パスカルの三角形　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　日本では、高校１年生もしくは２年生で、次のような三角形に出会う。

　

　この三角形は、パスカルの三角形といわれているが、ブレーズ・パスカル（1623 - 1662）
が現れるはるか以前からパスカルの三角形については研究されていたという。

　例えば、

　中国・・・楊輝（ようき　ヤン・ホイ）の三角形
　イラン・・・ハイヤームの三角形
　イタリア・・・タルタリアの三角形

　パスカルの三角形において、偶数に対する奇数の比率は０に近づくという。

ところで、パスカル自身が用いたものは、次のようなものだったらしい。

　

　このパスカルの三角形は、パスカルの友人メレの次のような質問：

（イ）　２人が賭け金を出し合って始めたゲームを途中で中止した場合、賭け金をどう分配
　　すれば公平か？
（ロ）　２つのさいころを何回か投げて、少なくとも１回、６のぞろ目が出たら勝ちとしたとき、
　　何回投げることにすれば、勝つ見込みができるか？

を解くために、考案されたものである。パスカルは、この問題に対して、パスカルの三角形
の性質を使って帰納的に解を導いている。

　これらの数字の配列をボンヤリ眺めていると、いろいろな特徴・性質があることに気がつ
く。

パスカルの三角形は、（ａ＋ｂ）^ｎ の展開に利用される。

　（ａ＋ｂ）²＝ａ²＋２ａｂ＋ｂ²＝１ａ²＋２ａｂ＋１ｂ²

　（ａ＋ｂ）³＝ａ³＋３ａ²ｂ＋３ａｂ²＋ｂ³＝１ａ³＋３ａ²ｂ＋３ａｂ²＋１ｂ³

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　この性質を利用すると、いちいち分配法則を用いることなく、一気に式が展開できる。

たとえば、（ａ＋ｂ）⁵ を展開したい場合、パスカルの三角形から、

　１　　５　　１０　　１０　　５　　１

が直ぐ得られるので、

　（ａ＋ｂ）⁵＝１ａ⁵＋５ａ⁴ｂ＋１０ａ³ｂ²＋１０ａ²ｂ³＋５ａｂ⁴＋１ｂ⁵
＝　ａ⁵＋５ａ⁴ｂ＋１０ａ³ｂ²＋１０ａ²ｂ³＋５ａｂ⁴＋ｂ⁵

となる。

　私が高校生の頃、このパスカルの三角形に興味を持って、（ａ＋ｂ）¹⁰⁰ が展開できるまで
表を作ろうとしたことがある。最後の段は、項が １０１個あり、Ｂ４の用紙をたくさん貼り合わ
せて計算を始めたが、途中で計算ミスもあり、挫折したことを覚えている。

　基本的には、パスカルの三角形を用いれば、（ａ＋ｂ）^ｎ の展開は容易であるが、直ちに
（ａ＋ｂ）¹⁰⁰ などを展開したい場合は無力である。その場合は、次のような２項定理が用い
られる。

２項定理（Ｂｉｎｏｍｉａｌ　Ｔｈｅｏｒｙ）　　　　　　

　

ここで、_ｎＣ_ｋは２項係数で、異なるｎ個のものから、異なるｋ個のものをとる組合せの数で、

　

