・百人一首を揃える                        ks 氏

 京都のお菓子詰め合わせで、十袋で百人一首の歌がついている雅なものがありました。
ふと、何回買えば、百人一首全て集められるか気になりました。ただし、十の中で二つくらい
重なりがありました。

 揃えるために、買う期待値が知りたいです。


 らすかるさんからのコメントです。(令和4年1月18日付け)

 1つ揃うのに必要な回数の期待値は、1

その後、2つ目が揃うまでの回数の期待値は、100/99

その後、3つ目が揃うまでの回数の期待値は、100/98

 ・・・・・・・・・・・・

その後、100個目が揃うまでの回数の期待値は、100/1

ということで、100個揃うまでの回数の期待値は、Σ[k=1〜100]100/k≒519(回) です。

 10個単位で買うなら、52回。

 ちなみに、100個中90個が揃うまでの回数の期待値は、約226回です。残りの10個を集め
るのに、約300個買う必要があるということですね。


(コメント) ks さんのと同趣旨の問題が、当HPサイトでも何回か取り上げられました。

 ・私の備忘録の「個数定理(クーポン収集問題)」
 ・パズル&クイズの「景品付きバレンタインチョコ」
 ・投稿一覧の「景品」

 らすかるさんの解答の中で、「(k+1)つ目が揃うまでの回数の期待値は、100/(100−k)」
について、確認してみました。

 菓子詰め合わせを買い続けて、n−1個まででk首(0≦k≦99)の百人一首の歌が揃った
とする。

 n個目に新しい歌が揃う確率は、 (k/100)n-1(1−k/100) である。

 よって、k+1首目の歌が揃うまで買い続ける菓子詰め合わせの個数の期待値は、

  E=Σn=1〜∞ n・(k/100)n-1(1−k/100)

 ここで、部分和S=Σm=1〜n m・(k/100)m-1 について、

  (1−k/100)S=Σm=1〜n (k/100)m-1−n・(k/100)

 n→∞ のとき、 E=1/(1−k/100)=100/(100−k) となる。


 ks さんからのコメントです。(令和4年1月29日付け)

 誕生日の重なる確率が意外と多い。23人だと0.5を超える。因みに、百人一首の10袋
中、4つも重なっていました。適当に選んだ時、期待値が、どうなっているか知りたいです。

 4つ重なるというのは、期待値が多いほうでしょうか?


 らすかるさんからのコメントです。(令和4年1月29日付け)

 私は文章読解力があまりありませんので、「百人一首の10袋中、4つも重なっていました」
この文が理解できないのですが、どういう意味ですか?

# 私の解釈では「200枚入の百人一首の袋が10個あって、そのうち4袋を積み重ねたら重なっ
 ていた」???


 ks さんからのコメントです。(令和4年1月29日付け)

 らすかるさん、大変失礼いたしました。説明が不十分でした。

 「一つの商品の中に、10袋に小分けされたお菓子があり、その1袋ごとに1首の歌が入っ
ています。ところが、10袋中4つが同じ歌でした。ですから、(7の間違い?)つの異なる歌
があったことになります。」

 その4つは全て異なっていました。重複が3つ同じ可能性もあるかもです。他の商品はわか
りませんので。100首の中から、10選ぶのは、重複の可能性はあると思うのですが。

 先回の式の意味は検討中です。製造元の視点で、重なりが出たり、出なかったり。見当が
つきませんでした。想像でしかないですが、サンプルは、多くあり、同程度あるとして、適当に
選んで入れたとしての仮定です。

 サンプル数によって変わりますか。誕生日の場合の例で考えると、一人では、同じにならな
い。二人だと、1-365/365×364/365 後が続きません。大丈夫でしょうか?


