問題 １ の解答例（目次に戻る）
（１） 与式＝１/ｘ−１/（ｘ＋１）＋１/（ｘ＋１）−１/（ｘ＋２）＋１/（ｘ＋２）
−１/（ｘ＋３）＋１/（ｘ＋３）−１/（ｘ＋４）
＝１/ｘ−１/（ｘ＋４）＝４/ｘ（ｘ＋４）
（２） 条件より、 ｙ＝１−１/ｚ＝（ｚ−１）/ｚ 、 ｘ＝−１/（ｚ−１） なので、
ｘｙｚ＋１＝−１/（ｚ−１）・（ｚ−１）/ｚ・ｚ＋１＝０ （終）
問題 ２ の解答例（目次に戻る）
（１） 与式＝−１/６
（２） 与式＝９ （終）
問題 ３ の解答例（目次に戻る）
（１） 与式＝（
−１）/２（２） ｘ≧１ のとき、 与式＝ｘ−√（ｘ2ー１）
ｘ≦−１ のとき、 与式＝√（ｘ2ー１）−ｘ （終）
問題 ４ の解答例（目次に戻る）
（１） ｘ2＋１/ｘ2＝（ｘ−１/ｘ）2＋２＝３
（ｘ＋１/ｘ）2＝（ｘ−１/ｘ）2＋４＝５ より、 ｘ＋１/ｘ＝
（２） ｘ＝（
＋１）/２ より、 ｘ2−ｘ−１＝０このとき、 ｘ5−ｘ3＋ｘ＝（ｘ2−ｘ−１）（ｘ3＋ｘ2＋ｘ＋２）＋４ｘ＋２＝２
＋４ （終）問題 ５ の解答例（目次に戻る）
（１） Ｆ（ｘ） を ｘ2−４ｘ−１２ で割ったときの余りは、 −２ｘ＋２
（２） Ｆ（ｘ） ＝ ２ｘ3−３ｘ2＋４ｘ＋５ （終）
問題 ６ の解答例（目次に戻る）
（１） α＋β＝２ 、αβ＝５ より、
（イ） α3＋β3＝（α＋β）3−３αβ（α＋β）＝８−３０＝−２２
（ロ） α2−β2＝（α＋β）（α−β）＝±（α＋β）√｛（α＋β）2−２αβ｝＝±８ｉ
（２） α＋β＝２ 、αβ＝ａ より、 α2＋２αβ＋β2＝４
よって、 １＋２ａ＝４ より、 ａ＝３/２ （終）
問題 ７ の解答例（目次に戻る）
（１） （イ） 解は、 １、−２、（５±√２１）/２
（ロ） 解は、 （−１±ｉ√１５）/４、（３±√５）/２
※ 平成２２年２月８日付けで、Ｈ．Ｎ．さんより質問があった。
（ロ）は相反方程式で解法はよく知られている。すなわち、両辺を、ｘ2 で割って、
ｘ＋１/ｘ＝ｔ とおくと、 ２ｔ2−５ｔ−３＝０ を得る。
因数分解して、(２ｔ＋１)(ｔ−３)＝０ から、 (２ｘ2＋ｘ＋２)(ｘ2−３ｘ＋１)＝０ が
得られるので、後は解の公式で解を求めればよい。
（２） 他の解は、 ５/２、−３/２、（−１−
ｉ）/２ （終）問題 ８ の解答例（目次に戻る）
（１） ３ｘ2−１０ｘ＋２＝０
（２） 正しい２次方程式は、 ｘ2＋ａｘ＋２＝０ と書けることから、 ａ＝−３ を得る。
よって、正しい解は、 １ と ２ （終）
問題 ９ の解答例（目次に戻る）
（１） α2＋β2＋γ2＝６
（２） ４ｘｎ−ｎｘ2−４ｎ2＋ｎ3 を、ｘ2−１ で割ったときの余りは、
２｛１−（−１）ｎ｝ｘ＋２｛１＋（−１）ｎ｝−ｎ−４ｎ2＋ｎ3
なので、割り切れるのは、ｎ が偶数で、４−ｎ−４ｎ2＋ｎ3＝０ のとき
これを解いて、 ｎ＝４、１、−１ 条件より、ｎ≧２ なので、 ｎ＝４ （終）
問題 １０ の解答例（目次に戻る）
（１） （ ｘ ， ｙ ）＝（ １/３ ， −１/３ ）、（ ３/７ ， −１/７ ）
（２） （ ｘ ， ｙ ）＝（ ０ ， ０ ）、（ ８ ， ８ ）、
（ ２＋２
， ２−２ ）、（ ２−２ ， ２＋２ ） （終）問題 １１ の解答例（目次に戻る）
