単位分数の和　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　単位分数とは、分子＝１である分数のことをいう。

　古代のエジプトでは、互いに異なる単位分数の和として分数を表した。そこで、このような
表記の仕方は、エジプト分数と言われ、ヨーロッパでは中世まで広く使われたらしい。

例　５/６＝１/ｘ＋１/ｙ　を満たす異なる自然数 ｘ、ｙ を求めよ。

　多分計算が得意な方は、「１/２＋１/３＝５/６」から直ちに、ｘ＝２、ｙ＝３を見いだすことだ
ろう。

　一つの分数 ｍ/ｎ を単位分数の和として表すには、次の手順に従えばよい。

（手順）　１．　ｍ/ｎ＞１/ｘ を満たす最大の単位分数１/ｘ を見いだす。
　　　　　２．　新しい分数 ｍ/ｎ−１/ｘ について、１．を行う。この操作を繰り返す。

例　５/６ を超えない最大の単位分数は、１/２で、５/６−１/２＝２/６＝１/３
　　よって、５/６＝１/２＋１/３

例　８/１１ を超えない最大の単位分数は、１/２で、８/１１−１/２＝５/２２

　　５/２２ を超えない最大の単位分数は、１/５で、５/２２−１/５＝３/１１０

　　３/１１０ を超えない最大の単位分数は、１/３７で、３/１１０−１/３７＝１/４０７０

　　　以上から、　８/１１＝１/２＋１/５＋１/３７＋１/４０７０

　このような表し方は一意に定まるものではなく、　８/１１＝１/２＋１/６＋１/２２＋１/６６　と
いう分解も考えられる。

　単位分数をいくらでも使ってよければ必ず一つの分数は単位分数の和として表される。

　それに対して、使える単位分数の個数を制限すると、問題は極端に難しくなる。

　２以上の全ての自然数 Ｎ について、等式

　　

を満たす自然数 Ｘ、Ｙ、Ｚ が存在するかどうかは、まだ未解決の問題らしい。

　ものの本によると、１億より小さいＮの値に対しては、自然数 Ｘ、Ｙ、Ｚ は必ず存在する
ことが知られている。

　２以上の全ての自然数 Ｎ について、等式

　　

を満たす自然数 Ｘ、Ｙ、Ｚ は存在するだろう

というのが、エルデスとシュトラウスの予想である。（→　参考：「単位分数を作る」）

　比較的小さいＮの値に対して自然数 Ｘ、Ｙ、Ｚ の値を見つけることは、小学校程度の適度
な計算練習と言える。ただ、その計算方法は、日本の学校教育で与えられるものとは違い、
どちらかというと欧米的である。

　自分自身の脳の活性化のために、出来るところまで表を完成させようという気になった。興
味ある読者の方もご一緒にいかがだろうか？「エジプト分数で！」という条件を付けると厳し
そうなので、以下の表では同じ分母も可としよう。

　上記の表を埋めていく過程で、Ｎが偶数ならば、必ず等式を満たす自然数 Ｘ、Ｙ、Ｚ の値
が見つけられることに気がつく。しかし、Ｎが奇数のときは、とても不規則だ。Ｎの素因数分
解と密接に結ぶついていて、自然数 Ｘ、Ｙ、Ｚ の値が見つけられるかどうか、確信が持てな
い。エルデスとシュトラウスの予想を証明するには、Ｎが奇数のときを考えればよい。

　以下では、Ｎが奇数の場合のみを考えることにする。

　とうとう１００まで達成！日本１００名山とか、１００という数字は縁起がいいので、手計算
による方法はここで打ち切りにすることにしよう。

　上記の表からも分かるように、Ｎの値が素因数分解されるときは比較的平易に自然数 Ｘ、
Ｙ、Ｚ の値が見つけられる。それに対して、Ｎが素数のときは、意外に手強い。

　表では、解が一つしか示されていないが、もちろん、解は一つには定まらない。

例えば、次のような別解もある。

　当ＨＰがいつもお世話になっている「らすかる」さんが１０００までの素数について調べられ
た。（平成１７年１１月１９日付け）

　それをまとめたものが下表である。らすかるさんに感謝します。

　平成１７年１１月１９日１２時１１分現在、らすかるさんは、 最終的なプログラムで、今１億
までを確認しているそうである。今のペースで行けば、３時間後ぐらいには１億までの確認
が終わるとのことで、らすかるさんからの新しい知らせが今から楽しみである。

