レギオモンタヌスの問題　　　　　　　　　　　　　　　　

　レギオモンタヌス（1436〜1476）は、ドイツの天文学者・数学者である。本名は、ヨハネス・
ミュラー。太陰距離法を導出し、遠洋航海上での経度決定を可能にした。ハレー彗星を観
測し、初めて天体と認定したのも彼である。

　高い建物の窓を見るには、どの位置が最も好ましいかを見つけるために、彼は、次のよ
うな問題（1471年）を考えた。

　　　左図において、窓（または絵）を見込む角θ
　　が最大となる ｘ の値を求めよ。

　　（解）
　　　　　　

　ｘ は正の数なので、相加平均と相乗平均との関係より、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　したがって、ｘ＝ａｂ/ｘ　すなわち、　のとき、ｘ＋ａｂ/ｘ　は最小となる。

　　０°＜θ＜ ９０°の範囲で、ｔａｎθ は単調に増加する関数なので、　のとき、
ｔａｎθ　すなわち、θ　は、最大となる。　　（終）


（追記）　平成２９年５月２２日付けで、Ｓ（Ｈ）さんから、ｔａｎ を用いずに内積で解いてほしい
　　　　との要請があったので考えてみた。

（解）　２つのベクトル ｕ＝（ｘ，ａ）、ｖ＝（ｘ，ｂ）について、そのなす角をθとすると、

　　ｃｏｓθ＝ｕ・ｖ/（｜ｕ｜｜ｖ｜）　より、　ｃｏｓ²θ＝（ｕ・ｖ）²/（｜ｕ｜²｜ｖ｜²）

すなわち、　ｃｏｓ²θ＝（ｘ²＋ａｂ）²/｛（ｘ²＋ａ²）（ｘ²＋ｂ²）｝

　ここで、Ｆ（ｘ）＝（ｘ²＋ａｂ）²/｛（ｘ²＋ａ²）（ｘ²＋ｂ²）｝　とおくと、

　Ｆ’（ｘ）＝２（ａ−ｂ）²ｘ（ｘ²＋ａｂ）（ｘ²−ａｂ）/｛（ｘ²＋ａ²）（ｘ²＋ｂ²）｝²

なので、　　のとき、Ｆ（ｘ）は極小かつ最小となる。

　よって、　　のとき、ｃｏｓθ　すなわち、θ　は、最大となる。　　（終）


　以上の計算で、求める ｘ は、ａ、ｂ の相乗平均になるというところに興味が引かれる。

　このことを、実生活に応用してみよう。

　私自身、絵が好きで、よく美術館に出かけるが、今まで近くに寄ってみることが多かった。

　例えば、身長２ｍ（実際は、これほどないヨ！）の私が、床下から３ｍのところに額縁の底
辺があり、額縁の高さが ３ｍの絵をみる場合、どこに立ってみれば一番絵を広くみることが
できるかというと、上の計算から、

　　ｘ＝√｛（３＋２）（６＋２）｝＝２＝２×３．１６２２＝６．３２４４

となり、およそ６ｍ半位離れて立てばよいということになる。

（参考文献：大日本百科辞典（小学館）
　　　　　　　 エリ・マオール　著　好田順治　訳　素晴らしい三角法の世界（青土社））

（追記）　Ｘ²＝ａｂ という式を見ると、下図のような直角三角形が直ぐ思い描かれる。

　　　　　　

　さらに、方べきの定理という見方をすると、長さ ｘ を求めて、下図のような円が容易に作
図できる。（２定点を通り、ある直線に接する円の作図）

　　

　上図から、ｘ の地点で、絵を見込む角が最大になることが理解できる。

（参考）　見込む角についての関連話題　→　「あなたの視力は？」


（追記）　平成２９年５月２１日付け

　１９７９年度入試から始まった共通一次試験も１９９０年度入試から大学入試センター試験
と改称され、今また２０２０年度からは「大学入学共通テスト」（仮称）が受験生に課される予
定である。

　その目玉は、記述式試験の採用である。一つの大学内では記述式問題もありだと思うが、
全国共通試験で「記述式」は普通あり得ないと思うのが率直な感想である。

　理念的に「記述式」によって思考力や理解力を見たいという気持ちは理解できるが、その
採点を考えた場合、思った以上に大変であり、採点基準を全国共通にすることなど簡単に
口にする以上に難しい問題だと思う。なぜなら、受験生は出題者が意図したようには解答し
ないということである。種々の解答の変化球が採点者を悩ませることになるだろう。

