問題 １ 次の計算をせよ。
（１） ｛１/ｘ（ｘ＋１）｝＋｛１/（ｘ＋１）（ｘ＋２）｝＋｛１/（ｘ＋２）（ｘ＋３）｝＋｛１/（ｘ＋３）（ｘ＋４）｝
（２） ｙ＋１/ｚ＝ｚ＋１/ｘ＝１ のとき、 ｘｙｚ＋１ の値を求めよ。
（解答はこちら）
問題 ２
（１） ｛１＋４/（ｘ＋２）｝/［ｘ2−１０−（ｘ3＋８）/｛ｘ＋４/（ｘ＋４）｝] を計算せよ。
（２） ａ＋ｂ＋ｃ＝０ のとき、次の式の値を求めよ。
｛（ｂ−ｃ）/ａ＋（ｃ−ａ）/ｂ＋（ａ−ｂ）/ｃ｝｛ａ/（ｂ−ｃ）＋ｂ/（ｃ−ａ）＋ｃ/（ａ−ｂ）
（解答はこちら）
問題 ３ 次の式を簡単にせよ。
（１）
（２）
（ただし、 ｘ2≧１）（解答はこちら）
問題 ４ 次の式の値を求めよ。
（１） ｘ−１/ｘ＝１ （ｘ＞０） のとき、 ｘ2＋１/ｘ2 、 ｘ＋１/ｘ
（２） ｘ＝（
＋１）/２ のとき、 ｘ5−ｘ3＋ｘ （解答はこちら）問題 ５
（１） 整式 Ｆ（ｘ） を ｘ＋２ で割ると ６ 余り、ｘ−６ で割れば、 −１０ 余るという。
Ｆ（ｘ） を ｘ2−４ｘ−１２ で割ったときの余りを求めよ。
（２） ｘ の３次式 Ｆ（ｘ） を ｘ2−１ で割ると ６ｘ＋２ 余り、ｘ2＋１ で割ると ２ｘ＋８ 余るという。
Ｆ（ｘ） を求めよ。
（解答はこちら）
問題 ６
（１） ２次方程式 ｘ2−２ｘ＋５＝０ の２つの解を、α、β とするとき、次の値を求めよ。
（イ） α3＋β3 （ロ） α2−β2
（２） ２次方程式 ｘ2−２ｘ＋ａ＝０ の２つの解を、α、β とするとき、α、β の間に
α2＋β2＝１ の関係があるとき、定数 ａ の値を求めよ。
（解答はこちら）
問題 ７
（１） 次の方程式を解け。
（イ） ｘ4−４ｘ3−６ｘ2＋１１ｘ−２＝０
（ロ） ２ｘ4−５ｘ3＋ｘ2−５ｘ＋２＝０
（２） ４ｘ4−１５ｘ2−１９ｘ−１５＝０ の１つの解が、
（−１＋
ｉ）/２ であるとき、他の解を求めよ。（解答はこちら）
問題 ８
（１） ２次方程式 ２ｘ2−１０ｘ＋３＝０ の２解の逆数を２解とする整数係数の方程式を一
つ作れ。
（２） ある ｘ の２次方程式の１次の係数を書き誤ったため、２解 １±ｉ を得た。この方程
式の正しい解の一つが２であるとき、他の正しい解を求めよ。
（解答はこちら）
問題 ９
（１） 方程式 ｘ3−３ｘ＋１＝０ の３つの解を、α、β、γ とするとき、α2＋β2＋γ2 の
値を求めよ。
（２） ｘ についての ｎ 次の整式 ４ｘｎ−ｎｘ2−４ｎ2＋ｎ3 を、ｘ2−１ で割ったときの余りを
求めよ。また、割り切れるときの ｎ の値を求めよ。
（解答はこちら）
問題 １０
（１） 連立方程式 ２ｘ−ｙ＝１ 、４ｘｙ＋３ｙ2＝−ｘ2 を解け。
（２） 連立方程式 ｘ2＝６ｘ＋２ｙ 、ｙ2＝２ｘ＋６ｙ を解け。
（解答はこちら）
問題 １１
（１） 無理方程式 ｘ2−２ｘ＋６√（ｘ2−２ｘ＋８）＝２１ を解け。
（２） 分数方程式 １/（ｘ−１）＋１/（ｘ＋１）＝ａ を解け。
（解答はこちら）
問題 １２
（１） 連立方程式 ｘ2＋２ｘｙ−３ｙ2＝５ 、２ｘ2−ｘｙ＋ｙ2＝７ を解け。
（２） 連立方程式 ｘｙ＋ｙｚ＝２７ 、ｚｘ＋ｘｙ＝３２ 、ｙｚ＋ｚｘ＝３５ を解け。