（１） √（ｘ2−２ｘ＋８）＝Ａ とおくと、 Ａ＝√｛（ｘ−１）2＋７｝≧√７ である。
このとき、 Ａ2−８＋６Ａ＝２１ より、 Ａ2＋６Ａ−２９＝０
Ａ≧√７ なので、 Ａ＝−３＋√３８（＞０）
よって、 ｘ2−２ｘ＋８＝（−３＋√３８）2 より、 ｘ2−２ｘ−３９＋６√３８＝０
したがって、 ｘ＝１±√（４０−６√３８）
（２） １/（ｘ−１）＋１/（ｘ＋１）＝ａ の分母を払って、 ａｘ2−２ｘ−ａ＝０
この方程式は、分数方程式の分母を ０ にする ｘ＝±１ を解に持たない。
よって、求める解は、
ａ＝０ のとき、 ｘ＝０
ａ≠０ のとき、 解の公式より、 ｘ＝｛１±√（１＋ａ2）｝/ａ （終）
問題 １２ の解答例（目次に戻る）
（１） （ ｘ ， ｙ ）＝（ ±２ ， ±１ ）、（ ±１３（√１１）/２２ ， ±３（√１１）/２２ ）
（複号同順）
（２） （ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝（ ±４ ， ±３ ， ±５ ） （複号同順） （終）
問題 １３ の解答例（目次に戻る）
（１） （ｘ−１）2＋（ｙ−１）2＋（ｚ−１）2＝０ より明らか。
（２） （ｘ＋ｙ）（ｙ＋ｚ）（ｚ＋ｘ）＝０ （終）
問題 １４ の解答例（目次に戻る）
（１） −１/２＜ ｘ ≦２−
（２） ａ＜−２、ａ＞２ のとき、
ｘ＜｛−ａ−√（ａ2−４）｝/２ 、ｘ＞｛−ａ＋√（ａ2−４）｝/２
ａ＝±２ のとき、±１以外の全ての実数
−２＜ａ＜２ のとき、 全ての実数 （終）
問題 １５ の解答例（目次に戻る）
（１） ｘ＜１−√１０ 、ｘ＞１＋√１０
（２） ｘ＜３ 、ｘ＞４ （終）
問題 １６ の解答例（目次に戻る）
（１） （ａ＋ｂ＋ｃ）2−３＝ａ2＋ｂ2＋ｃ2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ
＝｛（ａ−ｂ）2＋（ｂ−ｃ）2＋（ｃ−ａ）2｝/２≧０ より明らか。
（２） ａ4＋ｂ4＋ｃ4−２（ａ2ｂ2＋ｂ2ｃ2＋ｃ2ａ2）
＝（ａ2−ｂ2−ｃ2）2−４ｂ2ｃ2
＝（ａ2−ｂ2−ｃ2＋２ｂｃ）（ａ2−ｂ2−ｃ2−２ｂｃ）
＝（ａ＋ｂ−ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ−ｃ）
ここで、ａ、ｂ、ｃ は三角形の３辺であるので、
ａ＋ｂ−ｃ＞０ 、ａ−ｂ＋ｃ＞０ 、ａ＋ｂ＋ｃ＞０ 、ａ−ｂ−ｃ＜０
よって、 ａ4＋ｂ4＋ｃ4＜２（ａ2ｂ2＋ｂ2ｃ2＋ｃ2ａ2） （終）
問題 １７ の解答例（目次に戻る）
（１） ｃｏｓθ＝±４/５ 、ｔａｎθ＝±３/４ （復号同順）
（２） （イ） ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝−（
＋１）/２（ロ） （ｃｏｓ2θ）/（１−ｔａｎθ）＋（ｓｉｎ2θ）/（１−１/ｔａｎθ）＝（
＋４）/４ （終）問題 １８ の解答例（目次に戻る）
（１） （イ） θ＝２１０°、３３０°
（ロ） θ＝５２．５°、８２．５°、２３２．５°、２６２．５°
（２） （イ） ０°≦θ＜２１０°、３３０°＜θ≦３６０°
（ロ） ０°≦θ＜６０°、１２０°＜θ＜２４０°、３００°＜θ≦３６０° （終）