　（実際には、５時間半かかったそうです！らすかるさん、お疲れ様でした！！）

　らすかるさんが作られたプログラムでは、10億とかでも一瞬で解が出るそうである。
例えば、こんな感じになるらしい。

4/1000000007＝1/250000002＋1/250000003750000015
＋1/62500001875000021312500108750000210

4/1000000009＝1/250000003＋1/83333335083333346
＋1/1893939473484849812500010340909122

4/1000000021＝1/250000006＋1/83333337083333376
＋1/10416667604166698343750476250002688

4/1000000033＝1/250000010＋1/35714288321428620
＋1/892857273214292865178746107144460

4/1000000087＝1/250000022＋1/250000043750001915
＋1/62500021875002871312667518753665310

4/1000000093＝1/250000024＋1/83333349083334078
＋1/10416670604167224843785169750831048

4/1000000097＝1/250000025＋1/83333349750000810
＋1/4166668308333575954182607250392850


　ところで、らすかるさんは、いろいろ試行錯誤している間に、次のような面白い事実に気
付かれたとのことである。

　まず、Ｎが合成数については、素因数の場合の分母を定数倍すれば良い。

たとえば、　４/３＝１/２＋１/２＋１/３　　より、　４/１５＝１/１０＋１/１０＋１/１５

　一般には、素数 ｐ に対して、　４/ｐ＝１/ｘ＋１/ｙ＋１/ｚ のとき

　４/Ｎ＝４/ｎｐ＝１/ｎｘ＋１/ｎｙ＋１/ｎｚ

となるので、素数の場合のみを調べればよいが、４ｎ＋３型の素数については、実は次の
ような恒等式が成り立ち、等式を満たす自然数 Ｘ、Ｙ、Ｚ は必ず存在する。

　

　

　また、同様に、４ｎ＋１型の素数のうち、８ｍ＋５型の素数については

　

８ｍ＋１型の素数のうち、２４ｋ＋１７型の素数については

　

が成り立つので、等式を満たす自然数 Ｘ、Ｙ、Ｚ は必ず存在する。

　結局は、２４ｋ＋１型の素数のみを調べれば十分ということになる。

（因みに、１００未満の２４ｋ＋１型の素数は、実は、７３と９７のみであり、この２つについて
のみ調べて、後の数は上記の恒等式を用いればよかったということになる。）

　ところで、この問題は、Ｍａｔｈｗｏｒｌｄ の Ｕｎｓｏｌｖｅｄ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ の中で詳しく述べられて
いるそうである。１億どころか、１０¹⁴＝100兆まで予想の成り立つことが既に確かめられて
いるとか．．．。

　エルデスとシュトラウスの予想が１０¹⁴＝100兆まで成り立つことは、Ｓｗｅｔｔ（１９９９）に
よる。

　参考文献が２０年前のもので、らすかるさんにはご迷惑をおかけしました！

　Ｓｗｅｔｔ の「The Erdos-Strauss Conjecture」の冒頭にある恒等式

　

もスゴイですね！どうしたらこんな恒等式が見つけられるのでしょうか？

　こんな風に、２４ｋ＋１型の素数についても恒等式が見つかるといいですネ。


（参考文献：　吉永良正　著　　数学のセンス　　（ダイヤモンド社））


（追記）　平成２４年１２月２３日付け

　任意の有理数 ａ/ｂ （ａ、ｂはａ＜ｂなる自然数）は、異なる単位分数の和として

　ａ/ｂ＝１/ｋ₁＋１/ｋ₂＋１/ｋ₃＋・・・＋１/ｋ_n

（ｋ₁、ｋ₂、ｋ₃、・・・、ｋ_n は、ｋ₁＜ｋ₂＜ｋ₃＜・・・＜ｋ_n を満たす自然数）

と表すことができる。与えられた有理数を超えない最大の単位分数を引くという操作を繰り
返せばよい。

　このような入試問題が、愛知教育大学（２００３）で出題された。


例　３/７、１２/１３をそれぞれ異なる単位分数の和として表せ。

　１/３＝３/９＜３/７＜１/２　より、　３/７−１/３＝２/２１

　１/１１＝２/２２＜２/２１＜１/１０　より、　２/２１−１/１１＝１/２３１

　　よって、　３/７−１/３−１/１１＝１/２３１　より、　３/７＝１/３＋１/１１＋１/２３１

　同様にして、　１/２＝１２/２４＜１２/１３＜１　より、　１２/１３−１/２＝１１/２６

　１/３＝１１/３３＜１１/２６＜１/２　より、　１１/２６−１/３＝７/７８

　１/１２＝７/８４＜７/７８＜１/１１　より、　７/７８−１/１２＝６/９３６＝１/１５６

　　よって、　１２/１３−１/２−１/３−１/１２＝１/１５６　より、

　　　　　　１２/１３＝１/２＋１/３＋１/１２＋１/１５６


　このような考え方を用いて、

　

