ふと、何回買えば、百人一首全て集められるか気になりました。ただし、十の中で二つくらい
重なりがありました。
揃えるために、買う期待値が知りたいです。
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１月１８日付け）
１つ揃うのに必要な回数の期待値は、1
その後、２つ目が揃うまでの回数の期待値は、100/99
その後、３つ目が揃うまでの回数の期待値は、100/98
・・・・・・・・・・・・
その後、100個目が揃うまでの回数の期待値は、100/1
ということで、100個揃うまでの回数の期待値は、Σ[k=1〜100]100/k≒519（回） です。
10個単位で買うなら、52回。
ちなみに、100個中90個が揃うまでの回数の期待値は、約226回です。残りの10個を集め
るのに、約300個買う必要があるということですね。
（コメント） ｋｓ さんのと同趣旨の問題が、当ＨＰサイトでも何回か取り上げられました。
・私の備忘録の「個数定理（クーポン収集問題）」
・パズル＆クイズの「景品付きバレンタインチョコ」
・投稿一覧の「景品」
らすかるさんの解答の中で、「（ｋ＋１）つ目が揃うまでの回数の期待値は、100/(100−ｋ)」
について、確認してみました。
菓子詰め合わせを買い続けて、ｎ−１個まででｋ首（０≦ｋ≦９９）の百人一首の歌が揃った
とする。
ｎ個目に新しい歌が揃う確率は、 （ｋ/１００）ｎ-1（１−ｋ/１００） である。
よって、ｋ＋１首目の歌が揃うまで買い続ける菓子詰め合わせの個数の期待値は、
Ｅ＝Σｎ=1〜∞ ｎ・（ｋ/１００）ｎ-1（１−ｋ/１００）
ここで、部分和Ｓｎ＝Σｍ=1〜ｎ ｍ・（ｋ/１００）ｍ-1 について、
（１−ｋ/１００）Ｓｎ＝Σｍ=1〜ｎ （ｋ/１００）ｍ-1−ｎ・（ｋ/１００）ｎ
ｎ→∞ のとき、 Ｅ＝１/（１−ｋ/１００）＝１００/（１００−ｋ） となる。
ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年１月２９日付け）
誕生日の重なる確率が意外と多い。２３人だと０．５を超える。因みに、百人一首の１０袋
中、４つも重なっていました。適当に選んだ時、期待値が、どうなっているか知りたいです。
４つ重なるというのは、期待値が多いほうでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１月２９日付け）
私は文章読解力があまりありませんので、「百人一首の１０袋中、４つも重なっていました」
この文が理解できないのですが、どういう意味ですか？
# 私の解釈では「200枚入の百人一首の袋が10個あって、そのうち4袋を積み重ねたら重なっ
ていた」？？？
ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年１月２９日付け）
らすかるさん、大変失礼いたしました。説明が不十分でした。
「一つの商品の中に、10袋に小分けされたお菓子があり、その１袋ごとに１首の歌が入っ
ています。ところが、10袋中４つが同じ歌でした。ですから、６（７の間違い？）つの異なる歌
があったことになります。」
その４つは全て異なっていました。重複が３つ同じ可能性もあるかもです。他の商品はわか
りませんので。１00首の中から、１0選ぶのは、重複の可能性はあると思うのですが。
先回の式の意味は検討中です。製造元の視点で、重なりが出たり、出なかったり。見当が
つきませんでした。想像でしかないですが、サンプルは、多くあり、同程度あるとして、適当に
選んで入れたとしての仮定です。
サンプル数によって変わりますか。誕生日の場合の例で考えると、一人では、同じにならな
い。二人だと、1-365/365×364/365 後が続きません。大丈夫でしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１月２９日付け）
100個から重複を許して任意に10個選んだときに、4個以上の重複がある確率は、約0.02%
(約1/4997)です。
ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年２月５日付け）
やはり、言葉よりも数で表現したほうが明確と思いました。
百から十選び、重複するのが、四つあるというのは、
（１，２，３，４，５，６，１，２、３，４）
（１，２，３，４，５，６，１，２、３，１）