問題 １９ の解答例（目次に戻る）
（１） 軸の方程式は、 ｘ＝２ 、頂点の座標は、（２，０）
（２） ｙ＝−３ｘ2＋４ （終）
問題 ２０ の解答例（目次に戻る）
（１） ａ＝−１ 、ｂ＝６
（２） ａ＝１ 、ｂ＝−２ （終）
問題 ２１ の解答例（目次に戻る）
（１） 最大値 ９/４ 最小値 ０
（２） θ＝−π/６ のとき、最大値 ３ θ＝π/２ のとき、最小値 ３/２ （終）
問題 ２２ の解答例（目次に戻る）
（１） 最大値 ４ （ｘ＝ｙ＝２ のとき）
（２） 最小値 ４
（ｘ＝ 、ｙ＝２/ のとき） （終）問題 ２３ の解答例（目次に戻る）
（１） 弧の長さ＝４π（ｃｍ） 、面積＝３６π（ｃｍ2）
（２） θ≠２ｎπ＋π/２ （ｎ は整数）のとき、 異なる２つの実数解を持つ。
θ＝２ｎπ＋π/２ （ｎ は整数）のとき、 重解を持つ。 （終）
問題 ２４ の解答例（目次に戻る）
（１） 最大値 ４ （ｘ＝０ のとき） 、最小値 ０ （ｘ＝２ のとき）
（２） 最小値 ３ （ｘ＝１ 、ｙ＝２ のとき） （終）
問題 ２５ の解答例（目次に戻る）
（１） （
−π/２）ｒ2（２） ｘ＝ｙ＝π/６ （終）
問題 ２６ の解答例（目次に戻る）
（１） ｙ＝ｘ−４ 、 ｘ＝−１
（２） 最大値 ３ （ｘ＝１ のとき）
最小値 １/３ （ｘ＝−１ のとき） （終）
問題 ２７ の解答例（目次に戻る）
（１） （６，０）
（２） 最大値 ０ （ｘ＝１ のとき）
最小値 ８/３ （ｘ＝３ のとき） （終）
問題 ２８ の解答例（目次に戻る）
（１） （−３，−７）
（２） （略・・・座標計算やベクトル利用などいろいろあります！） （終）
問題 ２９ の解答例（目次に戻る）
（１） （イ） ３ｘ−２ｙ＋１９＝０ （ロ） ｘ−２ｙ＝１
（２） （イ） ａ＝２、１ （ロ） 定められない （終）
問題 ３０ の解答例（目次に戻る）
（１） ａ≦１
（２） ａ＝２ （終）
問題 ３１ の解答例（目次に戻る）
（１） （−４，０） 、（８/３，０）
（２） （１/ｋ，１/ｋ） （終）
問題 ３２ の解答例（目次に戻る）
（１） （−１，−１）
（２） ｙ＝（２＋
）ｘ/４−/２ 、ｙ＝（２−）ｘ/４＋/２ ＝２ （終）問題 ３３ の解答例（目次に戻る）
（１） １
（２） ２/５ （終）
問題 ３４ の解答例（目次に戻る）
（１） −３/２
（２） 略 （終）
問題 ３５ の解答例（目次に戻る）
（１） ２ｙ−ｘ−２＝０
（２） ＡＢを弦として、∠ＡＱＢ＝π/４ である円周のうちで、円周上の点Ｔに対して、
∠ＴＡＢ＝∠Ｒの内部。 （終）
問題 ３６ の解答例（目次に戻る）
（１） １/６
（２） 略 （終）
問題 ３７ の解答例（目次に戻る）
（１） （イ）
ｘ−２ｙ＝３ （ロ） ｘ＋５ｙ＋１８＝０（２） （イ） （ｘ−ａ）2＋（ｙ＋ａ−５）2＝２ａ2−２ａ＋２５
（ロ） （ｘ＋１）2＋（ｙ−６）2＝２９ 、（ｘ−９）2＋（ｙ＋４）2＝１６９ （終）
問題 ３８ の解答例（目次に戻る）
（１） 最大値 ４ （ｘ＝１００ のとき） 、 最小値 なし
（２） ｘ＝２ 、ｙ＝４ （終）
問題 ３９ の解答例（目次に戻る）
（１） ４２桁
（２） １ 、１０^(1/3) 、１００^(1/3) （終）