と書けることを示そうとして、いろいろ計算を行ったが、結局、文字が入っているので、

４/（３ｎ＋２）を超えない最大の単位分数は何かがわからず．．．挫折！

　でも、そんなことにお構いなしに、

　４/（３ｎ＋２）−１/（ｎ＋１）＝（ｎ＋２）/｛（３ｎ＋２）（ｎ＋１）｝

　（ｎ＋２）/｛（３ｎ＋２）（ｎ＋１）｝＝１/（３ｎ＋２）＋１/｛（３ｎ＋２）（ｎ＋１）｝

と分解されるので、

　　　

は成り立つ！結局、この等式の出自は謎のままだ。


　ところで、任意の有理数 ａ/ｂ （ａ、ｂはａ＜ｂなる自然数）は、異なる単位分数の和として

　ａ/ｂ＝１/ｋ₁＋１/ｋ₂＋１/ｋ₃＋・・・＋１/ｋ_n

（ｋ₁、ｋ₂、ｋ₃、・・・、ｋ_n は、ｋ₁＜ｋ₂＜ｋ₃＜・・・＜ｋ_n を満たす自然数）

と表すことができることの証明を考えてみよう。証明してみて、上記のスッキリしない原因が
どこにあるのか分かるかもしれないので．．．。

（証明）　まず、単位分数でない有理数 ａ/ｂ （ａ、ｂはａ＜ｂなる自然数）に対して、

　ある自然数 ｋ₁ （ｋ₁＞１）が存在して、　１/ｋ₁＜ａ/ｂ＜１/（ｋ₁−１）

ここで、　ａ/ｂ−１/ｋ₁＝ａ₁/ｂ₁　とおくと、　ａ₁＝ａｋ₁−ｂ　、ｂ₁＝ｂｋ₁

　ａ/ｂ＜１/（ｋ₁−１）　より、　ａ（ｋ₁−１）＜ｂ　すなわち　ａｋ₁−ｂ＜ａ　なので、　ａ₁＜ａ

　ａ₁＝１　ならば、　ａ/ｂ＝１/ｋ₁＋１/ｂ₁

　ａ₁＞１　ならば、ある自然数 ｋ₂ （ｋ₂＞１）が存在して、　１/ｋ₂＜ａ₁/ｂ₁＜１/（ｋ₂−１）

ここで、　ａ₁/ｂ₁−１/ｋ₂＝ａ₂/ｂ₂　とおくと、　ａ₂＜ａ₁

この操作を続けていくと、何れは １＝ａ_ｎ＜ａ_ｎ-1＜・・・＜ａ₂＜ａ₁　となり成り立つ。　（証終）


（コメント）　理論的には納得できるのだが、具体的にと問われると途方に暮れてしまいます
　　　　　　ね！


（追記）　平成２５年７月２９日付け

　数年前からエルデスーシュトラウスの予想の完全解決に心血を注いでいられるという大学
生の方からメールを頂いた。

　行き詰った頃に、このページを見つけました。その中にあったらすかるさんの作ったプログ
ラムに興味を引かれました。このプログラムで行き詰まりが解消できるかもしれないと思った
からです。らすかるさんの作られたプログラムのソースをお教えいただけないでしょうか。