但し、　（ｎ の階乗）とする。

（略証）　（ａ＋ｂ）^ｎ を展開したときの各項は、ａ^ｎ　、ａ^ｎ-1ｂ　、ａ^ｎ-2ｂ²　、・・・　、　ｂ^ｎ

　ａ^ｎ-ｋｂ^ｋ の係数は、ｎ 個の因数　ａ＋ｂ　のそれぞれから、ａ を ｎ−ｋ 個、ｂ を ｋ 個とる組

合せの数 _ｎＣ_ｋ に等しい。　　（略証終）

　上記の略証は、教科書によくあるものだが、次のような証明も可能だろう。

（別証）　集合 Ｓ＝｛１，２，・・・，ｎ｝と集合 Ａ、Ｂ（但し、Ａ∩Ｂ＝φ、ｎ（Ａ）＝ａ、ｎ（Ｂ）＝ｂ）に

ついて、写像　Ｆ ： Ｓ　→　Ａ∪Ｂ　の個数を数える。

　Ｓ の各要素について、ａ＋ｂ 通りの値の取り方があるので、写像の個数は、（ａ＋ｂ）^ｎ で
ある。

　また、Ｓ の要素を、ｎ−ｋ 個と ｋ 個（ｋ＝０、１、２、・・・、ｎ）に分ける。その分け方の総数は、

_ｎＣ_ｋ 通り。その１通りに対して、ｎ−ｋ 個の要素には、Ａの要素が対応し、ｋ 個の要素には、

Ｂの要素が対応すると考えると、写像の個数は、ａ^ｎ-ｋｂ^ｋ 通り。

　したがって、

　　　（証終）


（例）　（ａ＋ｂ）⁶ を、２項定理を用いて展開せよ。

（解）　₆Ｃ₀＝１、₆Ｃ₁＝６、₆Ｃ₂＝１５、₆Ｃ₃＝２０、₆Ｃ₄＝１５、₆Ｃ₅＝６、₆Ｃ₆＝１　なので、

　（ａ＋ｂ）⁶＝ａ⁶＋６ａ⁵ｂ＋１５ａ⁴ｂ²＋２０ａ³ｂ³＋１５ａ²ｂ⁴＋６ａｂ⁵＋ｂ⁶　　（終）

　この２項定理を用いれば、パスカルの三角形を実際に書き上げなくても、任意の ｎ に対
して、（ａ＋ｂ）^ｎ が直ちに展開される。

　また、２項定理は数学のいろいろな分野に登場し、鮮やかな解法を見せてくれる。

（応用例題）　２１^ｎ を４００で割った余りが最大となる最小の自然数 ｎ の値を求めよ。

（解）　２項定理より、　２１^ｎ＝（２０＋１）^ｎ＝２０^ｎ＋ｎ・２０^ｎ-1＋・・・＋ｎ・２０＋１　なので、

　２１^ｎ を４００で割った余り Ｒ（ｎ） は、　Ｒ（ｎ）＝２０ｎ＋１　である。

ここで、　Ｒ（ｎ＋２０）＝２０（ｎ＋２０）＋１＝Ｒ（ｎ）＋４００　より、

　Ｒ（ｎ＋２０）≡Ｒ（ｎ）　（ｍｏｄ　４００）

すなわち、　Ｒ（ｎ） の最大値は、　１≦ｎ≦２０　の範囲で調べればよい。

　Ｒ（２０）＝１　で、　１≦ｎ≦１９　の範囲で、Ｒ（ｎ） は単調に増加するので、

　ｎ＝１９　のとき、Ｒ（ｎ） は最大となる。　（終）


　パスカルの三角形の数は、すべて、２項係数で、その性質から、いろいろなパスカルの
三角形の性質が示される。

２項係数の性質

（１）　_ｎＣ_ｋ＝_ｎＣ_n-ｋ

　　異なる ｎ 個のものから、異なる ｋ 個のものをとる組合せの数 _ｎＣ_ｋ と、異なる ｎ 個のも
　のから、異なる ｋ 個以外のものをとる組合せの数 _ｎＣ_n-ｋ は等しい。

　この性質から、パスカルの三角形は、左右対称となる。

　

（２）　_ｎＣ_ｋ＝_ｎ-1Ｃ_ｋ＋_ｎ-1Ｃ_ｋ-1

　　異なる ｎ 個のものの中に特定なもの ａ が含まれている。異なる ｎ 個のものから、異な
　る ｋ 個のものをとる組合せの数 _ｎＣ_ｋ は、ｋ 個の中に特定な ａ が含まれていない場合の
　組合せの数 _ｎ-1Ｃ_ｋ と、ｋ 個の中に特定な ａ が含まれている場合の組合せの数 _ｎ-1Ｃ_ｋ-1
　の和になる。

