「４つの４」という問題は、「Four 4s」と呼ばれ、有名な問題である。
４つの「４」とありとあらゆる数学の記号（四則演算、小数点、べき乗、平方根、階乗、２重
階乗、ガウスの記号、ガンマ関数、％、・・・）を用い、かつ、数字を並べることも許容して、０
以上の数を作るというパズルである。
例 ２重階乗 ・・・ （ｎから一つおきの数の積）
（例） ４
ガウスの記号 ・・・ ｎ≦Ｘ＜ｎ＋１ ⇔ ［Ｘ］＝ｎ （例） ［
］＝１ガンマ関数 ・・・ Γ(ｎ＋１)＝ｎ！ （例） Γ（４）＝３！＝６
％ ・・・ （例） ４％＝０．０４
ここでは、４つの「３」で、０以上の数を作るというパズルに挑戦してみよう。自分自身の頭
の体操ということで．．．。
０〜１０までは、小学生レベルで容易だろう。 １１以上は少し考えるかな？
０＝３÷３−３÷３＝３３−３３
１＝３÷３＋３−３＝３３÷３３＝３÷．３−３×３
２＝３÷３＋３÷３
３＝（３＋３＋３）÷３
４＝（３×３＋３）÷３
５＝３＋（３＋３）÷３
６＝３＋３＋３−３
７＝３＋３＋３÷３
８＝３×３−３÷３
９＝３×３＋３−３
１０＝３×３＋３÷３＝（３３−３）÷３
１１＝３３÷√（３×３）
１２＝３＋３＋３＋３＝（３３＋３）÷３＝（３＋３÷３）×３＝（３＋３）×３！÷３
１３＝３！×３−（３＋Γ（３））
１４＝３３÷３＋３
１５＝３！＋３＋３＋３＝（３＋３）×３−３＝３×３＋３＋３
１６＝３÷．３＋３＋３
１７＝３！×３−３÷３
１８＝３！×３＋３−３＝（３×３−３）×３＝３×３＋３×３
１９＝３！×３＋３÷３＝３÷．３＋３×３
２０＝３÷．３＋３÷．３
２１＝３＋（３＋３）×３
２２＝（３＋３）÷．３＋Γ（３）
２３＝３！×３＋（３＋Γ（３））＝（３＋３）÷．３＋３
２４＝３３−３×３＝３３−３−３！＝３×３×３−３＝Γ（３）×Γ（３）×Γ（３）×３
２５＝３×３×３−Γ（３）
２６＝３^3−３÷３
２７＝３３−３−３＝３３−３×Γ（３）
２８＝３^3＋３÷３
２９＝３×３×３＋Γ（３）＝３３−Γ（３）×Γ（３）
３０＝３×３×３＋３
３１＝３^3＋Γ（３）×Γ（３）
３２＝３３−３÷３＝３！×３！−Γ（３）−Γ（３）
３３＝３３＋３−３＝３３÷３×３
３４＝３３＋３÷３
３５＝（３！）!!!×Γ（３）−３÷３
３６＝Γ（３）×Γ（３）×３×３＝３！×３！＋Γ（３）−Γ（３）
３７＝３３＋Γ（３）×Γ（３）
３８＝３！×３！＋√（Γ（３））×√（Γ（３））
３９＝３３＋３＋３＝３３＋３×Γ（３）
４０＝３！×３！＋Γ（３）＋Γ（３）
４１＝３３＋Γ（３）^3＝３３＋（３！）!!÷３！＝Γ（３！）÷３＋３÷３
４２＝３３＋３×３＝３３＋３^Γ（３）
４３＝Γ（３！）÷３＋√３×√３
４４＝Γ（３！）÷３＋Γ（３）×Γ（３）
４５＝３３＋３！＋３！＝３^3＋３！×３＝Γ（３！）÷３＋３＋Γ（３）＝Γ（３！）÷３＋３＋Γ（３）
４６＝（３！）!!−（３＋３）÷３＝Γ（３！）÷３＋３×Γ（３）
４７＝（３！）!!−√３×√３÷３
４８＝（３！）!!＋（３−３）×３
４９＝（３！）!!＋√３×√３÷３＝３３＋（３！）!!÷３＝Γ（３！）÷３＋３×３
５０＝（３！）!!＋（３＋３）×３＝Γ（３！）÷３＋√（Γ（３）×Γ（３））
・・・・・・・・・・・・・・・
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年８月３１日付け）
らすかるさんが「２つの４」で１１を作ったテクニックを利用しますと、「４つの３」 で、任意の
有理数を作れるような気がいたします……。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年９月２日付け）
「４つの３」ならずとも、「２つの３」で、任意の有理数が作れるような気がいたします。
一例をあげます。 22/7 を「２つの３」で作ってみました。
(((3!)!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)/(((3!)!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)
=(48!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)/(48!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!) （←４８の２６重階乗/４８の４１乗階乗）
=(48*22)/(48*7)
=22/7
らすかるさんによる手法はとても強力であると思います。
（コメント） なるほど！任意の数が作れそうですね。
以下、工事中！