（追記）　平成２６年９月７日付け

　真分数を２個の単位分数の和で表すことについて、都立三田高校の佐々木正敏先生が取
り組まれている。（数研通信　Ｎｏ．８０　（数研出版））

　真分数とは、値が１より小さい分数のことである。すなわち、

　　ｍ/ｎ　（　ｍ、ｎ は互いに素な自然数で、ｍ＜ｎ）

　このとき、　ｍ/ｎ＝１/ｘ＋１/ｙ　（ｘ≦ｙ）　となる自然数 ｘ、ｙ を求めたい。

　ここで、ｍ/ｎ を、２個の単位分数を用いて表す場合の数を、φ（ｍ/ｎ ）と表すことにする。


例　φ（５/６）＝１

例　５/６６＝１/１４＋１/２３１＝１/１５＋１/９９０＝１/２２＋１/３３　なので、φ（５/６６）＝３


　まず、ｍ＝１　のとき、　１/ｎ＝１/ｘ＋１/ｙ　は、（ｘ−ｎ）（ｙ−ｎ）＝ｎ²　と式変形され、その
構造は単純である。

　ｎ＝ｐ^αｑ^β・・・ｒ^γ　と素因数分解して、ｎ²＝ｐ^2αｑ^2β・・・ｒ^2γ　より、

　ｘ−ｎ＝ｐ^α₁ｑ^β₁・・・ｒ^γ₁　、ｙ−ｎ＝ｐ^α₂ｑ^β₂・・・ｒ^γ₂　と書ける。

　０≦α_ｋ≦２α、０≦β_ｋ≦２β、・・・、０≦γ_ｋ≦２γ　なので、ｘ≦ｙ を満たす自然数解の
組の個数は、

｛（２α＋１）（２β＋１）・・・（２γ＋１）−１｝/２＋１＝｛（２α＋１）（２β＋１）・・・（２γ＋１）＋１｝/２

　したがって、　φ（１/ｎ）＝（ｎ²の約数の個数＋１）/２　であることが分かる。


例　ｎ＝４のとき、　ｎ²＝２⁴の約数の個数は、５個なので、φ（１/４）＝（５＋１）/２＝３

　実際に、１/４＝１/ｘ＋１/ｙ　において、（ｘ−４）（ｙ−４）＝１６　（ｘ≦ｙ） を満たす自然数解は、

（ｘ−４，ｙ−４）＝（１，１６）、（２，８）、（４，４）　即ち、　（ｘ，ｙ）＝（５，２０）、（６，１２）、（８，８）

の３個あり、　１/４＝１/５＋１/２０＝１/６＋１/１２＝１/８＋１/８　と分解される


例　ｎが素数のとき、ｎ²の約数の個数は、３個なので、φ（１/ｎ）＝２　となる。

　次に、ｍ＝２　のとき、必然的に、ｎは奇数となる。このとき、

　２/ｎ＝１/ｘ＋１/ｙ　は、（２ｘ−ｎ）（２ｙ−ｎ）＝ｎ²　と式変形され、その構造は、ｍ＝１の場合
と同様である。すなわち、

　　　　　φ（２/ｎ）＝φ（１/ｎ）

が成り立つ。


例　１/４＝１/５＋１/２０＝１/６＋１/１２＝１/８＋１/８　において、両辺を２倍すれば、

　１/２＝２/５＋１/１０＝１/３＋１/６＝１/４＋１/４

　ここで、２/５は単位分数ではないので不適となり、　１/２＝１/３＋１/６＝１/４＋１/４

即ち、確かに、φ（１/２）＝２　となっている。

　一般のｍについても同様の議論が可能である。

　ｍ/ｎ＝１/ｘ＋１/ｙ　は、（ｍｘ−ｎ）（ｍｙ−ｎ）＝ｎ²　と式変形され、ｘ≦ｙ を満たす自然数解

を求めればよい。

　特に、ｎが素数のとき、　（ｍｘ−ｎ，ｍｙ−ｎ）＝（１，ｎ²）、（ｎ，ｎ）　即ち、

　　　（ｘ，ｙ）＝（（ｎ＋１）/ｍ，（ｎ＋ｎ²）/ｍ）、（２ｎ/ｍ，２ｎ/ｍ）


例　ｍ＝３、ｎ＝５　のとき、　（ｘ，ｙ）＝（２，１０）　で、　３/５＝１/２＋１/１０　と分解される。

　　すなわち、　φ（３/５）＝１


例　ｍ＝５、ｎ＝６　のとき、　（５ｘ−６）（５ｙ−６）＝３６　の自然数解は、

　（５ｘ−６，５ｙ−６）＝（１，３６）、（２，１８）、（３，１２）、（４，９）、（６，６）　を解いて、

　　　（ｘ，ｙ）＝（２，３）　のみ。

　したがって、　５/６＝１/２＋１/３　と一意に分解される。

　単位分数として、「１/２」、「１/３」は最大の２つであるので、上記から、２つの単位分数の
和で表される真分数の最大のものが、「５/６」であることが分かる。


（追記）　令和元年９月２４日付け

　「単位分数の和」の問題は、次の問題として考えれば馴染みやすい。

　２個のケーキを５人に分ける。どのように分ければよいか。


　一人分の取り分は、「２/５」で、これを単位分数の和で表すと、２/５＝１/３＋１/１５

　この式は、次のように解釈できる。

