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問題 1 次の計算をせよ。
(1) {1/x(x+1)}+{1/(x+1)(x+2)}+{1/(x+2)(x+3)}+{1/(x+3)(x+4)}
(2) y+1/z=z+1/x=1 のとき、 xyz+1 の値を求めよ。
(解答はこちら)
問題 2
(1) {1+4/(x+2)}/[x2−10−(x3+8)/{x+4/(x+4)}] を計算せよ。
(2) a+b+c=0 のとき、次の式の値を求めよ。
{(b−c)/a+(c−a)/b+(a−b)/c}{a/(b−c)+b/(c−a)+c/(a−b)
(解答はこちら)
問題 3 次の式を簡単にせよ。
(1)
(2) (ただし、 x2≧1)
(解答はこちら)
問題 4 次の式の値を求めよ。
(1) x−1/x=1 (x>0) のとき、 x2+1/x2 、 x+1/x
(2) x=(+1)/2 のとき、 x5−x3+x (解答はこちら)
問題 5
(1) 整式 F(x) を x+2 で割ると 6 余り、x−6 で割れば、 −10
余るという。
F(x) を x2−4x−12 で割ったときの余りを求めよ。
(2) x の3次式 F(x) を x2−1 で割ると 6x+2 余り、x2+1 で割ると 2x+8 余るという。
F(x) を求めよ。
(解答はこちら)
問題 6
(1) 2次方程式 x2−2x+5=0 の2つの解を、α、β とするとき、次の値を求めよ。
(イ) α3+β3 (ロ) α2−β2
(2) 2次方程式 x2−2x+a=0 の2つの解を、α、β とするとき、α、β の間に
α2+β2=1 の関係があるとき、定数 a の値を求めよ。
(解答はこちら)
問題 7
(1) 次の方程式を解け。
(イ) x4−4x3−6x2+11x−2=0
(ロ) 2x4−5x3+x2−5x+2=0
(2) 4x4−15x2−19x−15=0 の1つの解が、
(−1+i)/2 であるとき、他の解を求めよ。
(解答はこちら)
問題 8
(1) 2次方程式 2x2−10x+3=0 の2解の逆数を2解とする整数係数の方程式を一
つ作れ。
(2) ある x の2次方程式の1次の係数を書き誤ったため、2解 1±i を得た。この方程
式の正しい解の一つが2であるとき、他の正しい解を求めよ。
(解答はこちら)
問題 9
(1) 方程式 x3−3x+1=0 の3つの解を、α、β、γ とするとき、α2+β2+γ2 の
値を求めよ。
(2) x についての n 次の整式 4xn−nx2−4n2+n3 を、x2−1 で割ったときの余りを
求めよ。また、割り切れるときの n の値を求めよ。
(解答はこちら)
問題 10
(1) 連立方程式 2x−y=1 、4xy+3y2=−x2 を解け。
(2) 連立方程式 x2=6x+2y 、y2=2x+6y を解け。
(解答はこちら)
問題 11
(1) 無理方程式 x2−2x+6√(x2−2x+8)=21 を解け。
(2) 分数方程式 1/(x−1)+1/(x+1)=a を解け。
(解答はこちら)
問題 12
(1) 連立方程式 x2+2xy−3y2=5 、2x2−xy+y2=7 を解け。
(2) 連立方程式 xy+yz=27 、zx+xy=32 、yz+zx=35 を解け。
(解答はこちら)
問題 13
(1) x2+y2+z2+3=2(x+y+z) が成り立つとき、実数 x、y、z はすべて1に等しいこ
とを証明せよ。
(2) x+y+z=1/x+1/y+1/z=1 であるとき、(x+y)(y+z)(z+x)の値を求めよ。
(解答はこちら)
問題 14
(1) 次の2つの不等式を同時に満たす x の値の範囲を求めよ。
2x2−5x−3<0 、 x2−4x+2≧0
(2) 不等式 x2+ax+1>0 を解け。ただし、a は実数の定数とする。
(解答はこちら)
問題 15
(1) 不等式 |x2−4|>2x+5 を解け。
(2) 不等式 1+5/(x−4)>4/(x−3) を解け。
(解答はこちら)
問題 16
(1) a>0 、b>0 、c>0 、bc+ca+ab=1 のとき、 a+b+c≧ であることを
証明せよ。
