数２６　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、平成２２年１２月１０日付けで、ＨＮ「無学文盲」さんから
次のような書き込みがあった。

　通りすがりに失礼ながら、質問がございます。

　　25、26、27のように平方数と立方数にはさまれた唯一の数は26である

ということを風の便りでうかがいました。この証明をご存知の方はいらっしゃいますか。どな
たか、お時間がありましたらご教授願います。

　掲示板の方では、私自身

　ｙ³＝ｘ²＋２ の整数解が、　ｘ＝±５　、ｙ＝３ のみだからですかね！
高木貞治著「初等整数論講義」第２版 の３０５ページ[問題１］に解答が書いてあります。

と、素っ気ない書き込みをしてしまったが、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さん
が丁寧に質問に答えられた。（平成２２年１２月１２日付け）

　立方数、□、平方数の並びも認めるなら、　（−１）³　、０　、１²　もありますね！

　２次体の整数論を使った証明です。大体の流れを書きます。

　−２の平方根を ω として、Ｓ＝Ｚ（ω）＝｛ ａ＋ｂω｜ａ、ｂ は整数 ｝を考える。

次の３つのことを使います。

　（１）　Ｓの元 α＝ａ＋ｂω に対して、N(α)＝ａ²＋２ｂ²　とすると、N(αβ)＝N(α)N(β)

　（２）　Ｓの元 α について、αは単元(Sの中に逆元をもつ) ⇔ N(α)＝1 ⇔ α＝±1

　（３）　α、β、γ をＳの元とする。αβ＝γ³ で、α、βが単元でない公約数を持たない
　　　とき、α＝δ³ となるＳの元δがある。

（１）（２）は容易に証明できます。（３）は、Ｓ＝Ｚ(ω) が素元分解環であることを使えば出ま
す。それを使わないでも出るかどうかはわかりません。

　ｘ²＋２＝ｙ³　より、ｘ、ｙ の偶奇は一致する。

　ｘ、ｙ がともに偶数とすると、ｘ²、ｙ³ ともに４の倍数なので、２＝ｙ³−ｘ² も４の倍数となり矛

盾。従って、ｘ、ｙ がともに奇数である。Ｓ＝Ｚ（ω）＝｛ ａ＋ｂω｜ａ、ｂ は整数 ｝で考える。

　（ｘ＋ω）（ｘ−ω）＝ｙ³ において、ｘ＋ω、ｘ−ω が単元でない公約数 ｄ を持つとする。

　ｘ＋ω＝ｄＡ　、ｘ−ω＝ｄＢ　となるので、２ω＝ｄ(A−B)　より、　N(２ω)＝８　で、これが、

N(ｄ)N(A−B)に等しい。ｄは単元ではないから、N(ｄ)は 1 ではない。

従って、N(ｄ) は偶数で、N(ｘ＋ω)＝N(ｄ)N(A) も偶数になるが、N(ｄ)＝ｘ²＋２＝ｙ³ は奇数で

あるから矛盾。従ってx＋ω、x−ωは単元でない公約数を持たない。

　（ｘ＋ω）（ｘ−ω）＝ｙ³ であるから、（３）より、ｘ＋ω＝δ³　となる。

δ＝ａ＋ｂω　とおく。あとは簡単な計算です。

（コメント）　ＦＮさん、ありがとうございます。

　高木貞治著「初等整数論講義」第２版 の３０５ページ[問題１］では次のように解かれてい
ます。

　２次体 Ｋ[]＝｛ ｘ＋ｙ　｜ｘ、ｙ は有理数 ｝におけるイデアルの類の数が１であ
ることを用いる。

　（ｘ＋）（ｘ−）＝ｙ³ において、　ｘ＋　、ｘ−　は互いに素である。

実際に、公約数があるとすると、が公約数であり、各因数はの１乗でしか割り

切れない積は立方になりえない。これは矛盾である。

　したがって、単数±１が立方であることに注意して、ｘ＋＝（ａ＋ｂ）³　と書ける。

これより、　３ａ²ｂ−２ｂ³＝１　となり、　ｂ＝±１　、３ａ²−２ｂ²＝±１　すなわち、

　　　ｂ＝１　、　ａ＝±１

となる。このとき、　（±１＋）³＝−５＋　、５＋　より、ｘ＝±５　、ｙ＝３

である。


　ＦＮさんからのコメントです。（平成２２年１２月１３日付け）

　初等整数論講義による証明では、イデアルの類の数が１であることを用いる証明というこ
とで、それは単項イデアル整域であることを示し、従って、素元分解環であることだから、本
質的には私のものと同じ証明でしょうが少し違うようです。

　英文の証明を見て前の解答を書いたので、「unit」の訳語として、「単元」を使いましたが、
初等整数論講義等の数論関係の本では「単数」を使うことが多いようなので、単数を使うこ
とにします。代数関係の本では単元や正則元、可逆元を使うようです。

　ｘ＋ω、ｘ−ω が単数でない公約数を持たないこと、即ち、互いに素であることを次のよう
に示しています。

　(１)　単数でない公約数を持つなら、それは ω である。

　(２)　ω が公約数であるとき、ｘ＋ω、ｘ−ω ともに ω の１乗でしか割り切れない。

(１)は、ｘ＋ω、ｘ−ω の公約数は、ｘ＋ω−（ｘ−ω）＝２ω＝−ω³　の約数でもあり、ω は
Ｓで素数だから、公約数は、ωであるとしてよいようです。

(２)は、ω²＝−２　で割り切れるとすると、（ｘ＋ω）（ｘ−ω）＝ｙ³　が２で割り切れることにな
って不都合とするのかなと思うのですが、そのためには、ｙ が奇数であることを示しておくこ
とになりそうですが、もっと簡単に言えますか。