　２個それぞれを３等分すると、６個の小片が出来るので、そのうちの５個をそれぞれ５人に
分ける。（→　一人分は、１/３）

　余った１個の小片を５等分して、それぞれ５人に分ける。（→　一人分は、１/１５）

　すなわち、　２/５＝１/３＋１/１５　である。

　同様にして、　３/５＝１/２＋１/１０　、４/５＝１/２＋１/４＋１/２０　などもケーキの分割を
考えれば分かりやすいかな？


（追記）　令和２年１月２０日付け

　単位分数の作り方を復習してみた。

　４/５−１/２＝８/１０−５/１０＝３/１０

　３/１０−１/３＝９/３０−１０/３０＝−１/３０＜０　なので、パス

　３/１０−１/４＝６/２０−５/２０＝１/２０

　よって、　４/５＝１/２＋１/４＋１/２０


（コメント）　最大の単位分数をどんどん引いていけばいいのですね！

　また、次のような方法も捨てがたい。

例　　２/３５を単位分数に分解せよ。

（解）　２＝１２/６＝７/６＋５/６　より、　２/３５＝１/３０＋１/４２　　（終）


（別解）　単位分数の和に分解するプログラムによれば、

　２/３５＝０．０５７・・・　なので、０．０５＝１/２０　より、

　２/３５−１/２０＝８/１４０−７/１４０＝１/１４０

　よって、　２/３５＝１/２０＋１/１４０　　（終）


（追記）　令和３年６月３０日付け

　分数を単位分数の和に表すことを単位分数分解という。リンドパピルス（エジプト）によれ
ば、分数は単位分数のみであったという。

　単位分数分解においては、

・分母はできるだけ小さい数で互いに異なる
・少ない項数に分解することが好まれ、特に、分母は偶数が望ましい

とされた。

例　５/７の単位分数分解を求めよ。

　５＝（１/２）×１０　→　１/２を７個、３個に分ける

　１/２＝１/６×３　より、１/２×３＝１/６×９　→　１/６を７個、２個に分ける

　１/６×２＝１/３＝１/２１×７　→　１/２１を７個に分ける

　以上から、５/７＝１/２＋１/６＋１/２１


　読者のために、練習問題を残しておこう。

練習問題　　次の分数を単位分数分解せよ。

　　７/８　　　８/９　　　９/１０


（解）　７/８＝１/２＋１/４＋１/８　、８/９＝１/２＋１/３＋１/１８　、

　９/１０＝１/２＋１/３＋１/１５　　（終）


　最も大切な単位分数分解は、１/３＋１/６＝１/２　・・・　(*)　より、１/２＋１/３＋１/６＝１

　１/３＋１/６＋１/６＝１/２＋１/６　より、　１/２＋１/６＝２/３

　これは、２＝１/２＋３/２　より、　２/３＝１/６＋１/２　からも導かれる。

　(*)×１/３　より、　１/９＋１/１８＝１/６

　(*)×１/４　より、　１/１２＋１/２４＝１/８

　(*)×１/５　より、　１/１５＋１/３０＝１/１０

　(*)×１/６　より、　１/１８＋１/３６＝１/１２


（追記）　令和３年９月３０日付け

　上記の　７/８＝１/２＋１/４＋１/８　という計算は無味乾燥であるが、次のように解釈する
と、親近感が湧いてくる。

　大きさの同じりんご７個を８人の子供に平等に分けなければならない。切る回数を
できるだけ少なくするにはどうすればよいか？


　上記の方法と同様にして、

　一人分の取り分は、「７/８」で、これを単位分数の和で表すと、７/８＝１/２＋１/４＋１/８

　この式は、次のように解釈できる。

　７個それぞれを２等分すると、１４個の小片が出来るので、そのうちの８個をそれぞれ８人
に分ける。（→　一人分は、１/２）

　余った６個の小片を２等分すると、１２個の小片が出来るので、そのうちの８個をそれぞれ
８人に分ける。（→　一人分は、１/４）

　余った４個の小片を２等分して、それぞれ８人に分ける。（→　一人分は、１/８）

　すなわち、　７/８＝１/２＋１/４＋１/８　である。


（追記）　「無理数での単位分数和」と題して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さ
　　　　　んからご投稿いただきました。（令和３年６月３０日付け）