(2) a、b、c が三角形の3辺であるとき、次の不等式を証明せよ。
a4+b4+c4<2(a2b2+b2c2+c2a2)
(解答はこちら)
問題 17
(1) sinθ=3/5 のとき、 cosθ、tanθ の値を求めよ。
(2) θは第3象限の角で、4sinθcosθ= のとき、次の式の値を求めよ。
(イ) sinθ+cosθ
(ロ) (cos2θ)/(1−tanθ)+(sin2θ)/(1−1/tanθ)
(解答はこちら)
問題 18
(1) 次の方程式を解け。ただし、0°≦θ≦360°
(イ) sinθ=−1/2 (ロ) 2sin(2θ−45°)=
(2) 次の不等式を解け。
(イ) sinθ>−1/2 (ロ) (cosθ−1/2)(cosθ+1/2)>0
(解答はこちら)
問題 19
(1) 2次関数 y=(−1/2)x2+2x−2 のグラフの軸の方程式と頂点の座標を求めよ。
(2) 放物線 y=−3x2+4x+7 を平行移動したもので2点(1,1)、(2,−8)を通る
2次関数を求めよ。
(解答はこちら)
問題 20
(1) 2次関数 y=ax2+bx+1/a は、x=3のとき最大値8をとるという。定数 a、b の値
を求めよ。
(2) 2次関数 y=ax2+bx は、x=1のとき最小値 −1/a をとるという。定数 a、b の値
を求めよ。
(解答はこちら)
問題 21
(1) cos2θ+sinθ+1 の最大値と最小値を求めよ。
(2) −π/2≦θ≦π/2 のとき、2−sin(θ−π/3) の最大値と最小値およびそのと
きのθの値を求めよ。
(解答はこちら)
問題 22
(1) x>0 、y>0 のとき、 x+y=4 ならば、xy の最大値を求めよ。
(2) x>0 、y>0 、xy=2 のとき、 2x+5y の最小値を求めよ。
(解答はこちら)
問題 23
(1) 半径18cm、中心角40°の扇形の弧の長さと面積を求めよ。
(2) x についての次の方程式の解を判別せよ。
x2−(sinθ+1)x+2sinθ=1
(解答はこちら)
問題 24
(1) −1≦x≦2 のとき、y=|x2−4|の最大値・最小値およびそのときの x の値を求
めよ。
(2) 2つの変数 x 、y の関数 x2−2xy+3y2+2x−10y+12 の最大値または最小値
を求めよ。
(解答はこちら)
問題 25
(1) 半径 r の3つの円が2つずつ互いに接するとき、これら3つの円の間に囲まれた部分
の面積を求めよ。
(2) 次の連立方程式を解け。ただし、0≦x≦π/2 、0≦y≦π/2
2cos(x+y)=1 、 sin(x−y)=0
(解答はこちら)
問題 26
(1) 分数関数 y=(x2−3x+2)/(x+1) の漸近線の方程式を求めよ。
(2) 分数関数 y=(x2+x+1)/(x2−x+1) の最大値、最小値を求めよ。
(解答はこちら)
問題 27
(1) 無理関数 y=3−√(x+3)のグラフが x 軸と交わる点の座標を求めよ。
(2) 1≦x≦3 のとき、 y=x−1/x の最大値、最小値を求めよ。
(解答はこちら)
問題 28
(1) 平面上の2点A(1,1)、B(3,5)とする線分ABを 2:3 に外分する点の座標を求め
よ。
(2) 四辺形ABCDの4辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれP、Q、R、Sとするとき、
AC2+BD2=2(PR2+QS2) であることを証明せよ。
(解答はこちら)
問題 29
(1) 次の各直線の方程式をつくれ。
(イ) 点(−5,2)を通り、直線 2x+3y=7 に垂直
(ロ) 2点A(2,3)、B(4,−1)を結ぶ線分ABの垂直2等分線
(2) y 軸上に点(0,1)がある。x 軸上に点P(a,0)をとり、Pを通ってAPに垂直な直線を
g とする。
(イ) g が点(3,2)を通るように、a を求めよ。
(ロ) g が点(3,3)を通るように、a が定められるか。
(解答はこちら)
問題 30
(1) x の2次方程式 x2−a(a+2)x+a3−1=0 が与えられている。ただし、a は定数
とする。この方程式がただ1つの正の解を持つための a の範囲を求めよ。