（解答はこちら）
問題 １３
（１） ｘ2＋ｙ2＋ｚ2＋３＝２（ｘ＋ｙ＋ｚ） が成り立つとき、実数 ｘ、ｙ、ｚ はすべて１に等しいこ
とを証明せよ。
（２） ｘ＋ｙ＋ｚ＝１/ｘ＋１/ｙ＋１/ｚ＝１ であるとき、（ｘ＋ｙ）（ｙ＋ｚ）（ｚ＋ｘ）の値を求めよ。
（解答はこちら）
問題 １４
（１） 次の２つの不等式を同時に満たす ｘ の値の範囲を求めよ。
２ｘ2−５ｘ−３＜０ 、 ｘ2−４ｘ＋２≧０
（２） 不等式 ｘ2＋ａｘ＋１＞０ を解け。ただし、ａ は実数の定数とする。
（解答はこちら）
問題 １５
（１） 不等式 ｜ｘ2−４｜＞２ｘ＋５ を解け。
（２） 不等式 １＋５/（ｘ−４）＞４/（ｘ−３） を解け。
（解答はこちら）
問題 １６
（１） ａ＞０ 、ｂ＞０ 、ｃ＞０ 、ｂｃ＋ｃａ＋ａｂ＝１ のとき、 ａ＋ｂ＋ｃ≧
であることを証明せよ。
（２） ａ、ｂ、ｃ が三角形の３辺であるとき、次の不等式を証明せよ。
ａ4＋ｂ4＋ｃ4＜２（ａ2ｂ2＋ｂ2ｃ2＋ｃ2ａ2）
（解答はこちら）
問題 １７
（１） ｓｉｎθ＝３/５ のとき、 ｃｏｓθ、ｔａｎθ の値を求めよ。
（２） θは第３象限の角で、４ｓｉｎθｃｏｓθ＝
のとき、次の式の値を求めよ。（イ） ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ
（ロ） （ｃｏｓ2θ）/（１−ｔａｎθ）＋（ｓｉｎ2θ）/（１−１/ｔａｎθ）
（解答はこちら）
問題 １８
（１） 次の方程式を解け。ただし、０°≦θ≦３６０°
（イ） ｓｉｎθ＝−１/２ （ロ） ２ｓｉｎ（２θ−４５°）＝
（２） 次の不等式を解け。
（イ） ｓｉｎθ＞−１/２ （ロ） (ｃｏｓθ−１/２)(ｃｏｓθ＋１/２)＞０
（解答はこちら）
問題 １９
（１） ２次関数 ｙ＝（−1/2）ｘ2＋２ｘ−２ のグラフの軸の方程式と頂点の座標を求めよ。
（２） 放物線 ｙ＝−３ｘ2＋４ｘ＋７ を平行移動したもので２点（１，１）、（２，−８）を通る
２次関数を求めよ。
（解答はこちら）
問題 ２０
（１） ２次関数 ｙ＝ａｘ2＋ｂｘ＋１/ａ は、ｘ＝３のとき最大値８をとるという。定数 ａ、ｂ の値
を求めよ。
（２） ２次関数 ｙ＝ａｘ2＋ｂｘ は、ｘ＝１のとき最小値 −１/ａ をとるという。定数 ａ、ｂ の値
を求めよ。
（解答はこちら）
問題 ２１
（１） ｃｏｓ2θ＋ｓｉｎθ＋１ の最大値と最小値を求めよ。
（２） −π/２≦θ≦π/２ のとき、２−ｓｉｎ（θ−π/３） の最大値と最小値およびそのと
きのθの値を求めよ。
（解答はこちら）
問題 ２２
（１） ｘ＞０ 、ｙ＞０ のとき、 ｘ＋ｙ＝４ ならば、ｘｙ の最大値を求めよ。
（２） ｘ＞０ 、ｙ＞０ 、ｘｙ＝２ のとき、 ２ｘ＋５ｙ の最小値を求めよ。
（解答はこちら）
問題 ２３
（１） 半径１８ｃｍ、中心角４０°の扇形の弧の長さと面積を求めよ。
（２） ｘ についての次の方程式の解を判別せよ。
ｘ2−（ｓｉｎθ＋１）ｘ＋２ｓｉｎθ＝１
（解答はこちら）
問題 ２４
（１） −１≦ｘ≦２ のとき、ｙ＝｜ｘ2−４｜の最大値・最小値およびそのときの ｘ の値を求
めよ。
