β) = π-(π/2-γ) = π/2+γ

　∠AIC = π-(α+γ) = π-(π/2-β) = π/2+β

　△AIBに正弦定理を使うと、　(sinβ)/d=(sin∠AIB)/c より、sinβ=(d/c)*cosγ なので、

　(sinβ)^2+(cosβ)^2=1 に代入して、　(d/c)^2*(cosγ)^2+(cosβ)^2=1 …　①

　△AICに正弦定理を使うと、　(sinγ)/d=(sin∠AIC)/b より、sinγ=(d/b)*cosβ なので、

　(sinγ)^2+(cosγ)^2=1 に代入して、　(d/b)^2*(cosβ)^2+(cosγ)^2=1 …　②

①②を連立して解くと、

　(cosγ)^2=c^2(b^2-d^2)/(b^2*c^2-d^4)　、(cosβ)^2=b^2(c^2-d^2)/(b^2*c^2-d^4)

よって、

a= b*cos(2γ) + c*cos(2β)

= b*(2*(cosγ)^2-1) + c*(2*(cosβ)^2-1)

= b*(2*c^2(b^2-d^2)/(b^2*c^2-d^4)-1) + c*(2*b^2(c^2-d^2)/(b^2*c^2-d^4)-1)

= (b+c)*(bc-d^2)/(bc+d^2)

なので、b=25、c=17、d=10 を代入して、a=26　を得る。


＃らすかるさんの解法のd^2の計算で、分子の3次、2次の項が消えたり、上の解法のaの計
　算で約分ができたりするので、何かしら綺麗な解き方があってもよさそうな気もします。


　スモークマンさんからのコメントです。（令和４年３月２７日付け）

　計算だけなら、以下のようにして求めてみました ^^。

　A、Ｂ、Ｃから内接円の接点までの距離をそれぞれ s、ｔ、ｕ とおく。

　また、∠A/2=α とおくと、　sinα=r/d　、cosα=s/d

　ここで、　△ABC=AB*AC*sin(2α)/2=AB*AC*(rs/d^2)=(s+t+u)*r　なので、

　17*25*s=(17+25-s)*100　より、　17s=4(42-s)　すなわち、21s=4*42　より、　s=8

　よって、　t=17-8=9　、u=25-8=17　なので、　BC=t+u=9+17=26

　ちなみに、　r=√(10^2-8^2)=6　である。


（追記）　令和６年１１月７日付け

　次の東北大学　文理共通（１９８５）の問題は、三角形の面積の公式を求めている。

問題　　△ABCにおいて、CA・AB＝ａ、AB・BC＝ｂ、BC・CA＝ｃ とおく。次の問に答えよ。
（１）　ａｂｃ＝０ のとき、△ABCはどのような三角形となるか。
（２）　(ａ－ｂ)(ｂ－ｃ)(ｃ－ａ)＝０ のとき、△ABCはどのような三角形となるか。
（３）　△ABCの面積は、（１/２）√（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）であることを証明せよ。

（解）（１）　ａｂｃ＝０ のとき、Ａ、Ｂ、Ｃの何れかが９０°となるので、△ABCは直角三角形

（２）　ａ＝ｂ　または、ｂ＝ｃ　または、ｃ＝ａ　である。

　ａ＝ｂ　のとき、CA・AB＝AB・BC　から、　ＡＢ・（ＣＡ－ＢＣ）＝ＡＢ・（ＣＡ＋ＣＢ）＝０

よって、　ＡＢの中点をＭとおくと、　ＡＢ・（１/２）ＣＭ＝０　より、　ＡＢ⊥ＣＭ

したがって、△ＡＢＣは、ＣＡ＝ＣＢ　の２等辺三角形となる。

　ｂ＝ｃ　または、ｃ＝ａ　のときも、同様にして、△ＡＢＣは２等辺三角形となる。

（３）　△ＡＢＣ＝（１/２）ＡＢ・ＡＣ・ｓｉｎＡ

ここで、ｓｉｎＡ＝√（１－ｃｏｓ2Ａ）　において、ｃｏｓＡ＝ＡＢ・ＡＣ/（ＡＢ・ＡＣ）＝－ａ/（ＡＢ・ＡＣ）

より、　△ＡＢＣ＝（１/２）ＡＢ・ＡＣ・√（１－ａ/（ＡＢ2・ＡＣ2））＝（１/２）√（ＡＢ2・ＡＣ2－ａ2）

ここで、ｂ＝AB・BC＝ＡＢ・（ＢＡ＋ＡＣ）　から、　ＡＢ2＝ＡＢ・ＡＣ－ｂ＝－ａ－ｂ

　ｃ＝BC・CA＝（ＢＡ＋ＡＣ）・ＣＡ　から、　ＡＣ2＝－ａ－ｃ

よって、　△ＡＢＣ＝（１/２）√（（ａ＋ｂ）（ａ＋ｃ）－ａ2）＝（１/２）√（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）　　（終）


　よおすけさんから類題をいただきました。（令和６年１１月８日付け）

　上記の問題を見て、類題が手元にありました。

　平面上の△ＡＢＣにおいて、ＡＢ・ＢＣ＝ｐ、ＢＣ・ＣＡ＝ｑ、ＣＡ・ＡＢ＝ｒ　とします。この三角形
の面積Ｓを ｐ、ｑ、ｒ を用いて表しなさい。

（出典）　第238回実用数学技能検定準1級2次 問題1

※小問無し、使われている小文字が異なる以外は、東北大学（１９８５）とほぼ同じ


（コメント）　本当にそのままズバリですね！答えは、Ｓ＝（１/２）√（ｐｑ＋ｑｒ＋ｒｐ）　ですね！
　　　　　よおすけさんに感謝します。



　　以下、工事中！