　　この性質から、パスカルの三角形において、両端以外の任意の数は、直前の段の両
　側の数の和になる。

　　

（３）　_ｎＣ₀＋_ｎＣ₁＋_ｎＣ₂＋・・・＋_ｎＣ_n＝２^ｎ

　２項定理において、ａ＝ｂ＝１　とすればよい。

　この性質から、パスカルの三角形において、各段の数の総和がすぐ分かる。

　１＋４＋６＋４＋１＝２⁴＝１６

また、この性質から、ｎ 個の要素を含む集合の部分集合の個数が、２^ｎ 個あることも分かる。

　また、２項定理において、ａ＝１０、ｂ＝１　とすれば、次のような性質も成り立つ。

　１２１＝１１²　、　１３３１＝１１³　、　１４６４１＝１１⁴


　　のように考えて、１６１０５１＝１１⁵


（追記）　平成１８年１２月２３日付け

　高校生の科学技術コンテスト「第４回ＪＳＥＣ（ジャパン・サイエンス＆エンジニアリング・チャ
レンジ）」において、津山工業高等専門学校３年の井上昌樹さんと、山本裕子さんが優秀賞
を受賞された。（朝日新聞朝刊（平成１８年１２月２３日付け））

　受賞テーマは「ｋ−パスカル三角形の自己相似性の研究」とのこと。パスカルの三角形で
成り立つ種々の性質を一般化されたパスカルの三角形にも拡張されたようである。

　どのような拡張であるのか少し興味を持ったので、いろいろ調べてみた。

　井上さんが高１のとき学ばれたパスカルの三角形を利用して、

　１１²　、　１１³　、　１１⁴　、　１１⁵

が計算できる（上記の計算を参照）ことから、１１１⁴　なども同様な三角形を利用して求めて
みようということになり、「井上の三角形」（拡張されたパスカルの三角形の構成方法）が見い
だされたとのことである。

　「津山高専１年生によるパスカルの三角形の一般化とその考察」というＨＰを参考にさせて
いただきながら、その雰囲気を味合わせていただこうと思う。

　当ＨＰのこのページ「パスカルの三角形」を初めてアップロードしたのは平成１４年１月１８日
である。いま再び読み返してみると、説明のあまりの稚拙さに赤面の境地である。

たとえば、

　

のように考えて、１６１０５１＝１１⁵　とのことだが、一瞬その真意のくみ取りに時間を要し
た。次のように書き直した方が分かりやすいだろうと、今更ながら思う。

　

　１１⁵　を計算するために、（10＋１）⁵にパスカルの三角形を利用したように、１１１⁴　を
計算するために、（10²＋10＋１）⁵に「井上の三角形」というものを利用するわけである。

　（ｘ²＋ｘ＋１）²＝（ｘ²＋ｘ＋１）（ｘ²＋ｘ＋１）
＝ｘ⁴＋ｘ³ ＋ ｘ²＋ｘ³ ＋ ｘ² ＋ ｘ＋ ｘ² ＋ ｘ ＋１
＝ｘ⁴＋2ｘ³＋3ｘ²＋2ｘ＋１

　（ｘ²＋ｘ＋１）³＝（ｘ²＋ｘ＋１）（ｘ²＋ｘ＋１）²
＝（ｘ²＋ｘ＋１）（ｘ⁴＋2ｘ³＋3ｘ²＋2ｘ＋１）
＝ｘ⁶＋2ｘ⁵＋3ｘ⁴＋2ｘ³ ＋ ｘ²＋ ｘ⁵＋ 2ｘ⁴＋3ｘ³＋2ｘ² ＋ ｘ＋ ｘ⁴ ＋2ｘ³＋3ｘ²＋2ｘ＋１
＝ｘ⁶＋3ｘ⁵＋6ｘ⁴＋7ｘ³＋ 6ｘ²＋3ｘ＋１