（２） ２つの変数 ｘ 、ｙ の関数 ｘ2−２ｘｙ＋３ｙ2＋２ｘ−１０ｙ＋１２ の最大値または最小値
を求めよ。
（解答はこちら）
問題 ２５
（１） 半径 ｒ の３つの円が２つずつ互いに接するとき、これら３つの円の間に囲まれた部分
の面積を求めよ。
（２） 次の連立方程式を解け。ただし、０≦ｘ≦π/２ 、０≦ｙ≦π/２
２ｃｏｓ（ｘ＋ｙ）＝１ 、 ｓｉｎ（ｘ−ｙ）＝０
（解答はこちら）
問題 ２６
（１） 分数関数 ｙ＝（ｘ2−３ｘ＋２）/（ｘ＋１） の漸近線の方程式を求めよ。
（２） 分数関数 ｙ＝（ｘ2＋ｘ＋１）/（ｘ2−ｘ＋１） の最大値、最小値を求めよ。
（解答はこちら）
問題 ２７
（１） 無理関数 ｙ＝３−√（ｘ＋３）のグラフが ｘ 軸と交わる点の座標を求めよ。
（２） １≦ｘ≦３ のとき、 ｙ＝ｘ−１/ｘ の最大値、最小値を求めよ。
（解答はこちら）
問題 ２８
（１） 平面上の２点Ａ（１，１）、Ｂ（３，５）とする線分ＡＢを ２：３ に外分する点の座標を求め
よ。
（２） 四辺形ＡＢＣＤの４辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡの中点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒ、Ｓとするとき、
ＡＣ2＋ＢＤ2＝２（ＰＲ2＋ＱＳ2） であることを証明せよ。
（解答はこちら）
問題 ２９
（１） 次の各直線の方程式をつくれ。
（イ） 点（−５，２）を通り、直線 ２ｘ＋３ｙ＝７ に垂直
（ロ） ２点Ａ（２，３）、Ｂ（４，−１）を結ぶ線分ＡＢの垂直２等分線
（２） ｙ 軸上に点（０，１）がある。ｘ 軸上に点Ｐ（ａ，０）をとり、Ｐを通ってＡＰに垂直な直線を
ｇ とする。
（イ） ｇ が点（３，２）を通るように、ａ を求めよ。
（ロ） ｇ が点（３，３）を通るように、ａ が定められるか。
（解答はこちら）
問題 ３０
（１） ｘ の２次方程式 ｘ2−ａ（ａ＋２）ｘ＋ａ3−１＝０ が与えられている。ただし、ａ は定数
とする。この方程式がただ1つの正の解を持つための ａ の範囲を求めよ。
（２） ｘ の２次方程式 ａｘ2−（ａ＋１）ｘ−４＝０ の一つの解が−１と０の間に、他の解が
２と３の間にあるためには整数 ａ はどんな値をとればよいか。
（解答はこちら）
問題 ３１
（１） ｘ 軸上の点Ｐから直線 ３ｘ＋４ｙ＋２＝０ に至る距離が２になるように点Ｐの位置を
定めよ。
（２） ａ 、ｂ が １/ａ＋１/ｂ＝ｋ （ｋ は０でない定数）の関係を満たしながら変わるとき、直
線 ｘ/ａ＋ｙ/ｂ＝１ はある定点を通る。その定点の座標を求めよ。
（解答はこちら）
問題 ３２
（１） ｋ がどのように変わっても直線 （ｋ＋２）ｘ−（３ｋ＋１）ｙ＋１−２ｋ＝０ はある定点を
通る。この定点の座標を求めよ。
（２） 点（２，１）を通る直線を引き、この直線と直線 ｙ＝ｘ および ｘ 軸とでできる三角形
の面積を２にしたい。この直線の方程式を求めよ。
（解答はこちら）
問題 ３３
（１） 次の式を簡単にせよ。ただし、 ａ＞０、ｂ＞０ とする。
左図において、ＯＡ＝ＢＣ＝１ のとき、線分ＡＢの長