（１，２，３，４，５，６，１，２、１，１）
（１，２，３，４，５，６，１，２、１，２）
（１，２，３，４，５，６，１，１、１，２）
（１，２，３，４，５，６，１，１、１，１）
４つの重複が全て異なるという紛らわしいのは最初のケースのことです。悪しからず。
ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年２月７日付け）
誕生日が重なるという問題のようにすると、分母が100^10になるようですが、どのような確
率で、四つ以上が重なるという結果が生まれたかが知りたいです。
らすかるさんからのコメントです。（令和４年２月７日付け）
分母は100^10なので、分子のパターン数を数えればいいですね。
「4つ以上重なる」の余事象：「重なるのは最大3つまで」を場合分けして計算します。
(3,3,3,1)：100P4×10C3×7C3×4C3÷6
(3,3,2,2)：100P4×10C3×7C3×4C2÷4
(3,3,2,1,1)：100P5×10C3×7C3×4C2÷2
(3,3,1,1,1,1)：100P6×10C3×7C3÷2
(3,2,2,2,1)：100P5×10C3×7C2×5C2×3C2÷6
(3,2,2,1,1,1)：100P6×10C3×7C2×5C2÷2
(3,2,1,1,1,1,1)：100P7×10C3×7C2
(3,1,1,1,1,1,1,1)：100P8×10C3
(2,2,2,2,2)：100P5×10C2×8C2×6C2×4C2÷120
(2,2,2,2,1,1)：100P6×10C2×8C2×6C2×4C2÷24
(2,2,2,1,1,1,1)：100P7×10C2×8C2×6C2÷6
(2,2,1,1,1,1,1,1)：100P8×10C2×8C2÷2
(2,1,1,1,1,1,1,1,1)：100P9×10C2
(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)：100P10
これらを全部合計すると、99979987389406740000 なので、求める確率は、
1-99979987389406740000/100^10=0.0002001261…
となります。
# 実際は「4つ以上重なる」の方も場合分けして計算し、合計が100^10になることを確認して
います。「4つ以上重なる」の場合分けは上記の倍ですので、「3つ以下」の方を書きました。
ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年２月７日付け）
らすかるさん、早速のお返事ありがとうございます。最初、分母、全事象がわからなくて、
後から、誕生日の重なる確率と同じ考えで、どの日も、同じ確率という前提。実際、調査し
たことがあり、大体どの月も同じくらいの人数になりました。動物と違い、発情期がないこ
とが、後から分かり納得しました。
今回、勘違いがありました。重なりが６以上はないと思い込んでいました。後、確率の取り
方が、他にあるのかなと思いました。言葉足らずで、書き込みミスでご迷惑おかけしました。
お詫びします。
ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年２月１０日付け）
「１０袋中４つが同じ」というのが、良くなかったみたいです。国語が本当に苦手で、訂正し
ます。
「１０袋中４つが、残りの６つのどれかに同じ（重複）です」
但し、４つが一致して、６つのどれかに同じではない。重なりが５つになりますので。
(１，２，３，４，５，６，１，２，３，４)
(１，２，３，４，５，６，１，１、１、１)は除く意味です。
したがって、６種類の異なるものがあり、４種類が重複している。大丈夫かな？
らすかるさんからのコメントです。（令和４年２月１０日付け）
したがって、６種類の異なるものがあり、４種類が重複している。
もし、(a,a,b,b,c,c,d,d,e,f) （a,b,c,d,e,fはすべて異なる）という意味でしたら、私が前に書いた
回答の
(2,2,2,2,1,1)：100P6×10C2×8C2×6C2×4C2÷24
という行にあたりますので、確率は、
(100P6×10C2×8C2×6C2×4C2÷24)/100^10
=5069202831/125000000000000=0.000040553622648（約0.004%）
となります。
以下、工事中！
