質問に対する回答（１７） 
当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、当ＨＰ読者のＨＮ「中年Ａ」さんより、質問の書き込みが
あった。（平成２４年３月８日付け）
一つ、質問がございます。「問題集」コーナー内「数学の重要例題 問題４８の小問の（２）
で三角形が与えれらていて、「最終的に直角三角形の斜辺の長さ」を求める問題ですが、
正解コーナーでは、「
」となっています。この問の解法が発見できなくて、もどかしいので
す。
例題のカテゴリーは、「三角関数」で、正解の「」から想像すると、正弦定理、余弦定理
などで立式のあとは、三角関数の計算問題に帰すのだろうかと思ったり．．．。
私自身は、初等幾何的に取り組もうとして、図形の移動などが用いれないかと考えたりし
たのですが、「正解」の数値を見ると、初等幾何では無理かなと思ったりしています。
どなたか、「解法のヒント」を示唆くださいませんか。よろしくお願いいたします。
（コメント） 「中年Ａ」さん、当ＨＰをご覧頂きありがとうございます。
問題４８（２）は、「中年Ａ」さんの予想通り、正弦定理から立式して、そのあと４次方程式を
因数定理で因数分解して解を得る流れになります。問題レベルは高校２年位です。
この問題について、初等幾何的な解法を想定していなかったので、以下のいろいろな方の
別解に大いに興味と関心があります．．．(^^;)。
別解の前に、当ＨＰとしての解答（詳解）を記しておきます。
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（解） 左図において、 ＯＡ＝ＢＣ＝１
ＡＢ＝ｘ とおく。△ＯＡＢが直角三角形なので、
ＢＯ＝√（ｘ2−１）
△ＯＡＣにおいて、正弦定理より、
１/ｓｉｎＣ＝（ｘ＋１）/ｓｉｎ120°＝２（ｘ＋１）/
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同様にして、△ＯＢＣにおいて、正弦定理より、 √（ｘ2−１）/ｓｉｎＣ＝１/ｓｉｎ30°＝２
よって、 √（ｘ2−１）（ｘ＋１）＝ となる。両辺を平方して整理すると、
ｘ4＋２ｘ3−２ｘ−４＝０
因数分解して、 （ｘ3−２）（ｘ＋２）＝０ より、 ｘ＝ （終）
Ｓ（Ｈ）さんが考察されました。（平成２４年３月８日付け）
AB＝ｘ、OC＝ｃ、∠BAO＝ｔ とし、 (ｘ + 1)2＝(1 + ｃ・ｃｏｓ60°)2 + (ｃ・ｓｉｎ60°)2
また、 12 + (ｘ・ｓｉｎ ｔ)2＝ｘ2 、 1/ｘ＝ｃｏｓ t 、ｃ2＝(ｃ・ｃｏｓ60°)2 + ((1 + ｘ)ｓｉｎ ｔ )2
を解いて、不要解を捨て、AB 以外のも一気に求めると、
{ｘ，ｃ，ｔ}＝{21/3，22/3，π/2 - ArcTan[1/(21/3・√（1 - 1/22/3)）]} を獲る。
大体、{1.259921049894873，1.5874010519681991，0.6539279425002232}
π/2 - ArcTan[1/(21/3・√（1 - 1/22/3)）] を度に変換するには、「0.6539279425002232」を
「角度の換算」に挿入。
（コメント） 上記より、 (ｘ + 1)2＝(1 + ｃ/2)2 + (ｃ・/2)2＝１＋ｃ＋ｃ2 、1/ｘ＝ｃｏｓ t
また、直線ＡＯにＣから下ろした垂線の足をＨ、線分ＣＨにＢから下ろした垂線の足をＧと
すると、 △ＡＯＢ＋△ＢＧＣ＋□ＯＨＧＢ＝△ＡＨＣ より、
ｘ・(ｓｉｎ ｔ)/2＋(ｓｉｎ ｔ)(ｃｏｓ ｔ)/2＋(ｃｏｓ ｔ)・ｘ・(ｓｉｎ ｔ)＝（１＋ｃ/2）（ｘ＋１）(ｓｉｎ ｔ)/2
両辺を (ｓｉｎ ｔ)/2 で割って、 ｘ＋ｃｏｓ ｔ＋2ｘ・ｃｏｓ ｔ＝（１＋ｃ/2）（ｘ＋１）
ｃｏｓ t＝1/ｘ を代入して、 ｘ＋1/ｘ＋2＝（１＋ｃ/2）（ｘ＋１）＝ｘ＋１＋ｃ（ｘ＋１）/2
よって、 ｃ＝2/ｘ となる。 これを、(ｘ + 1)2＝１＋ｃ＋ｃ2 に代入して整理すると、
ｘ4＋２ｘ3−２ｘ−４＝０
因数分解して、 （ｘ3−２）（ｘ＋２）＝０ より、 ｘ＝ （終）