　ただ、一度経験してみるといい。「試験に記述式問題を！」という声は、トーンダウンせざる
を得ないことを確信するだろう。

　５月１７日（水）付け朝日新聞朝刊に、「センター試験後継　記述式の問題例」と題して、国
語と数学の問題例が例示された。数学の問題は、まさにこのページの「レギオモンタヌスの
問題」と同趣旨のもので、大いに興味と関心が引かれた。

　東京近郊の大学１年生に解いてもらったところ、正答率は、数学だけで見ても、９．６％〜
５９．２％と幅広く、問題の難易度の調整が今後の課題となろう。

　さらに、記述試験の特徴として、自己採点結果と実際の結果に大きな開きがあり、自己採
点の難しさがあらためて露呈された形となった。

　記述式問題を本当に導入する気があれば、これらの諸問題をあと２〜３年で解決しなけれ
ばならず、ほぼ不可能ではないだろうかと危惧する。無理に強行して、いたずらに受験生を
惑わせることだけはやめて欲しいものだ。

≪数学の問題例≫　・・・　長文だったので、問題の趣旨を要約する形で改題させていただきました。

　花子さんと太郎さんが、銅像を設置する広場の大きさ、銅像と台座の高さについて検討し
ています。（問題文には、三角比の表（省略）も与えられている。）

（１）　銅像の真正面に立ち、銅像の真下から１２ｍ離れた位置から高さ１．５ｍの台座に乗
　　せた高さ４ｍの銅像を見る。このとき、目の高さが１．５ｍの花子さんの銅像を見込む角
　　として最も近いものを一つ選べ。

　　（選択肢）　４°６°８°10°12°14°16°18°20°22°

（２）　銅像ＡＢを台座から離れた地点Ｐで見たときの見込む角について、太郎さんは次のよ
　　うに考えた。

　【太郎さんの考え】
　　３点Ａ、Ｂ、Ｐを通る円の半径をＲとすると、ＡＢの長さは常に一定であることから、∠ＡＰＢ
　が鋭角ならば、∠ＡＰＢが最大となるのは、Ｒが最小のときである。

（ｲ）　∠ＡＰＢが鋭角であることを確かめる方法を、△ＡＰＢの３辺の長さＡＢ、ＡＰ、ＢＰにつ
　　いての式を用いて説明せよ。

（ﾛ）　【太郎さんの考え】が正しいことは、ｓｉｎ∠ＡＰＢ、ＡＢ、Ｒを用いたある関係式と、

　　「∠ＡＰＢが鋭角のとき、∠ＡＰＢが大きくなるほどｓｉｎ∠ＡＰＢの値は大きくなる」

　　ことから分かる。その関係式を答えよ。

（ﾊ）　２人は【太郎さんの考え】について先生に相談したところ、Ｒが最小になるのは、３点
　　Ａ、Ｂ、Ｐを含む平面上において、３点Ａ、Ｂ、Ｐを通る円と点Ｐを通り直線ＡＢに垂直な直
　　線が接するときであることを教えてもらった。

　　この考えに基づくと、目の高さが１．５ｍの花子さんが、高さ６．５ｍの台座の上に乗せた
　高さ４ｍの銅像を見る場合、３点Ａ、Ｂ、Ｐを通る円の半径Ｒが最小となるのはいつか。また、
　このときの見込む角として最も近いものを一つ選べ。

　　（選択肢）　11°13°15°17°19°21°23°25°27°29°

（３）　このときの銅像の真下からの距離はおよそいくらか。最も適当なものを一つ選べ。

　　（選択肢）　3.7　4.7　5.7　6.7　7.7　8.7　9.7　10.7　11.7　12.7


（正答例）（１）　18°　（２）（ｲ）　ＡＰ²＋ＢＰ²＞ＡＢ²　を確かめる。　
　　　　　（ﾛ）　ｓｉｎ∠ＡＰＢ＝ＡＢ/（２Ｒ）　（ﾊ）　Ｒ＝７　、17°　（３）　6.7ｍ

（正答率）（１）　59.2％　（２）（ｲ）　24.2％　（ﾛ）　35.8％　（ﾊ）　Ｒ：9.6％　、15.4％　（３）　18.6％