　・・・・・・・・・・・・・・・・・・

のように計算してみると、各項の係数がどのように求められるかは明らかだろう。

　たとえば、（ｘ²＋ｘ＋１）²　の係数　「　１　　２　　３　　２　　１　」を、如何にして求めるかに
ついては、次のように考えるのだという。

　「　１　　１　　１　」の両端に「　０　　０　」を書き加えて、

　０　　０　　１　　１　　１　　０　　０　

とし、左から順次１つずつずらして、

　列毎に、３項の和を求めていくと、

　０　　０　　１　　２　　３　　２　　１　　０　　０

すなわち、　１　　２　　３　　２　　１

を得る。これは正に、（ｘ²＋ｘ＋１）²　の係数になっている。

　同様にして、　（ｘ²＋ｘ＋１）³　の係数を求めるために、

　（ｘ²＋ｘ＋１）³＝（ｘ²＋ｘ＋１）・（ｘ²＋ｘ＋１）²

と考えて、（ｘ²＋ｘ＋１）²　の係数 「　１　　２　　３　　２　　１　」の両端に 「　０　　０　」を書き

加えて、

　　　０　　０　　１　　２　　３　　２　　１　　０　　０　

　とし、上と同様に、左から順次１つずつずらして３項の和を求めていくと、

　　　　　　 　　　１　　３　　６　　７　　６　　３　　１

　を得る。これは正に、（ｘ²＋ｘ＋１）³　の係数になっている。

　　同様にして、　（ｘ²＋ｘ＋１）⁴　の係数を求めるために、

　　　（ｘ²＋ｘ＋１）⁴＝（ｘ²＋ｘ＋１）・（ｘ²＋ｘ＋１）³

　と考えて、（ｘ²＋ｘ＋１）³　の係数 「　１　　３　　６　　７　　６　　３　　１　」の両端に

　「　０　　０　」を書き加えて、

　０　　０　　１　　３　　６　　７　　６　　３　　１　　０　　０　

とし、上と同様に、左から順次１つずつずらして３項の和を求めていくと、

　１　　４　　１０　　１６　　１９　　１６　　１０　　４　　１

を得る。これは正に、（ｘ²＋ｘ＋１）⁴　の係数になっている。

　この操作を続ければ、一般の場合　（ｘ²＋ｘ＋１）^ｎ　の係数を求めるためのパスカルの三
角形のような三角形を得ることが出来る。

　このようにして得られる三角形を「井上の三角形」と言うようだ。

例　１１１⁴　を計算せよ。

　「井上の三角形」より、（ｘ²＋ｘ＋１）⁴　の係数は、

　１　　４　　１０　　１６　　１９　　１６　　１０　　４　　１

よって、

　


から、　１１１⁴　＝１５１８０７０４１　　となる。

（参考）　井上の三角形 ・・・　上記の求め方以外に、次のように考えると暗算で求められる。

　　ある数の直下には、その数字と両端の数の和を書く。空白は０とみなす。

　もちろん、手っ取り早く、例えば、（ｘ²＋ｘ＋１）¹⁰　の ｘ⁸ のみの係数を求めるには、多項
定理を用いた方が計算は速いだろう。多項定理により、（ｘ²＋ｘ＋１）¹⁰　の一般項は、

　

ただし、　整数 ｐ 、 ｑ 、 ｒ は、 ｐ＋ｑ＋ｒ＝１０　、 ｐ≧０ 、 ｑ≧０ 、 ｒ≧０　を満たす。

このとき、　２ｐ＋ｑ＝８　となる （ ｐ 、 ｑ 、 ｒ ） を求めると、

（ ４ 、 ０ 、 ６ ）、（ ３ 、 ２ 、 ５ ）、（ ２ 、 ４ 、 ４ ）、（ １ 、 ６ 、 ３ ）、（ ０ 、 ８ 、 ２ ）

よって、求める係数は、

　