問題 ４０ の解答例（目次に戻る）
（１） ｙ＝３ｘ2
（２） （ｙ＞ｘ2＋１）または（ｘ＞１、ｙ＞２ｘ、ｙ≦ｘ2＋１）
または（ｘ＜−１、ｙ＞−２ｘ、ｙ≦ｘ2＋１）または（ｙ＜２ｘ、ｙ＜−２ｘ） （終）
問題 ４１ の解答例（目次に戻る）
（１） ｍ＝−
（２） （イ） Ｆ（ｘ）＝２ｔ2＋ａｔ−３
（ロ） −１≦ｔ≦
（ハ） ０＜ａ≦４ のとき、最大値 １＋
ａ 、 最小値 −（ａ2＋２４）/８ａ＞４ のとき、最大値 １＋
ａ 、 最小値 −ａ−１ （終）問題 ４２ の解答例（目次に戻る）
（１）（イ） ａｎ＝２ｎ−１ 、Ｓｎ＝ｎ2
（ロ） ａｎ＝３・２ｎ 、Ｓｎ＝３・２ｎ+1−６
（２） ａ2−ｂ2 （終）
問題 ４３ の解答例（目次に戻る）
（１） 最大値 ２ （ｘ＝１１π/６ のとき） 、最小値 −２ （ ｘ＝５π/６ のとき）
（２） １ （終）
問題 ４４ の解答例（目次に戻る）
（１） ｎ（６ｎ2−３ｎ＋１）/２
（２） ｘ≠１ のとき、 ｛ｎｘｎ+1−（ｎ＋１）ｘｎ＋１｝/（１−ｘ）2
ｘ＝１ のとき、 ｎ（ｎ＋１）/２ （終）
問題 ４５ の解答例（目次に戻る）
（１） （イ） θ＝π/４、３π/４、５π/４、７π/４、２π/３、４π/３
（ロ） ｘ＝ｙ＝π/６
（２） ０＜ｘ＜π、０＜ｙ＜π、π＜ｘ＋ｙ＜２π、ｘ−ｙ≠０ （終）
問題 ４６ の解答例（目次に戻る）
（１） （イ） （ｎ2−ｎ＋２）/２
（ロ） ｎ（ｎ2＋５）/６
（２） ２ｎ−１ （終）
問題 ４７ の解答例（目次に戻る）
（１） １
（２） （イ） （ロ） ｋ＜−４ 、 ｋ≧０ （終）
問題 ４８ の解答例（目次に戻る）
（１） ＢＣ＝ＣＡである二等辺三角形 または ∠Ｃ＝９０°の直角三角形
（２）
（→ 詳解と別解は、こちら）問題 ４９ の解答例（目次に戻る）
（１） ９/５０
（２） ｎ（ｎ＋１）（ｎ−１）（３ｎ＋２）/２４
問題 ５０ の解答例（目次に戻る）
（１） 偏角は、−５π/６ 絶対値は、２/３
（２） （イ） ｃｏｓ（±π/３）＋ｉ・ｓｉｎ（±π/３） （復号同順）
（ロ） Ｐ＝−１/３ 、Ｑ＝２/３ （終）
問題 ５１ の解答例（目次に戻る）
（１） ３
（２） （イ） ｘ＞１ のとき、ｆ（ｘ）＝４/ｘ 、ｘ＝１ のとき、ｆ（ｘ）＝４/３
０≦ｘ＜１ のとき、ｆ（ｘ）＝０
（ロ） 略 （終）
問題 ５２ の解答例（目次に戻る）
（１） （イ） 中心 −ｉ 、半径 ３ の円
（ロ） 中心 −３ 、半径 ２ の円
（２） 長方形 特に、ａ＝１のとき、正方形 （終）
問題 ５３ の解答例（目次に戻る）
（１） 和 ８/３
（２） ａ＝７ 、ｂ＝５ 、ｃ＝３ （終）
問題 ５４ の解答例（目次に戻る）
（１）
＋（２＋）ｉ 、−＋（２−）ｉ（２） Ａ＝６０°、Ｂ＝９０°、Ｃ＝３０°の三角形 （終）
問題 ５５ の解答例（目次に戻る）
（１） （イ） １/３ （ロ） ４
（２） ａ＝４ 、ｂ＝８ （終）
問題 ５６ の解答例（目次に戻る）
（１） 四角形ＡＣＤＦが平行四辺形となることから明らか。
（２） ＯＡ＝ａ、ＯＢ＝ｂ 、ＯＣ＝３ａ−２ｂ、ＯＤ＝５ａ−４ｂ とおく。
このとき、ＡＣ＝−２ＡＢ、ＡＤ＝−４ＡＢ から明らか。 （終）
以下工事中