平成１５年より実施の学習指導要領では、（内容の取扱い）に「対数計算は扱わないもの
とする。」と明言されている通り、数学Ⅱにおける対数の扱いは軽くなっている。しかし、教科
書等では旧態依然として、簡単な対数計算（底の変換を含む）から始まって、対数表を利用
した桁数の問題や有効数字が小数第何位から始まるかなど以前から行われている計算が
そのままに残されている。
対数の概念を指導する立場からすると、学習指導要領における対数の扱いは不完全燃
焼そのものである。いくら電卓が普及したからといっても、対数概念を用いた数の扱いに熟
知することは、数の感覚を磨く上にも大切なことと思う。充実感の味わえる大切な教材であ
るので、時間が許す限り対数の応用を余すことなくしっかり指導したいものだ。
私が高校生の時に感動した計算が「指標と仮数」の問題である。
対数 ｌｏｇ Ｘ （常用対数で、底10は省略）の値は、指標（整数部分）と仮数（小数部分）に
分けられる。
例 ｌｏｇ ２ ＝０．３０１０ において、 指標は、０ で、仮数は、０．３０１０
ｌｏｇ ２０ ＝１．３０１０ において、 指標は、１ で、仮数は、０．３０１０
ｌｏｇ ２００ ＝２．３０１０ において、 指標は、２ で、仮数は、０．３０１０
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
２＝２×１０0 、 ２０＝２×１０1 、 ２００＝２×１０2 、 ・・・・・・
上記の例からもわかるように、指標と仮数については、
指標から桁数（指標＋１）が分かり、仮数から数字の配列が分かる
ｌｏｇ Ｎ ＝ ｎ ＋ ｄ （ ｎ は整数、 ０≦ｄ＜１） において、
Ｎ ＝ １０d×１０ｎ （ ｎ ： 指標 、ｄ ： 仮数）
（注意） 上記で、例えば、ｌｏｇ ２００ の仮数は、「０．３０１０」としたが、厳密には、
ｄ＝ｌｏｇ ２００ －２＝ｌｏｇ ２ とすべきだろう。
さて、上記の表記から、Ｎ の桁数は、「１０ｎ」から分かり、Ｎ の数字の配列は、「１０d」から
分かるわけである。
例 ｌｏｇ Ｎ ＝２．３０１０ において、ｎ＝２ 、ｄ＝０．３０１０ なので、Ｎ＝ １０0.3010×１０2
ここで、 ｌｏｇ ２ ＝０．３０１０ なので、１０0.3010＝２ より、 Ｎ＝２×１０2 と表せる。
このように、指標と仮数を考えることは、数の感覚を磨くのに好適である。
当ＨＰでは、指標と仮数に関連する話題として、例えば、次のページで考察している。
平成１３年度京都大学理系入試問題 数字の出やすさ
（追記） 平成２６年３月１９日付け
５100 は何桁の数か？
この頁のテーマに従えば、常用対数を使う問題だが、２10＝１０２４ を活用すれば中学生
でも簡単に桁数が求められる。
（解） ５100＝ １０100/ ２100＝１０100/ （１０２４）10＝１０70/ （１．０２４）10＜１０70
ところで、
（１．０２４）10＜（１．０２５）10＝（１．０５０６２５）5＜（３/２）5＝２４３/３２＝７．５９３７５＜１０
なので、 ５100＞１０69 すなわち、 １０69＜５100＜１０70
よって、 ５100 は、７０桁の数である。 （終）
（コメント） ｌｏｇ５＝１－ｌｏｇ２＝０．６９９０ なので、 ｌｏｇ５100＝６９．９０ から、５100 は、
７０桁の数であることが分かる。
上記の解のように、対数を持ち出すまでもなく、計算の工夫をすれば、数学の醍醐味が味
わえる。
読者の方のために、いくつか練習問題を残しておこう。（令和５年８月１１日付け）
練習問題 次の問いに答えよ。
（１） ｎを自然数とする。２ｎ が４桁の数になるときのｎを求めよ。
（２） ５130 は何桁の数か？
（出典） 札幌医科大学（２０１９）、改題
（解）（１） ２10＝１０２４ 、２11＝２０４８ 、２12＝４０９６ 、２13＝８１９２ より、
ｎ＝１０、１１、１２、１３ である。
（２） ５130＝１０130/２130 において、 ２10＝１０２４＞１０3 から、 ２130＞１０39
また、 ２13＝８１９２＜１０4 から、 ２130＜１０40 なので、１/１０40＜１/２130＜１/１０39
よって、 １０130/１０40＜５130＜１０130/１０39 すなわち、 １０90＜５130＜１０91
したがって、 ５130 は、９１桁の数である。 （終）
練習問題 ３30 は何桁の数か？
（解） ３2＝９＜１０ より、 ３30＜１０15
また、 ３5＝２４３ より、 ３10＝５９０４９＞５×１０4 なので、