である。　（追記終了）


（４）　_ｎＣ₀²＋_ｎＣ₁²＋_ｎＣ₂²＋・・・＋_ｎＣ_n²＝_2ｎＣ_ｎ

　　ｎ 個の異なる赤球と、ｎ 個の異なる白球がある。この異なる ２ｎ 個のものから、異なる
　ｎ 個のものをとる組合せの数 _2ｎＣ_n は、赤球の個数で場合分けして、赤球 ｋ 個と白球
　ｎ−ｋ 個をとる組合せの数の積 _ｎＣ_ｋ・_ｎＣ_n-ｋ ＝_ｎＣ_ｋ²　の和に等しい。

　この性質から、パスカルの三角形において、正方形の対角線上の数の平方の和は、正方
形の右下の数に等しい。

　

　また、正方形の右下の数は、正方形の最下段の左から２番目の数で割り切れる。

　一般に、　_2ｎＣ_ｎ は、ｎ＋１ で割り切れる　　が成り立つ。

（５）　ｋ・_ｎＣ_ｋ＝ｎ・_ｎ-1Ｃ_ｋ-1

　　今、ｎ 人いる。この中から ｋ 人を選んで、その中で一人班長を決める。その場合の数は、
　ｋ・_ｎＣ_ｋ 通りある。このような班員と班長の決め方は、次のように考えてもよい。まず、班長
　を一人選んで、残りの ｎ−１ 人から班員 ｋ−１ 人を選ぶ。その場合の数は、ｎ・_ｎ-1Ｃ_ｋ-1
　通りある。両者は等しい。

　この性質から、パスカルの三角形において、各段の ｋ 番目の数を　ｋ−１ 倍した数は、
その段の２番目の数と、直前の段の左側の数との積に等しい。

　

フィボナッチ数列との関係

　パスカルの三角形において、次のような傾き２の直線上の数の和を求めることにより、
フィボナッチ数列が出現する。

　


　上記では傾き（？）が２の直線を意識しているが、

　１
　１　１
　１　２　１
　１　３　３　１
　１　４　６　４　１
　１　・・・・・・・・・

と配列に工夫を加えると、傾き（？）が１の直線となり、見やすくなるかもしれない。


最短経路の問題との関係

　パスカルの三角形において、数はすべて、２項係数なので、最短経路問題とも関連があ
る。左下図のような経路に対して、右下図のように、パスカルの三角形を当てはめれば直
ちに、その場合の数が求められる。

　　　　　　

　したがって、左上隅から右下隅に至る最短経路は、全部で、３５通りある。

　以上、とりとめもなくパスカルの三角形の性質をあげてきたが、これ以外にもたくさんの性
質が隠れている。最近のコンピュータの発達から、フラクタル図形が容易に描けるようになっ
てきたが、パスカルの三角形で、ｎ で割ったときの余りで色分けすると、きれいなフラクタル
図形が出現することが知られている。これについては、たくさんのホームページで紹介されて
いるので、このページでは、割愛することにする。


（参考文献：吉田　武　著　虚数の情緒（東海大学出版会）
　　　　　　　藤崎真佐五　著　順列・組合せと確率（科学新興社）
　　　　　　　渡部隆一　著　確率論（共立出版））


（追記）　平成２８年６月１４日付け

　パスカルの三角形をボンヤリ眺めていると、さらに、あることに気がつく。




　上記は、（ａ＋ｂ）^ｎ を展開したときの係数を横に並べたものである。このとき、横方向に並
ぶ数を見ると、奇数、偶数が混じり合っている行がほとんどだが、ある行では、すべての数が
奇数となっている。例えば、