(2) x の2次方程式 ax2−(a+1)x−4=0 の一つの解が−1と0の間に、他の解が
2と3の間にあるためには整数 a はどんな値をとればよいか。
(解答はこちら)
問題 31
(1) x 軸上の点Pから直線 3x+4y+2=0 に至る距離が2になるように点Pの位置を
定めよ。
(2) a 、b が 1/a+1/b=k (k は0でない定数)の関係を満たしながら変わるとき、直
線 x/a+y/b=1 はある定点を通る。その定点の座標を求めよ。
(解答はこちら)
問題 32
(1) k がどのように変わっても直線 (k+2)x−(3k+1)y+1−2k=0 はある定点を
通る。この定点の座標を求めよ。
(2) 点(2,1)を通る直線を引き、この直線と直線 y=x および x
軸とでできる三角形
の面積を2にしたい。この直線の方程式を求めよ。
(解答はこちら)
問題 33
(1) 次の式を簡単にせよ。ただし、 a>0、b>0 とする。
(2) | ![]() |
のとき、 | ![]() |
の値を求めよ。 |
(解答はこちら)
問題 34
(1) 次の式を簡単にせよ。
log354+log34.5+log3{1/(27)}−log327
(2) 2x=5y=10z (x≠0) のとき、 1/x+1/y=1/z であることを証明せよ。
(解答はこちら)
問題 35
(1) 点Pが直線 2y−x+1=0 の上を動くとき、点(1,3)と点Pを結ぶ線分の中点Qの
軌跡を求めよ。
(2) ABを直径とする半円周上の点をPとする。APの延長上に点Qをとり、PQ=PBとす
るとき、Qの軌跡を求めよ。
(解答はこちら)
問題 36
(1) 次の式の値を求めよ。
(2) loga x +logb y =loga y +logb x のとき、 a=b または x=y であることを証
明せよ。
(解答はこちら)
問題 37
(1) (イ) 円 x2+y2−6y=0 の周上の点(,1)における接線を求めよ。
(ロ) x2+y2=9 と x2+y2−2x−10y−45=0 の共通弦の方程式を求めよ。
(2) (イ) 2点A(−3,1)、B(4,8) を通り、直線 x=a 上に中心を持つ円の方程式
を求めよ。
(ロ) (イ)の円が x 軸から長さ6の線分を切り取るという。その方程式を求めよ。
(解答はこちら)
問題 38
(1) 関数 y=(log10 x)(4−log10 x) の最大値または最小値を求めよ。
(2) log10 (x+6)=log10 2y 、 2log10 x ≦log10 y +log10 2 を満足する整数 x 、y
の値を求めよ。
(解答はこちら)
問題 39
(1) 47100 は168桁の数である。4725 は何桁の数か。
(2) x が、整数部分が1桁で、log10 x2 とlog10 (1/x) の仮数が等しいとき、x を求めよ。
(解答はこちら)
問題 40
(1) y=x2−2ax+4a2 の頂点は a が変化するとき、どんな曲線を描くか。
(2) x 、y についての1次方程式 y=2xsinθ+cos2θ が表す直線は θ の応じて動く。
θ のどのような値に対しても、この直線が通り得ない範囲を求めよ。
(解答はこちら)
問題 41
(1) 直線 y=x+1 から直線 y=mx+4 に測った角が60°であった。mの値を
求めよ。
(2) a>0 、0≦x≦π で、F(x)=2sin2x+a(sinx+cosx)−1 のとき、
(イ) sinx+cosx=t とおくとき、F(x)を t の式で表せ。
(ロ) t のとる値の範囲を求めよ。
(ハ) F(x)の最大値と最小値を求めよ。
(解答はこちら)
問題 42
(1) 次の数列の第 n 項 an と第 n 項までの和 Sn を求めよ。
(イ) 1,3,5,7,9,11,・・・
(ロ) 6,12,24,48,96,・・・
(2) a 、b が整数で、a>b のとき、a と b との間にあって3を分母とする既約分数の和を
求めよ。
(解答はこちら)
問題 43
(1) 0≦ x ≦2π のとき、 cos x −sin x の最大値と最小値を求めよ。また、その
ときの x の値も求めよ。