３30＞５3×１０12＝１．２５×１０14＞１０14
以上から、 １０14＜３30＜１０15 なので、３30 は、１５桁の数である。 （終）
（追記） 平成３１年３月６日付け
ｌｏｇ10２＝０．３０１０３０、ｌｏｇ10３＝０．４７７１２１ とする。
（１） ２2018は、何桁の数か。
（２） ２2018の一の位の数字は何か。
（３） ２2018の最高位の数字は何か。
（解）（１） ｌｏｇ10２2018＝２０１８×ｌｏｇ10２＝６０７．４７８５４ より、２2018は、６０８桁の数
（２） ２9＝５１２≡２ （ｍｏｄ １０） より、
２2018＝（２9）224・２2≡２226≡（２9）25・２≡２26≡（２9）2・２8≡２10≡４ （ｍｏｄ １０）
よって、２2018の一の位の数字は、４
（別解） ２nの一の位は、ｎ＝１、２、３、４、５、・・・ に対応して、２、４、８、６、２、・・・ と
「２、４、６、８」が繰り返す。
２０１８÷４＝５０４・・・２ なので、求める一の位の数字は、４ である。
（３） ｌｏｇ10２2018＝６０７．４７８５４ より、
ｌｏｇ10３＝０．４７７１２１＜０．４７８５４＜０．６０２０６０＝ｌｏｇ10４
よって、 ２2018の最高位の数字は、３
（コメント） ２2018 を実際に計算すると、
300975572981974178000491826689522266019546451696338914634011177602453670826
441523555640144380954219621501098954322729441282521552876484776801319349430
951132631216918745087423285005593210362383227758646368832025381520318041021
188312786054744743520118953489194177429238733719809833365174090560082338041
908904182858144768218904926301676654858230565266460509284604881683417217163
612998169477229474658080043058066870491986334899974592014692279525528702919
349197608299844219588532213309870335805245925964074858264462842202726146634
642671355964971850860550901268939893712619629032953133047359110341856196111
56742144
となるらしい．．．。
（追記） 令和６年７月５日付け
単に、「桁数を求めよ」ではなくて、「対数値を間違えちゃって．．．」という問題で、とても人
間味のある問題が、東北大学文理共通（１９６６）で出題された。個人的には、好きな問題で
すね！
第１問 ｌｏｇ７＝０．８４５１ を用いて、７30の桁数を求めるのに、０．８４５１ のうちの１つの
数字を誤って書いたため、桁数は１だけ異なって得られた。また、同じ誤って書いたｌｏｇ７
の値で、７60の桁数を求めたところ、ふたたび桁数が１だけ異なって得られた。誤って書
いたｌｏｇ７の値を求めよ。
（解） ｌｏｇ７＝０．８４５１ のとき、 ｌｏｇ７30＝２５．３５３ から、７30は２６桁の数である。
ｌｏｇ７60＝５０．７０６ から、７60は５１桁の数である。
題意より、 ７30は２５桁または２７桁の数 で、７60は５０桁または５２桁の数 なので、
７30は２５桁で７60は５０桁 または ７30は２７桁で７60は５２桁
の何れかが起こる。ここで、 ｌｏｇ７＝ｘ とおく。
７30は２５桁で７60は５０桁のとき、
２４≦３０ｘ＜２５ かつ ４９≦６０ｘ＜５０ すなわち、
０．８≦ｘ＜０．８３３３ かつ ０．８１６６≦ｘ＜０．８３３３ より、０．８１６６≦ｘ＜０．８３３３
０．８４５１ と１つの数字が相違する可能性は、 ０．８２５１ のみ。
７30は２７桁で７60は５２桁のとき、
２６≦３０ｘ＜２７ かつ ５１≦６０ｘ＜５２ すなわち、
０．８６６６≦ｘ＜０．９ かつ ０．８５≦ｘ＜０．８６６６ より、０．８６６６≦ｘ＜０．８６６６
このような ｘ は存在しない。
以上から、 ｌｏｇ７＝０．８２５１ である。 （終）
（コメント） 絶妙な数の配置に感服しました。
以下、工事中