指標と仮数                                戻る

 平成15年より実施の学習指導要領では、(内容の取扱い)に「対数計算は扱わないもの
とする。」と明言されている通り、数学Uにおける対数の扱いは軽くなっている。しかし、教科
書等では旧態依然として、簡単な対数計算(底の変換を含む)から始まって、対数表を利用
した桁数の問題や有効数字が小数第何位から始まるかなど以前から行われている計算が
そのままに残されている。

 対数の概念を指導する立場からすると、学習指導要領における対数の扱いは不完全燃
焼そのものである。いくら電卓が普及したからといっても、対数概念を用いた数の扱いに熟
知することは、数の感覚を磨く上にも大切なことと思う。充実感の味わえる大切な教材であ
るので、時間が許す限り対数の応用を余すことなくしっかり指導したいものだ。

 私が高校生の時に感動した計算が「指標と仮数」の問題である。

 対数 log X (常用対数で、底10は省略)の値は、指標(整数部分)と仮数(小数部分)に
分けられる。

例 log 2 =0.3010 において、 指標は、0 で、仮数は、0.3010

  log 20 =1.3010 において、 指標は、1 で、仮数は、0.3010

  log 200 =2.3010 において、 指標は、2 で、仮数は、0.3010

    ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 2=2×100 、 20=2×101 、 200=2×102 、 ・・・・・・

 上記の例からもわかるように、指標と仮数については、

     指標から桁数(指標+1)が分かり、仮数から数字の配列が分かる

  log N = n + d ( n は整数、 0≦d<1) において、

       N = 10d×10   ( n : 指標 、d : 仮数)

(注意) 上記で、例えば、log 200 の仮数は、「0.3010」としたが、厳密には、

        d=log 200 −2=log 2

    とすべきだろう。


 さて、上記の表記から、N の桁数は、「10」から分かり、N の数字の配列は、「10d」から
分かるわけである。

例 log N =2.3010 において、 n=2 、 d=0.3010 なので、

      N= 100.3010×102

  ここで、 log 2 =0.3010 なので、100.3010=2 より、 N=2×102 と表せる。


 このように、指標と仮数を考えることは、数の感覚を磨くのに好適である。

 当HPでは、指標と仮数に関連する話題として、例えば、次のページで考察している。

   平成13年度京都大学理系入試問題    数字の出やすさ


(追記) 平成26年3月19日付け

 100は何桁の数か?

 この頁のテーマに従えば、常用対数を使う問題だが、210=1024 を活用すれば中学生
でも簡単に桁数が求められる。

(解)  5100= 10100/ 2100=10100/ (1024)10=1070/ (1.024)10<1070

 ところで、

 (1.024)10<(1.025)10=(1.050625)5<(3/2)5=243/32=7.59375<10

なので、 5100>1069 すなわち、 1069<5100<1070

  よって、 5100 は、70桁の数である。  (終)


(追記) 平成31年3月6日付け

 log102=0.301030、log103=0.477121 とする。

(1) 22018は、何桁の数か。

(2) 22018の一の位の数字は何か。

(3) 22018の最高位の数字は何か。


(解)(1) log102018=2018×log102=607.47854 より、22018は、608桁の数

(2) 29=512≡2 (mod 10) より、

  22018=(29224・22≡2226≡(2925・2≡226≡(292・28≡210≡4 (mod 10)

  よって、22018の一の位の数字は、4

(別解) 2nの一の位は、n=1、2、3、4、5、・・・ に対応して、2、4、8、6、2、・・・ と

    「2、4、6、8」が繰り返す。

 2018÷4=504・・・2 なので、求める一の位の数字は、4 である。

(3) log102018=607.47854 より、

    log103=0.477121<0.47854<0.602060=log10

  よって、 22018の最高位の数字は、3


(コメント) 22018 を実際に計算すると、

300975572981974178000491826689522266019546451696338914634011177602453670826
441523555640144380954219621501098954322729441282521552876484776801319349430
951132631216918745087423285005593210362383227758646368832025381520318041021
188312786054744743520118953489194177429238733719809833365174090560082338041
908904182858144768218904926301676654858230565266460509284604881683417217163
612998169477229474658080043058066870491986334899974592014692279525528702919
349197608299844219588532213309870335805245925964074858264462842202726146634
642671355964971850860550901268939893712619629032953133047359110341856196111
56742144

となるらしい...。



        以下、工事中