うものがあります。積分計算の難問を学生たちが次々に解き，その出来を争います。
YouTubeで、2015年のコンテストの様子を映した動画を見ていると、いくつか分からない問
題がありました。そこで，皆さんのお力をお借りできないかと思った次第です。
(1) ∫[0,π/4] {(1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^10+…)/((cosx)^2+(cosx)^4+(cosx)^6+…)} dx
(2) ∫[0,∞] {(1+x^2015)(1+x^2)}^(-1) dx
動画によれば、(1)の値は1/3、(2)の値はπ/4になるそうですが...。解法をご教示頂けると
幸いです。
なお、コンテストの問題一覧はここで見られます。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年９月２７日付け）
私が何か勘違いしているのかも知れませんが、(1)は1/3にはならない気がします。
1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^10+… = 1/(1+x^2)
(cosx)^2+(cosx)^4+(cosx)^6+… = 1/(tanx)^2
なので、 (与式)=∫[0,π/4](tanx)^2/(1+x^2)dx となると思いますが、これをWolflamAlphaで
計算すると、0.1565… という値になります。
また、別の方法で確認してみると、0≦x≦π/4の範囲で、
1-x^2+x^4-x^6+x^8-…
≦1-x^2+x^4-x^6+x^8 （等号はx=0のとき）
＜1-x^2/2 （この不等号はグラフソフトで目視確認）
1/{(cosx)^2+(cosx)^4+(cosx)^6+…}
＜1/{(cosx)^2+(cosx)^4+(cosx)^6+…+(cosx)^12}
＜2x^3+1/5 （この不等号はグラフソフトで目視確認）
なので、 (与式)＜∫[0,π/4](1-x^2/2)(2x^3+1/5)dx となり、この値をWolframAlphaで確認
すると、0.292… という値になり、大きめにとってもやはり1/3より小さくなります。
間違いがありましたら御指摘下さい。
ｙ さんからのコメントです。（平成２９年９月２７日付け）
動画では大体1:34:30〜1:39:00がその問題のパートです。参加者も一様に解答に窮してお
り、誰も値を導出できなかったようです。
実は、私も同じく、その値を数値計算で求めました。MITの院生が言うことですから、「何か
裏があるのでは...？」と思い質問させて頂きました。やはり、らすかるさんの不等式による評
価は疑いようもないように感じられます。
仮に答えにミスがあったとして、この問題は成立している（解析的に解くことができる）のか
知りたいですね...
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２９年９月２８日付け）
積分し、0.15650369093262583655304596251758836608469514950741165769 をゲット。
DD++さんからのコメントです。（平成２９年９月２８日付け）
(2)の方は、さほど難しくはないですね。2015 乗には意味はなく、ならば計算途中で消える
のだろう、とメタな読みをすればですが。
∫[0,∞] 1/(1+x^2015)*1/(1+x^2) dx
= ∫[0,1] 1/(1+x^2015)*1/(1+x^2) dx + ∫[1,∞] 1/(1+x^2015)*1/(1+x^2) dx
= ∫[0,1] 1/(1+t^2015)*1/(1+t^2) dt + ∫[1,0] 1/(1+(1/t)^2015)*1/(1+(1/t)^2)*(-1/t^2)dt
= ∫[0,1] 1/(1+t^2015)*1/(1+t^2) dt + ∫[0,1] t^2015/(1+t^2015)*1/(1+t^2) dt
= ∫[0,1] 1/(1+t^2) dt
= π/4
(1) は何か出題ミスだろうと思いますが、どう間違えたのだろう……。
ｙさんからのコメントです。（平成２９年９月２９日付け）
なるほど！(2)は上手く1/(1+x^2)の形を捻り出せないかと思案していたのですが、こうやれ
ば良かったんですね。ご教示頂きありがとうございます。
(1)は分子が(arctan(x))^2なら積分できて、1/3も係数としてなら出てくるので（積分値はそ
うなりませんが）、何らかの勘違いがあったんでしょうかね...?