（上記の計算で、「ｃ＝2/ｘ」という結果に感動しました。ｘ＝ から、ｃ＝2/＝（）2
ということは、 ｃ＝ｘ2 にもなるわけで、ここら辺から初等幾何的な証明の発想の原点に
なりそうな．．．予感。）
空舟さんが考察されました。（平成２４年３月８日付け）
Bを通り、OAと平行な直線を引き、OCとの交点をDとする。△CBDと△CAOの相似比は、
AB＝ｘ として、 １ ： ｘ＋１ ＝ ｛√（ｘ2−１）｝/ ： １
これより、 ｘ4＋２ｘ3−２ｘ−４＝０
因数分解して、 （ｘ3−２）（ｘ＋２）＝０ より、 ｘ＝ （終）
らすかるさんが考察されました。（平成２４年３月８日付け）
Cから直線AOに垂線CHを下ろします。AB＝ｘ とし、AB ： BC＝AO ： OH から
OH＝１/ｘ で、CH＝OH＝/ｘ また、BO ： CH＝AB ： AC から、
BO＝/（ｘ＋１）
以上を、 AB2＝AO2＋BO2 に代入して、 ｘ2＝１＋３/（ｘ＋１）2
これより、 ｘ4＋２ｘ3−２ｘ−４＝０
因数分解して、 （ｘ3−２）（ｘ＋２）＝０ より、 ｘ＝ （終）
ＧＡＩ さんが考察されました。（平成２４年３月８日付け）
∠ＢＡＯ＝θ、ＡＢ＝ｘ と置くと、△ＢＣＯで、∠ＯＢＣ＝90°+θ であるから、
正弦定理より、 OC/sin(90°+θ)＝１/sin30°
よって、OC＝sin(90°+θ)/sin30°＝２cosθ＝２/ｘ
一方、△ＡＯＣで、余弦定理より、 OC2＝(ｘ＋１)2＋１−２(ｘ＋１)cosθ
(２/ｘ)2＝(ｘ＋１)2−２(ｘ＋１)/ｘ
これを展開整理すると、 ｘ4＋２ｘ3−２ｘ−４＝０
因数分解して、 （ｘ3−２）（ｘ＋２）＝０ より、 ｘ＝ （終）
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年３月８日付け）
ｘ4＋２ｘ3−２ｘ−４ がQ上可約で、 （ｘ3−２）（ｘ＋２） 、ｘ＋２＞０ で ....。.
または、「四次方程式の解」に依存。
二重人格者になり、もう一人の私が、部分総和が全体原理を用い、ｘ 以外に、ｃと角ｔを求
めました。ｘ2＝ｃ (左辺は長さの２乗、右辺は長さ）は、摩訶不思議 ?
中年Ａさんからのコメントです。（平成２４年３月８日付け）
皆さん、有難うございます。突然割り込む形の投稿に、丁寧に答えてくださいまして感謝し
ます。空舟さん、らすかるさんの解法が「初等幾何」的なんだろうと思います。途中で、分数
式などが出てくる、あるいは、高次式的に見えるので、「初等幾何」のみでは無理なのかな
と思いました。S(H)さんの解法は、三角関数的かと。△ＡＢＯに、いかに∠ＢＯＣ＝30°の条
件を活用するかということがテーマでしょうか。あるいは、△ＢＯＣで正弦定理をもちいるとこ
ろは気づきにくい。でも、大切な手法だろうと改めて思いました。一般的に、余弦定理は「活
用」になれていることが多いけど、正弦定理を「外接円の半径」以外で用いるという一面的な
理解が多いように感じます。大変参考になりました。
中年Ａさんからのコメントです。（平成２４年３月９日付け）
皆さん、有難うございます。上記の問題について、当初小生は、基本的には冒頭の手順で
トライしました。小生は、∠ＡＢＯをθとし、△ＯＢＣで正弦定理、△ＯＡＣで余弦定理を用いて、
ｓｉｎθについて、４次方程式に帰着。そこで、実は、因数分解に気づかず、迷路をさまようこと
となったのです。クリアーな解説、有難うございました。
空舟さん、らすかるさんの「初等幾何的解法」もクリアーで、こうした多様性が「初等幾何」
の魅力ではないかと勝手に想念しています。
三角関数、高次方程式、分数式の平方などを経由しないで解く方法はないか、これは、小
生の課題とします。それが見つかれば、まさに「中学生」でも、という問題になろうかと。
長さ１を共通する直角三角形のペアを作り、かつ、３０度という極めて「嬉しい条件」を活か
そうとすると、どうしても ｘ について分数式にならざるを得ないかと思いつつなのですが。
皆さま、様々な御教示を有難うございます。積年の何かが春の雪解けのごとくスッーと・・・
そうした思いです。