「最初の有効数字の分布」と題して、埼玉県立岩槻北陵高校の福住 譲さんという方が
報告された内容はとても興味深い。
取り得る値が十分広範囲に広がっていて、かつ、特定な値に集中していない場合を考え
る。このような場合は、身近にはたくさん存在する。
たとえば、各自治体の人口とか面積など．．．。
福住さんによれば、それらの数字の先頭の数字に着目すると、「１、２、３、４」の出やすさ
が７０％で、「５、６、７、８、９」の出やすさ３０％と比べて突出していて、しかも、同様な比率
になるという。
この研究成果には大変驚いたが、福住さんの説明で合点がいった。
数字 Ｎ の先頭の数字は、Ｎ の常用対数 ｌｏｇ10Ｎ の小数部分（これを仮数という）から求
められる。
例 ２100 の最高位の数字は何か？
（答） ｌｏｇ10２100 ＝１００×０．３０１０＝３０．１０
ここで、
ｌｏｇ10１．２５＝０．０９６９、ｌｏｇ10１．２６＝０．１００４、・・・、
ｌｏｇ10１．２８＝０．１０７２、ｌｏｇ10１．２９＝０．１１０６
から、最高位の数字は、１ となる。
したがって、数字 Ｎ の先頭の数字の分布を調べるには、Ｎ の常用対数 ｌｏｇ10Ｎ の小数
部分の分布を調べればよいことになる。
常用対数 ｌｏｇ10Ｎ の小数部分の分布を調べるということは、常用対数 ｌｏｇ10Ｎ の値を、
１を法として考えることと同じになり、その分布はほぼ一様分布（確率密度関数が定数関数）
になるという。（これは、ポアンカレのルーレットの原理と言われるものからいえるそうだ！）
数字 Ｎ の先頭の数字が ｋ となるのは、常用対数 ｌｏｇ10Ｎ の値が、
ｌｏｇ10ｋ ≦ ［ｌｏｇ10Ｎ ｍｏｄ １］ ＜ ｌｏｇ10（ｋ＋１）
を満たすときである。
よって、数字 Ｎ の先頭の数字が ｋ となる確率は、ａ を定数として、
Ｐｋ＝ａ（ｌｏｇ10（ｋ＋１）−ｌｏｇ10ｋ）
で与えられる。
ここで、 Ｐ1＋Ｐ2＋Ｐ3＋Ｐ4＋Ｐ5＋Ｐ6＋Ｐ7＋Ｐ8＋Ｐ9＝ａ（ｌｏｇ10１０−ｌｏｇ10１）＝ａ＝１
より、 Ｐｋ＝ｌｏｇ10（ｋ＋１）−ｌｏｇ10ｋ となる。
したがって、 Ｐ1＋Ｐ2＋Ｐ3＋Ｐ4＝ｌｏｇ10５−ｌｏｇ10１＝ｌｏｇ10５＝１−ｌｏｇ10２＝０．６９９０
Ｐ5＋Ｐ6＋Ｐ7＋Ｐ8＋Ｐ9＝ｌｏｇ10１０−ｌｏｇ10５＝ｌｏｇ10２＝０．３０１０
この結果を知ると、これまでの統計データを見る目が変わるかもしれない。数値データの
先頭の数字がヤケに、１、２、３、４が多いな〜と感じていたのは、実は上記のことから必然
的なことだったと言うことである。