ｎ＝０　のとき、　１
ｎ＝１　のとき、　１　１
ｎ＝３　のとき、　１　３　３　１
ｎ＝７　のとき、　１　７　２１　３５　３５　２１　７　１
ｎ＝１５　のとき、
　　　1　15　105　455　1365　3003　5005　6435　5005　3003　1365　455　105　15　1

　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　ｎ＝０という特殊な場合を除いて、「１，３，７，１５，・・・」という数列には、

　　２¹−１　，２²ー１　，２³−１　，２⁴−１　，・・・

という特徴がある。言い換えれば、２進数として考えるとき、

　　1　，11　，111　，1111　，・・・

となっている。したがって、次のような予想が成り立つ。

（予想）　２進数で、１１・・・１と表される数ｎについて、

　_ｎＣ₀　，_ｎＣ₁　，_ｎＣ₂　，・・・　，_ｎＣ_n　は、すべて奇数である。

実は、一般に次の定理が成り立つ。

定　理　　自然数ｎを、２^ａ₁＋２^ａ₂＋・・・＋２^ａ_k　（ただし、ａ₁＞ａ₂＞・・・＞ａ_k≧０）　と
　　　　　２進法表示するとき、_ｎＣ_ｍ　が奇数となるｍの個数は、２^ｋ個である。

例　２進数で、１　即ち、ｎ＝１のとき、パスカルの三角形から　１　１　で奇数は、２個

　　２進数で、１１　即ち、ｎ＝２＋１＝３のとき、パスカルの三角形から　１　３　３　１　で、
　奇数は、２²＝４個

　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　この定理によれば、（予想）が正しいことが分かる。

　実際に、２進数で、１１・・・１と表される数ｎについて、「１」の個数がｋ個ならば、ｎ＝２^ｋ−１

で、_ｎＣ_ｍ　が奇数となるｍの個数は、２^ｋ＝ｎ＋１個あるので、

　_ｎＣ₀　，_ｎＣ₁　，_ｎＣ₂　，・・・　，_ｎＣ_n　は、すべて奇数

となる。

（定理の証明）　ｎ＝２^ａ₁＋２^ａ₂＋・・・＋２^ａ_k　のとき、

　（１＋ｘ）^ｎ＝（１＋ｘ）^2ａ₁・（１＋ｘ）^2ａ₂・・・・・（１＋ｘ）^2ａ_k

　≡（１＋ｘ^2ａ₁）・（１＋ｘ^2ａ₂）・・・・・（１＋ｘ^2ａ_k）　（ｍｏｄ　２）

　この合同式をＦ₂［ｘ］における恒等式とみなすとき、右辺に現れる項は、左辺の展開で２項
係数_ｎＣ_ｍが奇数である項と一致する。その総数は、

　（１＋１）・（１＋１）・・・・・（１＋１）＝２^ｋ　（個）

となる。　　（証終）


（追記）　令和６年１０月１７日付け

　東北大学　文系（１９８２）で、多項定理に関する問題が出題された。

問題　　（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）⁷ の展開式について、次の問に答えよ。

（１）　ｐ、ｑ、ｒ、ｓ が ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ＝７ を満たす負でない整数であるとき、項 ａ^ｐｂ^ｑｃ^ｒｄ^ｓ の
　　係数を求めよ
（２）　係数の最大値を求めよ。また、そのときの ｐ、ｑ、ｒ、ｓ を求めよ。

（解）（１）　多項定理より、求める係数は、　７！/（ｐ！ｑ！ｒ！ｓ！）

（２）　係数が最大になるのは、ｐ、ｑ、ｒ、ｓ が最小のときなので、求める最大値は、

　７！/（２！２！２！１！）＝６３０

そのときの ｐ、ｑ、ｒ、ｓ は、２、２、２、１　の順列で４通りある。　　（終）



　　　以下、工事中！