　ｘ²−２＝ｙ³　の整数解が、ｘ＝１、ｙ＝−１　のみであるかどうかを考えてみました。

２の平方根を ω として、同じようにすると、ｘ＋ω、ｘ−ω が互いに素であることは、同様に
できるようです。ただ、ω＝　のときの単数が±1だけだったのに対して、ω＝ の
ときの単数が無限にあるので同様にはいきません。ｘ＋ωが立方数とはならず、立方数×
単数となるのでちょっと面倒かなと思います。

　ｘ²±ｎ＝ｙ³　(１≦ｎ≦１０程度)の整数解を、Ｅｘｃｅｌ で調べてみましたが、ｘ や ｙが小さい
所にせいぜい２個の解があるだけのようでした。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２２年１２月１４日付け）

　ｘ²±ｎ＝ｙ³ の整数解の個数について調べたところ、やはりありました。

　　 ｘ²＋ｎ＝ｙ³ の整数解の個数　→　参考：「A081120」
　　 ｘ²−ｎ＝ｙ³ の整数解の個数　→　参考：「A081119」

です。これによると、n≦10000の範囲で解の個数が最大となるのは、

　＋ｎ の方は ｘ²＋３８０７＝ｙ³ と ｘ²＋３８９６＝ｙ³ の２２個
　−ｎ の方は ｘ²−１０２５＝ｙ³ の３２個のようですね。


　ＦＮさんからの返信です。（平成２２年１２月１４日付け）

　ｘ²±ｎ＝ｙ³　(１≦ｎ≦１０程度)の整数解の個数がせいぜい２個と書きましたが、ｘ、ｙが自
然数だけを調べていました。それでも、ｎ＝８、９ では、３個ありますね。ちゃんと３個出てる
のに２個と数えていました。

　整数列大事典は何でも載ってるものですね。楕円曲線の書き方に従って、　ｙ²＝ｘ³±ｎ
と書きます。整数列大事典も、もちろん、この形です。

　楕円曲線の一般論によれば、ｙ²＝ｘ³±ｎ　(ｎは自然数)の整数解の個数は有限個だそう
です。（ジーゲルの定理より）

　「特別講義」−「２次体の整数論」−「２次体の整数」で、ｙ²＝ｘ³＋１　について調べられて
います。数論的に完全に解ける所まではいってないようです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（．．．スミマセン、ほったらかしでした．．．ｆ(^_^;) ）

　ｘ、ｙ の偶奇は異なります。ｘ が偶数で、ｙ が奇数の場合は、ｘ＝２Ｘ、ｙ＝２Ｙ＋１　と置くと
X³＝Y(Y＋1)/２　となります。即ち、立方数でかつ三角数である数は何かという問題になり
ます。

　答えは、１だけのはずですが、これは、ｙ²＝ｘ³＋１　の整数解を求めよという問題の半分
ほどの問題ということになります。難しい方の半分か易しい方の半分かはわかりませんが。


　草餅さんからのコメントです。（平成２７年１０月３日付け）

　HP「私的数学塾」を初めて拝見したのは、中学三年生の時に数学に興味を持った私が、
26という数(実は私の誕生日です)を調べていた時、このページが検索に引っ掛かった時で
した。

　当時は全くわからない用語ばかりでしたが、それ以来もう少しでも簡単な解法はないかと
探しておりました。

　それに関連して、最近「フェルマーの最終定理」(S・シン著、新潮文庫)を読んだのですが、
その中に"楕円方程式 ｙ²=x³-2 の自然数解は、y=5、x=3のみであることを証明したのは
フェルマーである"という記述がありました。

　フェルマーは1600年代の人ですが、環論はどうやら19世紀頃が起源のようですので、フェ
ルマーによる証明は、こちらのHPに掲載されているものとは異なるのではないか、と考えま
した。

　「フェルマーの最終定理」では、楕円方程式と合同式を結びつけていましたので、少し考え
てみました。解決には程遠い段階だと思いますが…。どなたか検証してくださるとありがたい
のですが…（更に解法を完成させて下さりましたらより良いのですが。)

　x²+2=y³ の自然数解を考える。x、yの偶奇は一致し、xが偶数とすると、2=y³-x²が4の倍
数となり不適。以下、x、yを奇数として考える。

　(x，y)=(5，3)が解の一つとして存在しているので、(x，y)について6で割った余りで分類して
みる。

　x、yは奇数より、それぞれ余りは、1、3、5のいずれかである。以下、x、yそれぞれについ
て、6で割った余りがaである時、"x≡a"のように書く。(ただし、a=1、3、5)

　x≡1⇒x²+2≡3　、x≡3⇒x²+2≡5　、x≡5⇒x²+2≡3

であり、　y≡1⇒y³≡1　、y≡3⇒y³≡3　、y≡5⇒y³≡5　より、これらは一致しなければな
らないから、(x，y)≡(1，3)、(3，5)、(5，3)でなければならない。

　この後、(x，y)=(5，3)が解の一つであるから、x²-25=y³-27が成立、としてみましたが、進
展せず…。

　上手いこと、ここから更に絞り込む方法があるでしょうか…?


　DD++さんからのコメントです。（平成２７年１０月３日付け）

　受験数学でもそれ以外の数学でも、奇数の平方は4で割るのは鉄則です。この場合はもう
少し工夫すると、y≡3または11 (mod24) まではいけますね。