(2) A+B+C=π/2 のとき、 sin2A+sin2B+sin2C+2sinAsinBsinC の値を求
めよ。
(解答はこちら)
問題 44
(1) 次の和を求めよ。 12+42+72+102+・・・・・(第n項までの和)
(2) 次の和を求めよ。 1+2x+3x2+・・・・+nxn-1
(解答はこちら)
問題 45
(1) 次の方程式を解け。
(イ) cosθ+cos2θ+cos3θ=0 (0≦θ<2π)
(ロ) sin x +sin y =1 、 cos x +cos y = (0≦x、y<2π)
(2) 0<x<π、0<y<π、sin(x+y)<(sin 2x +sin 2y
)/2 を満たす x ,y の値を座
標とする点の存在範囲を図示せよ。
(解答はこちら)
問題 46
(1) 数列 1,2,4,7,11,・・・ について
(イ) 第 n 項を求めよ。
(ロ) 初項から第 n 項までの和を求めよ。
(2) a1=1、an=2an-1+1 なる数列の一般項 an を n の式で表せ。
(解答はこちら)
問題 47
(1) 次の極限値を求めよ。
(2) 数列
において、
(イ) 一般項を求めよ。
(ロ) この数列は、実数 k のどんな値に対して収束するか。
(解答はこちら)
問題 48
(1) △ABCにおいて、 a/b=cosB/cosA が成り立つとき、△ABCはどのような三角
形か。
(2)
左図において、OA=BC=1 のとき、線分ABの長
さを求めよ。
(解答はこちら)
#よおすけさんからの情報では、この問題は、1966年に名古
屋大学が出題とのことです。(令和2年9月5日付け)
問題 49
(1) 次の数列の和を求めよ。
1/(5・6)+1/(6・7)+1/(7・8)+・・・+1/(49・50)
(2) 1 から n までの正の整数がある。このうちから、互いに異なる2つの数を選んで作っ
た積の総和を求めよ。
(解答はこちら)
問題 50
(1) z1=1+i 、z2=1−i 、z3=3(i−1) のとき、 z1・z2/z3 の偏角と絶対値を
求めよ。
(2) α 、β は複素数で、|α|=|β|=1、|α+β|= であるとき、
(イ) α/β を極形式で表せ。
(ロ) β2/(α+β)=Pα+Qβ を満足する実数 P、Q を求めよ。
(解答はこちら)
問題 51
(1) n → ∞ のとき、次の式の極限値を求めよ。
(2)
について、次の問いに答えよ。
(イ) 上の極限値を求めよ。
(ロ) 0≦ x ≦5 の範囲で、y=f(x) のグラフを描け。
(解答はこちら)
問題 52
(1) 次の各式を満たす複素数はどんな図形を描くか。
(イ) |z+i|=3
(ロ) |z−1|=2|z+2|
(2) 四辺形ABCDの頂点A、B、C、Dがそれぞれ複素数 z1、z2、z3、z4 であるとき、
z1+z3=z2+z4 かつ z4+i・az1=z1+i・az2 (a は正数)
なら、これはどんな形の四辺形か。
(解答はこちら)
問題 53
(1) 次の無限級数に和があればそれを求めよ。
(2) a、b、c が1から9までの自然数で、この順で等差数列をなし、
が成り立つ。a、b、c を求めよ。
(解答はこちら)
問題 54
(1) 複素数平面上に2点A(1+i)、B(−1+3i)があるとき、正三角形ABCの頂点Cを表
す複素数を求めよ。
(2) 複素数平面上で異なる3点A、B、C を表す複素数がそれぞれ z1、z2、z3 で、
3z12+4z22+z32−2z2z3−6z1z2=0
が成り立つとき、△ABCの形状を調べよ。
(解答はこちら)
問題 55
(1) 次の極限値を求めよ。
(イ) | ![]() |
(ロ) | ![]() |
(2) 関数 | ![]() |
において、 | ![]() |
であるとき、定数 a、b を求めよ。 |
(解答はこちら)
問題 56
(1) 六角形ABCDEFにおいて、2組の対辺ABとDE、BCとEFがそれぞれ長さが等しく、
平行であれば、CDとFAも平行で長さが等しいことを証明せよ。
(2) 点Oを始点とする次の4つのベクトルの終点はすべて一直線上にあることを証明せよ。
a 、 b 、 3a−2b 、 5a−4b
(解答はこちら)
以下工事中