当ＨＰ読者のＨＮ「Whitegrass」さんが、「席替えの問題」を提起された。
（平成２４年７月８日付け）
私の学校の実際の状況を元にして問題を考えてみました。私の答えは階乗がたくさん出
てくる計算の難しい式になりました。
問 題 男子20人、女子20人のクラスで席替えを行いました。ただし、席替えとは男女のペ
アをランダムに作ることとします。１〜４回目の席替えでは、どのペアも過去のペアと
同じペアとなることはありませんでした。ここで、５回目の席替えを行うとき、全員が、
１〜４回目とは違うペアとなる場合は何通りありますか？
当ＨＰの「カークマンの組分け」や「モンモールの問題」と同じ匂いがする問題で難しそうと
いうのが第一印象です。
この問題について、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんからのコメント
です。（平成２４年７月８日付け）
おそらく、１〜４回目のペアのパターンによって答えが変わるので、「何通り」とは答えられ
ないが正解だと思います。
Whitegrass さんからのコメントです。（平成２４年７月９日付け）
「通り」という表現がおかしかったのかもしれません。１〜４回目のすべてのパターンにおい
て、それぞれについて、５回目の席替えで条件を満たす配置はいくつか？ということです。
それぞれのパターンの通り数を足してください。
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年７月９日付け）
それぞれのパターンの通り数を足すのでは、意味のある数にならないと思うのですが...。
例えば、「20人」を「3人」にして、「１〜４回目」を「１回目」、「５回目」を「２回目」に置き換え
てみます。
男を、ABC、女を、abc とすると、１回目は、
(Aa，Bb，Cc)、(Aa，Bc，Cb)、(Ab，Ba，Cc)、(Ab，Bc，Ca)、(Ac，Ba，Cb)、(Ac，Bb，Ca)
の６通りがあり、例えば、１回目が (Aa，Bb，Cc) のとき、２回目は、
(Ab，Bc，Ca)、(Ac，Ba，Cb)
の２通りあり、同様に、他もすべて２通りずつですから、全部合計すると、６×２=“１２通り”
という計算になります。しかし、この“１２通り”という答えに意味があるとは思えません。
Whitegrass さんからのコメントです。（平成２４年７月９日付け）
５回目の席替えの時に、ランダムにペアをつくってみたら、どれくらいの確率で正しい配置
になるのかの分子にはなりませんか？
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年７月９日付け）
元の問題から普通に考えて、「１〜４回目の席替えで、過去と同じペアが存在しなかった場
合に、５回目の席替えでも過去と同じペアが存在しない」という条件付き確率と解釈されます
が、その意味では分子にならないと思います。
全部のパターンの場合の数の合計ならば、「５回の席替えを行って、１〜５回目の席替え
すべてで過去と同じペアが一組も存在しない確率」の分子になりますね。（このとき、分母=(20!)5）
Whitegrass さんからのコメントです。（平成２４年７月９日付け）
なるほど。ですから、そういう意味があるのではないでしょうか？僕にとってはまさにそれを
求めたかったつもりです。
ＨＮ「☆」さんからのコメントです。（平成２４年７月１３日付け）
５回席替えを乱数シミュレートしてみました。５回席替えの試行を3386787回行ったところ、
４回目を終えた時点でペアがかぶらなかった回数は、6736回、５回目を終えた時点でペアが
かぶらなかった回数は、82回でした。つまり、４回目終了時点でかぶっていなかった場合、
1.2%程度の確率で5回目の席替えでもペアがかぶらないわけです。
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年７月１０日付け）
では、上記のような問題ではなく、
問 題 男子20人、女子20人のクラスで５回席替えを行いました。ただし、席替えとは男女の
ペアをランダムに作ることとします。このとき、過去と同じペアが存在しないような席替
えパターン（最初の席替え前を含め、ペアが全部で120組できるパターン）は、（最初の
席替え前を１通りと固定して）全部で何通りありますか？
ということですね？それでしたら、ｎ人の場合、「５回」を「１回」にしても、普通の式（漸化式で
なく、Σなども使わない、単純に代入すれば簡単に求まる式）では書けませんので、５回では、
ｎ=20 という固定値であっても、簡単な式にならないような気がします。
ちなみに、席替えが３回でよければ、「Ａ003170」に答えがあります。
「20人」を「7人」に変えた場合、全部で、12,198,297,600通りでした。
（プログラムを作って10時間かけて数えました。）
Whitegrassさんの計算方法で、問題を「7人」に変えたら、この値になりますでしょうか。
Whitegrass さんからのコメントです。（平成２４年７月１２日付け）
途中でよく分からなくなってしまいました。僕の考え方を書きます。
条件に当てはまらない場合の数を調べる。
男を、A〜G、女を、a〜g と表す。最初の席は、A-a、B-b、C-c、・・・と、大文字と小文字が
一緒になったとする。まずは、A-a がかぶった場合を考えると、
ABCDEFG
abcdef
abcde
abcd
abc
ab
a
であり、これらは、(1!-0)+(2!-1)+(3!-2!)+(4!-3!)+(5!-4!)+(6!-5!) と表せる。
次に、B-b がかぶった場合を考える。ただし、A-a がかぶった場合は数えたので、A-a が
かぶっていない場合を数える。すると、Aには、a、b を除いた５つの可能性がある。
よって、 5(1!-0)+5(2!-1!)+5(3!-2!)+5(4!-3!)+5(5!-4!) となる。
次に、C-c がかぶった場合を考える。A-aとB-bは数えたので、
5*4(1!-0)...
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年７月１２日付け）
1回の席替えだけを考えるには、そんなに複雑な計算はいりません。「完全順列」の考え方
ですので、[7!/e+1/2]=1854通りと求まります。問題は席替えが２回以上の場合です。
同じように場合分けして考えたら大変ではないですか？
以下、工事中