周の長さ一定な図形 
平成１８年６月２７日、当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に加俊さんが問題を提起された。
学校帰りに友人と話していて、次のことが話題になったという。
周の長さが一定な図形で最大面積を持つのは円というのは有名である。じゃあ、その逆
は？ということで次の疑問が生まれた。
「同体積の立体で、最も表面積が大きくなる図形は何か？」
そのときは、柔毛見たいな感じ？というあいまいな答えで終わってしったが、これでは納
得できなかったので、その後じっくり考えてみた。やはり柔毛の毛のように作ったシート状
の物を、また柔毛のように折り返し、再びシート状にする…を繰り返した図形という考えに
たどり着いた。なんかフラクタルのようにも感じるが、どうだろうか？
加俊さんがフラクタルのようだと感じられた感覚は正しいと思う。ただ、平面で下記のよ
うな例があるので、空間図形で最大の表面積があるとは考えにくい。
例 平面において、下図のような図形を考える。
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左図において、面積は１で一定である |
そう言えば、昔読んだ話の中に次のようなものがあった。
王様から、牛１等分の皮で覆われる土地を与えようというご褒美をもらった知恵者が、牛
の皮を細く長く切って、それで覆われる広大な土地を手に入れたという。王様の思惑と違い、
王様は大変困ったとのことである。
平成１８年６月３０日付けで、当ＨＰがいつもお世話になっている未菜実さんからアドバイス
を頂いた。未菜実さんに感謝します。
話題に直接関係するかどうかわかりませんが、
ガードナーの「スフィンクスの謎」 9.カルカッターのブラックホール
に体積が有限で表面積や長さが無限になる3次元図形の話が出ています。
（上記の書籍は現在入手不可能で図書館等で閲覧するしかないようだ！）
加俊さんに触発されて、周の長さが一定な図形について調べてみようと思い立った。
当ＨＰでは、「ラグランジュの乗数」において、「周の長さが ６ の三角形で面積が最大で
あるものを求める」という問題を考えた。
Ｌａｇｒａｎｇｅ の未定乗数法（大学１年の微分積分学のレベル）を用いると次のように鮮やか
に解かれる。
（問題設定）
３辺の長さ ｘ ， ｙ ， ｚ の三角形において、 ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ ＝６ のとき、その三角形の面
積の平方は、ヘロンの公式より、 ３(３－ ｘ )(３－ ｙ )(３－ ｚ ) で与えられる。
３(３－ ｘ )(３－ ｙ )(３－ ｚ ) が最大となるのは、どんな場合か？
（解） Ｇ（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ －６＝０ のとき、
Ｆ（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝３(３－ ｘ )(３－ ｙ )(３－ ｚ ) の極値を与える点（ａ ， ｂ ， ｃ ）は次の式
を満たす。
ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ －６＝０ 、－３(３－ ｙ )(３－ ｚ )＋λ＝０ 、－３(３－ｘ )(３－ ｚ )＋λ＝０
－３(３－ ｘ )(３－ ｙ )＋λ＝０
ｘ ≠ ３ 、ｙ ≠ ３ 、ｚ ≠ ３ としてよいので、上式から、 ｘ＝ ｙ ＝ ｚ ＝２ 、λ＝３ で
あることが容易に分かる。
幾何学的に考えて、ｘ ＝ ｙ ＝ ｚ ＝２ すなわち、正三角形のとき、面積は極大かつ最大
となる。 （終）
このことを一般化すれば、
周の長さが一定な三角形で面積が最大なものは、正三角形である
ことが分かる。
上記では、Ｌａｇｒａｎｇｅ の未定乗数法を用いたが、高校生レベルの証明も可能だ。
（別解） 三角形の３辺の長さを ｘ ， ｙ ， ｚ とし、 ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ
＝２Ｌ とすると、
その三角形の面積 Ｓ の平方は、ヘロンの公式より、
Ｓ2＝Ｌ（Ｌ－ｘ）（Ｌ－ｙ）（Ｌ－ｚ）＝Ｌ（Ｌ－ｘ）（Ｌ－ｙ）（ｘ＋ｙ－Ｌ）
ただし、 ０＜ｘ＜Ｌ 、０＜ｙ＜Ｌ 、ｘ＋ｙ＞Ｌ
で与えられる。
ここで、閉領域 ０≦ｘ≦Ｌ 、０≦ｙ≦Ｌ 、ｘ＋ｙ≧Ｌ において、Ｓ2 は、最大値を持つ。
相加平均と相乗平均の関係から、
したがって、 Ｌ－ｘ＝Ｌ－ｙ＝ｘ＋ｙ－Ｌ すなわち、 ｘ ＝ ｙ ＝ ｚ ＝ ２Ｌ/３ のとき、
面積 Ｓ は最大となる。 このとき、三角形は正三角形である。 （終）
（追記） 平成２７年１０月１０日付け
上記では、周の長さが一定な三角形で面積が最大となるものは正三角形であることを、
Ｌａｇｒａｎｇｅ の未定乗数法や相加・相乗の平均の不等式を用いて示したが、次のように考
えれば直感的にも明らかだろう。
三角形の１辺を固定すれば、面積が最大になるのは、二等辺三角形だから、どの辺から
見ても二等辺三角形となる三角形は、正三角形に限る。
このような解法は当ＨＰがいつもお世話になっている Ｕ さんには不評のようで、Ｌａｇｒａｎｇｅ
の未定乗数法を用いる方が発想が自然であると述べられている。
（当ＨＰ掲示板「出会いの泉」：平成１８年７月２日付け）
１９８４年度の数学オリンピックで、次のような問題が出題されたそうだ。
ｘ ， ｙ ， ｚ が、 ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ ＝ １ を満たす非負の実数であるとき、