　有理数を単位分数（エジプト分数）で表す話題が上記のように出ていたので、無理数ならど
うなるか考えてみる。

　ネイピアの定数eは、

　　e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+･･･=1/1+1/1+1/2+1/6+1/24+1/120+･･･

で表される。そこで、次は、円周率πは果たして小数点以下20位まで一致させるためには、
どんな単位分数の和となるか？

　また、を小数点以下10位まで一致させるには？


（コメント）　＝1.73205080756888・・・　に対して、

−１−１/２−１/５−１/３２−１/１２４９−１/５９８９２８０＝０．００００００００００９１４・・・

なので、を小数点以下10位まで一致させる分数として、

　＝１＋１/２＋１/５＋１/３２＋１/１２４９＋１/５９８９２８０

が見つかりました。


　Dengan kesaktian Indukmuさんからのコメントです。（令和３年７月３日付け）

　色々と考えられるところではありますけれども、例題として、ネイピアの数を引き合いに出さ
れている点を鑑みまして、これがヒントとなっているのかもと…… 探しました。

　OEIS の 「A270520」あたりを使うのが面白いのでしょうか。収束が速い気持ちを込めて？

- 1 = 1/(1!*2) + 1/(2!*3) + 1/(3!*3) + 1/(4!*5) + 1/(5!*6)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ 1/(6!*14)  + 1/(7!*28) + 1/(8!*352) +・・・

左辺が、 - 1 と 1 を減じている点が多少なりとも気になる向きには、OEIS の「A130738」
で補正をかけられます。1 を エジプト分数で（以下略）。

　「A270520」では 単位分数の分母は偶数で、「A130738」では奇数になっております。
（he found them by applying EgyptOddGreedy[2/3,5] としています）

　ですので、分母がぶつかることはないものと思われます。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年７月５日付け）

　「１」を単位分数の和で構成することを考えると、

　　１＝１/a₁＋１/a₂＋・・・＋１/a_k

但し、1＜a₁＜a₂＜･･･＜a_k を満たす自然数[a₁,a₂,･･･,a_k]であるものとする。

　k=3　=>　1=1/2+1/3+1/6  即ち [2,3,6]

　k=4　=>　1=1/2+1/3+1/10+1/15=1/2+1/4+1/5+1/20=1/2+1/4+1/6+1/12=etc

などいろいろ構成できるが、a₁＋a₂＋･･･＋a_k の数値を最も小さくするのは、これらの中で、

　1/2+1/4+1/6+1/12  [2,4,6,12]　での和24である。

　同じく、その和を最小にするものに着目していくと、

　k=5　=>　1=1/3+1/4+1/5+1/6+1/20  で、[3,4,5,6,20]の38

　k=6　=>　1=1/3+1/4+1/6+1/10+1/12+1/15　で、[3,4,6,10,12,15]の50

そこで、k=7、8、9、10 での自然数[a₁,a₂,･･･,a_k]をそれぞれ探してほしい。また、これは、任
意のkですぐに構成可能になるのか？


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年７月５日付け）

　以下を見まして、見通しの良い構成方法を見つけることは難しいのではないかと感じました。

　k=11　=>　[6,7,8,9,10,12,14,15,18,24,28]
　k=12　=>　[6,7,9,10,11,12,14,15,18,22,28,33]
　k=13　=>　[7,8,9,10,11,12,14,15,18,22,24,28,33]


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年７月６日付け）

　私も、

　k=14　=>　[7,8,9,10,11,14,15,18,20,22,24,28,30,33]
　k=15　=>　[7,8,10,11,12,14,15,18,20,22,24,28,30,33,36]

までは出してみましたが、これから次を求める規則性を見つけられない様に思える。

　なお、この和を最小にするパターンでの和の数列が「A213062」に載せられているようだ。
（ここに載せられている数列を求めるプログラムが半端ではない。）


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年７月７日付け）

　「A213062」の各項（分母の和）に対応する 各分母が、

　「A216975」の中段に記載の「ＬＩＮＫＳ」のうちの　Robert Price, Rows n = 1..24, flattened

に載っているのを見つけました。k=24 まで… どれだけ計算機を回したのでしょうか。