 らすかるさんからのコメントです。(令和4年1月29日付け)

 100個から重複を許して任意に10個選んだときに、4個以上の重複がある確率は、約0.02%
(約1/4997)です。


 ks さんからのコメントです。(令和4年2月5日付け)

 やはり、言葉よりも数で表現したほうが明確と思いました。

 百から十選び、重複するのが、四つあるというのは、

(1,2,3,4,5,6,1,2、3,4)
(1,2,3,4,5,6,1,2、3,1)
(1,2,3,4,5,6,1,2、1,1)
(1,2,3,4,5,6,1,2、1,2)
(1,2,3,4,5,6,1,1、1,2)
(1,2,3,4,5,6,1,1、1,1)

 4つの重複が全て異なるという紛らわしいのは最初のケースのことです。悪しからず。


 ks さんからのコメントです。(令和4年2月7日付け)

 誕生日が重なるという問題のようにすると、分母が100^10になるようですが、どのような確
率で、四つ以上が重なるという結果が生まれたかが知りたいです。


 らすかるさんからのコメントです。(令和4年2月7日付け)

 分母は100^10なので、分子のパターン数を数えればいいですね。

 「4つ以上重なる」の余事象:「重なるのは最大3つまで」を場合分けして計算します。

(3,3,3,1):100P4×10C3×7C3×4C3÷6
(3,3,2,2):100P4×10C3×7C3×4C2÷4
(3,3,2,1,1):100P5×10C3×7C3×4C2÷2
(3,3,1,1,1,1):100P6×10C3×7C3÷2
(3,2,2,2,1):100P5×10C3×7C2×5C2×3C2÷6
(3,2,2,1,1,1):100P6×10C3×7C2×5C2÷2
(3,2,1,1,1,1,1):100P7×10C3×7C2
(3,1,1,1,1,1,1,1):100P8×10C3
(2,2,2,2,2):100P5×10C2×8C2×6C2×4C2÷120
(2,2,2,2,1,1):100P6×10C2×8C2×6C2×4C2÷24
(2,2,2,1,1,1,1):100P7×10C2×8C2×6C2÷6
(2,2,1,1,1,1,1,1):100P8×10C2×8C2÷2
(2,1,1,1,1,1,1,1,1):100P9×10C2
(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1):100P10

 これらを全部合計すると、99979987389406740000 なので、求める確率は、

  1-99979987389406740000/100^10=0.0002001261…

となります。

# 実際は「4つ以上重なる」の方も場合分けして計算し、合計が100^10になることを確認して
 います。「4つ以上重なる」の場合分けは上記の倍ですので、「3つ以下」の方を書きました。


 ks さんからのコメントです。(令和4年2月7日付け)

 らすかるさん、早速のお返事ありがとうございます。最初、分母、全事象がわからなくて、
後から、誕生日の重なる確率と同じ考えで、どの日も、同じ確率という前提。実際、調査し
たことがあり、大体どの月も同じくらいの人数になりました。動物と違い、発情期がないこ
とが、後から分かり納得しました。

 今回、勘違いがありました。重なりが6以上はないと思い込んでいました。後、確率の取り
方が、他にあるのかなと思いました。言葉足らずで、書き込みミスでご迷惑おかけしました。
お詫びします。


 ks さんからのコメントです。(令和4年2月10日付け)

 「10袋中4つが同じ」というのが、良くなかったみたいです。国語が本当に苦手で、訂正し
ます。

 「10袋中4つが、残りの6つのどれかに同じ(重複)です」

 但し、4つが一致して、6つのどれかに同じではない。重なりが5つになりますので。

 (1,2,3,4,5,6,1,2,3,4)
 (1,2,3,4,5,6,1,1、1、1)は除く意味です。

 したがって、6種類の異なるものがあり、4種類が重複している。大丈夫かな?


 らすかるさんからのコメントです。(令和4年2月10日付け)

 したがって、6種類の異なるものがあり、4種類が重複している。

 もし、(a,a,b,b,c,c,d,d,e,f) (a,b,c,d,e,fはすべて異なる)という意味でしたら、私が前に書いた
回答の

  (2,2,2,2,1,1):100P6×10C2×8C2×6C2×4C2÷24

という行にあたりますので、確率は、

(100P6×10C2×8C2×6C2×4C2÷24)/100^10

=5069202831/125000000000000=0.000040553622648(約0.004%)

となります。



  以下、工事中!


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