=1/2[x+(1/2)sin(2*x)]0π/2
=π/4
では、 J=∫0π/2 1/(1+tan3(x))dx は？
K=∫0π/2 1/(1+tan(x)^(1/2))dx は？
DD++さんからのコメントです。（令和元年７月１１日付け）
昔ここでやった問題の記事を探してウロウロしていたら、解答未記載で解けそうな問題を
発見したので解答しておきます。
（解） I[k] = ∫[0,π/2] 1/(1+tan^k(x)) dx とおき、x=π/2-t で置換すると、
I[k] = ∫[π/2,0] 1/(1+tan^k(π/2-t)) (-1)dt
= ∫[0,π/2] 1/(1+1/tan^k(t)) dt
= ∫[0,π/2] tan^k(t)/(1+tan^k(t)) dt
t を x に書き換えて最初の式と足し合わせると、
2*I[k] = ∫[0,π/2] (1+tan^k(x))/(1+tan^k(x)) dx = ∫[0,π/2] dx = π/2
すなわち、tanのところが２乗でも３乗でも1/2乗でも、積分の値はすべてπ/4 （終）
#いやー、こんな面白い結果になる問題が解かれずにほったらかしになっていただなんて。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和元年７月１１日付け）
次の定積分 Ｉ＝∫[0,∞]1/((1+x^2)*(1+x^2019)) dx を計算せよ。
らすかるさんからのコメントです。（令和元年７月１１日付け）
x=tant とおくと、上の問題と同じですよね。
DD++さんからのコメントです。（令和元年７月１１日付け）
置換するまでもなく、「MIT Integration Bee」のページの積分と同じですね。というより、この
ページを見た後だったので、x→π/2-t をすぐ思いついたのです。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和元年７月１１日付け）
「MIT Integration Bee」より、
n：整数とするとき、∫[1,2](n*x^(n+1)-1)/(x+x^(n+2))dx は？
DD++さんからのコメントです。（令和元年７月１３日付け）
係数が違ったら面倒でしたが、この係数なら、ただの対数型ですね。
∫[1,2](n*x^(n+1)-1)/(x+x^(n+2))dx
= ∫[1,2](n*x^(n-1)-1/x^2)/(x^n+1/x)dx
= [log(x^n+1/x)][1,2]
= log(2^n+1/2)-log2
= log(2^(n-1)+1/4)
よおすけさんからのコメントです。（令和元年７月１２日付け）
私の備忘録-その他-裏技の記録-置換積分 も合わせてどうぞ。
