０２４	平成２１年度後期	横浜国立大学	工学部	・・・	２次関数（数学�T）	やや難

　塾生よりホットな入試問題が入手できたので、どこの予備校よりも先に解答を公開したい
と思う。イメージ的に求める領域を類推することは可能だろうが、そのような解答では合格
点を得ることは難しいだろう。きっちりと論理的に求められる問題なので、計算で正確に求
めたい。
　このようなタイプの入試問題は頻出問題で、いささか陳腐の感があるが、授業等では教え
きれない部分でもあるので、各個人の経験の有無が大きく影響を与える問題とも言えよう。

　なお、この問題は包絡線の問題とも関連し、数学的には非常に面白い問題でもある。

　当HPの次のページを参考にされると理解が進むことだろう。

　　　　曲線群の通過範囲　　　　　包絡線


横浜国立大学　工学部（２００９）

　放物線 ｙ＝ｘ² 上に２点Ｐ（ ｔ ， ｔ² ）、Ｑ（ ｔ＋１ ， （ｔ＋１）² ）をとる。次の問いに答えよ。

（１）　ｔ がすべての実数を動くとき、直線ＰＱが通過する領域を求めよ。
（２）　ｔ が −１≦ｔ≦０ の範囲を動くとき、線分ＰＱが通過する領域を求め、図示せよ。

（解）（１）　直線ＰＱの傾きは、　｛（ｔ＋１）²−ｔ²｝/｛（ｔ＋１）−ｔ｝＝２ｔ＋１　なので、

　　　　　直線ＰＱの方程式は、　ｙ＝（２ｔ＋１）（ｘ−ｔ）＋ｔ²＝（２ｔ＋１）ｘ−ｔ²−ｔ

　　　　　いま、点（ ｘ ， ｙ ）が直線ＰＱの通過する領域内の点とすると、

　　　　　　ｙ＝（２ｔ＋１）ｘ−ｔ²−ｔ　となる実数 ｔ が存在する。

　　　　　すなわち、ｔ の２次方程式　ｔ²＋（１−２ｘ）ｔ＋ｙ−ｘ＝０　が実数解を持つ。

　　　　　判別式をＤとすると、

　　　　　　　　　　　Ｄ＝（１−２ｘ）²−４（ｙ−ｘ）＝１＋４ｘ²−４ｙ≧０

　　　　　　よって、　ｙ≦ｘ²＋１/４　が求める領域を表す。

（２）　線分ＰＱが通過する領域内の点を（ ｘ ， ｙ ）とすると、　−１≦ｘ≦１　が成り立つ。

　　　ｙ＝Ｆ（ｔ）＝（２ｔ＋１）ｘ−ｔ²−ｔ＝−ｔ²＋（２ｘ−１）ｔ＋ｘ＝−｛ｔ−（ｘ−１/２）｝²＋ｘ²＋１/４

　　より、軸の方程式は、　ｔ＝ｘ−１/２　である。また、上式が線分ＰＱを表すためには、

　　　　　　ｔ≦ｘ≦ｔ＋１　　すなわち、　　ｘ−１≦ｔ≦ｘ

　　でなければならない。これらのことに注意して、場合に分けて考える。

　　（イ）　ｘ−１/２≦−１　すなわち　−１≦ｘ≦−１/２　のとき、

　　　　　　　ｘ−１≦ｔ≦ｘ　と　−１≦ｔ≦０　の交わりは、　−１≦ｔ≦ｘ

　　　　　この範囲で、関数 ｙ＝Ｆ（ｔ） の値域を求めれば、　Ｆ（ｘ）≦ｙ≦Ｆ（−１）

　　　　　すなわち、　Ｆ（ｘ）＝（２ｘ＋１）ｘ−ｘ²−ｘ＝ｘ²　、Ｆ（−１）＝−ｘ−１＋１＝−ｘ　より、

　　　　　　　ｘ² ≦ ｙ ≦ −ｘ　となる。

　　（ロ）　−１≦ｘ−１/２≦−１/２　すなわち　−１/２≦ｘ≦０　のとき、

　　　　　　　ｘ−１≦ｔ≦ｘ　と　−１≦ｔ≦０　の交わりは、　−１≦ｔ≦ｘ

　　　　　この範囲で、関数 ｙ＝Ｆ（ｔ） の値域を求めれば、　Ｆ（ｘ）≦ｙ≦ｘ²＋１/４

　　　　　すなわち、　ｘ² ≦ ｙ ≦ ｘ²＋１/４　となる。

　　（ハ）　−１/２≦ｘ−１/２≦０　すなわち　０≦ｘ≦１/２　のとき、

　　　　　　　ｘ−１≦ｔ≦ｘ　と　−１≦ｔ≦０　の交わりは、　ｘ−１≦ｔ≦０

　　　　　この範囲で、関数 ｙ＝Ｆ（ｔ） の値域を求めれば、　Ｆ（ｘ−１）≦ｙ≦ｘ²＋１/４

　　　　　すなわち、　Ｆ（ｘ−１）＝（２ｘ−１）ｘ−（ｘ−１）²−（ｘ−１）＝ｘ²　より、

　　　　　　　ｘ² ≦ ｙ ≦ ｘ²＋１/４　となる。

　　（ニ）　ｘ−１/２≧０　すなわち　１/２≦ｘ≦１　のとき、

　　　　　　　ｘ−１≦ｔ≦ｘ　と　−１≦ｔ≦０　の交わりは、　ｘ−１≦ｔ≦０

　　　　　この範囲で、関数 ｙ＝Ｆ（ｔ） の値域を求めれば、　Ｆ（ｘ−１）≦ｙ≦Ｆ（ｘ）

　　　　　すなわち、　ｘ² ≦ ｙ ≦ ｘ　となる。

　　これらを図示して、下図を得る。