０≦ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ－２ｘｙｚ≦７/２７
が成り立つことを示せ。
数学オリンピックは、高校程度の予備知識を想定しているので、この問題に、ラグランジュ
の乗数を適用するのは無理があるだろう。
Ｕ さんには「これは、ちょっとネ．．．。」という解法だが、私自身は次のような解法の鮮やかさ
に引かれる方だ。
* 平成２２年３月４日付けのＨＮ「きょゆに」さんのご指摘を受けて、以下の証明を一部手直ししました。
（証） 条件より、 ０≦ｘ≦１ 、０≦ｙ≦１ 、０≦ｚ≦１ なので、
－１≦１－２ｘ≦１ 、－１≦１－２ｙ≦１ 、－１≦１－２ｚ≦１ より、
－１≦（１－２ｘ）（１－２ｙ）（１－２ｚ）≦１ が成り立つ。
また、
（１－２ｘ）（１－２ｙ）（１－２ｚ）
＝１－２（ｘ＋ｙ＋ｚ）＋４（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）－８ｘｙｚ＝４（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）－８ｘｙｚ－１
よって、 ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ－２ｘｙｚ＝｛（１－２ｘ）（１－２ｙ）（１－２ｚ）＋１｝/４
したがって、 ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ－２ｘｙｚ≧０ が成り立つ。
また、 ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ－２ｘｙｚ の最大値を求めるためには、
ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ－２ｘｙｚ＝｛（１－２ｘ）（１－２ｙ）（１－２ｚ）＋１｝/４
より、 （１－２ｘ）（１－２ｙ）（１－２ｚ） の最大値を求めればよい。
そのためには、 １－２ｘ≧０ 、１－２ｙ≧０ 、１－２ｚ≧０ と仮定してよい。
なので、相加平均と相乗平均の関係から
よって、（１－２ｘ）（１－２ｙ）（１－２ｚ）≦１/２７ であるので、
ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ－２ｘｙｚ≦（１/２７＋１）/４＝７/２７
以上から、 ０≦ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ－２ｘｙｚ≦７/２７ （終）
このような変分問題は、大学初年級における微分積分学の格好の演習問題といえるよ
うで、多くの大学でその傾向が伺える。
例えば、東京大学理科Ⅰ類冬学期における数学ⅠＡの問題として、２００１年、２００５年
に下記の問題が見られた。
ａ） Ｒ2 の部分集合Ｓを Ｓ＝｛（ｘ ，ｙ）∈Ｒ2｜０≦ｘ≦１、０≦ｙ≦１、１≦ｘ＋ｙ｝ で定義し、
関数 Ｆ を Ｆ（ｘ ，ｙ）＝（１－ｘ）（１－ｙ）（ｘ＋ｙ－１） で定義する。 Ｆ
の Ｓ における最
大点を求めよ。
ｂ） 上の問いを用いて、周の長さが一定の三角形の面積が最大になるのは正三角形のと
きであることを証明せよ。
解答は、上記の問題の解と同様である。（ポイントは、ヘロンの公式！）
また、東北大学の２００３年解析学Ｂ期末試験には、次の問題が出題されている。
周の長さ Ｌ が一定の直角３角形のうちで面積が最大のものを求めよ。
（解） 直角三角形の斜辺以外の２辺の長さを、ｘ 、ｙ とすると、
三平方の定理から、 ｘ2＋ｙ2＝（Ｌ－ｘ－ｙ）2
よって、 ２ｘｙ－２Ｌｘ－２Ｌｙ＋Ｌ2＝０
が成り立つ。そこで、 Ｇ（ ｘ ， ｙ ）＝２ｘｙ－２Ｌｘ－２Ｌｙ＋Ｌ2＝０ のとき、
Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝ｘｙ の極値を与える点（ ａ ， ｂ ）は次の式を満たす。
２ｘｙ－２Ｌｘ－２Ｌｙ＋Ｌ2＝０ 、ｙ＋λ（２ｙ－２Ｌ）＝０ 、ｘ＋λ（２ｘ－２Ｌ）＝０
よって、 （２λ＋１）ｙ＝２λＬ 、 （２λ＋１）ｘ＝２λＬ より、２λ＋１≠０ で、
このとき、 ｘ ＝ ｙ である。
すなわち 斜辺の長さが （
－１）Ｌ である直角２等辺三角形のとき、面積は極大かつ
最大となる。（終） ・・・・ 結論を確かなものとするには、もう少し計算が必要！（→参考）
上記と同様な議論を四角形に適用すると、
周の長さが一定な四角形で面積が最大なものは、正方形である
ことが言える。（→ 参考：「扇形の面積」）
（証明） まず、周の長さを一定とし、底辺ＢＣを固定した△ＡＢＣで面積が最大なのは、
ＡＢ＝ＡＣなる二等辺三角形であることを下図により確認しよう。
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当ＨＰ読者のＨＮ「ＤＳ」さんから、平成２７年７月３０日付 けで、図が間違っている旨、ご指摘いただいた。 （左図は、修正済み） ＤＳさんに感謝します。 平成１８年６月にこのページを起こし、平成２２年３月に一 部見直しをしたものの図は長らく放置されたままでした。 この機会に再度検討を進めてみました。 |
このことから、周の長さが一定な四角形で面積が最大なとき、任意の隣り合う２辺の長さは
等しいことが分かる。すなわち、そのような四角形はひし形となる。
今、ひし形の１辺の長さを ａ とし、内角の一つの角の大きさをθとすると、四角形の面積は
ａ2ｓｉｎθで与えられるが、これは明らかに、θ＝９０°のとき最大となる。
したがって、周の長さが一定な四角形で面積が最大なものは、正方形である。 （終）
以下、工事中